实验一 MATLAB系统的传递函数和状态空间表达式的转换

实验一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换

一、

实验目的

1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法；

2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法；

3、掌握相应的MATLAB 函数。 二、

实验原理

设系统的模型如式（1.1）所示：

??

?+=+=D

Cx y Bu

Ax x ' x ''R ∈ u ∈R ’’’ y ∈R P (1.1) 其中A 为nXn 维系统矩阵、B 为nXm 维输入矩阵、C 为pXn 维输出矩阵，D 为直接传递函数。系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式（1.2）所示

G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2)

式（1.2）中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是pXm ，den(s)表示传递函数的按s 降幂排列的分母。

表示状态空间模型和传递函数的MATLAB 函数如下：

函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是: sys=ss(A,B,C,D)

函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是: G=tf(num ，den)

其中num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。

函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

其中对于多输入系统，必须确定iu 的值。例如，若系统有三个输入u 1，u 2，u 3，则iu 必须是1、2、或3，其中1表示u 1,2表示u 2，3表示u 3。该函数的结果是第iu 个输入到所有输出的传递函数。 三.实验步骤及结果

1、应用MATLAB 对下列系统编程，求系统的A 、B 、C 、D 阵，然后验证传递函数是相同的。

G(s)= ?

?????+++352^12s s

s s 3+4s 2+5s+1

程序和运行结果：

num=[0 0 2 1;0 1 5 3];

den=[1 4 5 1];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -4 -5 -1

1 0 0 0 1 0 B = 1

0 0

C =0 2 1 1 5 3

D =0

A=[-4 -5 -1;1 0 0;0 1 0]; A=[-4 -5 -1;1 0 0;0 1 0]; B=[1;0;0];

C=[0 2 1;1 5 3]; D=[0;0];

[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1)

num1 = 0 0.0000 2.0000 1.0000

0 1.0000 5.0000 3.0000 den1 =1.0000 4.0000 5.0000 1.0000

2、给定系统G(s)=6

112^63^542^+++++s s s s s ，求系统的零极点增益模型

和状态空间模型

程序和运行结果： num=[0 1 4 5];

den=[1 6 11 6]; sys=tf(num,den)

Transfer function: s^2 + 4 s + 5

----------------------

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

>> sys1=tf2zp(num,den)

sys1 = -2.0000 + 1.0000i

-2.0000 - 1.0000i

>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A =6 -11 -6

1 0 0

0 1 0

B =1

C =1 4 5

D =0

实验2 状态空间模型系统仿真及状态方程求解

一、实验目的

1、熟悉线性定常离散与连续系统的状态空间控制模型的输入方法；

2、熟悉系统模型之间的转换功能；

3、利用MATLAB对线性定常系统进行动态分析。

二、实验原理

函数step(sys)给出了系统的单位阶跃响应曲线，其中的sys表示贮存在计算机内的状态空间模型，它可以由函数sys=ss(A,B,C,D)得到。

函数impulse(sys)给出了系统的单位脉冲响应曲线。

函数[y,T,x]=Isim(sys,u,t,x0)给出了一个状态空间模型对任意输入的响应，x0是初始状态。

函数c2d将连续系统状态空间描述转化为离散系统状态空间形式，其一般形式为：[G,H]=c2d(A,B,T)，其中的T是离散化模型的采样周期。

函数d2c将离散系统状态空间描述转化为连续系统状态空间描述，其一般形式为：sysc=d2c(sysd,Method)，其中的Method默认值为‘zoh’方法，即带零阶保持器的z变换。

函数dstep(G,H,C,D)给出了离散系统的单位阶跃响应曲线。

三、实验步骤及结果

程序和运行结果：

T=0.5s时

T=1s时

T=2s时

A=[0 1 0;-2 -3 0;-1 1 -3];

B=[0;0;1];

C=[1 1 1];

D=1;

[G1 H1]=c2d(A,B,0.5)

G1 =0.8452 0.2387 0 -0.4773 0.1292 0

-0.3326 0.0508 0.2231 H1 = 0

0.2590

>> dstep(G1,H1,C,D,1)

>> dstep(G1,H1,C,D,1)

>> [G2 H2]=c2d(A,B,1)

G2 =0.6004 0.2325 0

-0.4651 -0.0972 0

-0.3795 -0.0614 0.0498 H2 =0

0.3167

>> dstep(G2,H2,C,D,1)

>> [G3 H3]=c2d(A,B,2)

[G3 H3]=c2d(A,B,2)

G3 =0.2524 0.1170 0 -0.2340 -0.0987 0

-0.2182 -0.0853 0.0025 H3 =0

0.3325

>> dstep(G3,H3,C,D,1) 程序和运行结果：

Z域仿真图形：

连续域仿真图形：

程序：

G=[0 1;-0.16 1];

H=[1;1];

C=[1 1];

D=0;

u=1;

dstep(G,H,C,D,u) sysd=ss(G,H,C,D,0.05) a = x1 x2

x1 0 1

x2 -0.16 1 b = u1

x1 1

x2 1

c = x1 x2

y1 1 1

d = u1

y1 0 Sampling time: 0.05 Discrete-time model.

>> sysc=d2c(sysd,'zoh') a = x1 x2 x1 -41.43 46.21 x2 -7.394 4.779

b = u1

x1 16.34

x2 21.12

c = x1 x2

y1 1 1

d = u1

y1 0 Continuous-time model.

