高三文数学辅导讲义 函数的单调性与奇偶性
班 高三 年级 文数 科辅导讲义（第 2 讲）
知识点1介绍：函数的单调性 知识点2介绍：函数的奇偶性
考点一 函数的单调性
一、 典型例题：
例题1．函数22(1)2y x a x =+-+在区间(,4)-∞上递减，则（ ）
A. 28a ≥
B. 128a ≤
C. 1
28
a ≥ D. 28a ≤
例题2．已知f (x )是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R
上的 函数（用“增”、“减”填空）.
例题3. 函数22x y x =-的图像大致是 （ ）
例题4．设0a >，函数 2()x
e f x x a
=+. Ⅰ)求函数 ()f x 的单调区间；
Ⅱ) 当12x =
时，函数 ()f x 取得极值，证明：对于任意的1213
,[,],22
x x ∈ 总有
12()()f x f x |-|≤
解.(Ⅰ)222222
(2)[(1)1]
'()()()x x e x a x e x a f x x a x a +--+-==++
⑴ 当1a ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；
⑵ 当
01a <<时，令()0f x '>，即2(1)10x a -+->，解得11x x <>或因此，函数
()f x 在区间 (,1-∞内单调递增，在区间 (1)+∞内也单调递增.
令2()0,(1)10f x x a '<-+-<即，解得11x <因此，函数
()f x 在区间 （1内单调递减.
（Ⅱ）当1
2x =时，函数()f x 取得极值，即 1'()0,2f =211()2022a ∴+-?=，3.4
a ∴= 由(Ⅰ)()f x 在1(,)2-∞单调递增，在3(1,)2单调递减，3(,)2
+∞单调递增.
()f x 在12x =
时取得极大值1()2f =；()f x 在3
2
x =时取得极小值3()2f =
故在13
[,]22上，()f x 的最大值是1()2f =，最小值是3()2f =
对于任意的
1213,[,],22
x x ∈12()()f x f x |-|≤
二、总结分析：
1、对于基本初等数的单调性，应结合各自的图象加以理解记忆；
2、函数的单调性的判断有两种方法：定义法、导数法；
⑴ 单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈?? 当21x x <时
)0(0)()(21><-x f x f
)0(0)]()()[(2121<>--?x f x f x x )0(0)()(2
121<>--?x x x f x f ；
（2）导数法: 函数y=f(x)在某区间内可导,
若
0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;
若0)(<'x f ,则f(x)递减;
（3） 复合函数由同增异减判定,别忘记分析定义域 . 3、抽象函数的单调性往往结合定义和图象去分析。
三、巩固练习题：
1． 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 （ ）
A. x y 2log =
B. cos y x =
C. 21
y x
= D . ln y x = 2. )1(x x y -=在区间A 上是增函数,则A 是( )
),2
1
(.)
,0[.]
2
1,0[.)
0,(.+∞+∞-∞D C B A
3. 若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围
是 .
4. 函数f (x )对任意的a 、b ∈R,都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1,并且当x ＞0时，f (x )＞1.
（1）求证：f (x )是R
（2）若f (4)=5,解不等式f (3m 2-m -2)＜3.
4. 解 ： （1）设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,
则x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＞1.
f (x 2)-f (x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f (x 1)
=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1＞0. ∴f （x 2）＞f (x 1).即f (x )是R 上的增函数。 （2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5
∴f （2）=3， ∴原不等式可化为f (3m 2-m -2)＜f (2),
∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2-m -2＜2, 解得-1＜m ＜3
4,故解集为（-1, 3
4）.
四、拓展练习题：
1. 设实数x 满足22log 0x x +=，则（ ）.
