位似变换中对应点的坐标的变化规律

位似变换中对应点的坐标的变化规律：

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标为ka或-ka,a为原顶点的横纵标．

如：在以O为原点的坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A （1,1）、B（2,3）、C（4,2），若以O为位似中心在△ABC同侧放大，相似比为2，则A’坐标为（2,2）、B’（4,6）、C’（8,4）；若以O为位似中心在△ABC异侧放大，相似比为2，则A’’（-2，-3）、B’’（-4，-6）、C’’（-8、-4），

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以三角形的一个靠近原点的顶点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标变成ka-(k-1)或-ka+(k+1),a为原顶点的横纵坐标.

如：在以O为原点的坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A （1,1）、B（2,3）、C（4,2），若以A为位似中心在△ABC同侧放大，相似比为2，则A’坐标为（1,1）、B’（3,5）、C’（7,3）；若以O为位似中心在△ABC异侧放大，相似比为2，则A’’（1，1）、B’’（-1，-3）、C’’（-5、-1）。

位似图形与坐标

九 年 级 数 学 导 学 案 年级 九 班级 学科 数 学 课题 位似图形与坐标 第 课时 总 课时 编制人 审核人 课型 新授课 使用者 教 学 内 容 学习目标： 1、 了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点. 2、 能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大或缩小. 学习过程 一.复习回顾 1、把一个图形变成另一个图形，并保持图形形状不变的几何变换叫做_________. 2、如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线__________，那么这样的几何变换叫做___________，这样的两个图形叫做___________． 3、图形在平面直角坐标系中作平移变换时坐标的变化规律是(h>0)： 向左平移h 个单位→),(b a (_ _,b)，向右平移h 个单位→),(b a (____,b)； 向上平移h 个单位,(),(a b a →___)，向下平移h 个单位,(),(a b a → __). 二.学习新课 阅读课本115-117页，回答下列问题： 1、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为K （K ＞0），原图形上点的坐标为（x,y ），那么同向位似图形对应点的坐标为___________（K ＞0）. 2、在平面直角坐标系中，在作),(),(by ax y x →变换时，当0≠=b a 时为相似变换；当b a ≠时便不是相似变换，我们称之为___________ ． 3、在问题1中若K ＜0，则与K ＞0时的变换结果有什么不同？ 4．如图，△ ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2). （1）将△ ABC 向左平移三个单位得到△ A 1B 1C 1，写出三点的坐标； （2）写出△ ABC 关于x 轴对称的△ A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标； （3）将△ ABC 绕点O 旋转180°得到△ A 3B 3C 3，写出三点的坐标．[来 三.尝试应用 1.如图，ABC ?三个顶点坐标分别为()2,3A ()2,1B ()3,1C ，以点O 为位似中心，相似比为２，将ABC ?放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

27.3 位似(第二课时)

第二课时 一、教学目标 1．掌握位似图形及其有关概念． 2．会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩 小后，点的坐标变化的规律． 3．了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂的图形中找出这些 变换． 二、教学重难点 重点：用图形的坐标变化来表示图形的位似变换． 难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 教学过程（教学案） 一、问题引入 如教材图27.3－3(1)，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13 ，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ 学生观察、交流、讨论． 教材图27.3－3（1） 二、互动新授 师生共同分析：从教材图27.3－3(1)中可以看出，把AB 缩小后，A ，B 的对应点为A ′ (2，1)，B ′(2，0)；A ″(－2，－1)，B ″(－2，0)． 【探究】 如教材图27.3－3(2)，△AOC 三个顶点的坐标分别为A(4，4)，O(0，0)，C(5， 0)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△AOC 放大．观察对应顶点坐标的变化，你有什么 发现？

