24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)资料
24．2点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1点和圆的位置关系
1．如图，⊙O的半径为r.
(1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r.
(2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___．
2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆．
3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___．
4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立．
知识点1：点与圆的位置关系
1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D)
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：
(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.
解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外
知识点2：三角形的外接圆
4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___．
5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___．
6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C)
A．任意三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
7．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．
解：图略．连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，且相交于点O，点O 即为所求
知识点3：反证法
8．用反证法证明：“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D)
A．相交
B．两条直线不垂直
C．两条直线不垂直于同一条直线
D．垂直于同一条直线的两条直线相交
9．用反证法证明：“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___．
10．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°，求证：l1__∥___l2.
证明：假设l1__不平行___l2，即l1与l2相交于一点P，
则∠1＋∠2＋∠P__＝___180°(__三角形内角和定理___)，
所以∠1＋∠2__＜___180°，
这与__已知___矛盾，
故__假设___不成立，
所以__l1∥l2___．
11．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中，不正确的是( A)
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外
12．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是__(－2，－1)___．
13．在平面直角坐标系中，⊙A的半径是4，圆心A的坐标是(2，0)，则点P(－2，1)与⊙A的位置关系是__点P在⊙A外___．
14．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝__30°或150°___.
15．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
解：(1)0＜r＜3(2)3＜r＜4
16．如图，⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为(1，1)，试判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)与⊙O′的位置关系．
解：点P在⊙O′外，点Q在⊙O′内，点R在⊙O′上
17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)
(2)25π平方米
18．如图①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．
解：(1)由SAS可证(2)四边形BECD是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD，∴四边形BECD是菱形
24．2.2直线和圆的位置关系
第1课时直线和圆的位置关系
1．直线和圆有__相交___、__相切___、__相离___三种位置关系．
2．直线a与⊙O__有唯一___公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O__有两个___公共点，则直线b与⊙O相交；直线c与⊙O__没有___公共点，则直线c与⊙O相离．3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：
(1)直线l1与⊙O__相离___，则d__＞___r；
(2)直线l2与⊙O__相切___，则d__＝___r；
(3)直线l3与⊙O__相交___，则d__＜___r.
知识点1：直线与圆的位置关系的判定
1．(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( A)
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D)
A．相离B．相切C．相交D．相切或相交
3．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( C)
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ 3 cm；(3)r＝2 cm.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，可求CD＝ 3.(1)r＝1.5 cm时，相离；(2)r＝ 3 cm 时，相切；
(3)r＝2 cm时，相交
知识点2：直线与圆的位置关系的性质
5．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( A)
A．r＞5 B．r＝5
C．0＜r＜5 D．0＜r≤5
6．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC所在的直线向下平移，当l与⊙O相切时，平移的距离为( B) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
7．已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，若d，r是方程x2－4x＋m ＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，则m的值为__4___．
8．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么
范围内取值时，AB 所在的直线与⊙O 相交、相切、相离？
解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，可得OD ＝12OB ＝1
2
x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时，
OD ＝r ＝2，∴BO ＝4，∴0＜x ＜4时，相交；x ＝4时，相切；x ＞4时，相离
9．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是( C)
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
10．已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( D)
A．相切B．相离
C．相离或相切D．相切或相交
11．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.若直线l与⊙O相切，则以d，r 为根的一元二次方程可能为( B)
A．x2－3x＝0 B．x2－6x＋9＝0
C．x2－5x＋4＝0 D．x2＋4x＋4＝0
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC 与⊙O的位置关系是__相切___．
13．已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有__3___个点到直线AB的距离为3.
