Simple-RSA算法_实验报告
北京林业大学
2014 学年—2015 学年第2 学期计算机网络安全
实验任务书
专业：计算机科学与技术班级：_计算机班______
姓名：学号：__________
实验地点：N901 任课教师：
实验题目：Simple-RSA算法
实验环境：Windows 操作系统，VC开发环境，C/C++语言
实验要求：
阅读RSA算法，巩固对RSA公钥加解密算法原理的理解。学习和掌握生成质数的一般性方法，用于产生RSA算法秘钥。
1.编程计算所有小于200的质数，输出文件到primer.txt。
2.编程实现大整数指数求余的函数Power_Mod(B,i,n)=B i mod n。
3.选择p为小于100的最大质数、q为大于100的最小质数，计算RSA算法的公钥(e,n)和私钥(d,n)。
4.基于公钥(e,n)和私钥(d,n)，以及Power_Mod计算明文M=52的密文C，并计算密文C的明文M，验证算法的正确性。0
5.尝试一个更大的M（但不要超过n），计算密文C；利用解密公式反求解M，体会计算过程与结果的差异。
实验内容：
1.算法简介
RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
RSA是目前最有影响力的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。
今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。但在分布式计算和量子计算机理论日趋成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑战。
RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
正是基于这种理论，RSA算法通常是先生成一对RSA 密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册。为提高保密强度，RSA密钥至少为500位长，一般推荐使用1024位。这就使加密的计算量很大。为减少计算量，在传送信息时，常采用传统加密方法与公开密钥加密方法相结合的方式，即信息采用改进的DES或IDEA对话密钥加密，然后使用RSA 密钥加密对话密钥和信息摘要。对方收到信息后，用不同的密钥解密并可核对信息摘要。
RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现今的三十多年里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
2.素数的计算与判别
素数的定义是：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数（质数）整除。换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则，称为合数。根据这一原则，最小的素数是2，它也是唯一的偶素数。再往后是3,5,7,11,13,17,19等等。
要判别一个数q是否是素数其实就是看他能不能被其他大于1的自然数整除：如果不存在这样的自然数，那么q就是素数；否则q就是合数。对于一个给定的整数，一个简单的方法是用它去除以所有比它小的整数，如果都不能整除，那么就是素数，否则就是合数。
但是使用这种方法的效率往往较低，可以从两个角度进行改进。第一，由于合数是两个或两个以上素数的乘积，只要一个数能够被一个小于它素数整除，那么这个数字的倍数都是合数。这样，对于一个给定的数字，我们只要看它能否整除小于它的素数就可以判别该数字的类型了。
第二个方面，2,3,5,11等素数都有较为容易的判别准则，可以尝试利用这些准则进行筛选备选素数。例如，所有的偶数都不用进行尝试了，或者所有末尾是5的数字也不需要尝试。给出你的想法和实现。
3.余数的性质
余数的定义：如果整数a=c*n+r(0= 对于两个整数a=c1*n+r1和b=c2*n+r2(0= 1)(a+b) mod n =[(c1+c2)*n+(r1+r2)] mod n=(r1+r2) mod n 2)(a*b) mod n =[(c1*c2*n+c1*r2+c2*r1)*n+r1*r2] mod n =(r1*r2) mod n 利用这两条性质，我们就可以利用余数r1和r2四则运算的结果对n求余数，从而实现对原始整数a,b四则运算的求余数。 4.幂指数余数的简化计算 对于B i，当B或者i非常大的时候，整数B i 的数值会非常大，很容易就会出现超出计算机的存储范围。但是如果我们求解的是幂指数B i 的余数时，就可以利用余数的性质进行简化。 如果B>M并且B=c*M+r(0<=r 如果B B i+2 mod M=[(B i mod M)*r] mod M。 5.参考教材生成RSA算法秘钥对，利用公钥加密、私钥解密（详见教材）。 实验报告要求： 1.预习报告 a)请用文字说明判别一个数是否是质数的判别方法。如何有效的加快素数的寻找办法？是否能利用已知的小素数判断更大的素数? 答：判别质数： 1）第一补求得改质数的平方根 2）用质数从2开始取余，求得余数为0，则这个数不为质数。 3）直到被除数大于该数的平方根时，则这个数为质数。 加快质数的寻找方法，大于2的奇数中寻找。 不能利用已知的小素数判断更大的素数。 b)给定三个整数B,n,i，如果B>n，在计算B i mod n时，如何避免产生一个较大的整数B i？ 答： 避免产生一个较大的整数，减小i or 若B能够整除n则先整除n 之后再计算。。 c)给定三个整数B,n,i，如果B 答： 减小B的值。 d)对于选定的素数p和q，给出求解公钥(e,n)和私钥(d,n)的求解方法和步骤。 答： 1）n = p * q; 2) f(n) = (p-1) * (q-1); 3) 求解1 4) e * d = 1 mod f(n);求解得到d; e)基于Power_Mod(B,i,n)和给定的公钥(e,n)和私钥(d,n)，给出 对M加密/对C解密的计算函数。 答： C = M^e mod n; M = C^d mod n; 2.实验总结 a)给出本实验中每一个函数的完整声明，并说明这些函数的功能是什么。 答： void primer_200()；//求200以内的所有素数。 int Power_Mod(int B,int i,int n);//大整数求余。 void public_private(int p,int q);//计算公钥私钥。 void mingwen_miwen(int M);//计算密文以及验证密文 void big_mingwen(int M);//尝试计算一个大整数明文的密文 b)写出200以内的所有质数。 答： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 c)你是如何计算Power_Mod(B,i,n)=B i mod n的？有没有采用一定的方法避免过大B i的产生？ 答： 没有，没有想到这样的实际可行的办法。 d)对于加解密的时间，你有什么直观的体会？ 答： 当公钥很大时，或者是明文比较大时出现计算时间明显增大，需要的时间比较长。