考研数学复习(高数与线性代数)

第一章 函数 极限 连续

一．求极限方法小结

极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.

有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.

1. 知识要点

（1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限.

（10） 利用罗必达法则求极限. （11） 利用导数定义求极限. （12） 利用定积分定义求极限. （13）

利用Taylor 公式求极限.

2．典型例子

例1：设 ,1

2,,12,21121n

n x x x x x +=+

==+ 求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.

)21(+答案：

例2：求???? ??++++++∞→n n n n n 2221

211

1lim （答案：1） 例3：求???

?

?

?

?++++++∞→n n n n n n 1212)1(1

)1(111lim （答案：1） 例4：求

n

n n 2642)

12(531lim

??-??∞→ （答案：0）

例5：求 ??

?

??

???? ??+-∞

→x x x x 11ln lim 2

（答案：21）

例6：x

x x cos lim 0

+

→ （答案：2

1

-

e ）

例7：求常数c ，使dt te c x c x c

t

x

x ?∞

-∞→=??? ??-+2lim （25=c ） 例8：已知 ,1

1,,11,11111

21++=++

==--n n n x x x x x x x ,证明数列}{n x 收敛，并求出此数列的极限. ??

?

?

??+251 例9：设)0(3)

1(3,010≥++=

>+n x x x x n

n n ，求n n x ∞→lim （答案：3）

例10：求 1

tan 1tan 1lim

---+→x

x e x

x （答案：1） 例11：求 x

x x x x x x cos sec )

1ln()1ln(lim 220-+-+++→ （答案：1）

例12: ????

??????+++→x x e e x x x sin 12lim 410 （答案：1） 例13：设x x x g tdt x f x 670

2

sin )(,tan

)(2

+==?，证明：当0→x 时，)(x f 与)(x g 是

同阶无穷小量.

例14：??

?

??-→x x x 220cot 1lim （答案：32） 例15：求 ?????

?

??????++++++∞→n n n n n n n 1sin 212sin 1sin lim πππ （答案：π2） 例16：求 ?????

???????+++++++++∞→n n n n n n n n n n n n n 222sin 22sin 211sin 1lim （答案：1cos 1sin -） 例17：设)(x f 在原点的邻域内二次可导，且0)(3sin lim 230=???

??+→x x f x

x x ，求

)0("),0('),0(f f f 及??? ?

?+→220)(3

lim x x f x x （答案：29,9,0,3-）

例18：设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶导数，且3

10

)(1lim e x x f x x

x =??

? ??+

+→，求)0(''),0('),0(f f f 及x

x x x f 1

0)(1lim ??? ??

+→.（答案：4)0('',0)0(',0)0(===f f f ，

21

0)(1lim e x x f x

x =??? ?

?

+→） 例19：设}{n a ，}{n b ，}{n c 均为非负数列，且0lim =∞

→n n a ，1lim =∞

→n n b ，∞=∞

→n n c lim ，

则必有

)(A n n b a <对任意n 成立； )(B n n c b <对任意n 成立； )(C 极限n n n c a ∞

→lim 不存在； )(D 极限n n n c b ∞

→lim 不存在.

（2003年数学一）

例20：已知011ln

arctan 2lim

≠=-+-→c x x x

x p

x ，求c p , （答案：3

4,3-==c p ）

例21：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0('≠f ，

0)0(''≠f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→λ时，

)0)3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小.

例22：求极限???

? ??+-++→)1ln(1)1ln(1lim

20x x x x （答案：21-） 例23：已知当0→x 时?

-2

2

2

cos x dt t x 与k

Ax 是等价无穷小，求常数A 和k .（答案：

10,10

1

==

k A ） 例24：设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是

)(A 若}{n x 收敛，则)}({n x f 收敛. )(B 若}{n x 单调，则)}({n x f 收敛. )(C 若)}({n x f 收敛, 则}{n x 收敛. )(D )}({n x f 若单调，则}{n x 收敛.

(答案：B) （2008年数学一）

例25：求极限 4

0sin )]sin(sin [sin lim x x x x x -→ （答案：61

）（2008年数学一）

例26：(I)证明:对任意的正整数n ,都有

n

n n 1)11ln(11<+<+ (II)设),2,1(1

211 =+++=n n

a n ,证明数列}{n a 收敛.

（2011年数学一、二）

二．函数的连续性 1．知识要点

1．函数在一点的连续性：)(x f 在点0x 处连续0lim 0

=??→?y x

)(x f 在点0x 处连续)()(lim 00

x f x f x x =?→

2．连续函数的运算 3．初等函数的连续性：

基本初等函数在定义区间内是连续的； 初等函数在定义区间内是连续的 4．函数的间断点和间断点的分类

5．闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理

2．典型例子

例1：求函数00,

11sin )1ln(,sin )(23≥

????-++-=x x x x x x

x x f π 的间断点，并指出其类型. 例2：讨论函数)0()

ln(lim

)(>+=∞→x n

x e x f n n n 在定义域内是否连续. 例3：设00,,)()(20=≠???

