小学奥数：5-5-4 余数性质(二).教师版

1. 学习余数的三大定理及综合运用

2. 理解弃9法，并运用其解题

一、三大余数定理：

1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a 与

b 的乘积除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．

二、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被

知识点拨

教学目标

5-5-4.余数性质（二）

称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

模块一、余数性质的综合运用

【例 1】 20032与22003的和除以7的余数是________．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】南京市，少年数学智力冬令营

【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2

的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．

【答案】5

【巩固】

2008222008+除以7的余数是多少？ 【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】

328=除以7的余数为1，200836691=?+，所以200836691366922(2)2?==?＋，其除以7的余数为：669122?=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．

【答案】3

【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3，时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，

8，1以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；

30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3，时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；

所以()

30313130+被13除所得的余数是124133+-=．

【答案】3

【例 2】 M 、N 为非零自然数，且20072008M N +被7整除。M N +的最小值为 。

【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分

【解析】

2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以56M N +能被7整除，经试算，M N +最小值为325+= 【答案】5

例题精讲

【例 3】 1234200512342005+++++除以10所得的余数为多少？ 【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而

对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算123420123420+++++的个位数字，

为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，

由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400?=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．

【答案】3

【例 4】 已知n 是正整数，规定!12n n =???，

令1!12!23!32007!2007m =?+?+?++?，则整数m 除以2008的余数为多少？

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】清华附中

【解析】

1!12!23!32007!2007m =?+?+?++? 1!212!313!412007!20081=?-+?-+?-++?-（）（）（）（）

2!1!3!2!4!3!2008!2007!=-+-+-++-

2008!1=-

2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007．

【答案】2007

【例 5】 设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n 被7除余数为2，被11除余数为3．由于122=被

7除余2，而328=被7除余1，所以n 除以3的余数为1；由于82256=被11除余3，1021024=被11除余1，所以n 除以10的余数为8．可见2n +是3和10的公倍数，最小为[]3,1030=，所以n 的最小值为28．

【答案】28

【例 6】 试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 通过逐次计算，可以求出3n 被11除的余数，依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，

因而3n 被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求出7n 被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是374n n ++被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96n =时374n n ++能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n 的和为：

346131416...9394961343...2831480+++++++++=+++=．

【答案】1480

【例 7】 对任意的自然数n ，证明2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】18977271=?，7与271互质，因为29035(mod 7)≡，

8035(mod7)≡，4642(mod 7)≡，2612(mod7)≡，所以，290380346426155220(m n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被7整除．又因为

2903193(mod 271)≡，803261(mod 271)≡，464193(mod 271)≡，所以

29038034642611932611932610(mod271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除．因为7与271互质，所以A 能被1897整除．

小学奥数----余数问题

余数问题 例1：被除数、除数、商和余数之和是2143，已知商事33，余数是52，求被除数和除数。 拓展1：有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数和是25，这个自然数是多少？ 例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 拓展2：在1~200这200个自然数中，被3除或被7除都余2的数有多少个？ 例3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，a加b的和除以7余几？ 拓展3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a 大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？ 例4：有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个数是多少？ 例5：整数11111----111（2004个1）被6除余数是几？ 1、2100除以一个两位数得到的余数是56，那么这个两位数是（）。 2、在整数除法里，余数比除数小，那么从4到50的各整数除以4，余数是2的整数有（）个。 3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数至少是（）。

4、清照小学鼓号队同学在操场上列队，已知人数在90~110人之间，排成3列没有剩余，排成5列不足2人，排成7列不足4人，共用（）人参加列队。 5、一个四位数2a75除以11后所得余数是1，那么a=（）。 6、用一个整数去除312、231、123、得到的3个余数之和是41，这个数是（）。 7、在1~400整数中，被3、5、7除都余2的数有（）个。 8、100个7组成一个一百位数，被13除后余数是（），商的各位数字之和是（）。 9、71427和19的积被7除余（）。 10、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3，而余数恰好相同，原题中的除数是（）。11、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，这个自然数最大是（）。 12、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别是2和1，那么n最小是（）。 13、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数的差得4289，男孩（）岁，父亲（）岁。 14甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是上5余1，乙数是（）。

五年级奥数.数论. 余数性质及同余定理(B级).学生版

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

小学数学五年级《带余数的除法》奥数教材教案

小学五年级奥数教材：带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。 例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。 分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。 解：∵被除数÷除数=商…余数， 即被除数=除数×商+余数， ∴251=除数×商+41， 251-41=除数×商， ∴210=除数×商。 ∵210=2×3×5×7， ∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。 例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 解：∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， ∴（除数×40+16）+除数=877， ∴除数×41=877-16， 除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。 例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？ 解：十月份共有31天，每周共有7天， ∵31=7×4+3， ∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？ 解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天）， 从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数