>> step(sysc);

实验3 能控能观判据及稳定性判据

一、实验目的

1、利用MATLAB分析线性定常及离散系统的可控性与可观性；

2、利用MATLAB判断系统的稳定性。

二、实验原理

给定系统状态空间描述[A,B,C,D]，函数ctrb(A,B)计算能控性判别矩阵；

函数obsv(A,C)计算能观测性判别矩阵；

函数P=lyap(A,Q)求解李雅普诺夫方程A T P+PA=-Q，Q为正定对称矩阵；

函数[D p]=chol(P)可用于判断P矩阵是否正定,p=0,矩阵正定，p为其它值，矩阵非正定。

三、实验步骤及结果

1）（2）

A=[1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 -2 -4];

B=[0;0;1;2];

C=[3 0 1 0];

Qc=ctrb(A,B)

Qc =0 0 0 0

0 0 0 0

1 -

2 4 -8

2 -10 44 -184

>> rank(Qc)

ans =2

>> rank(obsv(A,C))

ans =2

能控性判别矩阵Qc和能观性判别矩阵都不满秩，故系统既不能控，也不能观。（3）A=[1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 -2 -4];

B=[0;0;1;2];

C=[3 0 1 0];

D=[0];

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1);

Flagz=0;

n=length(A);

for i=1:n

if real(p(i))>0

Flagz=1;

end

end

>> disp('系统的零极点模型为');z,p,k

系统的零极点模型为

z = 1.0000

-4.0000

-3.0000

p =-4

-3

-2

1

k =1.0000

>> if Flagz==1

disp('系统不稳定');

else disp('系统是稳定的');

end

系统不稳定

>> step(A,B,C,D);

时间响应曲线为：

实验4 状态反馈及状态观测器的设计

一、实验目的

1、熟悉状态反馈矩阵的求法；

2、熟悉状态观测器设计方法。 二、实验原理

MATLAB 软件提供了两个函数acker 和place 来确定极点配置状态反馈控制器的增益矩阵K ，函数acker 是基于求解极点配置问题的艾克曼公式，它只能应用到单输入系统，要配置的闭环极点中可以包括多重极点。函数place 用于多输入系统，但配置极点不可以包括多重极点。

函数acker 和place 的一般形式是： K=acker(A,B,P) K=place(A,B,P)

其中的P 是一个向量，P=[n λλλ,...2,1],n λλλ,...2,1是n 个期望的闭环极点。得到了所要求得反馈增益矩阵后，可以用命令eig(A-B*K)来检验闭环极点。

由状态反馈极点配置和观测器设计问题直接的对偶关系，观测器设计是状态反馈设计的转置，可以用H=(acker(A ’,C ’,V ’))’来确定一般系统的观测器矩阵，用命令eig(estim(sysold,H))来检验极点配置。

三、实验步骤及结果

step(A,B,C,D);

num=[0 0 1];

den=[1 3 2];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A =-3 -2

1 0

B =1

C = 0 1

D = 0

2、配置后系统的时间响应曲线为：

A=[-3 -2;1 0];

B=[1;0];

C=[0 1];

D=0;

P=[-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)];

K=acker(A,B,P)

K = -1 0

>> disp('极点配置后的闭环系统为') 极点配置后的闭环系统为

>> sysnew=ss(A-B*K,B,C,D)

a = x1 x2

x1 -2 -2

x2 1 0

b = u1

x1 1

x2 0

c = x1 x2

y1 0 1

d = u1

y1 0 Continuous-time model. >> step(sysnew)

所以：K=[-1 0]

A=[-3 -2;1 0];

B=[1;0];

C=[0 1];

D=0;

V=[-3;-3];

sysold=ss(A,B,C,D);

p=eig(A)

p =-2

-1

Q=obsv(A,C);

m=rank(Q);

n=length(A);

if m==n

H=acker(A',C',V')'

else

disp('系统不是状态完全可观测') end

H =-2

3

所以：H=[-2 3]

实验六、用窗函数法设计FIR滤波器

实验六 用窗函数法设计 FIR 滤波器 一、实验目的 (1) 掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。 (2) 熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。 (3) 了解各种窗函数对滤波特性的影响。 二、实验原理 滤波器的理想频率响应函数为H d (e j ω )，则其对应的单位脉冲响应为： h d (n) = ?-π π ωωωπ d e e H n j j d )(21 窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列h(n)逼h d (n)。由于h d (n)往往是无 限长序列，且是非因果的，所以用窗函数。w(n)将h d (n)截断，并进行加权处理： h(n) = h d (n) w(n) h(n)就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数H(e j ω )为： H(e j ω ) = ∑-=-1 )(N n n j e n h ω 如果要求线性相位特性，则h (n )还必须满足： )1()(n N h n h --±= 可根据具体情况选择h(n)的长度及对称性。 用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数w(n)的类型及窗口长度N 的取值。设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N 。 三、实验步骤 1. 写出理想低通滤波器的传输函数和单位脉冲响应。 2. 写出用四种窗函数设计的滤波器的单位脉冲响应。 3. 用窗函数法设计一个线性相位FIR 低通滤波器，用理想低通滤波器作为逼近滤波器，截止频率ωc =π/4 rad ，选择窗函数的长度N ＝15，33两种情况。要求在两种窗口长度下，分别求出h(n)，打印出相应的幅频特性和相频特性曲线，观察3dB 带宽和阻带衰减； 4 用其它窗函数(汉宁窗(升余弦窗)、哈明窗(改进的升余弦窗)、布莱克曼窗) 设计该滤波器，要求同1；比较四种窗函数对滤波器特性的影响。 四、实验用MATLAB 函数 可以调用MATLAB 工具箱函数fir1实现本实验所要求的线性相位FIR-DF 的设计，调用一维快速傅立叶变换函数fft 来计算滤波器的频率响应函数。