????=?x x c x dt t tf x F x

其中)(x f 具有连续导数且0)0(=f ，试确定c 的值使)(x F 连续，并讨论)('x F 是否连续. （答案：0=c ）

例4：设)(x f 在),(b a 内连续，),,2,1(0),,(n i t b a x i i =>∈，且11

=∑=n

i i

t

，试证明

至少存在一点),(b a ∈ξ，使)()()()(2211n n x f t x f t x f t f +++= ξ.

例5：设)(x f 在]1,0[上连续，且)1()0(f f =，证明（1）存在)1,0(∈ξ，使

)()21(ξξf f =+；（2）存在]1,0[∈ξ，使N n f n

f ∈=+),()1(ξξ.

例6：设函数)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，

.1)3(=f 试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)('=ξf （2003年数学三）

例7：设函数 ????

????

?

>--+=<-+=0,4sin 1

0,60,arcsin )1ln()(23x x x ax x e x x x

x ax x f ax 问a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续；问a 为何值时，0=x 是)(x f 的可去间断点？（2003年数学二）

例8：设

)1,2

1[,)1(1sin 11)(∈--+=

x x x x x f πππ 试补充定义)1(f 使得)(x f 在]1,2

1

[上连续。（答案：π

1

)1(=

f ） （2003年数学三）

例9：函数2

)

2)(1()2sin()(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.

（A ）)0,1(- （B ）)1,0( （C ）)2,1( （D ）)3,2( （2004年数学三）

例10：设)(x f 在),(+∞-∞内有定义，且,)(lim a x f x =∞

→

00

,

0),

1()(=≠?????=x x x f x g 则

（A ）0=x 必是)(x g 的第一类间断点. （B ）0=x 必是)(x g 的第二类间断点. （C ）0=x 必是)(x g 的连续点.

（D ）)(x g 在0=x 处的连续性与a 的取值有关.

例11：设)(x f 在),(+∞-∞连续，且x x f f =)]([，证明：),(+∞-∞∈?ξ，使得

ξξ=)(f .

第二章 一元函数微分学

一．导数与微分 1．知识要点

1．导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率 x y

x f x ??=→?00lim

)('x

x f x x f x ?-?+=→?)()(l i m 000

)('0x f 0

0)

()(lim

x x x f x f x x --=→

2．导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率. 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为：

))((')(000x x x f x f y -=-

法线方程为：)()

('1

)(000x x x f x f y --

=- 3．在经济学中，)(x f 的边际函数是指)(x f 关于自变量x 的变化率)('x f 。例如)('x C 表示边际成本函数，)('x R 表示边际收入函数，)('x L 表示边际利润函数. 4．函数可导与连续的关系：如果函数)(x f 在点0x 可导，则)(x f 在点0x 处连续。但是，连续却不一定可导.

5．求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则. 6．微分的定义与运算法则.

2．典型例子

例1：求函数00,

0,)(21=≠?????=-x x e x f x

的一、二阶导数并讨论其连续性.

例2：设00

,

0,1sin )(≤>?????=x x x

x x f k

（k 为实数），问k 在什么范围内)(x f （1）连续；（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导.

例3：设f 是可导函数，对于任意实数t s ,有 st t f s f t s f 2)()()(++=+，且

a f =)0('，求函数)(x f 的表达式.

例4：求x x x x x f ---=3

2)2()(的不可导点的个数.（答案：2）

例5：设0)0(=f ，则)(x f 在点0=x 可导的充分必要条件是

（A ）cosh)1(1lim

20-→f h h 存在；（B ）)1(1

lim 0h h e f h

-→存在. （C ）sinh)(1lim 20-→h f h h 存在.（D ）)]()2([1

lim 0h f h f h

h -→存在.

例6：设)(x y y =是由方程1=+y e xy 所确定的隐函数，求)0(''y . （答案：0）

例7：设??

?-==)

()(')('t f t tf y t f x 且)(t f 二次可微，0)(''≠t f ，求2

2,dx y d dx dy . （答案：)

(''1

,

t f t ） 例8：设函数)(x f y =的导数)('x f 与二阶导数)(''x f 均存在，并且均不为零，其反函数为)(y x ?=，求)(''y ?. （答案：3

)]

('[)

(''x f x f -

） 例9：作已知曲线035422

2=+--++y x y xy x 的切线，使其平行于直线

032=+y x ，使求此切线方程. （答案：0232=-+y x ）

例10：已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6

π

θ=

的切线与法

线的直线方程.（答案：045433.=+-

-y x ，04

1

43.=+-+y x ） 例11：设)('x f 在],[b a 上连续，且0)(',0)('<>b f a f ，则下列结论中错误的是 （A ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得)()(0a f x f >； （B ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得)()(0b f x f >； （C ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)('0=x f ； （D ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0=x f . （答案：（D ）） （2004年数学三）

例12：以下命题中，正确的是

（A ）若)('x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界. （B ）若)(x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界. （C ）若)('x f 在)1,0(内有界，则)(x f 在)1,0(内有界. （D ）若)(x f 在)1,0(内有界，则)('x f 在)1,0(内有界. （答案：（C ）） （2005年数学三）

二．微分中值定理

1．知识要点

微分中值定理具有相同的几何背景：在一条连续光滑的曲线上，至少存在一点，使曲线在该点的切线平行于对应的弦.

1．Rolle 定理：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则存在),(b a ∈ξ，使得0)('=ξf ，即方程0)('=x f 在),(b a 内至少存在一个实根.

