圆周角导学案
24.1.4圆周角
学习目标：
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
重点、难点
重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
导学过程：阅读教材P84 — 85 , 完成课前预习
【课前预习】
1：知识准备
（1）什么叫圆心角？
（2）圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 2：探究1
圆周角： 在圆上，并且 都与圆相交的角叫做圆周角。
为了进一步研究上面发现的，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使
折痕经过圆心O 和∠BAC 的顶点A 。由于点A 的位置的取法可能不同，这时折痕
可能会：
（1） 在圆周角的一边上； （2）在圆周角的内部； （3）在圆周角的外部。
(1)证明：在⊙O 中，∵OA=OC (2)证明： (3)证明：
∴∠A=∠
又∵∠BOC=∠A+∠C=2∠
∴∠A=2
1∠BOC
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，都等于这条弧所
对的 ．
表达式：
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 ．
表达式： 进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ，
90°的圆周角所对的弦是 ．
表达式： 探究2：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 ，
这个圆叫做这个多边形的
圆内接四边形的对角
已知：
求证：
证明： 【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1．如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD
D
A B
活动3：随堂训练
1. 如图，点A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8
2.如图，你能确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？
3.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（提示：作出以这条边为直径的圆）
活动4：课堂小结
圆周角与圆心角的关系学案.doc
第三章 3.3 圆周角和圆心角的关系(1)（学案） 姓名：班级：学号： 学习目标： 1. 了解圆周角的概念; 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程, 理解和掌握圆周角定理; 2. 通过探索圆周角与圆心角的关系, 体会分类、转化、归纳等数学思想方法 (1)比较圆心与圆周角的位置关系,体会分类思想; (2)在探索圆周角定理过程中,由特殊到一般,体会归纳思想; (3)在探索圆周角定理过程中,把圆心角与圆周角的的关系转化为三角形的外角与内角的关系; 把一般情况(圆周角的两边都不经过周心)转化为特殊情况(圆周角的一边经过圆心),体会转化思想. 学习重点和难点： 重点：圆周角和圆心角的关系难点：圆周角和圆心角的关系 教学过程： 一、复习引入 1、圆心角的定义? O 2、在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数 的关系? B C 3、圆心角的顶点发生变化时，可能出现几种情况？动手画一画。 O O O B C C B B C A 一、圆周角与圆心角 4、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相 O 交的角叫圆周角。 圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦 圆心角：角的顶点是圆心，两边是圆的两条半径 B C 5、下列图形中的角是不是圆周角？
6、探讨圆周角与圆心角的关系 做一做：画一个圆心角，然后再画同弧所对的圆周角。 1）用量角器量出这两个角的度数，你能得出什么结论? 2）一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢? 3）虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置可归为三种情况： A A A O O O C B C B B C 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 8、定理证明： 证明过程： （1）圆心在∠BAC 的一边上。 A O B C （2）圆心在∠BAC 的内部。 O
《圆周角定理的证明》优秀教学设计(教案)
《圆周角定理的证明》教学设计 一、创设情境，引入新课 师生活动:教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．学生通过观察分析和理解问题. 设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．引导学生对图形的观察和发现，激发学生的好奇心和求知欲. 二、任务驱动，探究规律 学生动手画圆，在圆上任取一条劣弧，作这条劣弧所对的圆心角和圆周角，然后用量角器测量这些角。回答下列问题： （1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？ （2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？ 师生活动: 学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 设计意图:让学生亲自动手，利用度量工具（如量角器、几何画板）进行实验、观察、猜想、分析、验证，得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 三、动手操作，验证猜想 拿出课前准备的圆形纸片，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A．回答问题： （1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ （2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？ （3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？ 师生活动：教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．学生写出已知、求证，完成证明． 具体做法：1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。2.要求其中的四个小组证明第二类图形，另外的四个小组证明第三类图形。3.师生归纳总结出圆周角定理，并且几何符号表示圆周角定理。 设计意图:让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题（1）的设计是让学生通过动手探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．问题（2）、（3）的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化，并启发培养学生创造性的解决问题. 四、巩固练习，学以致用
《圆》第一节 圆周角导学案1
《圆》第一节圆周角导学案1 主编人：占利华主审人： 班级：学号：姓名： 学习目标： 【知识与技能】 理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题 【过程与方法】 经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题 【情感、态度与价值观】 在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。 【重点】 圆周角及圆周角定理 【难点】 圆周角定理的应用学习过程 一、自主学习 （一）复习巩固 1、叫圆心角。 2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。