教材图27.3－3（2） 学生观察后，小组交流、讨论． 师生共同分析：可以看出，教材图27.3－3(2)中，把△AOC 放大后，A ，O ，C 的对应点 为A ′(8，8)，O(0，0)，C ′(10，0)；A ″(－8，－8)，O(0，0)，C ″(－10，0)． 教师小结：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形 位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点(x ，y)对应的位似图形上的 点的坐标为(kx ，ky)或(－kx ，－ky)． 三、精讲例题 【例】 如教材图27.3－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0， 0)．以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32 . 教材图27.3－4 【分析】 由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标．根据前面总结 的规律，点A 的对应点A ′的坐标为[－2×32，4×32 ]，即(－3，－6)． 类似地，可以确定其他顶点的坐标． 【解】 如教材图27.3－4，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A ′(－3， 6)，B ′(－3，0)，O(0，0)，顺次连接点A ′，B ′，O ，所得△A ′B ′O 就是要画的一个图 形． 提示：引导学生回忆位似图形的画图步骤，启发学生得到其他图形． 四、课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、板书设计 27．3 位 似 第二课时 1．图形的几种变换：平移、轴对称、旋转、位似． 2．在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点(x ，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx ，ky)或(－kx ，－ky)．

坐标系中的位似关系

第2课时 坐标系中的位似关系 基础题 知识点1 位似图形的坐标变换 1．(辽阳中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO 与△A ′B ′O ′是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(0，1) C ．(－3，2) D ．(3，－2) 2．如图，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，以原点O 为位似中心，在y 轴右侧按比例尺1∶2把△EFO 缩小，则E 点对应点E ′的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(12，12) C ．(2，－1) D ．(2，－1 2 ) 3．如图，平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( ) A ．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 B ．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 C ．将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似 D ．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以1 2 ，得到的鱼与原来的鱼位似 4．如图，表示△AOB 以O 为位似中心，扩大到△COD ，各点坐标分别为B(3，0)，D(4，0)，则△AOB 与△C OD 的相似比为________． 5．(荆门中考)如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．

6．如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A(1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是3 2， 则△A ′B ′C ′的面积是________． 7．四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(1，3)、B(5，2)、C(8，4)、D(6，9)，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是以原点为位似中心，相似比为1 2 的位似图形，且四边形A 1B 1C 1D 1在第一象限．写出各点坐标． 知识点2 直角坐标系中位似图形的画法 8．如图，点A 的坐标为(0，－2)，点B 的坐标为(2，－1)，将图中△ABC 以B 为位似中心，放大到原来的2倍，得到△A ′BC ′. (1)在网格图中画出△A ′BC ′(保留痕迹，标上字母，不必写作法)； (2)根据你所画的正确的图形写出：与点A 对应的点A ′的坐标为________． 中档题 9．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( ) A ．(0，0)，2 B ．(2，2)，1 2

两个位似图形坐标之间的关系 (2)

两个位似图形坐标之间的关系 导学案 一、导入新课 （一）探究 1.如图1，在平面直角坐标系中，有两点 A （6，3），B （6，0）．以原点O 为位似 中心，相似比为 3 1 ，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化.你有什么发现？ 图1 图2 2.如图2，△AOC 三个顶点的坐标分别为A （4，4）O （0，0），C （5，0）.以点O 为位似中心，相似比为2，将△AOC 放大.观察对应点之间坐标的变化.你有什么发现？ 二、 新课学习 （一）通过上面的探究，你发现平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图 形坐标之间有什么关系？ 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以 作 个． 2.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，它与原图形的相似比为k ，那么原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形的坐标为 或 . 当k 时，原图形与位似图形在原点同侧； 当k 时，原图形与位似图形在原点异侧.

