矩阵计算
一、Excel的数组、数组名和矩阵函数的设置
1 矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。
2 Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。例如A={A1：C3}、B={E1:G3}等。数组名的设置步骤是：选定数组域，点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组名如A或B等，单击“确定”即可。
3 矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。常用的矩阵函数有MDETERM(计算一个矩阵的行列式)、MINVERSE(计算一个矩阵的逆矩阵)、MMULT(计算两个矩阵的乘积)、SUMPRODUCT(计算所有矩阵对应元素乘积之和)……函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，或点击fx图标，然后选择“粘贴函数”中相应的函数输入。
二、矩阵的基本计算
数组计算和矩阵计算有很大的区别，我们用具体例子说明。
已知A={3 -2 5，6 0 3，1 5 4}，B={2 3 -1，4 1 0，5 2 -1}，将这些数据输入Excel相应的单元格，可设置成图1的形状，并作好数组的命名，即第一个数组命名为A，第二个数组命名为B。计算时先选定矩阵计算结果的输出域，3×3的矩阵，输出仍是3×3个单元格，然后输入公式，公式前必须加上=号，例如=A ＋B、=A－B、=A＊B等。A＋B、A－B数组运算和矩阵运算没有区别，“=A＊B”是数组相乘计算公式，而“=MMULT(A，B)”则是矩阵相乘计算公式，“=A/B”是数组A除数组B的计算公式，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A,MINVERSE(B))”。公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。图1中的数组乘除写作A＊B、A/B，矩阵乘除写作A·B、A÷B，以示区别。
三、矩阵计算的应用
下面让我们来计算一个灰色预测模型。
灰色预测是华中理工大学邓聚龙教授创立的理论，其中关键的计算公式是计算微分方程＋B1x=B2的解，{B1，B2}=(X T X)－1(X T Y)，式中：XT是矩阵X的转置。
作为例子，已知X={-45.5 1，-79 1，-113.5 1，-149.5 1}Y={33，34，35，37}
在Excel表格中，{B2：C5}输入X，{E2：H3}输入X的转置。处理转置的方法是：选定原数组{B2：C5}，点“编辑”菜单的“复制”，再选定数组转置区域{E2：H3}，点“编辑”菜单的“选择性粘贴”，再点“转置”即可。{J2：J5}输入Y，然后选取{L2：L3}为B1、B2的输出区域，然后输入公式：=MMULT(MINVERSE(MMULT(E2:H3,B2:C5)),MMULT(E2:H3,J2:J5))
公式输入完毕，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，B1、B2的答案就出来了，如图2。
如果计算的矩阵更复杂一些，就必须分步计算。不过，使用Excel也是很方便的。
Excel矩阵代数计算
作者：XLFinance 来源：XLFinance 打印邮寄返回
Excel中除了基于纯量的计算函数外，同时还有许多矩阵运算函数，通过这些这些函数，可以直观、快速的完成一些复杂的计算。本例将全面介绍如何在工作表中进行矩阵运算。
矩阵类型
矩阵的基本类型包括行向量、列向量和矩阵，这些形式在工作表中都可以得到直观地展现，如：
矩阵和纯量的算术运算
矩阵和纯量的运算要求矩阵中的每个元素和纯量一一运算，在工作表中只需将该纯量设定为绝对引用后通过Ctrl+Enter即可完成计算，如C29为纯量，C31:E33为3*3矩阵，将二者相乘只需选定结果区域后选择矩阵的第一个元素C31和纯量C29相乘，而后将C29设定为绝对应用，即$C$29，之后按Ctrl+Enter，即在选定区域中返回计算结果：
矩阵加法
矩阵相加和普通工作表计算一样，首先选定区域H43:I47，而后输入公式“=B43+E43”，即矩阵A和B的首个元素相加，之后按Ctrl+Enter返回结果。
矩阵转置
矩阵转置在Excel中通过函数Transpose完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=Transpose(原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵为4行3列，则选定的结果区域需为3行4列方可返回全部转置结果，由于Transpose函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
返回结果如下：
矩阵乘法
矩阵乘法在Excel中通过函数MMult完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=MMult(矩阵A，矩阵B)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵分别为2行2列和2行3列，则选定的结果区域需为2行3列方可返回全部结果，即要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数。由于MMult函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
矩阵逆运算
矩阵求逆在Excel中通过函数MInverse完成，操作方法是先选定结果区域，而后在公式栏输入“=MInverse (原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵大小设定，如原始矩阵为4行4列，则选定的结果区域需为4行4列方可返回全部结果。由于MInverse函数属于数组函数，输入公式后按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
对矩阵逆运算结果可进一步验证其结果，将矩阵和逆矩阵相乘，其结果应为单元矩阵，运用前述乘法公式可完成：
矩阵运算的应用：方程组求解
利用矩阵计算功能，可以完成多元方程组的求解，假定方程组及其矩阵表示如下：
显然，未知数X等于系数矩阵的逆矩阵和Y向量的矩阵相乘，由此使用嵌套函数MInverse和MMult即可完成求解。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
MatrixEponenential-指数矩阵计算
is invertible then .