Rolle 定理提供了证明方程根的存在性的另一种有效的方法.

2．Lagrange 中值定理：设)(x f 内可导在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则存在),(b a ∈ξ，使得

a

b a f b f f --=

)

()()('ξ 即 )(')()(ξf a f b f =-

Lagrange 中值定理将函数和导数联系在一起了.

3．Cauchy 中值定理：设函数)(x f 与)(x g 满足：在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，0)('≠x g .则存在),(b a ∈ξ，使得

)

(')

(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--

很明显，Rolle 定理是Lagrange 中值定理的一种特殊情况，而Lagrange 中值是

Cauchy 中值定理的一种特殊情况.

4．带Peano 余项的Taylor 公式：设)(x f 在点0x 的n 阶导数存在，则

]

)[()(!

)()(!2)(''))((')()(000)(2

00000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+= 带L a g r a n g 余项的T a y l o r 公式：设)(x f 在点0x 的某邻域),(0δx O 内具有1+n 阶导数，则∈?x ),(0δx O ，有

1

0)1(00)(200000)()!

1()()(!)()(!2)(''))((')()(++-++-++-+-+=n n n

n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中),(0δξx O ∈

Taylor 公式将函数和高阶导数连续在一起了. Taylor 公式的基本思想是利用多项式逼近函数.

2．典型例子

例1：如果 n a a a ,,,10 为满足01

322

10=+++++

n a a a a n 的实数，证明方程 02210=++++n n x a x a x a a 在)1,0(内至少有一个实根.

例2：设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，1)2

1

(=f ，试证： （1）存在)1,2

1(∈η，使ηη=)(f ；

（2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)('=--ξξλξf f

例3：设)(x f 在)0](,[>a b a 上连续，在),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，证明：

存在),(,b a ∈ηξ，使得 )(')(1

ξξ

ξξηf n

f n +

=?

??

?

??-

例4：设)('),(x f x f 在],[b a 上可导，且0)()(==b f a f ，0)(')('>b f a f ，求证：存在),(,b a ∈ηξ使得ηξ≠，0)(')('==ηξf f .

例5：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可微，0)()(==b f a f ，

)),((0)(''b a x x f ∈?<，求证：)),((0)(b a x x f ∈?>.

例6：设)(x f 在]1,0[上可导，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明在]1,0[上存在两点21,x x ，

使

2)

('1

)('121=+x f x f . 例7：设)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且0)1(=-f 1)1(=f ，0)0('=f ，证明：在)1,1(-上至少存在一点ξ，使3)('''=ξf .

例8：设)(x f 在]1,0[上存在二阶导数，且0)1()0(==f f ，1)(min ]

1,0[-=∈x f x ，证明：

存在)1,0(∈ξ，使8)(''≥ξf .

例9：证明：)0)(1ln(

3arctan 2>?+

三．导数的应用 1．知识要点

利用导数和中值定理，我们可以研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性与拐点，可以证明不等式、可以研究方程实根的个数等等.

2．典型例子

例1：设)1,0(∈x ，证明：

2

11)1ln(112ln 1<-+<-x x 例2：求证：)0(111

>>?

?

?

??++x e x x

例3：对任意实数x ，证明不等式221)1ln(1x x x x +≥+++ 例4： 设)(x f 的导数在a x =处连续，又1)

('lim

-=-→a

x x f a

x ，则 （A ）a x =是)(x f 的极小值点.（B ）a x =是)(x f 的极大值点.

)(C ))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点.

)(D a x =不是)(x f 的极值点，))(,(a f a 也不是曲线)(x f y =的拐点.

例5：已知)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，且有k x x x f x f n

x x =--→)

()

()(lim

000

，其中n 为正整数，0≠k ，讨论)(x f 在点0x 处是否有极值.

例6：设函数)(x f 对于一切实数x 满足微分方程

x e x f x x xf --=+1)]('[3)(''2

（1）若)(x f 在c x =（0≠c ）有极值，证明它是极小值； （2）若)(x f 在0=x 有极值，则它是极大值还是极小值？ 例7：设)()1()(是自然数n x nx x f n -=，求证：

（1）1

]10[1)(max +∈?

?

? ??+≤n x n n x f ，

（2）e

x f x 1

)(max ]

10[<

∈， 例8：设)(x f 在),(+∞-∞内有定义，)(''),('x f x f 存在，且满足

0)()()(')(''=-+x f x g x f x f

如果)(0)()(b a b f a f <==，求证：)),((0)(b a x x f ∈?≡.

例9：求方程0sec 2

=-x e x 在区间)2

,

0(π

内的实根的个数.

例10： 讨论方程 122

+=x x

的实根的个数.

例11： 设x x x x x f n n n ++++=-21)( ，求证：（1）对任意自然数1>n ，方程

1)(=x f n 在??? ??1,21内只有一个根；

（2）设∈n x ??

?

??1,21是1)(=x f n 的根，则21lim =∞→n n x . 例12：设在),(+∞-∞上，0)(''>x f ，而0)0(=f ，证明：

???

??=)

0(')()(f x x f x g 00=≠x x

在),(+∞-∞上单调增加.