14．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
解：(1)图略，⊙P′与直线MN相交(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连接PN，P′N.由题意可知：在Rt△P′QN中，P′Q＝2，P′N＝3，由勾股定理可求出QN＝5；在Rt△PQN中，PQ＝3＋5＝8，QN＝5，由勾股定理可求出PN＝82＋（5）2＝69
15．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．
(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与⊙P的位置关系；
(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时x轴与⊙P的位置关系；
(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．(1)当⊙P和x 轴相切时，2x－1＝2或2x－1＝－2，解得x＝1.5或x＝－0.5，∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．∵1.5＜2，|－0.5|＜2，∴y轴与⊙P相交(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2，得2x －1＝3或2x－1＝－5，∴P1(2，3)，P2(－2，－5)．∵|－5|＞2，且|3|＞2，∴x轴与⊙P相离(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切
16．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
解：(1)过O点作OF⊥AM于F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故x＝AD＝2
(2)过O点作OG⊥AM于G，∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴BC＝22，∴BG＝CG ＝2，∴OG＝ 2.∵∠A＝30°，∴OA＝22，∴x＝AD＝22－2
第2课时切线的判定与性质
1．经过半径的__外端___，并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线．
2．圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径．
知识点1：切线的判定
1．下列说法中，正确的是( D)
A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__∠ABC＝90°___．
3．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线．
解：连接OC.∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A ＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线
4．(2014·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)如图(2)AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于点D，∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OD⊥AB，∴OD＝OC，∴AB与⊙O相切
知识点2：切线的性质
5．(2014·邵阳)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB 与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是( A)
A．30°B．45°C．60°D．40°
,第5题图),第6题图),第7题图) 6．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA ＝__4___.
7．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切于点A.若∠MAB ＝30°，则∠B＝__60°___.
8．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.
解：∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC
9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且CO ＝CD ，则∠PCA ＝( D )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．67.5°
,第9题图),第10题图),第11题
图)
10．如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是( A )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ︵
的中点，则下列结论不成立的是( D )
A ．OC ∥AE
B ．E
C ＝BC
C ．∠DAE ＝∠ABE
D ．AC ⊥O
E 12．(2014·自贡)如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为__3___cm .
,第12题图) ,第13题图)
13．如图，直线PA 过半圆的圆心O ，交半圆于A ，B 两点，PC 切半圆于点C ，已知PC ＝3，PB ＝1，则该半圆的半径为__4___．
14．(2014·毕节)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，连接CD.
(1)求证：∠A ＝∠BCD.
(2)若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．
解：(1)∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD (2)当点M 是BC 的中点时，直线DM 与⊙O 相切．理由：如图，连接DO.∵DO ＝CO ，∴∠1＝∠2.∵∠BDC ＝90°，点M 是BC 的中点，∴DM ＝CM ，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM 与⊙O 相切
15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，求∠CDP 的度数．
解：∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥OP ，即∠OCP ＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠OCB ＝∠OCP －∠OCB ，即∠ACO ＝∠BCP.又OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠BCP ＝∠BAC.∵PD 是∠APC 的平分线，∴∠CPD ＝∠APD.∵∠ABC ＝∠CPD ＋∠APD ＋∠BCP ，∠BAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＋∠CPD ＋∠APD ＋∠BCP ＝90°，∴∠CDP ＝∠APD ＋∠BAC ＝45°
16．(2014·德州)如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦BC 为6 cm ，D ，E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O ，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC ＝PE.
(1)求AC ，AD 的长；
(2)试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
解：(1)连接BD.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABC 中，AC ＝
AB 2－BC 2＝102－62
＝8(cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD.在Rt △ABD
中，AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ＝22AB ＝2
2
×10＝52(cm )
(2)直线PC 与⊙O 相切．理由：连接OC.∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠OCA.∵PC ＝PE ，∴∠PCE ＝∠PEC.∵∠PEC ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠PCB ＋∠ECB ＝∠CAE ＋∠ACE.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠ECB ，∴∠PCB ＝∠CAE ，∴∠PCB ＝∠ACO.∵∠ACB ＝90°，∴∠OCP ＝∠OCB ＋∠PCB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠ACB ＝90°，∴OC ⊥PC ，∴直线PC 与⊙O 相切
第3课时切线长定理
1．经过__圆外___一点作圆的切线，这点与切点之间__线段___的长，叫做这点到圆的切线长．
2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的__两___条切线，它们的切线长__相等___，这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角．
3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内___心，它是三角形__三条角平分线___的交点．
知识点1：切线长定理
1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( B)
A．4B．8C．43D．8 3
,第1题图),第2题图) 2．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB 上，若BG＝2－1，则△ABC的周长为( A)
A．4＋2 2 B．6
C．2＋2 2 D．4
3．(2014·天水)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠P＝__80°___．
4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.