A. 21x x <<
B. 12x x <<
C. 12x x <<
D. 12x x << 2. 已知1,1,log log >=+>x b a x x b a , 则 ( )
A. 0 B. 0 C. 0 D. 0 3.函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调递减区间是 . 4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1) （2）判断f(x （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 解 ：（1）令x 1=x 2＞0, f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则2 1 x x ＞1, 由于当x ＞1时，f(x)＜0,f )(2 1x x ＜0,即f(x 1)-f(x 2)＜0, 因此f(x 1)＜f(x 2),f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f( 2 1x x )=f(x 1)-f(x 2) f()3 9=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 由于函数f(x)在区间（0,+ 由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x|x ＞9或x ＜-9}. 考点二 函数的奇偶性 一、 典型例题： 例1. 函数lg(y x =+- （ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数 例题2. 函数()1x x f x a a -=++，()x x g x a a -=-，其中0a >，1a ≠，则 （ ） A ．()f x 、()g x 均为偶函数 B ．()f x 、()g x 均为奇函数 C ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 例题3．函数f （x ）=x 3+sinx+1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 . 二、 总结分析： 1．奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称； （2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 2．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 3．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 奇函数在对称区间内单调性相同; 偶函数在对称区间内单调性相反; 4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=， () 1() f x f x =±-． 5．设()f x ，() g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶 ，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇． 6、 图形变换: y=f(x)→y=|f(x)|,把ｘ轴上方的图象保留,ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称; y=f(x)→y=f(|x|),把ｙ轴右边图象保留,并将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称. 7、恒成立问题: 常转化为求函数的最值,若能参变分离则分离。步骤： ① 分离参数; ② 求最值; a ≥f(x)恒成立?a ≥[f(x)]max,; a ≤f(x)恒成立 ?a ≤[f(x)]min ; 三、巩固练习题： 1. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，12 ()log (2)f x x =+，则(2)f -＝______ 2. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且1 (21)()0.2 f x f -+< 则x 的取值范围为 A.1(,)4-∞ B.1(,)4+∞ C.3(,)4-∞ D.3 (,)4 +∞ 3. 已知f （x ）= 1 22)12(+-+x a 是奇函数，则实数a 的值为 . 4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，若函数 ()1)f x x =<≤，则( 5.5)f -（ ） A B ．1.5 C ．D ． 1.5- 四、拓展练习题： 1、设ax x f x ++=)110lg()(是偶函数，x x b x g 24)(-=是奇函数，那么b a +的值为_______ 2、观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在上的函数 ()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= ( ) A ．()f x B.()f x - C.()g x D.()g x - 3．过原点的直线与函数x y 2=的图象交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图象于 点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 （ ） A ．)2,1( B ．)4,2( C ．)2,2 1 ( D ．)1,0( 4．右下图是函数b ax x x f ++=2)(的部分图象， 则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间 是（ ） A ．11(,)42 B ．(1,2) C ．1(,1)2 D ．(2,3) 5.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x-1）， 若f （0）=2，则f （2 008）的值为 . 6.已知函数y=f(x)的定义域为R ，且对任意a,b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)， 且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3. (1) 证明：函数y=f(x)是 R （2）证明：函数 y=f(x) （3）试求函数y=f(x)在［m,n ］（m,n ∈Z ）上的值域. 6.答案：（1）证明 设?x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2,f(x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f(x 1)+f(x 2-x 1). ∵x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＜0.∴f(x 2)=f(x 1)+f(x 2-x 1)＜f(x 1 ). 故f(x)是R 上的减函数. （2）证明 ∵f （a+b ）=f （a ）+f （b ）恒成立， ∴可令a=-b=x,则有f （x ）+f （-x ）=f （0 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 从而?x ∈R ，f （x ）+f （-x ）=0f （-x ）=-f （x ）.故y=f(x)是奇函数. （3）解 ： 由于y=f(x)是R ∴y=f （x ）在［m ，n ］上也是减函数， 故f(x)在［m ，n ］上的最大值f(x)max =f(m),最小值f(x)min =f(n). 由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1). 又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m, f(n)=-n. ∴函数y=f(x)在［m,n ］上的值域为［-n,-m ］. 