symmetric, and that if X is skew-symmetric then e X is orthogonal. exp(X*) = (e X)*, where X* denotes the conjugate transpose of X. It follows that if X is Hermitian then e X is also Hermitian, and that if X is skew-Hermitian then e X is unitary. Linear differential equations One of the reasons for the importance of the matrix exponential is that it can be used to solve systems of linear ordinary differential equations. Indeed, it follows from equation (1) below that the solution of where A is a matrix, is given by The matrix exponential can also be used to solve the inhomogeneous equation See the section on applications below for examples. There is no closed-form solution for differential equations of the form where A is not constant, but the Magnus series gives the solution as an infinite sum. The exponential of sums We know that the exponential function satisfies e x + y = e x e y for any numbers x and y. The same goes for commuting matrices: If the matrices X and Y commute (meaning that XY = YX), then However, if they do not commute, then the above equality does not necessarily hold. In that case, we can use the Baker-Campbell-Hausdorff formula to compute e X + Y. The exponential map Note that the exponential of a matrix is always a non-singular matrix. The inverse of e X is given by e-X. This is analogous to the fact that the exponential of a complex number is always nonzero. The matrix exponential then gives us a map from the space of all n×n matrices to the general linear group, i.e. the group of all non-singular matrices. In fact, this map is surjective which means that every non-singular matrix can be written as the exponential of some other matrix (for this, it is essential to consider the field C of complex numbers and not R). The matrix logarithm gives an inverse to this map. For any two matrices X and Y, we have
扫描矩阵键盘简介以及其FPGA设计思路