几种常见窗函数及其MATLAB程序实现

几种常见窗函数及其MATLAB程序实现 2013-12-16 13:58 2296人阅读评论(0) 收藏举报 分类： Matlab（15） 数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。 泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。 频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。 如果被测信号是随机或者未知的，或者是一般使用者对窗函数不大了解，要求也不是特别高时，可以选择汉宁窗，因为它的泄漏、波动都较小，并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好，因为它的通带波动非常小，幅度误差也较小。

实验11 用MATLAB设计FIR数字滤波器

实验11 用MATLAB 设计FIR 数字滤波器 一、实验目的： 1、加深对窗函数法设计FIR 数字滤波器的基本原理的理解。 2、学习用MA TLAB 语言的窗函数法编写设计FIR 数字滤波器的程序。 3、了解MATLAB 语言有关窗函数法设计FIR 数字滤波器的常用函数用法。 二、实验内容及步骤 2、选择合适的窗函数设计FIR 数字低通滤波器，要求： w p =0.2π，R p =0.05dB ； w s =0.3π，A s =40dB 。描绘该滤波器的脉冲响应、窗函数及滤波器的幅频响应曲线和相频响应曲线。 分析：根据设计指标要求，并查表11-1，选择汉宁窗。程序清单如下： function hd=ideal_lp(wc,N) wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;deltaw=ws-wp; tao=(N-1)/2; n=[0:(N-1)]; m=n-tao+eps; hd=sin(wc*m)./(pi*m); function[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a); [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole'); H=(H(1:501))';w=(w(1:501))'; mag=abs(H); db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); pha=angle(H); grd=grpdelay(b,a,w); wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;deltaw=ws-wp; wc=(ws+wp)/2; 课程名称：数字信号处理 实验成绩： 指导教师： 实 验 报 告 院系： 信息工程学院 班级： 电信二班 学号： 姓名： 日期：

MATLAB各种“窗函数”定义及调用

MATLAB窗函数大全 1.矩形窗(Rectangle Window)调用格式:w=boxcar(n),根据长度n 产生一个矩形窗w。 2.三角窗(Triangular Window)调用格式:w=triang(n),根据长度n 产生一个三角窗w。 3.汉宁窗(Hanning Window)调用格式:w=hanning(n),根据长度n 产生一个汉宁窗w。 4.海明窗(Hamming Window)调用格式:w=hamming(n),根据长度n 产生一个海明窗w。 5.布拉克曼窗(Blackman Window)调用格式:w=blackman(n),根据长度n 产生一个布拉克曼窗w。 6.恺撒窗(Kaiser Window)调用格式:w=kaiser(n,beta),根据长度n 和影响窗函数旁瓣的β参数产生一个恺撒窗w。 窗函数: 1.矩形窗:利用w=boxcar(n)的形式得到窗函数,其中n为窗函数的长度,而返回值w为一个n阶的向量,它的元素由窗函数的值组成。‘w=boxcar(n)’等价于‘w=ones(1,n)’. 2.三角窗:利用w=triang(n)的形式得到窗函数,其中n为窗函数的长度,而返回值w为一个n阶的向量,它的元素由窗函数的值组成。 w=triang(N-2)等价于bartlett(N)。

3.汉宁窗:利用w=hanning(n)得到窗函数,其中n为窗函数的长度,而返回值w 为一个n 阶的向量,包含了窗函数的n个系数。 4.海明窗:利用w=hamming(n)得到窗函数,其中n为窗函数的长度,而返回值w 为一个n 阶的向量,包含了窗函数的n个系数。它和汉宁窗的主瓣宽度相同,但是它的旁瓣进一步被压低。 5.布拉克曼窗:利用w=blackman(n)得到窗函数,其中n为窗函数的长度,而返回值w为一个n阶的向量,包含了窗函数的n个系数。它的主瓣宽度是矩形窗主瓣宽度的3倍,为12*pi/N,但是它的最大旁瓣值比主瓣值低57dB。 6.切比雪夫窗:它是等波纹的,利用函数w=chebwin(N,R)方式设计出N阶的切比雪夫2窗函数,函数的主瓣值比旁瓣值高RdB,且旁瓣是等波纹的。 7.巴特里特窗:利用w=bartlett(n)的形式得到窗函数,其中n为窗函数的长度,而返回值w为一个n阶的向量,包含了窗函数的n个系数。 8.凯塞窗:利用w=kaiser(n,beta)的形式得到窗函数。

