高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质
函数专题1、函数的基本性质
复习提问：
1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。
2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）
3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些）
4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法）
5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）
6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用
7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类
一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=
x x |
|，g （x ）=?
??<-≥;01,01x x
（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －
1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x
1+x ，g （x ）=x x +2；
（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.
二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域：
(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x
(5)ｙ＝
3
1
42-+
-x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）
2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；
3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数
)41(+=x f y )
41
(-?x f 的定义域 5、已知函数682-+-=
k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
三、函数的解析式
求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法：
1、已知,1
1)1(2
2x x x x x f ++=+求)(x f .
2、已知ｆ（x ＋１）＝ｘ＋２x ，求ｆ(ｘ)的解析式
3、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、待定系数法
1、已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式
2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、解方程法
(1)、已知函数)(x f 满足x x
f x f 3)1
(2)(=+，求)(x f
（2）、已知函数)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)(x f +)(x g =1
1-x 求)(x f 、)(x g
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， 3()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为
5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1
f x
g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析式
四、函数值域的求法
1、配方法：对于求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可转化为形如[]2
()()()(0)f x a g x bg x c a =++≠的函数的值
域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解. 例1：求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域. 例2：求函数3
42-+-=x x e
y 的值域.
例3：求函数421,[3,2]x x y x --=-+∈-的最大值与最小值。
2、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.
例6：（整体换元） 已知[]0,2x ∈，求函数1
2
()4
325x x f x -=-?+的值域.
3、不等式法：
例11：求函数()()
52()1
x x f x x ++=+（1x ≠-）的值域.
例14：求函数1
222+++=
x x x y 的值域.
7、数形结合法：
例29：求函数13y x x =-+-的值域.
例30：求函数31y x x =--+的值域。（答案：[]4,4-
题型补充：
五、函数的单调性
1．函数单调性的定义：
2. 证明函数单调性的一般方法:
①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。
②用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’，
)x A ∈（ ?)(x f 在A 内为增函数；?∈≤)0)(A x x f ，（’
)(x f 在A 内为减函数。 3. 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。 4.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性： ①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； ②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 5．一些有用的结论：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：
增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
④函数)0,0(>>+=b a x b ax y 在,,b b
a a ????-∞-+∞ ??? ?????
或上单调递增；在,00b b a a ????-? ??? ????或，上是单调递减。
1、函数24)(2
++=ax x x f 在区间)6,(-∞为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3≥a B ．3≤a C ．3-≥a D ．3-≤a
2、函数ax x x f 2)(2
+-=与函数1
)(+=
x a
x f 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,0()0,1( - B ．]1,0()0,1( - C ．)1,0( D ． ]1,0(
3．已知函数???≥<+-=1..................
log 1
.......)12()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．)21
,0( B ． )1,21( C ．)21,31[ D ． )1,3
1[
6、写出函数()212
log 23y x x =--的单调区间，并指出在相应区间上函数的单调性．
9、
11、已知函数()f x ＝x ＋x
a
有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)
上是增函数．
（1）如果函数()f x ＝x ＋x b
2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；
（2）求函数()f x ＝x ＋c
x (c ＞0)在区间[1,2]上的最小值；
（3）研究函数()f x ＝2
x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（4）对函数()f x ＝x ＋x a 和()f x ＝2
x ＋2x
a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究
推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．
12、．已知c x x f +=2)(，且)1()]([2+=x f x f f 。（1）设g （x ）=f[f （x ）]，求g （x ）的解析式；
（2）设)()()(x f x g x λ?-=，试问是否存在实数λ，使)(x ?在（-∞，-1）递减，且在（-1，0）上递增？
六、对称性和周期性
函数的对称性
(1).函数)(x f 关于直线x=a 成轴对称的充要条件是：()()())-(2x a f x a f x a f x f =+-=或(与函数的周期性区分开).
(2)..函数)(x f 关于点(a,b)对称的充要条件是：b x a f x f 2)2()(=-+或b x a f x a f 2)()(=-++ (3)..与函数)(x f y =关于直线a x =对称的函数解析式为：)2(x a f y -=. (4). 与函数)(x f y =关于点（a,b ）对称的函数解析式为：)2(2x a f b y --=. 函数周期性
1．周期函数的定义:对于函数))((D x x f ∈,若存在一个不为零的常数T,使得D x ∈的每一个 值都有
)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数,常数T 叫做)(x f 的最小正周期.若所有的周期中存在一个最小的周期,
则这个最小的正数称为这个函数的最小正周期.
2．根据函数的对称性判断函数的周期
1.若))(()(b a b cx f a cx f ≠+=+，则函数)(x f 是周期函数，b-a 是它的一个周期。 2．若)()(x f a x f -=+，则函数)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期。
一、对称性练习 1． 已知
是奇函数，当
时，
,求
的解析式.
2． 已知是偶函数，当时，,求的解析式.
3． 已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。
4． 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ＜1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式.
5． 设
, 求
关于直线
对称的曲线的解析式.
6． 已知函数是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=x
1
, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求 的
解析式.
7． 已知函数
是偶函数，当
时，又的图象关于直线
对称，求在的解析式. 定义在上的偶函数满足
且当
时,
.（1）求
的单
调区间;（2）求
的值.