扫描键盘的设计思想和代码技巧非常值得学习。 首先扫描键盘可以节省FPGA 的引脚资源，例如一个4x4的扫描键盘有16个按键，如果不用扫描方式而是直接把16跟控制线接入FPGA ，就要16个引脚，而用扫描方式只需要4+4=8个引脚。尤其是随着键盘的增大，比如8x9=72的键盘，用扫描方式只需要17个引脚。 要想了解扫描键盘的原理，首先要知道矩阵键盘的电路结构。 如上图所示，矩阵键盘的某一个按钮按下会使对应的一条行线和列线导通，为了便于分析扫描过程做如下简化： 3.3v Row0 Row1 Row2 Row3 Col 0 Col 1 Col 2 Col 3 Row0 Row1 Row2 Row3 Col 0 Col 1 Col 2 Col 3 3 5 A E D C 2 B 9 8 F 4 6 0 1 7 接高电平 由FPGA 输出给键盘高低电平的组合，即是扫描码 键盘行线 高低电平的变化输入给FPGA
扫描键盘的工作状态分为两种： 第一种状态是判断是否有键按下，该状态下四根列线对应的电平状态是{col 0,col 1,col 2,col 3}=0000 。四根行线左端都接高电平，没有键被按下时，四根行线右端的状态是{row0,row1,row2,row3}=1111 。假如上图中按键3被按下了，也就是说row0和col 0接通了。那么四根行线右端的状态将会是{row0,row1,row2,row3}=0111 。也就是说，在第一种状态下，只要键盘行线输入FPGA的状态不是1111，就说明有键被按下了。马上进入第二状态。 第二种状态是判断具体哪个键被按下了。该状态下四根行线左端接高电平不变，四根列线对应的电平状态不断变化，由FPGA的输出的扫描码控制四根列线的电平状态。由第一状态的行线输入已经可以确定按键所处的行了。接下来只要再确定按键所处的列就可以确定到底哪个键被按下了。 如何根据行线的输入确定按键所处的列，奥妙就在于扫描码了。让列线以1000、0100、0010、0001的电平状态不断循环。假设上一状态确定按键处于row0行，那么随着扫描的进行，行线输入的变化规律如下表： 1000 0100 0010 0001 1000 0100 0010 0001 1000 0100 0010 0001 扫描 码 Row0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Row1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Row2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Row3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 观察上表可以发现，在row0是1的时候与之对应的扫描码可以体现出按键所在列。 一个随之而来的设计思路是在第一状态确定按键所在行，然后在第二状态捕捉特定行是高电平的时候所对应的扫描码。 但是这里有一个不可避免的实际问题，那就是机械键盘的抖动！这种抖动主要体现在两个方面：第一，我们手指按某个键的时候可能由于接触面积大无意中碰到周围的键。第二，在按着一个键的时候由于力度不均或者接触不良，行线和列线并不能时刻保持接通的状态。下图来自网络上，描述的是单片机的机械键盘，借用一下。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
基于msc51单片机实现的四位4乘4矩阵键盘计算器的C语言程序及其PROTUES电路和仿真
单片机原理及接口技术 课程设计报告 设计题目：计算器设计 学号：100230205 姓名：费博文 指导教师：张扬 信息与电气工程学院 二零一三年七月
计算器设计 单片机体积小，功耗小，价格低，用途灵活，无处不在，属专用计算机。是一种特殊器件，需经过专门学习方能掌握应用，应用中要设计专用的硬件和软件。近年来，单片机以其体积小、价格廉、面向控制等独特优点，在各种工业控制、仪器仪表、设备、产品的自动化、智能化方面获得了广泛的应用。与此同时，单片机应用系统的可靠性成为人们越来越关注的重要课题。影响可靠性的因素是多方面的，如构成系统的元器件本身的可靠性、系统本身各部分之间的相互耦合因素等。其中系统的抗干扰性能是系统可靠性的重要指标。 数学是科技进步的重要工具，数据的运算也随着科技的进步越发变得繁琐复杂，计算器的出现可以大大解放人在设计计算过程中的工作量，使计算的精度、速度得到改善，通过msc51单片机，矩阵键盘和LED数码管可以实现简单的四位数的四则运算和显示，并当运算结果超出范围时予以报错。 注：这一部分主要描述题目的背景和意义，对设计所采取的主要方法做一下简要描述。字数不要太多，300-500字。 另注：本文要当做模板使用，不要随意更改字体、字号、行间距等，学会使用格式刷。文中给出的各项内容都要在大家的报告中体现，可采用填空的方式使用本模板。 1. 设计任务 结合实际情况，基于AT89C51单片机设计一个计算器。该系统应满足的功能要求为： (1) 实现简单的四位十进制数字的四则运算； (2) 按键输入数字，运算法则； (3) LED数码管移位显示每次输入的数据和运算结果； (4) 当运算结果超出范围时实现报错。 主要硬件设备：AT89C51单片机、LED数码管、矩阵键盘。 注：这一部分需要写明系统功能需求，用到的主要硬件（参考实验箱的说明书）。