实验四 窗函数法设计FIR数字滤波器

实验四 窗函数法设计FIR 数字滤波器 一、实验目的 1、掌握窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理及具体方法。 2、掌握频率取样法设计FIR 数字滤波器的原理和基本方法。 3、学习利用窗函数法和频率取样法设计低通、带通、高通、带阻数字滤波器。 二、实验环境 计算机、MATLAB 软件 三、实验基础理论 窗函数设计FIR 滤波器 1.基本原理 窗函数设计法的基本思想为，首先选择一个适当的理想的滤波器()j d H e ω ，然后 用窗函数截取它的单位脉冲响应(n)d h ，得到线性相位和因果的FIR 滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器，使设计的滤波器的单位脉冲响应逼近理想滤波器的单位脉冲响应。 2.设计步骤 （1）给定理想滤波器的频率响应()j d H e ω ，在通带上具有单位增益和线性相位， 在阻带上具有零响应。一个带宽为()c c ωωπ<的低通滤波器由下式给定： π ωωωωωωω≤<=≤=-||,0)(,||,)(c j d c ja j d e H e e H 其中α为采样延迟，其作用是为了得到一个因果系统。 （2）确定这个滤波器的单位脉冲响应 ) ()) (sin()(a n a n n h c d --= πω 为了得到一个(n)h 长度为N 的因果的线性相位FIR 滤波器，我们令 2 1 -= N a （3）用窗函数截取(n)d h 得到所设计FIR 数字滤波器：)()()(n R n h n h N d = 3.窗函数的选择 常用的窗函数有矩形（Rectangular ）窗，汉宁（Hanning ）窗，海明（Hamming ）窗、布莱克曼（Blackman ）窗、凯瑟（Kaiser ）窗等 表4-1 MATLAB 中产生窗函数的命令

实验3 用MATLAB窗函数法设计FIR滤波器

实验10 用MATLAB 窗函数法设计FIR 滤波器 一、实验目的 ㈠、学习用MA TLAB 语言窗函数法编写简单的FIR 数字滤波器设计程序。 ㈡、实现设计的FIR 数字滤波器，对信号进行实时处理。 二、实验原理 ㈠、运用窗函数法设计FIR 数字滤波器 与IIR 滤波器相比，FIR 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。设FIR 滤波器单位脉冲响应)(n h 长度为N ，其系统函数)(z H 为 ∑-=-=1 0)()(N n n z n h z H )(z H 是1-z 的)1(-N 次多项式，它在z 平面上有)1(-N 个零点，原点0=z 是)1(-N 阶重极点。因此，)(z H 永远是稳定的。稳定和线性相位特性是FIR 滤波器突出的优点。 FIR 滤波器的设计任务是选择有限长度的)(n h ，使传输函数)(ωj e H 满足技术要求。主要设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。本实验主要介绍用窗函数法设计FIR 数字滤波器。 图7-10-1 例1 带通FIR 滤波器特性 ㈡、 用MATLAB 语言设计FIR 数字滤波器 例1：设计一个24阶FIR 带通滤波器，通带为0.35<ω<0.65。其程序如下 b=fir1(48,[0.35 0.65]); freqz(b,1,512)

可得到如图7-10-1 所示的带通FIR滤波器特性。由程序可知，该滤波器采用了缺省的Hamming窗。 例2：设计一个34阶的高通FIR滤波器，截止频率为0.48,并使用具有30dB波纹的Chebyshev窗。其程序如下 Window=chebwin(35,30); b=fir1(34,0.48,'high',Window); freqz(b,1,512) 可得到如图7-10-2 所示的高通FIR滤波器特性。 图7-10-2 例2 高通FIR滤波器特性 例3：设计一个30阶的低通FIR滤波器，使之与期望频率特性相近，其程序如下 f=[0 0.6 0.6 1]; m=[1 1 0 0]; b=fir2(30,f,m); [h,w]=freqz(b,1,128); plot(f,m,w/pi,abs(h)) 结果如图7-10-3所示。 图7-10-3 例3 理想和实际滤波器特性 例4:使用Hamming窗设计一个50阶的FIR带通滤波器，通带为0.3<ω<0.7,试用绝对和相对两种形式显示其幅频特性。 w1=0.3;w2=0.7;n=50; Window=hamming(n+1); b=fir1(n,[w1 w2],Window); [h,w]=freqz(b,1); GB=real(20*log10(h)); subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(h),'linewidth',2 );

基于matlab的FIR数字滤波器设计(多通带,窗函数法)

数字信号处理 课程设计报告 设计名称：基于matlab的FIR数字滤波器设计 彪

一、课程设计的目的 1、通过课程设计把自己在大学中所学的知识应用到实践当中。 2、深入了解利用Matlab设计FIR数字滤波器的基本方法。 3、在课程设计的过程中掌握程序编译及软件设计的基本方法。 4、提高自己对于新知识的学习能力及进行实际操作的能力。 5、锻炼自己通过网络及各种资料解决实际问题的能力。 二、主要设计内容 利用窗函数法设计FIR滤波器，绘制出滤波器的特性图。利用所设计的滤波器对多个频带叠加的正弦信号进行处理，对比滤波前后的信号时域和频域图，验证滤波器的效果。 三、设计原理 FIR 滤波器具有严格的相位特性，对于信号处理和数据传输是很重要的。 目前 FIR滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。常用的是窗函数法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。本实验中的窗函数法比较简单，可应用现成的窗函数公式，在技术指标要求高的时候是比较灵活方便的。 如果 FIR 滤波器的 h(n)为实数, 而且满足以下任意条件,滤波器就具有准确的线性相位： 第一种：偶对称，h(n)=h(N-1-n)，φ (ω)=-(N-1)ω/2 第二种：奇对称，h(n)=-h(N-1-n), φ(ω)=-(N-1)ω/2+pi/2 对称中心在n=(N-1)/2处 四、设计步骤 1.设计滤波器 2.所设计的滤波器对多个频带叠加的正弦信号进行处理 3.比较滤波前后信号的波形及频谱 五、用窗函数设FIR 滤波器的基本方法 基本思路：从时域出发设计 h(n)逼近理想 hd(n)。设理想滤波器的单位响应在时域表达为hd(n),则Hd(n) 一般是无限长的，且是非因果的，不能