(二)应用新知 例1 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6， 0)．以 原点O 为位似中心，相似比为 3 1在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为 。 变式： 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－3， 6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为3 1把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( ) A ．(－1，2) B ．(－9，18) C ．(－9，18)或(9，－18) D ．(－1，2)或(1，－2) 例2.?ABO 的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0), O(0,0).以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它 与?ABO 的相似比为 23. 解： 同步练习：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为2 1的位似图形. 解：

平面直角坐标系中的位似变换【公开课教案】

第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点） 2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点） 一、情景导入 观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？ 二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标 在平面直角坐标系中，已知点A （6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为1 2，把△ABO 缩小，则点A 的 对应点A ′的坐标是（ ） A.（3，2） B.（12，8） C.（12，8）或（－12，－8） D.（3，2）或（－3，－2） 解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可 . 如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为 （3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有 两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指 明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏 解. 【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形 如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位 似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点 . 解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可. 解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A ′（2，4），B ′（4，8），C ′（8，10），D ′（6，2），顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′. 则四边形A ′B ′C ′D ′就是四边形ABCD 的一个位似图形. 方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k （或除以±k ），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.

中考数学复习位似变换的应用

位似变换的应用 位似变换是一种特殊的相似变换，是相似变换的延伸和深化．位似变换具有很多重要性质，在求轨迹解作图、求函数解析式、几何证明中，位似变换是一个有力的工具．利用位似变换的性质能提高学生解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心；利用位似变换的定义和定理可以很快判断出两个图形是否是位似形． 一、位似变换在函数中的应用 利用位似比、位似中心及位似图形的性质求函数解析式，既简单又方便． 例1 已知反比例函数y＝1 x ，求以坐标原点为位似中心，位似比为2：1的反比例函 数解析式． 分析要求反比例函数解析式，只要知道一点的坐标．因此，在y＝1 x 上的图象上找 一点A，所求反比例函数图象上对应点为A’，由已知OA’：OA＝2：1，从而求出A’点坐标． 解如图1，在y＝1 x 图象上取一点A(1，1)，连结OA并延长OA至点A’，使OA’： OA＝2：1，则得图象上的对应点A’(2，2)． ∴所求反比例函数关系式y＝4 x ． 例2 已知，如图2，抛物线y＝x2－2x－2，求以原点为位似中心，且位似比为2：1的抛物线的关系式． 分析要求抛物线的关系式，可以寻找特殊点的坐标，已知抛物线顶点A（1，－3），与y轴交点B(0，－2)，根据位似性质可以求出未知抛物线的顶点A’以及与y轴交点B’的

坐标． 解∵y＝x2－2x－2 ＝（x－1)2－3， ∴顶点A（1，－3），与y轴交点B(0，－2). 所求抛物线与已知抛物线是位似图形，根据位似图形的性质，可得所求抛物线顶A’（2，－6），与y轴交点B’（0，－4）． ∴可设所求抛物线解析式为 y＝a(x－2)2－6． 将B’坐标值代入该式，可得 －4＝a(0－2)2－6， 解得a＝1 2 ， ∴抛物线解析式为 y＝1 2 (x－2)2－6． 由例1、例2得出：求位似变换后函数图象关系式一般方法：先在原函数图象上取一些特殊点，然后根据位似中心、位似比以及位似图形的性质，求出所求图象上的一些特殊点的坐标，因此解题关键是如何选择特殊点，具体选法要根据函数图像性质来确定． 二、位似变换在作图中的应用 根据位似图形的性质，利用位似变换来完成某些作图，是一种常用的方法．位似变化的理论对某些几何作图的解法起着重要的作用，利用位似的性质解作图题的方法叫位似法． 例3 如图3，已知∠AOB，E为∠AOB内一定点，求作⊙C，使⊙C经过E点，且与∠AOB两边都相切．

北师大版九年级上册数学平面直角坐标系中的位似变换教案

九年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋

第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点） 2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点） 一、情景导入 观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？ 二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标 在平面直角坐标系中，已知点A （6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A.（3，2） B.（12，8） C.（12，8）或（－12，－8） D.（3，2）或（－3，－2） 解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可. 如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解. 【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形 如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：

1，位似中心是坐标原点. 解析：以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可. 解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′. 则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形. 方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可. 三、板书设计 平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心. 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 教学目标 1、理解图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质； 2、会在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换，掌握在平面直角坐标系中相似变换的坐标关系； 3、了解伸缩变换与反向位似图形的概念； 教学重点： 图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质；