第2讲课后作业 函数的单调性与奇偶性限时练习 （时间：60分钟 分值：100分） 一、选择题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，每小题的四个选项中只 有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数中满足n x f nx f )]([)(=的是 ( ) A.2)(x x f = x x f D x x f C a a a x f B x sin )(.lg )(.) 1,0()(.==≠>= 2. 函数2 lg(1)1y x =-+的图象关于（ ）对称 A. x 轴 B. y 轴 C. 原点 D. 直线y x = 3. 设函数2222y x ax a =++在区间(2,a ?-∞?上递减，则a 的取值范围是（ ） A. [1,0]- B. (] [),10,-∞-+∞ C. (],1-∞- D. [)0,+∞ 4. 若()y f x =的定义域为[]0,1，则()()(2)(01)g x f x a f x a a =+++<< 的定义域为（ ） A. [,1]2 a a -- B. 1,22a a -??-???? C. [,1]a a -- D. 1,2a a -??-?? ? ? 5. 设函数f (x )是定义域为R ，且以3为 周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2 ) = a ，则（ ） A ．a ＞2 B ．a ＜－2 C ．a ＞1 D ．a ＜－1 二.填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分） 6.关于函数f(x)=2x -2-x (x ∈R) ①f(x)的值域为R f(x)是R ③对任意x ∈R,有f(-x)+f(x)=0成立. 其中正确结论的序号是 . 7.已知f(x)=?? ?≥<+-) 1(log )1(4)13(x x x a x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 8.若函数f(x)=(m-1)x 2+mx+3 (x ∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是 . 9.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值 范围是 . 10.已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数； ②若f(x)为增函数，则函数g(x)= ) (1 x f 在其定义域内为减函数； ③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间（a,b ）上的增函数； ④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则) () (x g x f 在（a,b)上 是递增函数.其中命题正确的是 （填序号） 11.已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是_____ （填序号）. ① y=f(|x|); ② y=f(-x); ③ y=x ·f(x); ④ y=f(x)+x. 12.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)=2x -3，则f(-2)= . 13.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则在R 上f(x)的表达式为 . 14.f(x)、g(x)都是定义在R 上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b, 则F(-a)= . 三、解答题（本大题共2个小题，每小题15分,共30分） 15.已知函数x x f ln )(=. (1) 若)()()(R a x a x f x F ∈+=,求)(x F 的极大值； (2) 若[]kx x f x G -=2 )()(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围。 16．设函数322()31()f x ax bx a x a b =+-+∈R ，在1x x =，2x x =处取得极值， 且122x x -=． （Ⅰ）若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求b 的取值范围． 参考答案 一. 选择题：BCABD. 二、填空题: 6. ①②③ ； 7.［7 1，3 1）；8.［0，+∞）；9.(-)3 2,2110. ① ； 11. ②④ ； 12.-1; 13. f(x)=x(|x|-2); 14.-b+4 三、解答题答案: 15. 解：（1）x a x x a x f x F +=+= ln )()( 的定义域为),0(+∞∈x ， 2 ln )1()('x x a x F --= ∴ 令a e x x F -==1,0)('得， 由a e x x F -<<>10,0)('得，由a e x x F -><1,0)('得， 即） ，在（a e x F -10)(上单调递增，在），（∞+-a e 1上单调递减， a e x -=∴1时，)(x F 取得极大值1 111)(---=+-= a a a e e a a e F 。 （2）kx x x G -=2)(ln )( 的定义域为),0(+∞∈x k x x x G -= ∴ln 2)('. 由)(x G 在定义域内单调递减知：0ln 2)('≤-=k x x x G 在),0(+∞∈x 内恒成立. 令k x x x H -= ln 2)(,则.) ln 1(2)('2x x x H -= 由e x x H ==得0)('. )(,0)('0x H x H e x >∈）时，，（当 为增函数； )(,0)(',x H x H e x <+∞∈）时，（当为减函数； )(x H e x 时，当=∴取最大值k e e H -=2 )(. 故只需02≤-k e 恒成立，e k 2≥∴. 16．解：22()323f x ax bx a '=+-． ① （Ⅰ）当1a =时，2()323f x x bx '=+-； 由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根， 所以123 x x -=． 由122x x -=，得0b =．从而13)(3+-=x x x f ， 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-． 当(11) x ∈-，时，()0f x '<；当(1)(1)x ∈--+∞，，∞时，()0f x '>． 故()f x 在(11)-，单调递减，在(1)--∞，和(1)+，∞内单调递增-------7分 （Ⅱ）由①式及题意知12x x ，为方程22()323f x ax bx a '=+-0=的两根， 所以12x x -=．从而 221229(1)x x b a a -=?=-，知：01a <≤ --------10分 考虑令23()99g a a a =-，（01a <≤）， 则：22()1827273g a a a a a ? ?'=-=-- ???． 故()g a 在203?? ???，单调递增，在213?? ??? ，单调递减， 从而()g a 在(]01，的极大值为24 33g ??= ???, 又()g a 在(]01 ，上只有一个极值， 所以24 33g ??= ???为()g a 在(] 01，上的最大值，且最小值为(1)0g =． 所以2 403b ?? ∈????，，即b 的取值范围为??? ?--------15分 课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？ ○2能否看出函数的最大、最小值？ ○3函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 高一数学函数奇偶性练习题及答案解析 数学函数奇偶性练习题及答案解析 1.