（二）自主探究 1、如图，点A在⊙O外，点B 1、B 2 、B 3 在⊙O上，点C在⊙O内，度量∠A、 ∠B 1 、 ∠B 2、∠B 3 、∠C的大小，你能发现什么？ ∠B 1、∠B 2 、∠B ３ 有什么共同的特征？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 归纳得出结论，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。 强调条件：①_______________________，②___________________________。 识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由． 2、如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求 出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数． O C B A
通过计算发现：∠BAC ＝＿＿∠BOC ．试证明这个结论： 3、如图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC 所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。 4、思考与讨论（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置 （2）设BC 所对的圆周角为∠BAC ，除了圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆心O 与∠BAC 还有哪几种位置关系？ ，对于这几种位置关系，结论∠BAC ＝ 2 1 ∠BOC 还成立吗？试证明之． 通过上述讨论总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，都等于这条弧所对的 ．
圆周角教案(1)
人教版九年级上册 §24.1.4 圆周角（教案） 第一课时
24.1.4 圆周角（第一课时教案） 教材分析： 1、本节课是在学习了圆的有关概念、垂径定理、圆心角定理的基础上对圆的有关性质的进一步探索。 2、利用弧等构造弦等、角等是解决圆中相关问题非常重要的方法。 学情分析： 九年级的学生虽然已经具备了一些问题的说理能力，但是初三的几何证明过程中，学生的逻辑思维仍然是不成熟的，所以对于知识的生成过程任然是教学中的重点内容，针对上述情况，本节课我采用了学生动手操作——猜想——验证——组长对组员进一步讲解的学习过程。 一、目标设计： （一）知识技能： 1、了解圆周角的概念，会证明圆周角的定理及推论。 2、掌握圆周角定理的两个推论，并能简单应用。 （二）过程方法： 1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力。 2、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论和转化的思想方法。 （三）情感态度： 1、通过组长的讲，小组的交流，增进同学间互相学习、互相帮助、共同提高的氛围。 2、通过小组合作学习创造学习气氛，培养学生的学习兴趣。
二、教学重难点： 重点：定理及推论的理解与运用 难点：定理的证明 三、教学过程： 【课前引入】： 出示几何画板，一个圆柱形房间有4人：A、B、C、D,D站 在圆心位置，A,B,C三人在圆周上观察弧形落地窗外的风景， 四人谁的视角比较大？大多少？ 设计意图：带着问题进入本节内容，培养学生的学习兴趣。 【课堂探究】： 探究一：圆周角概念的理解。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。 针对性思考：判断下列图形中的角，哪些是圆周角？ （）（）（）（）（）（）（）（）设计意图：学生通过对图形的识别，得出圆周角的两个特点：顶点在圆上；两边都与圆相交。通过正例与反例的判断，加深对概念的理解。 探究二：圆周角定理的掌握。 1、学生度量图1中弧BC所对的圆周角和圆心角的大小，猜想这两个角的大小关系。 教师也可利用几何画板的动态性来加以验证。 2、学生根据图1思考结论的证明，并口述，教师板书（介绍推出符号）。 3、追问：通过图1的证明，可否说明猜想的正确性？ 4、学生寻找其它情况，小组探索并交流证明方法。（教师可以让学生在同圆中先画出一个同弧所对的圆周角和圆心角，再利用文件助手将不同情况进行展示）
《1.3.1圆幂定理》教学案3
《1.3.1圆幂定理》教学案 【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 【教学重难点】 重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用； 难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆 周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较 相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论 定理 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)
切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A
《圆》第一节 圆周角导学案2
《圆》第一节 圆周角导学案2 主编人：占利华 主审人：文档设计者： 设计时间 ： 文 档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 班级： 学号： 姓名： 学习目标： 【知识与技能】 掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题. 【过程与方法】 经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力 【情感、态度与价值观】 激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活 【重点】 圆周角的推论学习 【难点】 圆周角推论的应用 一、自主学习 （一）复习巩固 1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则（1）∠BOC= °,理由 是 ； （1）∠BDC= °,理由是 。 2、如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB= °. 3、如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径， 则∠ADB= °,∠DAB= ° 4、 如图，AB 是⊙O 的直径，若AB=AC ，求证：BD=CD. （二）自主探究 1、如图,BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？ （引导学生探究问题的解法） O D C B A 第1题 O C B A 第2题 第3题 C 第4题
C B B 2、如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？ （三）、归纳总结： 1、归纳自己总结的结论： （1） 2） 注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角； （2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视. （四）自我尝试： 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°， ∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 2、如图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠DAC=∠BAE 3、变式：如图，△ABF 与△ACB 中，∠C 与∠ABF 相等吗？ 4、如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD =∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？
第三章《圆》导学案