六年级上册奥数——余数问题练习题

. 精选 1.小东在计算除法时，把除法87写成78，结果得到的商是54，余数是8，求正确的商和余数。 2.智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多了二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是多少人。你知道小明的年级有多少人吗？ 3.幼儿园有糖115糖，饼干148块，橘子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，橘子多出2人。问这个大班的小朋友最多有多少人？ 4.试求一个四位数，它被131除的余数是112，被132除的余数是98. 5.如果69、90、125被自然数N （N 不等于1）除，所得余数相同，求81被N 除的余数。 6.1×2×3×4×5×6×7×8×9×10除以11的余数是 。 7.自然数A 被1981除的余数是35，被1982除的余数也是35，它被14除的余数是多少？ 8.现有一堆糖果，它们不能被12个儿童平分，也不能被16个儿童或28个儿童平分。如果这堆糖块增加5块，则这堆糖块就能被以上三群儿童平分。求这堆糖至少有多少块？ 9.从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的 11 7，则取出的三个数的积最大等于（ ） A.280 B.270 C.252 D.216 10.4444344442120062008200620062006个????除以2007的余数是多少？ 11.从401到1000的所有整数中，被8除余数是1的数有多少个？ 12.有一张纸片，第一次将它撕成4小片，第二次将其中的一张又撕成4小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的4小片，请问： （1）撕了五次后，一共得到多少张纸片？ （2）能否撕成1994张纸片？ 13.圆周上有83个空盒，顺时针依次编号为0,1,2,3，…，82，小明沿顺时针方向按如下规则向盒中放球：第一次在1号盒中放一个；第二次隔一个盒子，在3号盒中放一个；第三次隔两个盒子，在6号盒中放一个；……；第k 次向前隔k —1个盒子，在下一个盒子中放入一个球。如此共放了2005个球。问：有球的盒子中哪个盒子中球数最少？它里面有多少个球？ 14.11+22+33+4?+55+66+77+88+9 9除以3的余数是几？为什么？ 15.把自然数如下图排列，问2020位于哪个字母下面？ A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 19 20 … 16.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。如果号码的前两位数之和等于后两位数之和，则称这张购物券为“幸运券”，例如号码0734，因为0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券，试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。

五年级奥数带余数除法

带余数的除法 月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系： 被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。 例题集合 例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？ 练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？ 例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？

练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？ 例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？ 练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？ 练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？

例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？ 练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个？ 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

第二十一讲余数的性质与计算 37』桂除的 余数足多少？我知沽玳，余数昂7! ^ 1 这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数. 一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0

当r 0 时，我们称a 能被b 整除； 当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）* 商；商=（被除数-余数）十除数. 余数小于除数． 理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被 除数和除数各是多少？ 「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？ 练习1． 甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数． 我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除 特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法： 1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数； 一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数； 一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数； 2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数； 一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法． （3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如 果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．

奥数 余数问题 中国剩余定理

被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） 同余定理1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。并且我们说a，b之间的差能被c整除。（a b c三个数都是自然数） 例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？ 习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值. 同余定理2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。（a b c均为自然数） 例2：22003除以7的余数是多少？ 习题2：??的积,除以4的余数是_____. 例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理） 分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。此题解法很多，在此介绍同余尝试法。在附录中有此种题型的一般解法。题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数： 2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57…… 在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然， 23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4……以上数列都能满足前面两个要求。所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有 23，58，93，128，163，198，233，268，303，338…… 接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然 23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3…… 综上，我们发现 23，128，233，338，443…… 均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。 以上的求解过程我们叫同余尝试法，难点在于尝试这个过程会导致计算量比较大，但是这种解题方法适应性强，条件可以无限制增加，方法不变。

小学奥数思维训练-余数通用版

小学奥数思维训练-余数通用版

2014年五年级数学思维训练：余数 1．（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？ 2．（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？ 4．（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？ 5．（4分）某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？ 6．（4分）（1）220除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？ 121

7．（4分）8+8×8+…+除以5的余数是 多少？ 8．（4分）一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？ 9．（4分）有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？10．（4分）100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？ （4分）1111除以一个两位数，余数是66．求11． 这个两位数． 12．（4分）（1）除以4和125的余数分别是多少？ （2）除以9和11的余数分别是多少？13．（4分）一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？ 14．（4分）自然数的个位数字是．