例13：设函数)(x f 在],0[π上连续，且

0cos )(,0)(0

==??π

πxdx x f dx x f ，试证：在

),0(π内至少存在两个不同的点21,ξξ，使0)()(21==ξξf f .

例14：讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.（2003年数学二）

例15：求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数. （2011年数学一）

第三章 一元函数积分学

一．不定积分

例1：设2

ln )1(22

2

-=-x x x f ，且x x f ln )]([=?，求?dx x )(?.（答案：

C x x +-+1ln 2）

例2：已知

x

x

s i n 是)(x f 的一个原函数，求?dx x f x )('3.（答案：

C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2）

例3：设???>≤=0

,sin ,)(2x x x x x f ，求?dx x f )(.

例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4

2

)1(=

F ，若当0>x 时，有)

1(a r c t a n )()(x x x x F x f +=

，求)(x f .（答案：)

1(21)(x x x f +=

）

例5：求?

dx x x )1,,max(2

3

例6：求?dx e

e x

x

2arctan

二．定积分

例1：求极限???

?

?+++++∞→n n n n 212111lim

例

2：设)(x f 在]1,0[上连续，且

)(1

=?dx x f ，试证明存在

0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使.

例3：已知)0()1ln()(1

>+=

?x dt t t x f x

，求???

??+x f x f 1)(.（答案：x 2ln 21）

例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21

)2(20

x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ，求?2

1)(dx x f 的

值.（答案：

4

3

） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤??

?

??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()(.

例6：求积分?≥-=

x

x dt t x g t f x I 0

)0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而

??

??

?

≥

<≤=220,0,sin )(π

πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明

?

b

a

dx

x f )(2)()

(1

a b dx x f b

a

-≥?

例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证

?

???

??

?

??≤1

1

010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f

例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证：

存在?=

∈ξ

ξξ0

)()()1,0(dx x f f 使

例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足

)),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-；

0)()2(0

=?T

dx x f

求证：LT x f T x 2

1

)(max ]

,0[≤

∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得

)('')(24

12)()(3

ξf a b b a f a b dx x f b

a

-+??? ??+-=?

例12：设函数)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满

足)()()(为常数A A x f x f =-+，（1）证明

??-=a

a

a

dx x g A dx x g x f 0

)()()(；

（2）利用（1）的结论计算

?-

2

2

arctan sin π

π

dx e x x

例13：计算定积分：?--+44

21sin π

π

dx e x x

（答案：)2(81

-π） 例14：计算定积分：?

π

)arctan(cos dx x

例15：试证连续函数)(x f 是周期函数的充分必要条件是：存在0>T ，使对一切的x ，

有

=?+T

x x

dt t f )(?T

dt t f 0

)(

例16：计算定积分：

?

-π

n dx x 0

2sin 1（答案：n 22）

例17：)(x f 是以T 为周期的连续函数，证明：?=x

x dt t f x F 0

)()(或是以T 为周期的周

期函数，或是线性函数与周期函数的和.

例18：计算?

=

1

)(dx x

x f I ，其中?-=

x

t dt e

x f 1

2

)(

例19：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且满足

),[,)()(b a x dt t g dt t f x

a

x

a

∈≥??

??=b

a

b

a

dt t g dt t f )()(

证明：

??≤b

a

b

a

dx x xg dx x xf )()(

（2004年数学三）

例20：设)(),(x g x f 在]1,0[上的导数连续，且0)('0)(',0)0(≥≥=x g x f f ，.证明：

对任何]1,0[∈a ，有

?+a

dx x f x g 0

)(')(?≥1

)1()()(')(g a f dx x g x f

例21：设)(x f 在],[b a 上一阶可导，M x f ≤)('，且

0)(=?b

a

dx x f .证明：当]

,[b a x ∈时，

M a b dt t f x

a

2)(8

1

)(-≤?

例22：设)(x f 是区间),0[+∞上单调减少且非负的连续函数，

),3,2,1()()(1

1

=-=?∑=n dx x f k f a n

n

k n ，证明数列}{n a 的极限存在.

例23：设)(x f 在]1,0[上连续，对任意的y x ,都有y x M y f x f -≤-)()(，证明

n

M

n k f n dx x f n k 2)(1)(1

1≤-?

∑=

例24：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明：

??-≥??

????-b

a b a dx x f a b dx x f a b )(ln 1

)(1ln 例25：设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，“N M ?” 表示

“N M 的充分必要条件是”，则必有

（A ）)(x F 是偶函数)(x f ?是奇函数. （B ）)(x F 是奇函数)(x f ?是偶函数. （C ）)(x F 是周期函数)(x f ?是周期函数. （D ）)(x F 是单调函数)(x f ?是单调函数. （答案：（A ）） (2005年数学一)

例25：设)(x f 是连续函数

（Ⅰ）利用定义证明函数?=

x

dt t f x F 0

)()(可导，且)()('x f x F =

（Ⅱ）当)(x f 是以2为周期的周期函数时，证明函数?