(1)求∠APB的度数；
(2)当OA＝3时，求AP的长．
解：(1)∠APB＝60°
(2)AP＝3 3
知识点2：三角形的内切圆
5．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝( A)
A．130°B．120°C．100°D．90°
6．已知△ABC的周长为24，若△ABC的内切圆半径为2，则△ABC的面积为__24___．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径为__2___．8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AE＝AF＝x cm，则CE＝CD ＝(26－x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm
9．正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( B ) A ．2 B ．2 3 C . 3 D ．3
10．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于点B ，C ，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC 的度数是( C )
A ．65°
B ．115°
C ．65°或115°
D ．130°或50°
,第10题图) ,第11题图)
11．(2014·泰安)如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙O 上一点，连接PD.已知PC ＝PD ＝BC.下列结论：
(1)PD 与⊙O 相切；(2)四边形PCBD 是菱形；(3)PO ＝AB ；(4)∠PDB ＝120°. 其中正确的个数为( A ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
12．如图，已知PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点C 在⊙O 上，∠BCA ＝65°，则∠P ＝__50°___．
,第12题图) ,第13题图)
13．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，
F ，切点C 在AB ︵
上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4___．
14．如图，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，若∠BOC ＝140°，求∠BIC 的度数．
解：∵点O 为△ABC 的外心，∠BOC ＝140°，∴∠A ＝70°.又∵点I 为△ABC 的内
心，∴∠BIC ＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋1
2
∠A ＝125°
15．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D.
(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；
(2)当∠1为多少度时，OP ＝OD ？并说明理由．
解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°.又∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°，∴∠APB ＝180°－70°×2＝40° (2)当∠1＝30°时，OP ＝OD.理由：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°，∴∠APB ＝180°－60°
×2＝60°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OPB ＝1
2
∠APB ＝30°.又∵∠D ＝∠ABP －∠1＝
60°－30°＝30°，∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD
16．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF.
(1)求证：OD ∥BE ；
(2)猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．
解：(1)连接OE ，∵AM ，DE 是⊙O 的切线，OA ，OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO ＝∠EDO ，
∠DAO ＝∠DEO ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ＝1
2
∠AOE.∵∠ABE ＝∠OEB ，∠ABE ＋∠OEB
＝∠AOE ，∴∠ABE ＝1
2
∠AOE ，∴∠AOD ＝∠ABE ，∴OD ∥BE
(2)OF ＝1
2
CD ，理由：连接OC ，∵BC ，CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝∠OCE.同理：
∠ADO ＝∠EDO.∵AM ∥BN ，∴∠ADO ＋∠EDO ＋∠OCB ＋∠OCE ＝180°，∴∠EDO ＋
∠OCE ＝90°，∴∠DOC ＝90°.在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF ＝1
2
CD
专题训练(七) 切线证明的方法
一、有交点，连半径，证垂直 (一)利用角度转换证垂直
1．如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥OB ，交AB 于E ，且AD ＝ED.求证：AD 是⊙O 的切线．
解：连接OA.∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠OAB.又∵AD ＝DE ，∴∠DAE ＝∠DEA ，而∠DEA ＝∠BEO ，∠B ＋∠BEO ＝90°，∴∠DAE ＋∠OAB ＝90°，∴OA ⊥AD ，∴AD 是⊙O 的切线
2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP ＝AC.求证：PA 是⊙O 的切线．
解：连接OA.∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∴∠AOP ＝60°，∵OA ＝OC ，∴∠
OAC ＝∠ACP ＝1
2
∠AOP ＝30°，又∵AP ＝AC ，∴∠P ＝∠ACP ＝30°，∴∠PAO ＝90°，
∴OA ⊥AP ，∴PA 是⊙O 的切线
(二)利用全等证垂直
3．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O 的切线．
解：连接OD.由SAS证△CBO≌△CDO，得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线
(三)利用勾股定理逆定理证垂直
4．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC是⊙O的切线．
解：连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△POC 为直角三角形且∠PCO＝90°，∴OC⊥CP，∴PC是⊙O的切线
二、无交点，作垂直，证半径
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证：AC与⊙D相切．
解：连接DE，过D作DF⊥AC于F，易证△BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC与⊙O 相切
6．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD 是小圆的切线．
解：连接OE，过O作OF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴CD与小⊙O相切
7．如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若AD ＝4，BC ＝9，求⊙O 的半径R.