下列命题中，真命题是 A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数 B.函数y=x3x-10是奇函数，且在定义域内为增函数 C.函数y=x2是偶函数，且在-3,0上为减函数 D.函数y=ax2+cac≠0是偶函数，且在0,2上为增函数 解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性;B中，函数的定义域不关于原点对称;D中，当a<0时，y=ax2+cac≠0在0,2上为减函数，故选C. 2.奇函数fx在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f-6+f-3的值为 A.10 B.-10 C.-15 D.15 解析：选C.fx在[3,6]上为增函数，fxmax=f6=8，fxmin=f3=-1.∴2f-6+f-3=-2f6- f3=-2×8+1=-15. 3.fx=x3+1x的图象关于 A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 解析：选A.x≠0，f-x=-x3+1-x=-fx，fx为奇函数，关于原点对称. 4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数fx为奇函数，那么a=________. 解析：∵fx是[3-a,5]上的奇函数， ∴区间[3-a,5]关于原点对称， ∴3-a=-5，a=8. 答案：8 1.函数fx=x的奇偶性为 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称. 2.下列函数为偶函数的是 A.fx=|x|+x B.fx=x2+1x C.fx=x2+x D.fx=|x|x2 解析：选D.只有D符合偶函数定义. 3.设fx是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 A.fxf-x是奇函数 B.fx|f-x|是奇函数 C.fx-f-x是偶函数 D.fx+f-x是偶函数 解析：选D.设Fx=fxf-x 则F-x=Fx为偶函数. 设Gx=fx|f-x|， 则G-x=f-x|fx|. ∴Gx与G-x关系不定. 设Mx=fx-f-x， ∴M-x=f-x-fx=-Mx为奇函数. 设Nx=fx+f-x，则N-x=f-x+fx. Nx为偶函数. 4.已知函数fx=ax2+bx+ca≠0是偶函数，那么gx=ax3+bx2+cx A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 函数的单调性和奇偶性 教材复习 基本知识方法 1.奇偶函数的性质： ()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. 2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． 3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 4.判断函数的奇偶性的方法： ()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法； ()3性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇； 5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-． 6.判断函数的单调性的方法： （1）定义法；（2）图象法；（3）性质法：在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则①()()f x g x +为增函数；②()()f x g x 为增函数；③()1()0() f x f x >为减函数； ()()0f x ≥为增函数；⑤()f x -为减函数. 1．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数。 2．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是奇函数但不是减函数 C ．是减函数但不是奇函数 D ．不是奇函数也不是减函数 3．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2 52()23 (2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2 ++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 7．若函数2()1 x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =. 9．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 10．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域； 1、判断奇偶性：2211)(x x x f -+-= 2、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f 3、判断函数???<≥-=) 0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 4、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间 6、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何 7、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等 式()0 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f（x)=ax3+bx2+cｘ+d(ａ>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是（） A.ｂ2-4aｃ>0 ?Ｂ．b>0，c＞０ C.b=0,c>0 ??D．ｂ2-３ac<０ [答案] D [解析］∵a>0，f(x）为增函数， ∴ｆ′（ｘ)＝3ax2＋2bx+c>0恒成立， ∴Δ＝(2ｂ）2－4×3a×ｃ=4b2-1２ａｃ<0,∴b2-3ａｃ＜0． 2．(20０9·广东文,8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A.（－∞,2) ?B．(0，3) Ｃ.(1,4)???Ｄ．(２，+∞) ［答案]Ｄ ［解析] 考查导数的简单应用. ｆ′(x）＝（x-３)′eｘ+（ｘ-3)(ｅx)′=(x-２)e x, 令ｆ′（x)>0,解得x＞2，故选D. 3.已知函数ｙ=f（ｘ)（x∈R）上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x 2）(ｘ0+１)2,则该函数的单调递减区间为( ) ０－ A.［－1,＋∞)???B．（-∞，2] Ｃ．(-∞,-１)和(1,2)??D.［2，+∞) [答案］ B [解析] 令k≤0得ｘ0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调 减区间为(-∞,2]. 4.已知函数ｙ=xf′(ｘ)的图象如图(１)所示(其中f′（x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(） [答案] Ｃ [解析]当０ 《函数的奇偶性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的奇偶性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 函数是中学数学的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识起到了承上启下的作用。 二．教学目标 1．知识目标： 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2．