?-=2

)()(2)(dt t f x dt t f x G x 也

是以2为周期的周期函数. (2008年数学一)

例26：求函数 ?--=2

2

1

2)()(x t dt e t x x f 的单调区间与极值. (2010年数学一)

三．广义积分

例1：求

dx x x

?+∞

+03)

1( 例2：求dx e

xe x x

?+∞

--+02)1( 例3：求

dx x x ?+∞

2arctan 例4：求x

dt

t x

x ?+∞

→0

sin lim （答案：

π

2

）

四．定积分的应用

例1：求由)0(122

22>>=+b a b

y a x 与x y =围成的图形面积（两部分都要计算）.（答

案：,arctan

b a ab ),arctan (b

a a

b -π） 例2：过点)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成一平

面图形，求此图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积.

例3：设直线ax y =与抛物线2

x y =所围成的图形面积为1S ，它们与直线1=x 所围成

的面积为2S ，并且1

（1） 试确定a 的值，使21S S +达到最小，并求出最小值；（答案：

62

2,

21

-） （2） 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

（答案：

π30

1

2+） 例4：设平面图形A 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，求图形A 绕直线2=x 轴旋转一

周所得旋转体的体积.（答案：

ππ3

2

22

-） 例5：将抛物线ax x y -=2在横坐标c 与0之间（0>>a c ）的弧段绕x 轴旋转，问c 为何值时，该旋转体的体积V 等于以弦OP 绕x 轴旋转所成锥体的体积锥V ？

例6：过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形

D .

(1) 求D 的面积A .（答案：

12

1

-e ） (2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .（答案：

)3125(6

2+-e e π

）

例7：曲线2

x

x e e y -+=与直线)0(,0>==t t x x 及0=y 围成一曲边梯形。该曲边梯

形饶x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为)(t V ，侧面积为)(t S ，在t x =处的底面积为)(t F .

（I ）求

)

()

(t V t S 的值；（答案：2） （II ）计算极限)

()

(lim

t F t S t +∞→ （答案：1） （2004年数学二）

例8：设)(x f y =是区间]1,0[上的任一非负连续函数。①试证存在)01(0∈x 使得在区间],0[0x 上以)(0x f 为高的矩形面积等于在区间]1,[0x 上以)(x f y =为曲边的曲边梯形面积；②又设)(x f 在区间)01(内可导，且x

x f x f )

(2)('-

>，证明①中的0x 是唯一的。

第五章 多元函数微分学

例1：求

y

x xy y x +-+→11lim

)

0,0(),( 例2：求()xy

y x y x 22)0,0(),(lim +→

例3：证明函数 ?????+=,

0,

),(422

y x xy y x f )0,0(),()0,0(),(=≠y x y x

在点)0,0(处不连续，但存在一阶偏导数.

例4：设函数 ??

???++=,0,1sin )(),(222

2y

x y x y x f )0,0(),()0,0(),(=≠y x y x

问在点)0,0(处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由.

例5：设)()(1x y xf xy f y z += ，f 具有二阶连续的导数，求y x z

???2.

例6：设),(3

x y xy f x z = ，f 具有二阶连续的偏导数，求22y z ??,y

x z

???2.

例7：设])(,)([x y y x f z +-=ψ? ，f 具有连续的二阶导数，ψ?,可导，求y

x z

???2.

例8：设函数 ),,(z y x f u =，θ?θ?θcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===，证明：如果

=??x u x 1=??y u y 1z

u

z ??1 则u 仅是r 的函数.

例9：设)(),,(),,,(x y y x f z z y x F ?ω===，求

dx

d ω. 例10：设x y z

e x z y x

f u y

sin ,0),,(),,,(2===?，其中?,f 具有一阶连续的偏导数，

且

0≠??z ?

，求dx

du 例11：设函数),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所

高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)

2020年考研数学一大纲：高等数学

2020年考研数学一大纲：高等数学 出国留学考研网为大家提供2018年考研数学一大纲：高等数学，更多考研资讯请关注我们网站的更新! 2018年考研数学一大纲：高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形 初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数 的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的 性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调 有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连 续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应 用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本 初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的 函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的 概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理 意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间 的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

高等数学(考研要点复习_中)

第三章：中值定理与导数的应用 §3.1 中值定理 本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo 定理：Rollo 定理：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0. 证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况： （1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。 （2） M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a) 同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点得最大值。下面来证明：f '(ξ)=0 首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知： f '(ξ)=ξ ξ ξξ ξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim ) ()(lim …….(*) 因为M 为最大值，?对x ?有 f(x) ≤M ?f(x)－M ≤0, 当x>ξ时，有 ξ ξξ--= --x M x f x f x f )() ()(≤0 当x<ξ时，有 ξ ξ ξ--= --x M x f x f x f )() ()(≥0。 又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即 )()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有 0) ()(lim )()(≥--=' ='- →-ξ ξξξξx f x f f f x 和 0) ()(lim )()(≤--=' ='+ →+ξ ξξξξx f x f f f x 0)(='?ξf 。 注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。 2：定理中的ξ点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数)(x f 在点ξ处取得最大值或最小值，则有0)(='ξf 。