五年级奥数__尾数和余数上课讲义

五年级奥数__尾数和 余数

第6讲尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 （2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。 练习3： 1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？

小学奥数教师版-5-5-4 余数性质(二)

5-5-4.余数性质（二） 教学目标 1.学习余数的三大定理及综合运用 2.理解弃9法，并运用其解题 知识点拨 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的加法定理 a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 二、弃九法原理 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2 而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。 而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的

五年级奥数讲义余数问题

第四讲 余数问题 知识点： 1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有105 2、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。例如： 3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。例如： 4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。例如： 5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。 例如： 一、例题讲解 例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。 例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？ 例4、整数1111…111除以6的余数是几？ 2012个1

例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？ 二、拓展训练 1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？ 2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？ 3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？ 4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。这个数多少？

五年级奥数第讲尾数和余数

五年级奥数第讲尾数和 余数 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

第2讲尾数和余数 一、知识要点 自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】（1）9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？ （2）0.3×0.3×0.3×……0.3（204个0.3相乘）×25×25×25×……×25（1001个25）的个位数字是几？ 练习1： （1）61×61×61×……×61（2001个61相乘）积的尾数是几？ （2）（31×36）×（31×36）×……×（31×36）（共50个）积的尾数是几？ （3）0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？ 【例题2】3×3×3×……3（2006个3相乘）+4×4×4×……4（2007个4相乘）的尾数是几？ 练习2： （1）5×5×5×......5（2000个5相乘）+6×6×6×......6（2001个6相乘）+7×7×7× (7) （2002个7相乘）的尾数是几？ （2）52×52×52×……52（33个52相乘）-32×32×32×……32（29个32相乘）的尾数是几？ 【例题3】444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？ 练习3：当商是整数时，余数各是几？ （1）666……6（50个6）÷4（2）888……8（80个8）÷7 （3）444……4（1000个4）÷74（4）111……1（1000个1）÷5 【例题4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？ 练习4： （1）有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10.从第三个数七，每个数恰好是前面两个数的和。在这一串数种，第1991个数被3除，所得的余数是几？ （2）一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，依次类推。这列数左起第1996个数被5除余

小学奥数- 带余除法(一)

5-5-1.带余除法（一） 教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算 知识点拨 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 例题精讲 除法公式的应用 【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。 【例2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。【例3】除法算式 □□=208中，被除数最小等于。 【例4】71427和19的积被7除，余数是几? 【例5】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数． 【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 【巩固】在下面的空格中填上适当的数。

二年级奥数：趣味数学一,余数问题

二年级奥数：趣味数学一，余数问题同学们在平时的练习中会发现，有些题目和我们的生活紧密联系，非常有趣味性，但是又没有什么固定的模式去解答，总是一不小心就掉进了出题人的陷阱，要想解答这些题目，就需要发挥我们的聪明才智，有时还要打破常规去想。在我们解答这些带有迷惑性的题目时，一定要认真读题，领会题目的真实意思，再经过充分的分析和思考，运用自己的聪明才智巧妙地解决问题。下面我就通过一些典型的例题来打开大家的思路，希望对大家日后的学习带来帮助。 例题1 碰到例1这类可能性的问题，我们一定要认真读题，抓住重点，仔细思考题目出现的一些关键字或者词语的深层意思。

例题2 这题还是比较简单的，也许同学们会说我很容易就可以知道答案了，但是如果题目中的数字变大了的时候呢？所以我们要先列举一些情况，从中来找到规律。

例题3 此类问题非常具有迷惑性，初一看会觉得，这题还有解吗？30个小时后谁知道天气会怎样？但是如果你能够联系我们的生活实际，考虑到晚上不会有太阳出现的情况，那么就会非常容易了。还要注意时间前面说的是下午，不要弄错。

例题4 例题5

我相信大家都觉得例5非常的简单，但是以往老师的学生出错的，都是写的10。说明没有很好的审题，粗心会导致将20号也算了进去。因此在我们平时学习和练习过程中，开始没有思路的时候要反复读题，将已知条件在草稿本上先列出来，这样比已知条件藏在题目中更容易找到思路。 余数的除法，在有余数的除法里，余数要比除数小。利用有余数的除法里的余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用了。 要解决除数最小，余数最大的问题，最主要是掌握除数和余数的关系，余数必须比数数小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到正确答案。下面我就通过几个典型的例子来讲解一下这类问题。

五年级奥数__尾数和余数

第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数： 210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30， 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……× （12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4

五年级奥数.数论.余数性质(C级)