能力目标： 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想． 3．情感目标： 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．三．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 四、教学方法 为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取： 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。 3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。 五、学习方法 1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。 2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 六．教学程序 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2()f x x = ()||1f x x =- 2 1()x x = x x x 通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）互动交流 研讨新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么 1.3.2函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x = y y y 0 x 通过讨论归纳：函数2 ()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数2 1()f x x = 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．判断下列函数是否是偶函数． （1）2()[1,2]f x x x =∈- （2）32 ()1 x x f x x -=- 解：函数2 (),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32 ()1 x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。 变式训练1 （1）、x x x f +=3)( （2）、1 1)1()(-+-=x x x x f （3）、2224)(x x x f -+-= 解：（1）、函数的定义域为R ，)()()()(33x f x x x x x f -=--=-+-=- 所以)(x f 为奇函数 （2）、函数的定义域为}11|{-≤>x x x 或，定义域关于原点不对称，所以)(x f 为非 奇非偶函数 （3）、函数的定义域为{-2，2},)()(0)(x f x f x f -===-,所以函数)(x f 既是奇函数 又是偶函数 例2．判断下列函数的奇偶性 （1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x = 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或． 解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数 点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 高一数学函数的奇偶性 提出问题 ① 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性 对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1 ?偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X，都有f( x) f (x)，那么f (x) 就叫做偶函数. 2 ?奇函数：一般地，对于函数 f (x)的定义域的任意一个x，都有f( x) f (x)，那么f (x) 就叫做奇函数. 1、如果函数y f (x)是奇函数或偶函数，我们就说函数y f (x)具有奇偶性；函数的奇偶性是函 数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) .如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶 函数且f(x) f (|x|)。奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数为奇函数? 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f( x) f (x)或f ( x) f (x)是否恒成立； (3)、作出相应结论. 若f ( x) f(x)或彳(x) f(x) 0,则f(x)是偶函数； 若 f( x) f (x)或 f ( x) f (x) 0,则 f (x)是奇函数 例?判断下列函数的奇偶性 x 3 x 2 为非奇非偶函数；(2)f (x) 为非奇非偶函数 x 1 x 1 奇函数；(4) f (x) (x 1). \ x 1 (7) f (x) .1 x 2 . x 2 1 既是奇函数又是偶函数 (8) f (x) a,a 0 为非奇非偶函数 常用结论： (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数 (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数 . ⑶.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 . 一?分段函数奇偶性的判断 1 2 —x 2 1 (x 0) 例1.判断函数的奇偶性： g(x) 2 1 2 —X 2 1 (x 0) 2 解：当x >0时，一x v 0,于是 1 2 1 2 g( x) -( x)2 1 (-x 2 1) g(x) 2 2 当x v 0时，一x > 0，于是 1 2 1 2 1 2 g( x) ( x) 1 x 1 ( x 1) g(x) 2 2 2 综上可知， g(x)是奇函数. 2 (1)f (x) x x [ 1,2] 3 (3) f (x) x x (5)f(x) =x+ 丄； x 奇函数；(6) f (x) ■, 1 x 2 2 |x 2| 奇函数 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数) 高三数学集体备课记录 课题：函数的单调性与导数 时间、地点2016年9月26日 主持人赵纯金 参与者张泽成黄翼 备课设想教材分析 本节的教学内容属导数的应 用，是在学生学习了导数的 概念、计算、几何意义的基 础上学习的内容，学好它既 可加深对导数的理解，又可 为后面研究函数的极值和最 值打好基础。由于学生在高 一已经掌握了单调性的定 义，并能用定义判定在给定 区间上函数的单调性。通过 本节课的学习，应使学生体 验到，用导数判断单调性要 比用定义判断简捷得多，充 分展示了导数解决问题的优 越性。 学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础，学生存在一些兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律，总结结论，熟练掌握。 教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区 间，能由导数信息绘制函数 大致图象。2.培养学生的观 察能力、归纳能力，增强数 形结合的思维意识。3.通过 在教学过程中让学生多动 手、多观察、勤思考、善总 结，引导学生养 重点难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区 间。 难点：利用导数信息绘制函 数的大致图象。 教学方法 探究式教学，分组讨论，讲练结合等 教学策略 1.