2018考研数学一：高数5大必考点重点分析

2018考研数学一：高数5大必考点重点 分析 考研数学分为数学一、数学二、数学三，这三者的考察也各有差别，2018考生要根据自己所选专业需考的类别来规划复习，下面凯程考研重点来谈谈考研数学一高数的考察点，涉及极限、导数和微分、中值定理及微分方程几个部分。 ?极限 首先是极限。极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容;其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 ?导数和微分 虽然导数是由极限定义的，然而真正在考试的过程中，我们求一个函数的导数时，我们并不会直接用定义去求，更多的是直接从求导公式中去求一个函数的导数。导数的考查方式主要还是和其它的知识点相结合，很少直接给你一个函数让你求导数。例如不等式的证明，函数单调性，凹凸性的判断，二元函数的偏微分等等。换句话说，导数是一个基础。 ?中值定理 中值定理一般会两年至少考一次，多是以证明题的方式出现，而且常常和闭区间上的连续函数的性子相结合，以与罗尔定理为重点。 ?积分与不定积分 积分与不定积分是考试的重中之重，尤其是多元函数积分学更是每年的必考题型，平均一年会出两道大题，而且定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等种种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，固然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。对于曲线积分和曲面积分，考查方式以格林公式和高斯公式的应用为主，大家一定要注意格林公式和高斯公式的使用条件，考试的过程中往往会在这里设置陷阱。这两部分内容相对比较零散，也是难点，需要记忆的公式、定理比较多。 ?微分方程 微分方程中需要熟练掌握变量可分散的方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解

601 高等数学考试大纲

贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲 《高等数学》（科目代码：601） 一、考试形式与试卷结构 1. 试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 2. 答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。 二、复习要求 全日制攻读硕士学位研究生入学考试高等数学科目考试内容包括高等数学上、下册基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，并能运用相关理论和方法分析、解决相关的一些实际问题。 三、考试内容与要求 第一部分极限与连续 1、考试内容 函数概念及其表示法，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数，双曲函数与反双曲函数；数列极限，函数极限，极限运算法则，无穷小与无穷大量，无穷小的比较，极限存在准则及两个重要极限，函数的连续性，函数的间断点，初等函数的连续性，闭区间上函数连续的性质。 2、考试要求 2.1 理解函数的概念;了解函数的单调性、周期性、奇偶性等。 2.2. 理解反函数和复合函数的概念。 2.3. 理解基本初等函数的性质及图形。 2.4. 能列出简单实际问题中的函数关系。 2.5.了解极限的ε-N,ε-δ定义，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。

2.6 掌握极限的四则运算。 2.7 理解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。 2.8 理解无穷小,无穷大的概念,掌握无穷小的比较。 2.9 理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型。 2.10 了解初等函数的连续性,知道连续函数在闭区间上的连续性(介值定理和最值定理) 等。第二部分一元函微分学 1、考试内容 导数概念，函数求导法则，基本初等函数的导数及初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，函数微分的概念，基本初等的微分及微分运算法则，微分在近似计算及误差估计中的应用；中值定理，罗必塔法则，泰勒公式，函数单调性的判定法，函数极值及其求法、最大值、最小值的求法，曲线的凹凸与拐点，函数图形的作法。 2、考试要求 2.1 理解导数和微分的概念,了解导数的几何意义及函数的可导性和连续性之间的关系,能用 导数描述一些物理量。 2.2理解导数和微分的运算法则(包括微分形式不变性)和导数的基本公式,了解高阶导数的概 念,能熟练的求初等函数的一阶,二阶导数。 2.3掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶和二阶导数。 2.4 理解洛尔(Rolle)定理,拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor) 定理,会用拉格朗日定理。 2.5 掌握洛必达(L'Hospital)法则等。 2.6理解函数极值的概念,掌握求函数的极值,判断函数的增减性与函数图形的凹凸性,求函数 图形的拐点等方法,能描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线),会求简单的最大值和最小值的应用问题。 2.7 了解曲率和曲率半径的概念,并会计算曲率和曲率半径等。 第三部分一元函数积分学 1、考试内容

考研数学冲刺指导：高等数学复习方法(精)

凯程考研 历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员! 考研数学冲刺指导:高等数学复习方法正值考研最后冲刺阶段,凯程考研提醒考生,在这个阶段要兼备好准考证打印的工作,针对需要深入复习的知识点做好冲刺复习,在此凯程小编对考研高等数学的冲刺复习方法与大家分享,希望可以帮助大家对高数进行高效的冲刺复习。 1.理解概念掌握定理 数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质,才能真正地理解一个概念。所有的问题都在理解的基础上才能做好。定理是一个正确的命题,分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外,还要搞清它的适用范围,做到有的放矢。 2.教材习题要做熟 要特别提醒大家的是,课本上的例题都是很典型的,有助于理解概念和掌握定理,要注意不同例题的特点和解法,在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结,不仅总结方法,也要总结错误。这样,作完之后才会有所收获,才能举一反三。 3.从宏观上理清脉络 要对所学的知识有个整体的把握,及时总结知识体系,这样不仅可以加深对知识的理解,还会对进一步的学习有所帮助。 考试复习中,对照大纲针对性的复习时非常必要的,通过大纲可以把握复习重点和难点,这样可以合理的分配复习时间,大家可以按照新的考试大纲进行认真地复习。