求矩阵的基本运算
求矩阵的基本运算 #include 《微处理器系统与接口技术》课程实践报告 计算器 班级： 学号： 学生姓名： 指导老师： 日期： 2014.7.5 ******电子与信息工程学院 目录 1、设计题目:计算器 (3) 2、设计目的 (3) 3、计算器总体设计框图 (3) 4、计算器详细设计过程 (4) 4.1输入模块 (4) 4.2键盘输入电路 (5) 4.3主程序模块 (6) 5、分析与调试 (6) 7、运行结果 (8) 8、结束语 (8) 8、参考文献 (8) 9、源程序附录 (9) 9.1主程序 (9) 9.2延时函数delay (12) 9.3显示函数display (12) 9.4键盘扫描函数 (14) 9.5预定义函数 (15) 1、设计题目:计算器 2、设计目的 此次课程实践题目是基于单片机简单计数器的设计，本此设计使用的是Intel公司MCS-51系列的8051AH单片机。设计的计算器可以实现2位小数的加、减、乘、除运算以及整数的乘方运算，其中用4*4矩阵键盘来输入待参与运算的数据和运算符；八位数码管动态显示输入待参与运算的数据以及运算后产生的结果，每个硬件模块的调用过程中涉及到了函数入口及出口参数说明，函数调用关系描述等。 3、计算器总体设计框图 计算器以MCS-51系列的8051AH单片机作为整个系统的控制核心，应用其强大的I/O功能和计算速度，构成整个计算器。通过矩阵键盘输入运算数据和符号，送入单片机进行数据处理。经单片机运算后控制LED数码管的输出。整体框图如图1所示： 图3 整体框图 本系统硬件主要由矩阵键盘、独立键盘I/O输入输出、数码管显示等主要部分组成。各模块的主要功能如下： (1)矩阵键盘将十六进制编码的数字送到单片机。 (2) 单片机扫描键盘信号并接收，对输入的键盘信号进行处理 (3) LED以动态扫描的方式移位显示每次输入的数据和最后的运算结果。实践设计的具体流程图如下图2所示： 实验三 用MATLAB 计算矩阵指数函数 1、实验设备 MATLAB 软件 2、实验目的 ① 学习线性定常系统齐次状态方程的解理论、掌握矩阵指数函数的计算方法； ② 通过编程、上机调试，计算矩阵指数函数。 3、实验原理说明 矩阵指数函数的计算问题有两类： ① 数值计算，即给定矩阵A 和具体的时间t 的值，计算矩阵指数e At 的值； ② 符号计算，即在给定矩阵A 下，计算矩阵指数函数e At 的封闭的(解析的)矩阵函数表达式。 数值计算问题可由基本的Matlab 函数完成，符号计算问题则需要用到Matlab 的符号工具箱。 4、实验步骤 ① 根据所给系统矩阵A ，依据线性定常系统齐次状态方程的解理论，采用MATLAB 编程。 ② 在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。在Matlab 中有3个计算矩阵指数e At 的函数，分别是expmdemo1(),expmdemo2()和expmdemo3()。 习题1：试在Matlab 中计算矩阵A 在t=0.3时的矩阵指数e At 的值。 （1） 将其输入到MATLAB 工作空间； （2） 计算出在t=0.3时矩阵指数函数。 Matlab 程序如下： A=[0 1; -2 -3]; t=0.3; eAt=expm(A*t) 0123A ??=??--?? 习题2：试在Matlab 中计算矩阵A 的矩阵指数e At 。 （1） 将其输入到MATLAB 工作空间； （2） 计算出在时刻t 时矩阵指数函数。 Matlab 程序如下： syms t ; A=[0 1;-2 -3]; eAt=expm(A*t) 0123A ?? =??--?? 长沙学院 《单片机原理及应用》 课程设计说明书 题目液晶显示4*4矩阵键盘按键号 程序设计 系(部) 电子与通信工程系 专业(班级) 电气1班 姓名龙程 学号2011024109 指导教师刘辉、谢明华、王新辉、马凌 云 起止日期2014.5.19—2014.5.30 长沙学院课程设计鉴定表 《单片机技术及应用》课程设计任务书系(部)：电子与电气工程系专业：11级电子一班指导教师：谢明华、刘辉 目录 前言 (5) 一、课程设计目的 (6) 二、设计内容及原理 (6) 2.1 单片机控制系统原理 (6) 2.2阵键盘识别显示系统概述 (6) 2.3键盘电路 (7) 2.4 12864显示器 (8) 2.5整体电路图 (9) 2.6仿真结果 (9) 三、实验心得与体会 (10) 四、实验程序 (10) 参考文献 (18) 前言 单片机，全称单片微型计算机（英语：Single-Chip Microcomputer），又称微控制器 应（不用外接硬件）和节约成本。