先以具体问题引入，让学生意识到用定义法、图象法 在处理一些单调性问题时难 度较大，这样易激发学生的 学习兴趣。2.本节课宜适当 采用多媒体课件等辅助手段 以加大课堂容量，通过数形 结合，使抽象的知识直观化， 形象化，以促进学生的理解. 二．教学过程： （一）复习回顾，知识梳理 1． 常见函数的导数公式： ；；；． 2．法则1 ． 法则2 , ． 法则3 ． 3．复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数0'=C 1)'(-=n n nx x x x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '=' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ????? 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标： ①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； ②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题． 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。 3.最大（小）值 （前面已复习过） 4.判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用定义严格判断。 （2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当 '()0f x <时，()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在 该区间上递减时，则'()f x ______0。 （3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1 ()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。 1.3.2(1)函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 提出问题 ①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ 表1 表2 结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1．偶函数 1 / 5 2 / 5 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 观察函数f(x)=x 和f(x)=x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 2．奇函数 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数 且()(||)f x f x = 奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论. 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 例．判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数 （2）32 ()1x x f x x -=-为非奇非偶函数 （3）x x x f +=3 )( 奇函数 （4）1 1 ) 1()(-+-=x x x x f 高中数学听课记录:函数的单调性 一、实例导入课题： 日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。（板书课题：函数的单调性） 二、推出新课： （一）、函数的单调性： 1、观察非典时期每日新增病例的变化统计图，对函数的单调性有感性的认识。 2、学生思考一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随x的值的变化情况。 总结该函数图像中点的坐标规律。 3、单调增（减）函数的定义： 一般地，设函数的定义域为I，区间A I，如果对于区间A内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。 （让学生思考交流之后，说出增、减函数定义中的关键词） （二）、单调函数、单调区间的概念：（教师板书，引导学生理解。） （三）、函数单调性的判断与证明 1、讲解例1：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。 分析：画出图形，让学生归纳，并利用定义证明，教师板书。 例题中的注意点：（1）、解题格式；（2）、防止循环论证；（3）、作差同“0”比较。2、师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤： （1）、取值；（2）、作差与变形；（3）、判断；（4）、结论。 3、讲解例2：求证：函数在区间上是单调增函数。 （学生小组讨论，集体思考证明过程，请完成的小组上黑板板演，其他小 组分析纠错，教师做好点拨。） 三、课堂练习：1、P39页1、2、3题。 四、课堂小结：（学生总结知识点，教师补充。） 五、布置作业：1、P39页2、4、5题。 评价与建议 1、教学环节设计合理，思路清晰。 2、对概念的讲解很细致，教学作用点找的很好。 3、讲解、合作讨论、学生板演、核心指导相结合，防止学生疲劳而影响课堂效果。 4、教学中善于表扬学生、鼓励学生。 5、教学中要更多地深入学生之中，关注学生的实际学习情况，提高课堂效率。 6、这节课的知识比较抽象，学生能搞懂基本概念的来龙去脉，但更重要的是引导学生从具体实例抽象出数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质需要加强。 高一数学函数的奇偶性 课题：§1.3.2函数的奇偶性 教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）学会判断函数的奇偶性． 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义． 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式． 教学过程： 一、引入课题 1．实践操作：（也可借助计算机演示） 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画 一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限） 画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中 的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个 图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊 的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图 象关于y轴对称； （2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． ○2 以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数． 2．观察思考（教材P39、P40观察思考） 二、新课教学 （一）函数的奇偶性定义 象上面实践操作○1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作○2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．1．偶函数（even function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－高中数学必修一教案-函数的单调性
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