二、周期性练习
1、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()x f a x f -=+,则()x f y =是以 为周期的函数； 4、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以 为周期的函数 5、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y =的一个周期.
8．设是定义在（-∞,+∞）上的函数，对一切∈R 均有，当＜1时，
求当
时，函数
的解析式。
三、真题模拟
1、设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1
()()12
x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a
的取值范围是 A ．(1,2)
B ．(2,)+∞
C ．3(1,4)
D ．3(4,2)
2、设函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，且2)1(=-f ，则(2011)(2012)f f +=
3、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x
f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=
4、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且在[]1,3x ∈-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈，1k ≠-）有四个根，求k 的取值范围．
七、函数零点
１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ）
A.543)(2
+-=x x x f B.55)(3
+-=x x x f C.63ln )(+-=x x x f
D.63)(-+=x e x f x
２．若方程0122
=--x ax 在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是（ ）
A.)1,(--∞
B.),1(+∞
C.)1,1(-
D.[)1,0
３．函数c bx ax x f ++=2)(，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在)2,1(上零点的个数为
（ ） A.至多有一个
B.有一个或两个
C.有且只有一个
D.一个也没有
4．函数3log )(3-+=x x f x
零点所在大致区间是（ ）
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
5．已知函数)(x f y =是Ｒ上的奇函数，其零点1x ，2x ……2007x ，则200721x x x +++ ＝ 。
6．一次函数m mx x f -+=1)(在［０，１］无零点，则m 取值范围为
7．函数m x m x x f -+-+=5)2()(2有两个零点，且都大于２，求m 的取值范围。
8．判断x 3＋3x －1＝0在（0，1）内是否有解。
9．函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围。
10.关于x 的二次方程01222
=+++m mx x ，若方程式有两根，其中一根在区间)0,1(-内，另一根在(1,2)内，求
m 的范围。6.解454
4520)5(4)2(0
)2(2222-<<-????
??-<>->-
??
????<---=?>>--m m m m m m m f m 或
八、函数的图像
1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
4．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右
(0)a <平移||a 个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移
||a 个单位即可得到．
① y=f(x)h
左移→y=f(x+h); ② y=f(x) h
右移→y=f(x -h); ③y=f(x) h
上移→y=f(x)+h; ④y=f(x) h
下移→y=f(x)-h.
5．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到． ①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴
y →y=f(-x);
③y=f(x)
a x =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) x
y =→直线y=f -1(x);
⑤y=f(x) 原点
→y= -f(-x).
6．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；
（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留
()y f x =在y 轴右边部分即可得到．
y=f(x)
c
b a
o
y
x
y=|f(x)|
c
b a
o
y
x
y=f(|x|)
c
b a
o
y
x
7．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；
（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的
1
a
倍得到． ①y=f(x)ω
?→x y=f(
ω
x
);② y=f(x)ω
?→y y=ωf(x).
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点． 1、说明由函数2x
y =的图像经过怎样的图像变换得到函数3
2
1x y --=+的图像．
2．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x -1)与y= -f(1-x)的图象关于（ ）对称 A.直线x=0 B.直线x=1 C.点(0,0) D.点(1,0) 3．在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是（ ） A ．y=|log 2x| B.y=2|x| C.y=log 0.5x 2 D.y=|x -1/3|
o y
x
o y
x
o y x
o y
x
4．已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x)的图象是 （ ）
1
1-1
o y
x
A
1
1-1
o y
x
B
-21
-1
o
y
x
C
1
1
-1
o
y
x
D 11
-1
o y
x
5．画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)2
3
2-+=
x x y
6、.说出作出函数y=log 2(1-x) 的图象的过程。
7．方程|x 2+2x -3|=a(x -2)有四个实数根，求实数a 的取值范围。
8．讨论方程|1|x -=kx 的实数根的个数。
9、分别画出下列函数的图像：
（1）2y x x =-；（2）2y x x =-；（3）223y x x =+-；（4）lg 1y x =-；（5）23
1
x y x +=+．
10、若函数()2log 3f x x a =+的图像关于直线2x =对称，求常数a 的值．
11、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且在[]1,3x ∈-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈，1k ≠-）有四个根，求k 的取值范围．
12、()f x 是定义在R 上的函数．
（1）若()f x 是偶函数且周期为2．当()0,1x ∈时，()1f x x =+，求()f x 在()1,2x ∈上的解析式； （2）若()f x 是奇函数，()()1f x f x +=-．当10,2x ??
∈????
时，()f x x =，求()f x 在()1,2x ∈上的解析式．
拓展练习：
1．设m 、R ∈n ，定义在区间],[n m 上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是]2,0[，若关于t 的方程
0121|
|=++??
?
??m t （R ∈t ）有实数解，则n m +的取值范围是___________． 2．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为……………………（ ）
A ．]6,2[-
B ．]28,24[-
C ．]32,22[-
D ．]34,20[-
3、已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++-=的值域为]0,(-∞，若关于x 的不等式1)(->c x f 的解集为
)1,4(+-m m ，则实数c 的值为._________
4、已知21,[1,0),()1,[0,1],
x x f x x x +∈-?=?+∈?则下列函数的图像错误的是……………………（ ）
(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像 5、已知函数 ()11f x x x =++-。
（1）求函数()f x 的定义域和值域； （2）设2()()2()2
a F x f x f x ??=