它的最大优点是体积小，可放在仪表内部，但存储量小，输入输出接口简单，功能较低。由于其发展非常迅速，旧的单片机的定义已不能满足，所以在很多应用场合被称为范围更广的微控制器；从上世纪80年代，由当时的4位、8位单片机，发展到现在的32位300M的高速单片机。现代人类生活中所用的几乎每件有电子器件的产品中都会集成有单片机。手机、电话、计算器、家用电器、电子玩具、掌上电脑以及鼠标等电子产品中都含有单片机。汽车上一般配备40多片单片机，复杂的工业控制系统上甚至可能有数百片单片机在同时工作!单片机的数量不仅远超过PC机和其他计算机的总和，甚至比人类的数量还要多。 是以电流刺激液晶分子产生点、线、面配合背部灯管构成画面。由一定数量的彩色或黑白像素组成，放置于光源或者反射面前方。液晶显示器功耗低，因此倍受工程师青睐，适用于使用电池的电子设备。英国科学家在上世纪制造了第一块液晶显示器即LCD。而第一台可操作的LCD基于动态散射模式(Dynamic Scattering Mode,DSM)，是RCA公司乔治·海尔曼带领的小组开发的。 LED点阵屏通过LED(发光二极管）组成，以灯珠亮灭来显示文字、图片、动画、视频等，是各部分组件都模块化的显示器件，通常由显示模块、控制系统及电源系统组成。LED点阵显示屏制作简单，安装方便，被广泛应用于各种公共场合，如汽车报站器、广告屏以及公告牌等。 交叉处不直接连通，而是通过一个按键加以连接。这样，一个端口（如P1口）就可以构成4*4=16个按键， 键盘是合理的。 几种矩阵完备算法的研究与实现 ——《矩阵分析》课程仿真作业报告* 刘鹏飞 电?系2016210858 摘要 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵恢复可以通过 求解?个与核范数有关的凸优化问题来实现。由此诞?了许多矩阵恢复的算 法，?如FPC算法等。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度较慢。在此基 础上，APG算法经过改进，能够提升迭代速度。但最?化核范数并不是求解 矩阵完备问题的唯??法，其中OptSpace算法构造了?个在流形上的优化问 题，相?于前两种算法能够以更?的精度恢复出原始矩阵。本?主要总结了 FPC、APG和OptSpace三种算法的步骤。特别地，对于OptSpace算法，本 ?提出了求解其中两个?优化问题的具体算法。最后，本?通过仿真实验和理 论分析?较了三种算法的特点，并给出了OptSpace算法的精度?于APG算 法的解释。 关键词：矩阵完备，核范数，FPC，APG，OptSpace 1介绍 1.1矩阵完备及其算法综述 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵完备可以描述成这样?个问题：对于?个m×n的矩阵M，其秩为r，我们只有对M中的部分采样，记*报告中所涉及到的仿真代码可在https://https://www.wendangku.net/doc/2117456967.html,/s/1jHRcY8m下载 1 这些采样位置组成的集合为?，那么是否有可能从已知的部分元素中恢复出整个矩阵M。假如M为低秩矩阵，并且已知的元素?够多并且?够均匀地分布在整个矩阵中，那么我们可以通过解如下优化问题来恢复出原始矩阵[1]： min rank(W) s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-1)但是，问题(1-1)是?个NP难的?凸问题。在?定条件下，问题(1-1)可以转化成?个最?化核范数的问题。对于矩阵W m×n，W的核范数定义为其奇异值之和，即 ∥W∥?=min(m,n) ∑ k=1 σk(W)(1-2) 其中，σk(W)表?W第k?的奇异值。问题(1-1)可以转化成： min∥W∥? s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-3)对于(1-3)中带等式约束的问题，进?步地，可以将它凸松弛成?个?约束的 优化问题[2][3][4]： min 1 2 ∥A(W)?b∥22+μ∥W∥?(1-4) 其中，b是由矩阵中采样位置对应的元素组成的p×1维向量，p=|?|（|·|表?集合的势）；A:R m×n?→R p是?个线性映射，A(W)=(W ij)|(i,j)∈?