大纲中的用词是对我们知识点掌握程度的一个表述,比方说“了解”,对这样的概念、这样的公式和这样的理论,我们只要知道它是怎么样的概念和公式、理论就够了,不需要对它进行更多的讨论,它是怎么来的,用它怎样解决什么样的实际问题的,这个可能应该在以后的问题来讨论,对了解只是知道这个概念它是怎么样的概念,这个公式是怎样的公式,这样的理论是什么样的理论就够了,比方说提到了这样的概念,你就能知道这是在哪个地方的,是哪个问题当中的概念,达到这样的程度就行了,这叫了解。 所谓理解,这要比了解高一个层次了,我们不仅仅要知道这个概念,而且要知道来龙去 凯程考研 历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员! 脉,这个概念为什么要提出来,从哪一个方面提出来的,这是一个方面,再一个方面对这个概念提出了之后将来要解决什么我要知道,我要达到利用这个概念能够解决我们什么样的问题的目的,就要把这个概念真正做到理解。 对于“掌握”是所有要求中级别最高的,我们不但知道这个概念、公式或定理,而且要知道它们的来龙去脉,如何推倒出来的,对于这些概念、公式或定理应该不但知道将来能解决什么问题,而且在出现不同题型考察这个知识点时要回灵活运用,达到熟练解决问题的程度。 再一个会用,这样的词出来之后,这主要是对于某一个概念会用,对某一个结论会用,对某一个公式会用,我光会用这个结论、概念、公式就够了,而对这个概念是怎么来的,对结果是怎么推来的,不追究它的来历,只要会用就可以了,比方说这个公式只要会用了,可以拿它解决问题就可以了,至于是怎么来的不关心。 总的说来,对了解的知识点只会出现在选择题或填空题中,出题的几率虽小,但并不是意味着不出现,对于理解和掌握的部分大家应该达到其要求,这部分被列为考试的重点,在做题中大家要认真总结,抓住重点,掌握基本方法去解决问题。

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

高等数学考研知识点总结1

第一讲 函数、极限与连续 一、考试要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极 限存 在与左、右极限之间的关系。 6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。 8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限。 9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数 （1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=??()[()]x y f x ?=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。 （5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。 特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则?x dt t f 0)(为奇函数； 若)(x f 为奇函数，则?x a dt t f )(为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。 特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0)(0 =?T dt t f ，则?x dt t f 0 )(仍为以T 为周期的周期函数. 5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则

2019年考研数学一高等数学考试大纲附录10页

2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则.

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

考研高等数学知识点总结(优.选)

高等数学知识点 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学大纲与课本内容对照

高等数学 数一数二数三考试要求 第一章函数与极限 第十节中的“一致连续性”不用看； 其它内容是数一数二数三公共部分 第二章导数与微分 第四节参数方程求导及相关变化率为数一，数二考试内容，数三不要求；第五节的微分在近似中的应用不用看；其余内容为数一数二数三公共部分。 第三章微分中值定理与导数的应用 第六节函数图形的描绘，第八节方程的近似解都不用看； 第七节曲率为数一数二考试内容，数三不用看； 其余内容为数一数二数三公共部分。 第四章不定积分 第五节积分表的使用不看； 其余内容为公共部分。 第五章定积分 第五节反常积分的审敛法都不用看； 其余内容为数一数二数三公共部分。 第六章定积分的应用 数三只需要掌握第二节的前两部分：平面图形的面积和体积； 数一数二掌握本章全部内容。 第七章微分方程 第一，二，三，四（线性方程），六，七，八为数一数二数三公共部分； 第五节为数一数二考试内容； 第四节的伯努利方程和第九节欧拉方程为数一考试内容。 第八章空间解析几何与向量代数 数二数三不考，数一考试内容。

第九章多元函数微分法及其应用 第一，二，三，四，五，八节为数一数二数三公共部分；第五节中的隐函数存在定理，第六、七节为数一考试内容；第九、十节数一数二数三都不考。 第十章重积分 二重积分，含参变量的积分为数一数二数三公共部分； 三重积分为数一考试内容，数二数三不考。 第十一章曲线积分与曲面积分 本章为数一考试内容，数二数三不考 第十二章无穷级数 本章内容数二不考； 前四节为数一数三公共部分； 第七、八节为数一考试内容；其余内容不用看。 线性代数 数一数二数三考试要求 前五章 数一数二数三公共部分 第六章 本章第二，三节为数一考试内容，数二数三不考。 概率论与数理统计 数二不考，数一数三考试要求 前三章 数一数三公共部分 第四章随机变量的数字特征

考研高等数学全面复习资料(电子版)

考研高等数学全面复习资料(电子版)

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高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 (4) 1、集合的概念 (4) 2、常量与变量 (5) 2、函数 (6) 3、函数的简单性态 (6) 4、反函数 (7) 5、复合函数 (8) 6、初等函数 (8) 7、双曲函数及反双曲函数 (9) 8、数列的极限 (11) 9、函数的极限 (12) 10、函数极限的运算规则 (14) 3

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 4

高等数学考研复习题及答案

高等数学考研复习题及答案 一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。 2．若?? ?<≤+<<-=2 010 2sin 2 x x x x y ，则=)2 (π y . 3． 极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 222=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3 12 -+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ?=+，其中?可微，则 y z ??= 。 7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++= 具有二阶连续导数，则=???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=?xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若2 1d e 0=?∞ +-x kx ，则_________=k 。