答案 控制系统的状态空间描述 习题解答

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分 器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α ②： 3222x x x +=α ③：u x x +=333α 输出y 为1y x du =+，得 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 》 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ；(2) u u y y -=+ 32； (3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。

(1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有： 1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? [ (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得：

利用MATLAB进行基于窗函数的FIR数字滤波器的设计

西南石油大学实验报告 一实验目的： 学习利用MATLAB进行基于窗函数的FIR数字滤波器的设计。 二实验内容： 利用矩形窗、哈明窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计一个FIR低通滤波器，已知ωc=0.25π，N=10 三实验步骤： 1、实验程序 N=10; M=128; b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1)); %用矩形窗作为冲激响应的窗函数 b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1)); %用哈明窗作为冲激响应的窗函数 b3=fir1(N,0.25,blackman(N+1)); %用布莱克曼窗作为冲激响应的窗函数 b4=fir1(N,0.25,hanning(N+1)); %用汉宁窗作为冲激响应的窗函数 h1=freqz(b1,1,M); %矩形窗对应的频率响应 h2=freqz(b2,1,M); %哈明窗对应的频率响应 h3=freqz(b3,1,M); %布莱克曼窗对应的频率响应 h4=freqz(b4,1,M); %汉宁窗对应的频率响应 f=0:0.5/M:0.5-0.5/M; plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),f,abs(h3),'*',f,abs(h4),':'); legend('??D?′°','1t?÷′°','BLACKMAN','oo?t′°'); grid; ylabel('magnitude response'); xlabel('w/(2*pi)'); axis([0 0.5 0 1.2]); set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.25,0.5]); set(gca,'YTickMode','manual','XTick',[0,0.5,1]);

利用MATLAB窗函数法设计一个可实现的FIR低通滤波器。

一、实验目的 1.掌握在MATLAB中窗函数的使用方法，了解不同窗函数之间的差别。 2.使用窗函数法设计一个可实现的FIR低通滤波器。 3.观察在相同长度下，不同的窗函数设计出来的滤波器有什么差别。 4.观察同一个窗在不同长度下设计出来的滤波器有什么差别。 二、实验条件 PC机，MATLAB7.0 三、实验内容 1）通过help查找窗函数在MATLAB中如何实现

通过example了解MATLAB中窗函数的实现，并且利用矩形窗，汉宁窗，哈明窗，布莱克曼窗和凯塞窗来进行接下来的实验。 2）设计物理可实现的低通滤波器 设计思路：因为要设计FIR有限脉冲响应滤波器，通常的理想滤波器的单位脉冲响应h是无限长的，所以需要通过窗来截断它，从而变成可实现的低通滤波器。程序如下：clc;clear all; omga_d=pi/5; omga=0:pi/30:pi; for N=3:4:51; w1= window(@blackman,N); w2 = window(@hamming,N); w3= window(@kaiser,N,2.5); w4= window(@hann,N); w5 = window(@rectwin,N); M=floor(N/2); subplot(311);plot(-M:M,[w1,w2,w3,w4,w5]); axis([-M M 0 1]); legend('Blackman','Hamming','kaiser','hann','rectwin'); n=1:M; hd=sin(n*omga_d)./(n*omga_d)*omga_d/pi; hd=[fliplr(hd),1/omga_d,hd]; h_d1=hd.*w1';h_d2=hd.*w2';h_d3=hd.*w3';h_d4=hd.*w4';h_d5=hd.*w5'; m=1:M; H_d1=2*cos(omga'*m)*h_d1(M+2:N)'+h_d1(M+1); H_d2=2*cos(omga'*m)*h_d2(M+2:N)'+h_d2(M+1); H_d3=2*cos(omga'*m)*h_d3(M+2:N)'+h_d3(M+1); H_d4=2*cos(omga'*m)*h_d4(M+2:N)'+h_d4(M+1); H_d5=2*cos(omga'*m)*h_d5(M+2:N)'+h_d5(M+1); subplot(312);plot(omga,[H_d1,H_d2,H_d3,H_d4,H_d5]); legend('Blackman','Hamming','kaiser','hann','rectwin'); subplot(313);plot(abs([fft(h_d1);fft(h_d2);fft(h_d3);fft(h_d4);fft(h_d5)] )'); pause(); end 程序分析： 整个对称窗的长度为N，然而为了在MATLAB中看到窗函数在负值时的形状需将N 变为它的一半，即为2M+1个长度。窗长设置为从3开始以4为间隔一直跳动51。则长度相同的不同窗函数在时域[-M,M]的形状如第一个图所示。 对窗函数进行傅里叶变换时，将零点跳过去先构造一个一半的理想滤波器的脉冲响应hd，再将零点位置求导得出的数赋值进去。将生成的hd左右颠倒形成了一个理想的滤波器的脉冲响应。将构造的理想滤波器的脉冲响应依次与之前定义的窗函数相乘，相乘出来的为列向量，用转置将其变成行向量，形成的h_d就是非理想的低通滤波器的脉冲响应序列。因为h_d为对称奇数长度序列，它的DTFT可以是二倍的离散余弦变化，而零点的位置则直接带入求出，两者相加则是H_d。 则第二个图表示的是五个矩阵向量在频域的变化，而第三个图表示的是五个非理想低