；μ是?个可以调整的参数。 对于(1-4)中的?约束问题，?献[2][3]分别提出了Fixed Point Continuation （FPC）和Singular Value Thresholding（SVT）的算法。本?认为，这两种算法虽然出发点不同，但其实质都是梯度下降法，没有本质的差别，在算法实现上也基本?样。因此，本?只研究其中?种，即FPC算法。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度慢，效率不?。在此基础上，?献[4]做出了改进，提出?种Accelerated Proximal Gradient Singular Value Thresholding（APG）算法（该算法是在SVT算法上改进的，本?认为FPC和SVT实质上是?种算法，故不做区别），能够?幅度地提?收敛速度。 前?提到的?种算法，都是从(1-1)中的最?化秩的问题出发，经过?步步凸松弛得到的。与上述基本思路不同，?献[5]提出了OptSpace算法，它实质上是通过解另?种优化问题来实现矩阵完备： min F(W)= ∑ (i;j)∈? ∥M ij?W ij∥2 s.t.rank(W)=r(1-5) 实验五矩阵键盘实验 一、实验内容 1、编写程序，做到在键盘上每按一个数字键(0－F)用发光二极管将该代码显示出来。按其它键退出。 2、加法设计计算器，实验板上有12个按键，编写程序，实现一位整数加法运算功能。可定义“A”键为“+”键，“B”键为“=”键。 二、实验目的 1、学习独立式按键的查询识别方法。 2、非编码矩阵键盘的行反转法识别方法。 三、实验说明 1、MCS51系列单片机的P0～P3口作为输入端口使用时必须先向端口写入“1”。 2、用查询方式检测按键时，要加入延时(通常采用软件延时10～20mS)以消除抖动。 3、识别键的闭合，通常采用行扫描法和行反转法。行扫描法是使键盘上某一行线为低电平，而其余行接高电平，然后读取列值，如读列值中某位为低电平，表明有键按下，否则扫描下一行，直到扫完所有行。 行反转法识别闭合键时，要将行线接一并行口，先让它工作在输出方式，将列线也接到一个并行口，先让它工作于输入方式，程序使CPU通过输出端口在各行线上全部送低电平，然后读入列线值，如此时有某键被按下，则必定会使某一列线值为0。然后，程序对两个并行端口进行方式设置，使行线工作于输入方式，列线工作于输出方式，并将刚才读得的列线值从列线所接的并行端口输出，再读取行线上输入值，那么，在闭合键所在行线上的值必定为0。这样，当一个键被接下时，必定可以读得一对唯一的行线值和列线值。 由于51单片机的并口能够动态地改变输入输出方式，因此，矩阵键盘采用行反转法识别最为简便。 行反转法识别按键的过程是：首先，将4个行线作为输出，将其全部置0，4个列线作为输入，将其全部置1，也就是向P1口写入0xF0；假如此时没有人按键，从P1口读出的值应仍为0xF0；假如此时1、4、7、0四个键中有一个键被按下，则P1.6被拉低，从P1口读出的值为0xB0；为了确定是这四个键中哪一个被按下，可将刚才从P1口读出的数的低四位置1后再写入P1口，即将0xBF写入P1口，使P1.6为低，其余均为高，若此时被按下的键是“4”，则P1.1被拉低，从P1口读出的值为0xBE；这样，当只有一个键被按下时，每一个键只有唯一的反转码，事先为12个键的反转码建一个表，通过查表就可知道是哪个键被按下了。 四、接线方法 键盘连接成4×4的矩阵形式，占用单片机P1口的8根线，行信号是P1.0-1.3,列信号是P1.4-1.7。 1 4×4矩阵式键盘识别显示系统概述 矩阵式键盘模式以N个端口连接控制N*N个按键，实时在LED数码管上显示按键信息。显示按键信息，既降低了成本，又提高了精确度，省下了很多的I/O 端口为他用，相反，独立式按键虽编程简单，但占用I/O口资源较多，不适合在按键较多的场合应用。并且在实际应用中经常要用到输入数字、字母、符号等操作功能，如电子密码锁、电话机键盘、计算器按键等，至少都需要12到16个按键，在这种情况下如果用独立式按键的话，显然太浪费I/O端口资源，为了解决这一问题，我们使用矩阵式键盘。 矩阵式键盘又称行列键盘，它是用N条I/O线作为行线，N条I/O线作为列线组成的键盘。在行线和列线的每个交叉点上设置一个按键。这样键盘上按键的个数就为N×N个。这种行列式键盘结构能有效地提高单片机系统中I/O口的利用率。 最常见的键盘布局如图1.1所示。一般由16个按键组成，在单片机中正好可以用一个P口实现16个按键功能，这也是在单片机系统中最常用的形式，本设计就采用这个键盘模式。 