五年级奥数.数论.余数性质(C级) 「例T.7 一个两位数除刖金余籬品求这样的两位数。 【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答 「解折亍本題为余数问姻的M題吐需要学生明白一个重要知鎭畐就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数，即得到一个除数的借数；或者是用被除数加上一个“除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數" 本題中315-*2=273＞说明273是所求兪数的倍数* 273=3x7x13＞所求的两位数的數还要满足 比竝丸，符合条件的有91 【答案】91 I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数* 7 4 Z □ □? 2 0 0 4 7 □ □ □ 【耆点】除法公戎的应用I难度】2星【题型】填空 ［关皱词】如年，第2^,走具杯.3年级,决赛丫第10題，12余 【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀，根据除法的计算公瓦：掖徐龜4■除數=商……余敷，建推计算痔到：徐數-(2WM7—13)^742=27… 【答集】27 I例?］命子里放有编号I到10的十平球，小虹先后二次从盒子中共収出九个球，如果从第二次起，每衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩卜的球的编号为—? I耆点】餘法公式的应用【难度】3星【题型】填空 【关撻词】第盛届、走美杯，四年虬初躺第11罐 【解析】令箔I次取的編号为釧第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为：2(2i+l ) +L=4a+3;还剰下的编号为：55*7a^=5L-7a,爭a为百臥俞下的趕9；当a为7时，余下的是￡ 【答案】9A＜2 I巩间】川个口然数，利为100,分别除囚人杵用去足泌「10个商的和为3D；若用四舍五入法，呦个商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右_______________ 个. 【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型〕填空 【关犍词】2(X)8年，第天届+走关杯，五年虬和執第洛題 【解析】由题意，“用击足法，10个贯的舸为和；用四舍五入法，KJ个商的粗为34"可知，10介数中除直

小学奥数思维训练-余数｜通用版

2014年五年级数学思维训练：余数 1．（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？ 2．（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？ 3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？ 4．（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？ 5．（4分）某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？ 6．（4分）（1）220除以7的余数是多少？ （2）1414除以11的余数是多少？ （3）28121除以13的余数是多少？ 7．（4分）8+8×8+…+除以5的余数是多少？ 8．（4分）一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？ 9．（4分）有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？10．（4分）100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？ 11．（4分）1111除以一个两位数，余数是66．求这个两位数． 12．（4分）（1）除以4和125的余数分别是多少？ （2）除以9和11的余数分别是多少？ 13．（4分）一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？14．（4分）自然数的个位数字是． 15．（4分）算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数是多少？ 16．（4分）一个自然数除以49余23，除以48也余23．这个自然数被14除的余数是多少？ 17．（4分）一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？18．（4分）刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有6只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？ 19．（4分）除以99的余数是多少？ 20．（4分）把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25

六年级下册奥数专题练习-余数问题-全国通用

余数问题 【求余数】 （1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题） 一组，就可得到331组，尚余4个6。 而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。 例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。 （《现代小学数学》邀请赛试题） 讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。 9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。 7×3=21，21÷9=2……3。 所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。 例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。 （1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。 要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。 但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。

所以，最多能选出77个。 【同余问题】 例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。 （全国第一届“华杯赛”初赛试题） 讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。 不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。 例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题） 讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。 例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。 （哈尔滨市小学数学竞赛试题） 讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。 加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。 因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。 例4 在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题）

小学五年级奥数尾数与余数练习题(举一反三)

尾数与余数 练习一 1、317除以一个两位数后余数是2，符和条件的两位数有哪些？ 2、写出除349后余4的全部两位数。 3、写出除1095后余3的全部三位数。 练习二 1、61×61×61×…×61（2011个61）积的尾数是几？ 2、（31×36）×（31×36）×…×（31×36）（50个31×36）积的尾数是几？ 3、9×9×9×…×9（91个9）积的个位数是几？

练习三 1、555…555(2001个5)÷13，当商是整数时，余数是几？ 2、下列各小题中，当商是整数时，余数各是多少？ （1）、666…6（50个6）÷4 （2）、888…8（80个8）÷7 （3）、444…4（1000个4）÷74 （4）、111…1(1000个1)÷5 3、把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 练习四 1、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是 前两个数的和。在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是多少？

2、一列数1，2，4，7,11,16,22,29，…。这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第 三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，以次类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？ 3.有一串数：5,8,13,21,34,55,89，…。其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？ 练习五 1、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是 几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？ 2、甲数除以9余7，乙数除以9余6，丙数除以9余5，那么（甲＋乙+丙）÷9还有余数 吗？ 3、