解：(1)过O 作OE ⊥CD 于点E.∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AD ，又∵DO 平分∠ADC ，∴OE ＝OA ，∴CD 是⊙O 的切线 (2)过D 点作DF ⊥BC 于点F ，易证四边形ABFD 是矩形，∴AD ＝BF ，AB ＝DF ，又∵AD ＝4，BC ＝9，∴FC ＝9－4＝5.又∵AM ，BN ，CD 分别切⊙O 于点A ，B ，E ，∴DA ＝DE ，CB ＝CE ，∴DC ＝AD ＋BC ＝4＋9＝13.在Rt △DFC 中，DC 2＝DF 2＋FC 2，∴DF ＝12，∴AB ＝12，∴⊙O 的半径R 是6
三、与切线证明方法有关的综合问题 8．(2014·江西)如图①，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP.
(1)求△OPC 的最大面积； (2)求∠OCP 的最大度数；
(3)如图②，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．
解：(1)△OPC 的边长OC 是定值，∴当OP ⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△
OPC 的面积最大．∵AB ＝4，BC ＝2，∴OP ＝OB ＝2，OC ＝OB ＋BC ＝4，∴S △OPC ＝1
2
·OC·OP
＝1
2
×4×2＝4，即△OPC 的最大面积为4 (2)当PC 与⊙O 相切，即OP ⊥PC 时，∠OCP 的度数最大，可求∠OCP ＝30°
(3)连接AP ，BP.∵∠AOP ＝∠DOB ，∴AP ＝DB.∵CP ＝DB ，∴AP ＝PC ，∴∠A ＝∠C.∵∠A ＝∠D ，∴∠C ＝∠D.∵OC ＝PD ＝4，PC ＝DB ，∴△OPC ≌△PBD ，∴∠OPC ＝∠PBD.∵PD 是⊙O 的直径，∴∠PBD ＝90°，∴∠OPC ＝90°，∴OP ⊥PC.又∵OP 是⊙O 的半径，∴CP 是⊙O 的切线
高中数学-直线与圆的位置关系练习
高中数学-直线与圆的位置关系练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y 2 =4相切,那么a 的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a 要与圆(x-1)2+y 2 =4相切,则a=3或-1,因为a ＞0,所以a=3. 答案：C 2.直线l:4x-3y+5=0与圆C:x 2+y 2 -4x-2y+m=0无公共点的条件是m 属于( ) A.(-∞,0) B.(0,5) C.(1,5) D.(1,+∞) 解析：由圆心(2,1)到直线l:4x-3y+5=0的距离大于圆的半径可得. 答案：C 3.过点M(3，2)作⊙O：x 2+y 2 +4x-2y+4=0的切线方程是____________. 解析：作图知,所求切线不可能垂直x 轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y-2=k(x-3)，即kx-y+2-3k=0,由 2 2)1(| 3212|-+-+--k k k =1,得k= 12 5 或k=0,代入即可求得. 答案：y=2或5x-12y+9=0 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.已知直线l:ax-y-b=0,圆C:x 2+y 2 -2ax-2by=0,则l 与C 在同一坐标系中的图形只可能是( ) 图2-3-1 解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断.注意到圆的方程的特点,易知圆C 过原点,所以A 、C 均不正确;再由B 、D 两选项和圆心、直线的斜率知B 正确. 答案：B 2.直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)与圆x 2+y 2 =2的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 解析：方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n=0.由于圆 心(0,0)到该直线的距离为22| |n m n m ++,又222 222)(2)(n m n m n m n m +--=-++＜0(m≠n),∴d＜r,即直线与圆相交. 方法二:易知直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)恒过点(-1，-1)，且点(-1，-1)在圆上，又m≠n，所以直线与圆不相切.所以直线与圆相交. 答案：C 3.过点(2,1)的所有直线中,被圆x 2+y 2 -2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为( ) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0 解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质.直线被圆截得的最长弦应是直径,故问题即求过 (2,1)和圆心的直线方程.圆的方程为(x-1)2+(y+2)2 =5,直线被圆截得的弦最长时,应过圆心
中考试题专题之圆与圆的位置关系试题及答案
20XX 年中考试题专题之 23-圆与圆的位置关系试题及答案 一．选择 1. （20XX 年泸州）已知⊙ O 1与⊙ O 2的半径分别为 5cm 和 3cm ，圆心距 020=7cm ，则两圆 的位 置关系为 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2. （20XX 年滨州 ）已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 d ，若两圆没有公共点，则下列结 论正确的是（ ） A ． 0 d 1 B ． d5 C ． 0 d 1或 d 5 D ． 0≤ d 1或 d 5 3.（ 20XX 年台州市 ） 大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置 系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ． 相交 D ．内含 4.（ 2009 桂林百色）右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含 5．若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ，圆心距为 6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6（ 20XX 年衢州）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 7.（ 20XX 年舟山）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 8. .（20XX 年益阳市）已知⊙ O 1和⊙ O 2的半径分别为 1和 4，如果两圆的位置关系为相交， 那 么圆心距 O 1O 2 的取值范围在数轴上表示正确的是 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A ． B ． C ． D ． 10.. （2009肇庆） 10．若⊙O 1与⊙O 2相切，且 O 1O 2 5 ， ⊙ O 1的半径 r 1 2，则⊙O 2的 半径 r 2 是（ ） B ． 5 9. （ 20XX 年宜宾）若两圆的半径分别是 A. 内切 B. 相交 C.外切 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm ，则这两个圆的位置关 D. 外离 C ． 7 系是