3.1 圆的对称性（1） 一、学习目标 1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程 2、掌握垂径定理 3、会运用垂径定理解决有关问题 重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用 二、知识准备： 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。 2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。 三、学习内容：（阅读课本68-75，完成学案上的内容） 1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？ 探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？ 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理： 4、注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 5、给出几何语言 B
O F E D C B A A B F M D O 例1、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？ 例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。 ⑴求⊙O 的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。 四、知识梳理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 且平分弦所对的弧等。 五、达标检测： 1、 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则 2、已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点AEC =45°,则 CD 的长为 。 3. 如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有_____= ， ____= ． T3 T4 T5 T6 4.过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点. 5.⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM. 6.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半为 ． 7.⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___ 8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM 9.在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,则AB 和CD 的距离为 . 10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米， 求水面涨高了多少？ O A B P O P B M O A C D P A O C D B O A B
圆周角学案
圆周角第二课时 班级：主备教师：单明波备课组长：领导批阅：上课时间：年月日 二次备课教师寄语 学习目标 （1）掌握圆周角定理的推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明； （2）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性． 重（难）点预见 重点：圆周角定理的推论的应用： 难点：推论的灵活应用以及辅助线的添加 学习流程 一、自学指导 1、自学教材85页后8行及86页内容解决下列问题 问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？ 问题2：在⊙O中，若= ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否 得到= 呢？ 问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？ （2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角? 问题4：圆内接四边形有什么性质？圆内接四边形一个外角和内角有什么关系？为什么？ 2、分析、研究、交流、归纳 ①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若= ，则∠C=∠G；但反之不成立． 重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中” 指出：问题3这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟 练掌握． 二、自学检测 1、同弧或等弧所对的（）相等；在同圆或等圆中，相等的（）所对的（）也相等．都 等于这条弧所对的圆心角的一半 2、“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？ 3、半圆（或直径）所对的圆周角是；的圆周角所对的弦直径． 三、当堂训练 1、课本87页练习1题、2题、3题
2、如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；求BC，AD和BD的长． 说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形． （四）小结（指导学生共同小结） 知识：本节课主要学习了圆周角定理的几及其及推论． 推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握． 能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握． 教学反思 圆周角第二课时作业：课本88页 10.题 11.题 12.题 6题
人教版九年级数学上册导学案：24.1垂径定理,圆心角、弧、弦、圆周角之间关系复习(无答案)
圆（一）垂径定理，圆心角、弧、弦、圆周角之间关系复习 学习目标：1. 理解垂径定理及其推论，并能应用于计算或证明。 2、理解圆心角、弧、弦、圆周角之间关系定理，并能应用于证明。 重点：垂径定理，圆心角、弧、弦、圆周角之间关系定理， 难点：运用所学的知识解综合题－白 【使用方法与学法指导】 1、课前学生复习课本圆心角、弧、弦、圆周角完成复习导入，整体把握本章知识；回顾导学案中的重点内容和未解决的问题，记录在导学案上，准备课上讨论质疑； 2、完成导学案中的综合练习，进一步巩固落实本节内容；学习小组讨论交流，然后进行展示，小组间互相点评，补充之后由老师进行点拨。最后通过当堂检测，巩固知识。 3、A层完成所有题目，带﹡的为BC层选作题。 一.知识回顾： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分。 2、在同圆或等圆中，两条、两条、两个、两个，这四组量中，只要有一组量相等，其余各组量都。 3、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的的一半；反之，相等，它所对的弧也相等。 4、直径（或半圆）所对的圆周角是；反之，90的圆周角所对的弦是。 5、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。 二、课前合作探究 1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（） A．60○B．45○ C．30○D．15○ 2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．
3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）． 4.如图，在⊙O中，弦AB=1．8cm，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm． 5.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______ 6、如图，⊙O的直径AB的长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于D，求四边形ABCD的面积。 三、课中知识巩固，能力提升 1.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是_______.