图1.1 键盘布局 2系统主要硬件电路设计 2.1单片机控制系统原理 图2.1 单片机控制系统原理框图 2.2单片机主机系统电路 AT89C52单片机是51系列单片机的一个成员，是52单片机的简化版。内部自带2K字节可编程FLASH存储器的低电压、高性能COMS八位微处理器，与Intel MCS-52系列单片机的指令和输出管脚相兼容。由于将多功能八位CPU和闪速存储器结合在单个芯片中，因此，AT89C52构成的单片机系统是具有结构最简单、造价最低廉、效率最高的微控制系统，省去了外部的RAM、ROM和接口器件，减少了硬件开销，节省了成本，提高了系统的性价比。 图2.2 单片机主机系统图 一、Excel的数组、数组名和矩阵函数的设置 1 矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。 2 Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。例如A={A1：C3}、B={E1:G3}等。数组名的设置步骤是：选定数组域，点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组名如A或B等，单击“确定”即可。 3 矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。常用的矩阵函数有MDETERM(计算一个矩阵的行列式)、MINVERSE(计算一个矩阵的逆矩阵)、MMULT(计算两个矩阵的乘积)、SUMPRODUCT(计算所有矩阵对应元素乘积之和)……函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，或点击fx图标，然后选择“粘贴函数”中相应的函数输入。 二、矩阵的基本计算 数组计算和矩阵计算有很大的区别，我们用具体例子说明。 已知A={3 -2 5，6 0 3，1 5 4}，B={2 3 -1，4 1 0，5 2 -1}，将这些数据输入Excel相应的单元格，可设置成图1的形状，并作好数组的命名，即第一个数组命名为A，第二个数组命名为B。计算时先选定矩阵计算结果的输出域，3×3的矩阵，输出仍是3×3个单元格，然后输入公式，公式前必须加上=号，例如=A ＋B、=A－B、=A＊B等。A＋B、A－B数组运算和矩阵运算没有区别，“=A＊B”是数组相乘计算公式，而“=MMULT(A，B)”则是矩阵相乘计算公式，“=A/B”是数组A除数组B的计算公式，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A,MINVERSE(B))”。公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。图1中的数组乘除写作A＊B、A/B，矩阵乘除写作A·B、A÷B，以示区别。 三、矩阵计算的应用 下面让我们来计算一个灰色预测模型。 灰色预测是华中理工大学邓聚龙教授创立的理论，其中关键的计算公式是计算微分方程＋B1x=B2的解，{B1，B2}=(X T X)－1(X T Y)，式中：XT是矩阵X的转置。 作为例子，已知X={-45.5 1，-79 1，-113.5 1，-149.5 1}Y={33，34，35，37} 在Excel表格中，{B2：C5}输入X，{E2：H3}输入X的转置。处理转置的方法是：选定原数组{B2：C5}，点“编辑”菜单的“复制”，再选定数组转置区域{E2：H3}，点“编辑”菜单的“选择性粘贴”，再点“转置”即可。{J2：J5}输入Y，然后选取{L2：L3}为B1、B2的输出区域，然后输入公式：=MMULT(MINVERSE(MMULT(E2:H3,B2:C5)),MMULT(E2:H3,J2:J5)) 公式输入完毕，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，B1、B2的答案就出来了，如图2。 如果计算的矩阵更复杂一些，就必须分步计算。不过，使用Excel也是很方便的。 /*----------------------------------------------- 名称：矩阵键盘依次输入控制使用行列逐级扫描 论坛：https://www.wendangku.net/doc/2117456967.html, 编写：shifang 日期：2009.5 修改：无 内容：如计算器输入数据形式相同从右至左使用行列扫描方法 ------------------------------------------------*/ #include 浅谈矩阵计算 一丶引言 矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。 