14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(22 15.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),D f x y d σ??在直角 坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤ ，则D f dxdy ??的极坐标形式的二 次积分为____. 17.设级数 ∑∞ =+1 21 n p n 收敛，则常数p 的最大取值范围 是 . 18.=+-+-?1 0 6 42)! 3!2!11(dx x x x x . 19. 方程 0112 2 =-+ -y dy x dx 的通解为 20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 . 21.当n=_________时，方程n y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。 22. 若44?阶矩阵A 的行列式为*||3,A A =是A 的伴随矩阵,则 *||A =__________. 23.设A n n ?与B m m ?均可逆，则C =00?? ??? A B 也可逆，且1 C -＝ . 24.设?? ?? ??=3213A ，且X E AX 3=-，则X = . 25．矩阵?? ?? ? ?????--330204212的秩为 ． 26. 向量(1,0,3,5),(4,2,0,1)αβ=--=-,其内积为____________.

考研高等数学知识点总结

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

三角函数公式：·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ

·倍角公式： ·半角公式： α α αααααααααααα α ααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 2 cos 12cos 2cos 12 sin -= +=-+±=+=-=+-± =+±=-±=ctg tg ·正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2 arccos 2arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0) ()() (! )1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ΛΛΛ 中值定理与导数应用： α ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --= -=-=α α αααααααααα αα22222212221 2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -= -= -=-=-==

最新全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲汇总

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学 考试大纲

考研数学二大纲 考试科目：高等数学、线性代数、考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等教学 78% 线性代数 22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题 8小题，每小题4分，共32分 填空题 6小题，每小题4分，共24分 解答题(包括证明题) 9小题，共94分 高 等 数 学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞??+= ???

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以 及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形

考研高数三角函数复习

考研三角函数复习 1、任意角的三角函数(划红线内容重点学习，其余部分建议学习) (1) 任意角的三角函数的定义 ：角a 的终边上任意一点 p 的坐标是(x , y),它与原点的距离是 r(r >0),那么角a 的正弦、余弦、正切、余切分别是 角cefi 勺正割：seca =— x 甬汶的余割匕C5C& = — y (2) 三角函数值的符号 正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的?余弦值与正割值对于第一、 四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的. 正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、 四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数 来记，即一全、二正弦，三切、四余弦 ”正割、余割分别与余弦、正弦符号相同 ) 2?同角三角函数的基本关系式 (1) 倒数关系： sin a csc=1bos a sec a=n a COt a =1 (3) 平方关系： sin 2 a +cOb a =1 1+tan 2 a =seCx 1+cot 2 a =csC a 3?诱导公式 (1) k 2n + a (kZ), -a, n± a 2 n a 的三角函数值等于 a 的同名函数值，前面加上一个把 a 角看成锐角时原函数 值的符号，即 sin(k 2 n + a=)sin a cos(k 2n + a )=cos , a an(k 2n + a tan a, cot(k 2 n + a ()et a (KE Z) sin(- a )=sin a cos(- a )= cos a, tan(- a )-tan a, cot(- a )-tan a sin( n + a 浄门 a cos( n + a -)cos a , tan( n + a t)3n a, cot( n + a ()=t a sin( n a )=sin , a cos( n - a )pos a , tan( n a )=^an a , cot( n a )-cot a sin(2 n a )^in a cos(2 n a )=cos , (xtan( 2 n a )=an a, cot( 2 n a )=cot a sin( -a) = cosa, cos( -a) = sina , sin( +a) = cosa, cos( +a) = -sina 2 2 2 2 (2) 90 °±a 270 ° ±的三角函数值等于 a 的余名函数值，前面加上一个把 a 看成锐角时原函数值的符号，例如 sin(90 ° + a )=cos tan (270 ° + a co* a 综上，诱导公式可概括为 k ? 90°±a zk 的三角函数值，等于a 的同名(k 为偶数时)或余名(k 为奇数时)的函数值, 前面加上一个把 a 看成锐角时原函数值的符号?简称之为 奇余偶不变，符号看象限”. sina =— (2)商数关系. si not tga 二 ---- COSClt cos a c 培罠= -- sin a

高等数学考研知识点总结

第八讲 多元函数微分学 一、考试要求 1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。 7. 了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。 8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、 内容提要 1、 多元函数的概念：z=f(x,y), (x,y) D 2、 二元函数的极限定义、连续 3、 偏导数的定义、高阶偏导、全微分 z=f(x,y) = , = 若)(),(),(),(),(000000000ρ+?'+?'=-?+?+=?y y x f x y x f y x f y y x x f z y x 则 4、偏导连续?可微? 可导(偏导) 连续 极限存在 5、 复合函数求导法则 （1）多元与一元复合：设)(),(),(t z z t y y t x x ===在t 可微，),,(z y x f u = 在与t 对应的点(),,(=z y x ))(),(),(t z t y t x 可微，则))(),(),((t z t y t x f u =在t 处可微，且 dt dz z f dt dy y f dt dx x f dt du ??+??+??= （2）多元与多元复合：设),(),,(y x v y x u ?φ==在点),(y x 存在偏导数，),(v u f w =在与),(y x 对应的点),(v u 可微，则)),(),,((y x y x f w ?φ=在点),(y x 存在偏导数，且

考研高数知识总结

考研数学讲座（1） 考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座（2）笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑 如何迈出第一步。 或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）； 或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。