圆周角导学案
24.1.4圆周角 学习目标： 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 重点、难点 重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 导学过程：阅读教材P84 — 85 , 完成课前预习 【课前预习】 1：知识准备 （1）什么叫圆心角？ （2）圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 2：探究1 圆周角： 在圆上，并且 都与圆相交的角叫做圆周角。 为了进一步研究上面发现的，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使 折痕经过圆心O 和∠BAC 的顶点A 。由于点A 的位置的取法可能不同，这时折痕 可能会： （1） 在圆周角的一边上； （2）在圆周角的内部； （3）在圆周角的外部。
(1)证明：在⊙O 中，∵OA=OC (2)证明： (3)证明： ∴∠A=∠ 又∵∠BOC=∠A+∠C=2∠ ∴∠A=2 1∠BOC 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，都等于这条弧所 对的 ． 表达式： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 ． 表达式： 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 ． 表达式： 探究2： 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 ， 这个圆叫做这个多边形的 圆内接四边形的对角 已知： 求证： 证明： 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 例1．如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD D A B
《圆》第1节圆周角导学案2
《圆》第一节圆周角导学案2 主编人： 主审人： 班级： 学号： 姓名: 学习目标： 【知识与技能】 掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及 90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解 决问题. 【过程与方法】 经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力 【情感、态度与价值观】 激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活 【重点】 圆周角的推论学习 【难点】 圆周角推论的应用 一、自主学习 （二）自主探究 1、如图,BC 是O O 的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么? （引导学生探 究问题的解法） （一）复习巩固 1、如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在O O 上，若/ BAC=40，则（1）/ BOC= （1）/ BDC= ° ,理由是 ,理由 ABC 中，OA=OB=O （则 / ACB= ________ ° O 中，△ ABC 是等边三角形，AD 是直径, _° , / DAB= ________ ° 2、如图，在△ 3、 如图，在O 则/ ADB 二 如图，AB 是O O 的直径，若 AB=AC 求证：BD=CD. 4、 B B D 第4题 C
2、如图，在O 0中，圆周角/ BAC=90，弦BC 经过圆心吗？为什么？ （三）、归纳总结： 1、归纳自己总结的结论： （1） _________________________________________________________________ 2） ___________________________________________________________________ 注意：（1 ）这里所对的角、90°的角必须是圆周角； （2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视 （四）自我尝试： 1、如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点E ,/ ACD=60 , / ADC=50 ,求/ CEB 的度 数. 二、教师点拔 1、两条性质: 2、直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线 2、如图，△ ABC 的顶点都在O O 上, 3、变式：如图，△ ABF 与△ ACB 中,/ C 与/ ABF 相等吗? 4、如图，A 、B 、E 、C 四点都在O 0上, =/ EAB,AE 是O 0的直径吗？为什么？ AD >△ ABC 的 高, / CAD 求证：/ DAC=Z BAE C C C
2017圆周角教案-.doc
圆周角教案(第1课时) 三维目标： （1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； （2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力； （3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 教学重点：圆周角的概念和圆周角定理 教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想． 教学活动设计：（在教师指导下完成） （一）圆周角的概念 1、复习提问： （1）什么是圆心角？ 答：顶点在圆心的角叫圆心角. （2）圆心角的度数定理是什么？ 答：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （如右图） 2、引题圆周角： 如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如右图）（演示图形，提出圆周角的定义） 定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3、概念辨析： 1判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交. （二）圆周角的定理 1、提出圆周角的度数问题 问题：圆周角的度数与什么有关系？ 经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周 角与圆心角，猜想它们有无关系．引导学生在建立关系 时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一 边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部． （在教师引导下完成） （1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相 应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在 圆周角上时，圆周角是圆心角的一半. 提出必须用严格的数学方法去证明. 证明:(圆心在圆周角上) （2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系： 当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助 线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论， 得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论. 证明：作出过C的直径（略） 可以发现同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰 好等于这条弧所对等于它所对圆心角的一半. 说明：这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法） 2、巩固练习: （1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？ （2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？ 说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个． （四）总结 知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容． 思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题．
苏科版-数学-九年级上册- 圆周角 培优学案(二)
南沙初中初三数学教学案 教学目标： 1．掌握圆周角定理几个推论的内容． 2．会熟练运用推论解决问题． 3.培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点、难点： 掌握圆周角定理几个推论的内容；会熟练运用推论解决问题． 教学过程： 一、复习：圆周角的定义和圆周角定理 二、探究: 1、请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)它们的 大小有什么关系?你是如何得到的? 推论1:在同圆或等圆中，________或________所对的圆周角相等． 2、思考：“同弦或等弦”所对的圆心角相等吗？请同学们互相议一议． （1）（2）（3） 3、如图（2），BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断 的? 4、如图（3）如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?