点、直线、圆与圆的位置关系
点、直线、圆与圆的位置关系 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质
直线与圆的位置关系(教案)
《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
圆与圆的位置关系练习题
36圆与圆的位置关系 一、选择题 1. 如图，在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=8 BC=6 DE// BQ 且AD=2CD 则以 D为圆心DC为半径的O D和以E为圆心EB为半径的O E的位置关系是 ( ) (A)外离；(B)外切； (第1题图) (C)相交；(D)不能确定. A. 1cm B. 3cm C. 10cm D. 15cm 2. 已知 半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是( ) 3. 已知两圆的半径分别为3和4，圆心距 为1，则两圆的位置关系是( ) A?相交 E.内切 C.外切 D.内含
4.已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距 d 的取值范围是( A. d>8 B . d>2 C . 0Edc2 D . d >8 或 0Edc2 5.已知两圆半径分别为 4和7,圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 6.如图，已知O 01与O 02关于y 轴对称，点01的坐标为(-4 , 0).两圆相交于 A B ,且01A 丄02A ,则图中阴影部分的面积是 ( ) A.4 n - 8 B.8 n - 16 C. 16 n - 16 D.16 n - 32 、填空题 1.如图，O 01和O O2的半径为2和3，连接 0102交O O2于点P , 0102=7若将O 01绕点 01与O 02相切时的旋转时间为 的位置关系是 3.已知O 01和O ° 2的半径分别为3cm 和5cm,且它们内切，则 °1。2等于 ▲ cm . 4.已知O 01的半径为 3,O 02的半径为 5, 010 2 =乙则O 01、O 0 2的位置关系是 P 按顺时针方向以 30° /秒的速度旋转一周，请写出 O O1、O 0 2
数学《直线与圆的位置关系》知识点及习题
《直线与圆的位置关系》知识点及习题 1、直线与圆的位置关系 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么： 直线l 与⊙O 相交 ＜====＞ d
3．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，8为半径作图，那么直线AB 与圆的位置关系分别是______，_______，_______． 4．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 5．下列判断正确的是（） ①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线 与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，?则直线与圆相交． A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，?那么⊙P与OB的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少 时，⊙C与AB相切？ 8．如图，⊙O的半径为3cm，弦，AB=4cm，若以O为圆心，?再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？ ◆提高训练 9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，?如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m?的取值范围是_______． 10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm?长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______． 11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交 AD于F，则以点B AC，EF，CD的位置关系分别是什么？
24.2点、直线、圆和圆的位置关系练习题
1 24.2点、直线、圆和圆的位置关系练习题 1.已知⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为（0,0），点P 的坐标为（3,4），那么点P 与⊙O 的位置关系是 2.已知⊙O 1、⊙O 2 的半径分别是 r 1=2,r 2=4,若两圆相交，则圆心O 1O 2D 可能的取值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图1所示，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B,如果∠P=60°，求∠AOB 的大小。 4.如图2所示，已知△ABC ，AC=BC=6，∠C=90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切与点D 与点E.点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G,求CG 的长度。 5.如图3所示，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 与点C ，点D 在⊙O 上，且∠ADC=40°，求∠ADC 的大小。 6.如图4所示两圆相交于A 、B 两点，小圆经过大圆的圆心O, 点C 、D 分别在两圆上，若∠ADB=100°，求∠ACB 的大小。 7.已知：如图5所示，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，圆O 经过D 、B 、C 三点，∠DOC=2，∠ACD=90°。 （1）求证:直线AC 是圆O 的切线； （2）如果∠ACB=75°，圆O 的半径为2，求BD 的长。 图5 B C A 图4C D 图3 A 图1P B
2 8.如图6所示，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 坐OH ⊥AC 于点H,若OH=2，AB=12，BO=13. （1）求⊙O 的半径； （2）AC 的值。 9.如图7所示，已知⊙O 的外切等腰梯形ABCD ， AD ∥BC,AB=DC,梯形中位线为EF. (1)求证：EF=AB; (2)若EF=5，AD:BC=1:4，求此梯形ABCD 的面积。 10.如图8所示，正方形ABCD 中，有一直径BC 的半圆，BC=2cm ，现有两点E 、F,分别从点B ，点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1cm/s 的速度向点E 运动，点F 沿折线A-D-C 以2cm/s 的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为t(s). (1)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行？ (2)设1﹤t ﹤2,当t 为何值时，EF 与半圆相切？ 图7 B B H O C B