matlab实验窗函数

实验程序及运行结果: 1. 矩形窗 N=32; w=boxcar(N); nn=0:(N-1); stem(nn,w) Hanning窗 N=32; w=hanning(N); nn=0:(N-1); stem(nn,w) Hamming窗 N=32; w=hamming(N); nn=0:(N-1); stem(nn,w)

N=32; w=bartelett(N); nn=0:(N-1); stem(nn,w) Blackman窗 N=32; w=blackman(N); nn=0:(N-1); stem(nn,w) Triang窗 N=32; w=blackman(N); nn=0:(N-1); stem(nn,w)

N=32; b=8; w=kaiser(N,b); nn=0:(N-1); stem(nn,w) Chebwin窗 N=32; r1=30; r2=50; w1=chebwin(N,r1); w2=chebwin(N,r2); nn=0:(N-1); subplot(211); stem(nn,w1),title(' r=30'); subplot(212); stem(nn,w2),title(' r=50'); 2. 矩形窗 N=16; w=boxcar(N); [H,W]=dtft(w,2048); plot(W/pi,abs(H)) 05101520253035 05101520253035

Hanning窗 N=16; w=hanning(N); [H,W]=dtft(w,2048); plot(W/pi,abs(H)) Hamming窗 N=16; w=hamming(N); [H,W]=dtft(w,2048); plot(W/pi,abs(H)) Bartlett窗 N=16; w=bartlett(N); [H,W]=dtft(w,2048); plot(W/pi,abs(H)) -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

状态空间表达式的解

第2章 状态空间表达式的解 第1节 线性定常齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程 0(0)x Ax x x ==& 的解为 0()At x t e x = (0)t > 式中，2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ? ==+++=∑ L 证明： 用拉普拉斯变换法。 对 x A x =& 作拉氏变换，得 0()()sX s x AX s -=

1 0()()X s sI A x -=- 11 0()[()]x t L sI A x --=- 因为 2 23111()()sI A I A A I s s s -+++=L 故 1 223111()sI A I A A s s s --=+++L 12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2! I At A t x =+++L 0At e x = 顺便可知 ])[(1 1---=A sI L e At 第2节 矩阵指数函数At e 1、At e 的定义和性质

（1）定义 2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ==+++=∑ L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ?阶； At e —矩阵指数函数，n n ?阶时变矩阵。 若A 中各元素均小于某定值，At e 必收敛；若A 为实矩阵，At e 绝 对收敛。 （2）基本性质： ◆组合性质： ) (2121t t A At At e e e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。 推论1：I e e e e A t t A t A At ===--0 ) () ( 推论2：) (1 ][t A At e e --=

实验六 用窗函数设计FIR滤波器(附思考题程序)

实验六 用窗函数设计FIR 滤波器 1.实验目的 (1) 熟悉FIR 滤波器设计的方法和原理 (2) 掌握用窗函数法设计FIR 滤波器的方法和原理，熟悉滤波器的特性 (3) 了解各种窗函数滤波器特性的影响 2.实验原理 FIR 滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率取样法、切比雪夫等波纹逼近法。FIR 滤波器的设计是要寻求一系统函数)(z H ，使其频率响应)(ωj e H 逼近滤波器要求的理想频率响应()j d H e ω，其对应的单位脉冲响应)(n h d 。 （1）用窗函数设计FIR 滤波器的基本方法 在时域用一个窗函数截取理想的)(n h d 得到)(n h ，以有限长序列)(n h 近似逼近理想的)(n h d ；在频域用理想的)(ωj d e H 在单位圆上等角度取样得到h(k)，根据h(k)得到H(z)将逼近理想的Hd(z)。 设理想滤波器)(ωj d e H 的单位脉冲响应为)(n h d 。以低通线性相位FIR 数字滤波器为 例。 )(n h d 一般是无限长的、非因果的，不能直接作为FIR 滤波器的单位脉冲响应。要想得到一个因果的有限长的滤波器h(n)，最直接的方法是截断)()()(n w n h n h d =，即截取为有限长因果序列，并用合适的窗函数进行加权作为FIR 滤波器的单位脉冲响应。按照线性相位滤波器的要求，h(n)必须是偶对称的。对称中心必须等于滤波器的延时常数，即 用矩形窗设计的FIR 低通滤波器，所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，且最大波纹大约为幅度的9%，（现象称为吉布斯（Gibbs ）效应）。 （2）典型的窗函数 （a ）矩形窗(Rectangle Window) 其频率响应和幅度响应分别为： 21)2/sin()2/sin()(--=N j j e N e W ωωωω，) 2/sin()2/sin()(ωωωN W R = 在matlab 中调用w=boxcar(N)函数，N 为窗函数的长度 （b ）三角形窗(Bartlett Window) 其频率响应为：212])2/sin()4/sin([2)(--=N j j e N N e W ωω ωω 在matlab 中调用w=triang(N)函数，N 为窗函数的长度 （c ）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗 其频率响应和幅度响应分别为：