沪教版数学九年级上册【学案】图形的位似变换

22.4图形的位似变换 教学思路（纠错栏） 教学思路学习目标： 1、理解位似图形的概念；能够熟练地找到位似中心，能够熟练地 利用位似变换将一个图形放大与缩小. 2、了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点. 3、能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大或缩小. 学习重点：用位似变换把一个图形放大或缩小及归纳总结坐标变化规律. 预设难点：在坐标系中准确地将一个图形放大与缩小. ☆预习导航☆ 一、链接 1、什么样的图形叫做全等多边形？什么样的图形叫做相似多边形？相似多边形和全等多边形有什么关系？ 2、小孔成像中物体原来的形状与所成的像是相似的图形吗？ 3、把一个图形变成另一个图形，并保持图形形状不变的几何变换 叫做_________. 4、如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线__________，那么这样的几何变换叫做___________，这样的两个图形叫做___________． 5、图形在平面直角坐标系中作平移变换时坐标的变化规律是 (h>0)： 向左平移h个单位→ ) , (b a(_ _,b)，向右平移h个单位→ ) , (b a(____,b)； 向上平移h个单位, ( ) , (a b a→___)，向下平移h个单位, ( ) , (a b a→__) 二、导读 1、结合课本想一想如何把一个图形放大或缩小？ 2、结合位似图形的概念说说位似图形有哪些性质？ 3、阅读课本中的“阅读与思考”回答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，

（纠错栏） 相似比为K （K ＞0），原图形上点的坐标为（x,y ），那么同向位 似图形对应点的坐标为___________（K ＞0）. （2）在平面直角坐标系中，在作),(),(by ax y x →变换时，当0≠=b a 时为相似变换；当b a ≠时便不是相似变换，我们称之为___________ ． （3）在问题1中若K ＜0，则与K ＞0时的变换结果有什么不同？ ☆ 合作探究 ☆ 1、如图，△ABC 在灯光O 的照射下形成影子△A 'B 'C ', 那么△A 'B 'C '与△ABC 有什么关系？ （1）探究 分别量出线段OA,OA ',OB,OB '的长度，并计算（精确到0.1） =OA OA ' , =OB OB ' . 由此得出 . （2）概念 叫位似变换. 叫位似中心； 叫位似比。 一个图形经过 得到的图形叫作原图形的位似图形. （3）、位似变换的性质 由位似变换和位似图形的定义可以得出位似变换的性质： 2、已知四边形ABCD ，以点O 为位似中心，位似比为2，画出四边形ABCD 在这个位似变换下的位似图形。 （提示：两种画法） O B A'B'C'A C A B C D O

九年级数学下册高频考点专训第2课时平面直角坐标系中的位似

九年级数学下册考点专题训练 第2课时平面直角坐标系中的位似 1.使学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形. 2.让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用. 阅读教材P48-50，自学“探究”与“例”，掌握以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为1 3 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ ②在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点坐标的比为 . ③△ABC和△A1B1C1关于原点位似且点A(-3，4)，它的对应点A1(6，-８)，则△ABC和△A1B1C1的相似比是 . ④已知△ABC三顶点的坐标分别为A(1,2),B(1,0),C(3,3),以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A1B1C1，则△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1 ,B1 ,C1 . 注意分两种情况. 活动1 小组讨论 例1将图形中的△ABC作下列移动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化.①向上平移4个单位；②关于y轴成轴对称；③以点A为位似中心，放大到2倍.