高考数学复习直线与圆的位置关系
7.6 直线与圆的位置关系 ●知识梳理 直线和圆 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离. 2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基 1.设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为d = 2 1m +，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=2 1（m －1）2≥0， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C 2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6 B.2 25 C.1 D.5 解析：圆心到直线的距离为 22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6. 答案：A 3.圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0 B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0 D.x －3y +2=0 解法一： x 2+y 2－4x =0
《圆与圆的位置关系》测试题
《圆与圆的位置关系》测试题 课堂训练 1.填空： 2.⊙O 1 和⊙O 2的半径分别为3厘米和4厘米，在下列条件下，求⊙O 1 和⊙O 2位置关系： （1）O 1O 2＝8厘米 （2）O 1O 2＝7厘米 （3）O 1O 2＝5厘米 （4）O 1O 2＝1厘米 （5）O 1O 2＝0.5厘米 （6）O 1和O 2重合 3 如图, ⊙O 的半径为3cm,点P 是⊙O 外的一点,OP=5cm. 求:(1)以P 为圆心作⊙P 与⊙O 外切,小圆⊙P 的半径是多少?并画图 (2)以P 为圆心作⊙P 与⊙O 内切,大圆⊙P 的半径是多少? 并画图 4.已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10 cm ，其中⊙A 的半径为4 cm ，求⊙B 的半径
5.如图，AB 既是⊙C 的切线也是⊙D 的切线，⊙C 与⊙D 相外切，⊙C 的半径r=1，⊙D 的半径R=3，求四边形ABCD 的面积。 6.已知⊙1O 、⊙2O 相交于点A 、B ，∠A 1O B = 120°，∠A 2O B = 60°，1O 2O = 6cm 。求：（1）∠1O A 2O 的度数；2）⊙1O 的半径1r 和⊙2O 的半径2r 。 晚间训练 1. 若两圆没有交点，则这两个圆的位置关系是 ； 若两圆有一个交点，则这两个圆的位置关系是 ； 若两圆有两个交点，则这两个圆的位置关系是 ； 2.（06佛山）圆和圆有多种位置关系，与图中不同的圆和圆的位置关系是 ． A B C 3.⊙O 1 和⊙O 2的半径分别为3厘米和5厘米，在下列条件下，求⊙O 1 和⊙O 2位置关系： （1）O 1O 2＝0.5厘米 .答 （2）O 1O 2＝2厘米 答. （3）O 1O 2＝6厘米. 答 （4）O 1O 2＝8厘米. 答 （5）O 1O 2＝10厘米. 答 4.两圆相切,圆心距为8cm,已知其中一圆半径为5cm, 求另一圆半径. 5.三角形三边长为5cm 、12cm 、13cm ，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切， 求此三个圆的半径. 1 O 2 O B A
讲义_直线与圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l
上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A
圆与圆的位置关系课时练习题(附答案)
圆与圆的位置关系课时练习题（附答案） 课时提升作业(二十五) 圆与圆的位置关系一、选择题(每小题3分，共18分) 1.(2014?重庆高一检测)圆C1：x2+y2-4x=0和C2： x2+y2-4y=0的位置关系是( ) A.外切 B.相离 C.内切 D.相交 【解析】选D.C1的圆心为(2，0)，r1=2， C2的圆心为(0，2)，r2=2，|C1C2|= =2 ，所以|r1-r2|<|C1C2| 【课题】4.2.1直线与圆的位置关系 【教材】人民教育出版社（A版）高中数学必修2第126页至128页【课时安排】 1个课时 【教学对象】高中一年级 【授课教师】 【教学重点】掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法： （1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。 （2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。 【教学难点】由位置关系得出大小关系式从而判断解的个数 【教学目标】 知识与技能 掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法 过程与方法 1、理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系； 2、体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线与圆的位置关系； 3、领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、 解决问题的能力。 情感态度与价值观 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯。 【教学方法】教师启发讲授、学生探究学习 【教学手段】PowerPoint，动画演示 【教学过程设计】 1、回顾旧知(3分钟) 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关 系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位 置关系？ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径 教师 运用 边提 问边 回答 的形 式引 导学 生回 忆知 识点 老师 引导 学生 思考 学生 回忆 并回 答问 题 学生 观察 动画 并思 考如 何解 决 回顾知识点 的益处在于 不仅复习了 以前学习的 知识，又为 今后的学习 作铺垫 与学生进行 互动交流， 学生更积极 思考，并可 活跃课堂氛 围 直线与圆的位置关系 班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为() A.± B.±2 C.±2 D.±4 3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为() A.1 B.2 C.4 D.4 4.