作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。 矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。 无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。 二、矩阵的介绍与基本运算 由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计 矩阵的基本运算 （摘自：华东师范大学数学系；https://www.wendangku.net/doc/2117456967.html,/）§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍． §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B， 结果为 C=×== 即Matlab返回： C = 19 22 43 50 如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与 B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A则完全类似．A B和B A均为np ×mq矩阵，但一般情况下A B B A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘 法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B： A= B= 则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 单片机键盘计算器课程设 计 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 《单片机课程设计报告》 教学院： 专业班级： 学号： 学生姓名： 指导教师： 时间： 地点： 单片机课程设计任务书 一、课题名称 单片机课程设计 二、设计目的 为了进一步巩固学习的理论知识，增强学生对所学知识的实际应用能力和运用所学的知识解决实际问题的能力，开始为期两周的单片机课程设计。通过实训使学生在巩固所学知识的基础之上具有初步的单片机系统设计与应用能力。 三、设计内容 设计基于51单片机的简易计算器系统电路，并以该电路为基础进行编程，要求能够实现0－99之间的数进行加、减、乘、除运算的功能。 四、设计要求 1、设计简易计算器，要求能对0－99之间的数进行加、减、乘、除运算。 2、用4×4的键盘作为输入设备。 3、用LED或LCD进行显示。 4、编写无符号数加、减、乘、除运算、输入和显示的程序。 5、对系统的进行综合和调试，使其具有对0－99之间的数进行加、减、乘、除运算的功能。 6、编写课程设计的总结 六、设计报告 课程设计报告的基本内容至少包括封面、正文、附录三部分。课程设计报告要求统一格式，字体工整规范。 1、封面 封面包括“《单片机课程设计》课程设计报告”、班级、姓名、学号以及完成日期等。 2、正文 正文是实践设计报告的主体，具体由以下几部分组成： （1）课程设计题目； （2）课程设计任务与要求； （3）设计过程（包括设计方案、设计原理、创新点以及采用的新技术等）； （4）方案的比较与论证； （5）硬件电路设计，各个模块的设计与器件的选择； （6）软件程序的设计与调试； （7）课程设计总结（包括自己的收获与体会；遇到的问题和解决的方法；技术实现技巧和创新点；作品存在的问题和改进设想等）； 3．附录 附录1：系统设计原理图 附录2：系统硬件元器件清单 附录3：系统的程序 七、考核方式与成绩评定办法 （60分～69分）、60分以下为不及格。 八、参考书目 [1] 李朝青.单片机原理及接口技术（简明修订版）.杭州：北京航空航天大学出版社，1998 [2] 李广弟.单片机基础［Ｍ］.北京：北京航空航天大学出版社，1994 [3] 阎石.数字电子技术基础（第三版）. 北京：高等教育出版社，1989 [4] 廖常初.现场总线概述［J］.电工技术，1999. [5] 徐仁贵等编着.《单片微型计算机应用技术》.北京:机械工业出版社.2001年2月第1版 [6] 张毅刚等编着.《单片机原理及应用》. 北京：高等教育出版社.2004年1月第1版矩阵键盘简易计算器要点
实验三 用MATLAB计算矩阵指数函数
单片机课程设计4X4矩阵键盘显示要点
几种矩阵完备算法的研究与实现_矩阵分析仿真大作业
单片机 矩阵键盘实验 实验报告
矩阵键盘显示系统
矩阵计算
51单片机矩阵键盘扫描程序
浅谈矩阵计算
矩阵的基本运算
单片机键盘计算器课程设计