解:①平移后得△A1B1C1，横坐标不变，纵坐标都加4； ②△ABC关于y轴成轴对称的图形为△A2B2C2，纵坐标不变，横坐标为对应点横坐标的相反数； ③放大后得△AB3C3，A的坐标不变，B3在B的基础上纵坐标不变，横坐标加AB的长，C3的横坐标在C的横坐标的基础上加AB的长，纵坐标在C的纵坐标系的基础上加BC的长. 考虑图形在平面直角坐标系中作何种变换，弄清点的坐标的变化情况；作位似变换时，求出顶点坐标即可. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的1 2，连接各点所得图形与原图形相比( ) A.完全没有变化 B.扩大成原来的2倍 C.面积缩小为原来的1 4 D.关于纵轴成轴对称 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和８，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( ) A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 活动1 小组讨论 例2 如图所示的△ABC，以A点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标. 解:根据题意，图中的△AB1C1就是满足题意的三角形，其中A点的坐标不变，仍是(-3，-1)，B1、C1的坐标分别为(3，-3)，(1，3).

青岛版-数学-九年级上册-例析点的坐标与位似变换

点的坐标与位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k．在直角坐标系中，已知位似变换图形可以确定点的坐标；也可以根据点的坐标及位似比画一个图形的位似图形． 一、根据位似图形，确定点的坐标 例1如图1，将△OAB以O点为位似中心，放大2倍得 到△OA′B′，请写出各顶点的坐标，你从中发现了各顶点的坐 标发生了什么变化． 例2如图2，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点O为位似中心的位似 △A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC的位似比为1 2 ，写出三角形各顶点 的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？ 二、根据点的坐标画位似图形 例3已知△ABC各顶点的坐标分别是A（-4，-4），B（-2，-4），C（-6，-8），画出它的一个以原点为位似中心，相似比为的一个位似图形．

参考答案 例1： 分析：已知直角坐标系内的位似图形，可以写出图形中各顶点的坐标．根据对应点坐标的关系确定变化关系． 解：观察图形可知△OAB各顶点的坐标是：O（0，0）、A（3，0）、B（2，3）．△OA′B′各顶点的坐标是：O（0，0）、A′（6，0）、B′（4，6）．观察各顶点坐标可以发现：O点的坐标不变，顶点A′、B′的坐标比顶点A、B的坐标横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍． 例2： 分析：要画△ABC以坐标原点O为位似中心的位似图形△A′B′C′，若△A′B′C′ 与△ABC的位似比为1 2 ，且△A′B′C′在第一象限时，△A′B′C′各顶点的坐标分别 是△ABC各顶点坐标的1 2 ． 解：△ABC三个顶点的坐标分别是：A（2，2），B（6，4），C（4，6）．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′（-1，-1），B′（-3，-2），C′（-2，-3）．观图形可知，△A′B′C′各顶点的坐标分别是将△ABC各对应顶点坐标都乘以 了 1 2 -． 评注：根据位似图形确定点的坐标，以及位似图形点的坐标之间的关系，关 键是明确位似比与相应点的坐标之间的关系． 例3： 分析：解决问题的关键是确定位似图形各个顶点的坐标，根据前面的规律可 知点A的对应点A′的点的坐标为 11 44 22 ?? -?-? ? ?? ，，即（-2，-2）．类似可求出点B′、 C′对应点的坐标，根据坐标可画出位似图形． 解：利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（-2，-2），B′（-1，-2），C′（-3，-4），依次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′就是要求的△ABC的位似图形．

人教版九年级数学下册 27.3.2位似图形的坐标变化规律巩固练习(含答案)

27.3.2位似图形的坐标变化规律巩固练习（含答案） 一、选择题 1．将平面直角坐标系中某个图案各点的坐标作如下变化，其中一定属于位似变换的是( ) A ．将各点的纵坐标乘2，横坐标不变 B ．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变 C ．将各点的横坐标、纵坐标都乘2 D ．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 2．如图1，在平面直角坐标系中，有两点A (4，2)，B (3，0)，以原点O 为位似中心，A ′B ′与AB 的相似比为1 2 ，得到线段A ′B ′，正确的画法是( ) 图1 3．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图2，则小鱼上的点(a ，b )对应大鱼上的点( ) 图2 A ．(－2a ，－2b ) B ．(－a ，－2b ) C ．(－2b ，－2a ) D ．(－2a ，－b ) 4．在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的1 2 后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( ) A ．(5，1) B ．(4，3) C ．(3，4) D ．(1，5)