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为() A.4 B.2 C. D. 5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是() A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x 6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a 等于() A. B.2- C.-1 D.+1 7.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为() A.1 B.2 C. D.3 8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.0°<α≤60° C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60° 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________. 点和圆的位置关系专题练习题 1．⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( ) A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(0，6)，则点Q与⊙P的位置关系是( ) A．点Q在⊙P外B．点Q在⊙P上C．点Q在⊙P内D．不能确定 1．⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( ) A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(0，6)，则点Q与⊙P的位置关系是( ) A．点Q在⊙P外B．点Q在⊙P上C．点Q在⊙P内D．不能确定 5．过一点可以作_________个圆；过两点可以作_______个圆，这些圆的圆心在两点连线的___________________上；过不在同一条直线上的三点可以作________个圆． 6．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( ) A．三个点一定能确定一个圆B．以已知线段为半径能确定一个圆 C．以已知线段为直径能确定一个圆D．菱形的四个顶点能确定一个圆 7．下列命题中，错误的有( ) ①三角形只有一个外接圆；②三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；③等边三角形的外心也是其三边的垂直平分线、高及角平分线的交点；④任何三角形都有外心． A．3个B．2个C．1个D．0个 8．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A．点P B．点Q C．点R D．点M 9．直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的__________． 10．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置． 人教版高一数学直线与圆的位置关系知识 点 数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，以下是查字典数学网为大家整理的人教版高一数学直线与圆的位置关系知识点，希望能帮助大家学习。 一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法 设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当时，直线与圆相离; (2)当时，直线与圆相切; (3)当时，直线与圆相交; 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想. 二、教学重点、难点： 重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系. 三、教学设想问题设计意图 师生活动 1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类? 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课. 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课. 生：看图，并说出自己的看法. 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类. 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问题设计意图 师生活动 生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系. 3.在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢? 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力. 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程. 生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程. 4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗? 《圆与圆的位置关系》练习题（09年中考试题选） 一、选择 1. （泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2. (滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） A ．01d << B ．5d > C ．01d <<或5d > D ．01d <≤或5d > 3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 4. .（益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是 5.（肇庆）10．若1O ⊙与2O ⊙相切，且 1 25O O =，1O ⊙的半径 12r =，则2 O ⊙的半径2r 是（ ） A ． 3 B ． 5 C ． 7 D ． 3 或7 6. （遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ， 则图中阴影部分的面积是 A.4π-8 B. 8π.16π 7.（常德市）如图4，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则 AB 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．8cm 8.（荆州年）如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3， 则图中阴影部分的面积是（ ） A ．π B ．π C ．3π D ．2π 9．（乌鲁木齐市）若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.