O D C B A E O C B A 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是_________ 三、例题 例1、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆 形?为什么? 例2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于于点E ，∠ACD =60°，∠ADC =50°。 求：∠CEB 的度数。 例3、已知：如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径。 求证：△ABE ∽△ACD ；
F E O C B A 例4、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC =AB ，BD 与CD 的大小 有什么关系?为什么? 例5、已知，如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，以AD 为直径作圆，与AB 、AC 分别相交于 点E 、F 。求证：AE ·AB =AF ·AC 四、课堂小结 五、课堂作业（见作业纸）
圆周角教学设计
新人教版初中数学九上圆周角教学设计 湖北省谷城县城关镇中心学校宋光艳一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析，确定本节教学重点是： 直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上； ②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。 学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。
人教版九年级上册数学学案：24.1.4圆周角(一)
O C B A 第五课时 圆周角（一） 一、学习目标 1．知道圆周角的概念，会在具体的图形中辨认圆周角； 2．会证明并记住圆周角定理，能运用其进行简单的计算与证明（重、难点） 二、学习过程 【复习回顾】 ________ ____的角叫做圆心角． 【自主探究】 知识点一 圆周角 圆周角：顶点在 ，并且两边 的角叫做圆周角。 【对应练习】 1．判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由． 2．指出图中的圆周角，并指出各圆周角所对的弧。 3．一条弧所对的圆心角有 个，所对的圆周角有 个。 知识点二 完成课本84页“探究”， 写出你所得出的结论并证明。 归纳：在同圆和等圆中，同弧和等弧所对的圆周角 ，都等于 。 【对应练习】1、如图，已知A 、B 、C 在⊙O 上，∠COA ＝100°，则∠CBA ＝（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 200° 3、如图，点A 、 B 、C 是⊙O 上的三点，若∠BOC =56°，则∠A ＝___________° 4、100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。 知识点三 问题：在⊙O 中，若 = ，能否得到∠C=∠G 呢？根据什么？ 反过来，在⊙O 中，若有∠C=∠G ，能否得到 = 呢？ 归纳：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ． 【典例评析】 例1.如图，△ABC 内接于 ⊙O ，∠C = 45o, AB =4 ，求⊙O 的半径是多少？ O C B A
三、达标练习 1．课本练习第1题 2、如图，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC ＝20°，那么∠CAB ＝ ． 3、如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20° 4、如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长为_________。 5、如图，⊙O 中，∠AOB = 130o，则∠ACB=______。 6、下列命题中是真命题的是（ ） （A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B ）60o的圆周角所对的弧的度数是30o （C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 （D ）120o的弧所对的圆周角是60o 四、小结 本节课的收获是 。 五、布置作业 习题24.1第4、12题 O D C B A 第2题 O C F G D E 第3题 O B C A 第5题 A B D C O . 第4题
苏教版初三圆专题复习
无锡特人教育1对1 数学学科导学案（第 1 次课）教师: 柏鹤学生: 年级: 日期: 星期: 时段:
∴ 2PA PC PB =? （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：12O O 垂直平分AB 。 即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：12Rt O O C ?中，2 22 2 1 122AB CO O O CO ==-； 2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行： ::1:3:2OD BD OB =； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 十五 三角形外接圆 内切圆 三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是 三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形） 也可能在三角形上（如直角三角形） 过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆） B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E C B A D O B A O
新人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角(1)》学案
新人教版九年级数学上册《24．1.4圆周角（1）》学案 学习[ 来源学科网ZXXK][来源:https://www.wendangku.net/doc/212148855.html,][来源学科网][来源:https://www.wendangku.net/doc/212148855.html,]方法制作：班级姓名九年级数学 方法 总结 学习内容 明确目标 做到心中 有数 自学课本 完成概念 分情况证 明圆周角 定理，注意 分类思想 的应用，转 化思想的 渗透 24．1.4圆周角（1） 学习目标： 1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； （重点） 2渗透由“特殊到一般”，由“一般到特 殊”的数学思想方法（难点） 学习过程 （一）圆周角的概念 1、复习：（1）什么是圆心角？ （2）圆心角定理是什么 2、什么是圆周角： 如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周 角.（如右图） 定义：。 （二）圆周角的定理 1、提出圆周角的度数问题 问题：圆周角的度数与什么有关系？ 引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况： 圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部。 （1）当圆心在圆周角的一边上时， 图（1） （2）当圆心在圆周角内部时