5．如图3，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形，位似中心为原点O ，点A ，A ′的坐标分别是(－1，2)，(2，－4)．若△ABC 的面积为4，则△A ′B ′C ′的面积是( ) 图3 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.如图4，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1 3 ，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形BEFG 的边长为6，则点C 的坐标为( ) 图4 A ．(3，2) B ．(3，1) C ．(2，2) D ．(4，2) 二、填空题 7．如图5，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO 的顶点坐标分别为A (－2，－1)，B (－2，－3)，O (0，0)，△A 1B 1O 1的顶点坐标分别为A 1(1，－1)，B 1(1，－5)，O 1(5，1)，△ABO 与△A 1B 1O 1是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标为________． 图5 8．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(4，2)，(5，0)，以点O 为位似中心，相似比为1 2，把△ABO 缩小得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为______________． 9．如图6所示，在正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则这两个正方形的位似中心的坐标是______________．

北师大版九年级数学第四章图形的位似

图形的位似 【学习目标】 1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放 大或缩小； 2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化. 【要点梳理】 要点一、位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点进阶： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点. 要点进阶： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

要点二、坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |. 要点进阶：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k. 【典型例题】 类型一、位似多边形 例1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）. A. B. C. D. 举一反三 【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）. A. 3倍 B.2 1 C.31 D.不知AB 的长度，无法判断

【教案】 图形的位似变换(2)

22.4图形的位似变换 教学目标 【知识与技能】 1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质. 2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小. 【过程与方法】 经历位似图形的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力. 【情感、态度与价值观】 培养学生动手操作的能力,体验学习的乐趣. 重点难点 【重点】 位似图形的有关概念、性质与作图. 【难点】 利用位似将一个图形放大或缩小. 教学过程 一、问题引入 1.生活中我们经常把照片放大或缩小,由于没有改变图形的形状,我们得到的照片是真实的. 2.问:如图,多边形,把它放大为原来的2倍,即新图与原图的相似比为2,应该怎样做?你能说出画相似图形的一种方法吗? 二、新课教授 活动1:观察下图,图中有多边形相似吗?如果有,那么这种相似有什么共同的特征?

师生活动: 教师提出问题. 学生通过观察了解到有一类相似的图形,除具备个似的所有性质外,还有其他特性,学生自己归纳出位似图形的概念:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.每对位似对应点与位似中心共线(位似中心可在形上、形外、形内);不经过位似中心的对应线段平行.利用位似可以将一个图形放大或缩小. 活动2:把图中的四边形缩小到原来的. 师生活动: 教师提出问题,要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形,要让学生通过作图理解符合要求的图形不唯一,这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关(如位似中心O可能选在四边形外,可能选在四边形内,可能选在四边形的一条边上,可能选在四边形的一个顶点上),并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形,因此,位似中心的确定是关键. 学生积极思考如何作图,并动手作图,遇到问题及时询问. 分析:把图形缩小到原来的,也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2. 作法一: (1)在四边形外任取一点O; (2)过点O分别作射线、、、; (3)分别在射线、、、上取点A'、B'、C'、D',使得 2 = ' = ' = ' = ' OD D O OC C O OB B O OA A O ; (4)顺次连接A'B'、B'C'、C'D'、D'A',所得四边形A'B'C'D'就是所要求作的图形,如图.