(陕西省)图中圆与圆之间不同的位置关系有 （ ） A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种 二、填空 11.（济宁市）已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 . 12. （齐齐哈尔市）已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则这两个圆 的圆心距是_____________． 13.（锦州）如图所示，点A.B 在直线MN 上，AB=11cm ，⊙A 、.⊙B 的半径均为1cm ，⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(cm)与时 B ． D ． A ． C ． 直线与圆的位置关系 教学目标 1、知识与能力目标 A．知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系； B．能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。 C．掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。 2、过程与方法目标 让学生通过观察，看图，分析，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系。此外，通过直线和圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。 3、情感态度与价值观目标 通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点与难点 教学重点：直线和圆位置关系的判断和应用 教学难点：通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。 教学准备 制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。 教学过程： 一、复习 1.直线方程的形式 2.圆的方程形式 3.点与圆的位置关系 4直线与圆的位置关系: (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点； 二、新课讲解 1．问题情境 问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：你怎么判断轮船受不受影响？ 生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交． 师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系． 学生解决方法一：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为 圆与圆的位置关系 课堂训练 1.填空： 2.⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，在下列条件下，求⊙O1和⊙O2位置关系：（1）O1O2＝8厘米 （2）O1O2＝7厘米 （3）O1O2＝5厘米 （4）O1O2＝1厘米 （5）O1O2＝0.5厘米 （6）O1和O2重合 3 如图, ⊙O的半径为3cm,点P是⊙O外的一点,OP=5cm. 求:(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切,小圆⊙P的半径是多少?并画图 (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆⊙P的半径是多少? 并画图 4.已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，求⊙B的半径 5.如图，AB 既是⊙C 的切线也是⊙D 的切线，⊙C 与⊙D 相外切，⊙C 的半径r=1，⊙D 的半径R=3，求四边形ABCD 的面积。 6.已知⊙1O 、⊙2O 相交于点A 、B ，∠A 1O B = 120°，∠A 2O B = 60°，1O 2O = 6cm 。求：（1）∠1O A 2O 的度数；2）⊙1O 的半径1r 和⊙2O 的半径2r 。 晚间训练 1. 若两圆没有交点，则这两个圆的位置关系是 ； 若两圆有一个交点，则这两个圆的位置关系是 ； 若两圆有两个交点，则这两个圆的位置关系是 ； 2.（06佛山）圆和圆有多种位置关系，与图中不同的圆和圆的位置关系是 ． A B C 3.⊙O 1 和⊙O 2的半径分别为3厘米和5厘米，在下列条件下，求⊙O 1 和⊙O 2位置关系： （1）O 1O 2＝0.5厘米 .答 （2）O 1O 2＝2厘米 答. （3）O 1O 2＝6厘米. 答 （4）O 1O 2＝8厘米. 答 （5）O 1O 2＝10厘米. 答 4.两圆相切,圆心距为8cm,已知其中一圆半径为5cm, 求另一圆半径. D C A B 1 O 2 O B A 九年级下册直线和圆的位置关系练习题 一、选择题： 1．若∠OAB=30°，OA=10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线AB 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 2．Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为（ ） A ．8 B ．4 C ．9．6 D ．4．8 3．⊙O 内最长弦长为m ，直线l 与⊙O 相离，设点O 到l 的距离为d ，则d 与m 的关系是（ ） A ．d =m B ．d ＞m C ．d ＞2m D ．d ＜2 m 4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 5．菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 6．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不能确定 7．下列四边形中一定有内切圆的是（ ） A ．直角梯形 B ．等腰梯形 C ．矩形 D ．菱形 8．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ） A ．三条中线交点 B ．三条高的交点 C ．三条角平分线交点 D ．三条边的垂直平分线的交点 9．给出下列命题： ①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中真命题共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二、证明题 1．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O 于D．求证：CD是⊙O的切线． 2．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3． （1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？ （2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？直线与圆的位置关系教案
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