图（2）图（3）（3）当圆心在圆周角外部时 学习制作：田峰班级姓名九年级数学方法 方法学习内容总结总结定理 记忆定理 检测自我 找到不足 及时弥补 由此可得圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角， 都等于这条弧所对的圆心角的。 巩固练习：课本第87页第4题，88页第12题。 自我评价 1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（） A B C D 2、求下图中的x。 3在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°， 则x=_ 4、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A 5、已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度 数。 B A O . 70°x A O . X 120° 教法 二次备课
北师大版数学九年级下册第三章圆教学案
课题：圆 【学习目标】 1、理解圆的描述定头，了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位 置关系 【重点难点】 重点：会确定点和圆的位置关系.。 难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼 光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。 【自主学习】（自学课本P65---P67思考下列问题） 1、举例说出生活中的圆。 2、车轮为什么做成圆形
3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗 【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念） 1圆的集合定义（集合的观点） 2、圆的运动定义：_____________________________________________ （运动的观点） 圆心：----------------------------- 半径：_____________________________ 3、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ____________________ ”，读作 a ” 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到_____________ （圆心）的距离 都等于_______ 半径）； （2）到定点的距离等于_____________ 的点都在同一个圆上.
弧^i ; 弧的表示 半圆 -------------------------- ；等圆 等弧^τζ ----------------------- 优弧: 劣弧: ------------------------- ； 6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P, 置关系若C)O 的半径为r, 点P 到圆心0的距离为d,那么: <=> 点P 在圆 【训练案】 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；(2)到点A 和点B 的距离都 点与圆有哪几种位 <=> 点P 在圆 1、设AB 二3cm,作图说明满足下列要求的图形: (1)到点A 和点B P
新人教版九年级数学上册导学案：24 1、4圆周角(2)
新人教版九年级数学上册导学案：24 1、4圆周角（2） 课题 圆周角（2） 课型 [来源学科网Z,X,X,K] 探究课 课时 1 四、反馈提升.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°， ∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质 [来源学科网] 五、达标测评 1.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°,则∠ABC=________. 2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______. 3.如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，延长BD 到点C ，使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。 4.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC=30°,则弧AC 的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 8. 5、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？ 总结与反思 学法指导栏 [来源学科网ZXXK] 学习 目标 ．掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题. 学习 重点 [来 源:Z+xx+https://www.wendangku.net/doc/212148855.html,] .激发探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神， 学习 难点 进一步体会数学源于生活并用于生活 教师“复备栏”或学生“笔记栏” 学习过程： 一、情景引入或知识回顾 1． 1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则 （1）∠BOC= °,理由是 ； （1）∠BDC= °,理由是 . 2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB= °. 意图：复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法. 二、自主学习 如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径， 则∠ADB= °,∠DAB= °. 三、问题探究 1.如图,BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角， 还是直角？为什么？（学生探究问题的解法） 2.在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？ 3.归纳自己总结的结论： （1 ） _____________________________________ （ 2 ） _______________________________________ 注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角； （2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视. O D C B A O A B C