(实验三窗函数的特性分析)

实验报告 实验课程：数字信号处理实验开课时间：2020—2021 学年秋季学期 实验名称：窗函数的特性分析实验时间：2020年9月16日星期三 学院：物理与电子信息学院年级：大三班级：182 学号：1843202000234 姓名：武建璋 一、实验预习

（2）固定N=60，分别取beta=1，5，11。clc,clear,close all beat1=1;beat2=5;beat3=11; N=60; figure(1) subplot(3,2,[1,2]) W=kaiser(N,beat1); stem([0:N-1],W); subplot(3,2,[3,4]); Ww=kaiser(N,beat2); stem([0:N-1],Ww); subplot(3,2,[5,6]); WW=kaiser(N,beat3); stem([0:N-1],WW); figure(2) subplot(3,2,[1,2]) W1=fft(W,N) plot([0:N-1],abs(fftshift(W1))) subplot(3,2,[3,4]); W2=fft(Ww,N) plot([0:N-1],abs(fftshift(W2))) subplot(3,2,[5,6]); W3=fft(WW,N) plot([0:N-1],abs(fftshift(W3)))

4、某序列为x[k] = (11πk/20) + cos(9πk/20),使用fft函数分析其频谱。(1) 利用不同宽度N的矩形窗截短该序列，N分别为20，40，160，观察不同长度N 的窗对谱分析结果的影响。 clc,clear,close all N1=20;N2=40;N3=160; k1=0:N1;k2=0:N2;k3=0:N3; X1=0.5.*cos((11*pi*k1)/20)+cos((9*pi*k1)/20) X2=0.5.*cos((11*pi*k2)/20)+cos((9*pi*k2)/20) X3=0.5.*cos((11*pi*k3)/20)+cos((9*pi*k3)/20) figure(1) subplot(3,2,[1,2]) W1=fft(X1,N1) plot([0:N1-1],abs(fftshift(W1))) subplot(3,2,[3,4]); W2=fft(X2,N2) plot([0:N2-1],abs(fftshift(W2))) subplot(3,2,[5,6]); W3=fft(X3,N3) plot([0:N3-1],abs(fftshift(W3))) figure(2) subplot(3,2,[1,2]) W=abs(fftshift(W1)) stem([0:N1-1],W); subplot(3,2,[3,4]); Ww=abs(fftshift(W2))

第2章(2) 控制系统的状态空间表达式

2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式 系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。 要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数 dt dx i 。 第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。 例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。 解： 该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。 图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。我们取每个积分器的输出端 信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x 和2x 。 图2-6 系统方块图

从图可得系统状态方程： ()??? ??? ?+--=-+-==u T K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 11211131131121222 2111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y = 写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式： []?????????? ?=???? ??????+? ???????=x y u T K x K K T K x 010********

MATLAB实验

周期图法估计平稳随机信号功率谱的MATLAB 实现 分析：使用周期图法估计功率谱的MATLAB 函数为psd()（已被pwelch()代替了，实验中使用后者）： welch 方法为改进的功率谱法，是用相干平均对周期图法功率谱估计进行二次处理，改善功率谱的估计方差，welch 方法对取样序列采取重叠分段方法，MATLAB 实现函数为pwelch()： [pxx,w]=pwelch(x,window,noverlap,nfft) [pxx,f]=pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs) 各参数的含义和其余谱估计方法相似，window 默认为hamming 窗，使用前者为产生在w 下的谱密度，w 的单位为rad/sample ，实信号w 范围为[0,π]复信号为[0,2π]；后者fs 为采样频率，获得单位Hz 下的谱密度，f 的范围为[0,f/2]或 [0,fs]，判断与w 相同。无输出参数时，MATLAB 画出相应的频谱图。 假设()()()()n v n n n x ++=ππ4.0cos 35.0cos 其中，v(n)为均值0方差1的随机噪声信号，用welch 法估计其功率谱密度。在使用pwelch 时一定要注意w 或f 与pxx 的对应关系，当采样频率fs 改变时，w 及f 要做出相

应的调整。结果如下图六.1（对应程序为shiyan6.m）。 实验中可以看出，随分段长度的增加，即时域窗函数长度的增加，功率谱估计的方差特性变差，为改变周期图法功率谱估计方差特性差的缺点，Thomson提出了功率谱的多窗估计法（Multitaper Method），图六.2为用多窗估计法对上例中的x(n)做功率谱估计（对应程序仍为shiyan6.m）。 MATLAB中使用多窗估计法估计功率谱的函数为pmtm()： [pxx,pxxc,w]=pmtm(x,nw,nfft,fs) pxx为功率谱估计，nw为离散扁长球体序列（Discrete Prolate Spheroidal Sequences, DPSS, or Slepian Sequences），默认值为4，其余参数的含义与以上相同。实验中可看出，随窗函数的增加，方差特性得到进一步改善，但是频率分辨率下降。