平面直角坐标系中的位似图形

第2课时 平面直角坐标系中的位似图形 基础题 知识点 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律 1．(武汉中考)如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的1 2后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( ) A ．(3，3) B ．(4，3) C ．(3，1) D ．(4，1) 2．如图，已知O 是坐标原点，△OBC 与△ODE 是以O 点为位似中心的位似图形，且△OBC 与△ODE 的相似比为1∶2，如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y)，则M 在△ODE 中的对应点M′的坐标为( ) A ．(－x ，－y) B ．(－2x ，－2y) C ．(－2x ，2y) D ．(2x ，－2y) 3．△ABC 和△A′B′C′关于原点位似，且点A(－3，4)，它的对应点A′(6，－8)，则△ABC 与△A′B′C′的相似比是________． 4．如图，原点O 是△ABC 和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，点B(2，2)，则B′点的坐标________． 5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a ，b)对应小鱼上的点的坐标是________________． 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B ′(6，2)． (1)若点A(5 2 ，3)，则A′的坐标为________； (2)若△ABC 的面积为m ，则△A′B′C′的面积＝________．

图形的位似变换

22．4图形的位似变换 第1课时位似图形 1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别；(重点) 2．掌握位似图形的性质，会画位似图形；(重点) 3．会利用位似将一个图形放大或缩小．(难点) 一、情境导入 生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．观察图中有相似的多边形吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？ 二、合作探究 探究点一：位似图形的识别 观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？ 图27.3-2 学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行． 如图所示，指出下列图中两个图形是否是位似图形？ 解：(1)(2)(4)三图中的两个图形都是位似图形．

方法总结：解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点，若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断(1)(2)(4)是位似图形，(3)不是位似图形． 探究点二：位似图形的性质 如图所示，△ABC 与△A ′B ′C ′关于点O 位似，BO ＝3，B ′O ＝6. (1)若AC ＝5，求A ′C ′的长； (2)若△ABC 的面积为7，求△A ′B ′C ′的面积． 解：(1)∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，位似比为OB ∶OB ′＝3∶6＝1∶2， ∴AC A ′C ′＝12 ，得A ′C ′＝10； (2)根据题意，得S △ABC S △A ′B ′C ′＝(AC A ′C ′ )2＝14， 即7 S △A ′B ′C ′＝14，所以S △A ′B ′C ′＝7×4＝28. 方法总结：位似图形是一种特殊的相似图形，图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，可利用相似三角形的性质解决有关问题． 探究点三：位似图形的画法 (1)如图甲，在位似中心O 的异侧，作出已知四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，使四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为2∶3； (2)如图乙，已知五边形ABCDE ，在位似中心O 的同侧作五边形ABCDE 的位似图形A ′B ′C ′D ′E ′，使五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比为1∶3. 解：(1)画法如下： ①分别连接OA ，OB ，OC ，OD 并反向延长； ②分别在AO ，BO ，CO ，DO 的延长线上截取OA ′，OB ′，OC ′，OD ′，使OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC ＝OD ′OD ＝23 ； ③顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′. 四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的四边形；

九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似第2课时平面直角坐标系中的位似变换教案(新版)北师大版

九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似第2课时平面直角坐标系 中的位似变换教案（新版）北师大版 一、教学目标 1．巩固位似图形及其有关概念． 2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换． 二、重点、难点 1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换． 2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 3．难点的突破方法 （1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．． （2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 ．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． （3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标． （4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换． 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是教材P117的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同． 四、课堂引入 1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，

平面直角坐标系中的位似-人教版九年级数学下册优秀教案设计

第2课时 平面直角坐标系中的位似 1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点) 2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点) 一、情境导入 观察如图所示的坐标系． 试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形． 二、合作探究 探究点一：平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标 如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心， 在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12 后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( ) A ．(3，3) B ．(4，3) C ．(3，1) D ．(4，1) 解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在 第一象限内将线段AB 缩小为原来的12 后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．故选A. 方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型二】 在坐标系中画位似图形 在13×13的网格图中，已知△ABC 和点M (1，2)． (1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′； (2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．

解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可． 解：(1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求； (2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)． 方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型三】 在坐标系中确定位似比 △ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似 图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13 )，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________． 解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的 位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13 )，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3. 方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：位似在坐标系中的简单应用 【类型一】 确定图形的面积 如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应 点，△ABC 的面积是32 ，则△A ′B ′C ′的面积是________． 解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′ 的位似比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是32 ，∴△A ′B ′C ′的面积是6.