MATLAB窗函数

4.3 实验原理 数字滤波器的设计是数字信号处理中的一个重要内容。数字滤波器设计包括FIR（有限单位脉冲响应）滤波器与IIR（无限单位脉冲响应）滤波器两种。 与IIR滤波器相比，FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性。设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H（z）为： H（z）是z－1的N－1次多项式，它在z平面上有N－1个零点，原点z=0是N－1阶重极点，因此H（z）是永远稳定的。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点。 FIR滤波器的设计任务是选择有限长度的h(n)。使传输函数H( )满足技术要求。FIR滤波器的设计方法有多种，如窗函数法、频率采样法及其它各种优化设计方法，本实验介绍窗函数法的FIR滤波器设计。 窗函数法是使用矩形窗、三角窗、巴特利特窗、汉明窗、汉宁窗和布莱克曼窗等设计出标准响应的高通、低通、带通和带阻FIR滤波器。 一、firl函数的使用 在MA TLAB 下设计标准响应FIR滤波器可使用firl函数。firl函数以经典方法实现加窗线性相位FIR滤波器设计，它可以设计出标准的低通、带通、高通和带阻滤波器。firl函数的用法为： b=firl(n,Wn,/ftype/,Window) 各个参数的含义如下： b—滤波器系数。对于一个n阶的FIR滤波器，其n+1个滤波器系数可表示为：b(z)=b(1)+b(2)z－1+…+b(n+1)z－n。 n—滤波器阶数。 Wn—截止频率，0≤Wn≤1，Wn=1对应于采样频率的一半。当设计带通和带阻滤波器时，Wn=[W1 W2],W1≤ω≤W2。 ftype—当指定ftype时，可设计高通和带阻滤波器。Ftype=high时，设计高通FIR滤波器；ftype=stop时设计带阻FIR滤波器。低通和带通FIR滤波器无需输入ftype参数。 Window—窗函数。窗函数的长度应等于FIR滤波器系数个数，即阶数n+1。 二、窗函数的使用 在MATLAB下，这些窗函数分别为： 1．矩形窗：w=boxcar(n)，产生一个n点的矩形窗函数。 2．三角窗：w=triang(n)，产生一个n 点的三角窗函数。 当n为奇数时，三角窗系数为w(k)= 当n为偶数时，三角窗系数为w(k)= 3．巴特利特窗：w=Bartlett(n)，产生一个n点的巴特利特窗函数。 巴特利特窗系数为w(k)= 巴特利特窗与三角窗非常相似。巴特利特窗在取样点1和n上总以零结束，而三角窗在这些点上并不为零。实际上，当n为奇数时bartlett(n)的中心n－2个点等效于triang(n－2)。 4．汉明窗：w=hamming(n)，产生一个n点的汉明窗函数。 汉明窗系数为w(k+1)=0.54－0.46cos（）k=0,…,n－1 5．汉宁窗：w=hanning(n)，产生一个n点的汉宁窗函数。 汉宁窗系数为w(k)=0.5[1－cos( )] k=1,…,n 6．布莱克曼窗：w=Blackman(n),产生一个n点的布莱克曼窗函数。 布莱克曼窗系数为w(k)=0.42－0.5cos(2π )+0.8cos（4π ）] k=1,…,n 与等长度的汉明窗和汉宁窗相比，布莱克曼窗的主瓣稍宽，旁瓣稍低。 7．凯泽窗：w=Kaiser(n,beta)，产生一个n点的凯泽窗数，其中beta为影响窗函数旁瓣的β参数，其最小的旁瓣抑制α与β的关系为: 0.1102(α－0.87) α>50 β= 0.5842(α－21)0.4+0.07886(α－21) 21≤α≤50 0 α<21 增加β可使主瓣变宽，旁瓣的幅度降低。 8．契比雪夫窗：w=chebwin(n,r)产生一个n点的契比雪夫窗函数。其傅里叶变换后的旁瓣波纹低于主瓣r个db数。 4.4 实验内容 1．软件仿真实验：编写并调试MA TLAB程序，观察不同窗，不同类型滤波器不同点数等共4种FIR滤波器的h(n)，并记录幅频特性和相频特性。 2．硬件实验：用窗函数法设计标准响应的FIR滤波器，在计算机上观察窗函数幅频特性、幅频特性和相频特性，然后下载到实验箱。用示波器观察输入输出波形，测试滤波器的幅频响应特性。 4.5 MA TLAB参考程序和仿真内容 %*******************************************************************% % mode: 模式（1--高通；2--低通；3--带通；4--带阻） %n: 阶数，加窗的点数为阶数加1 %fp: 高通和低通时指示截止频率，带通和带阻时指示下限频率 %fs: 带通和带阻时指示上限频率 %window:加窗（1--矩形窗；2--三角窗；3--巴特利特窗；4--汉明窗； % 5--汉宁窗；6--布莱克曼窗；7--凯泽窗；8--契比雪夫窗） %r: 代

状态空间表达式

2.5 控制系统的状态空间表达式 2.5 控制系统的状态空间表达式 随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量 在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动 状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。 若用表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t) 的分量。我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为 分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化， x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。 2.5.2 状态空间表达式 1. 状态方程 由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。 对于线性系统，可以写成如下形式

(2.59) 记为 (2.60) 式中x(t)是n维列向量 u(t)是r维输入向量 A是n*n维矩阵，称为系数矩阵 B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