文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 2011学而思第七讲 数的整除的综合运用

2011学而思第七讲 数的整除的综合运用

2011学而思第七讲 数的整除的综合运用

第七讲 数的整除的综合运用

一、 数的整除的特征:

1、 看末位

2、5 只需看末一位能否被2或5整除 2510×= 4、25 只需看末两位能否被4或25整除 425100×= 8、125 只需看末三位能否被8或125整除 81251000×=

以四位数abcd 为例,四位数abcd =1000×a +100×b +10c +d 。10、100、1000都是2或5的倍数,只需d 也是2或5的倍数即可。

2、 看各位数字和

3、9 只需看各位数字的加和是否为3或9的倍数

3、 分段系列

7、11、13 从右往左三位一格、三位一格,奇位和与偶位和以大减小,差能被7、11或13整除。 11 从右往左一位一格、一位一格,奇位和与偶位和以大减小,差能被11整除 11、33、99 从右往左两位一格、两位一格,求加和,和能被11、33或99整除

4、 合数

判断一个数能否被某个合数整除,一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式,并且这些数两两互质,再分别判断。

二、 数的整除的性质:

(1)传递性:若,,则;

|c b |b a |c a (2)可加性:若,,则|c a |c b |c a b ±()

三、 试除法

在整除里,对未知部分,我们可以使用试除法,另被除数为最大或者最小。 当被除数最大时,除以除数会得到一个余数,把余数减去,即为所求数。

当被除数最小时,除以除数会得到一个余数,让除数把余数减去即为所缺少的数,再用被除数把这些数加上即为所求的数。

四、 经典例题

例1、在方框中填上两个数字,可以相同也可以不同,使4□32□是9的倍数. (1)请随便填出一种,并检查自己填的是否正确; (2)一共有多少种满足条件的填法?

【分析】一个数是9的倍数,那么它的数字和就应该是9的倍数,即4+□+3+2+是9的倍数,而

4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数.

□(1)依次填入3、6,因为433+++2+6=18是9的倍数,所以43326是9的倍数;

2011学而思第七讲 数的整除的综合运用

(2)经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数,如果和是9,那么可以是(9,0);(8,1);(7,2);(6,3);(5,4);(4,5);(3,6);(2,7);(1,8);(0,9),共10种情况,还有(0,0)和(9,9),所以一共有12种不同的填法。

例2、在小于的自然数中,能被11整除,并且数字和为13的数,共有 5000个。 【分析】 (1)两位数字中能被11整除的数字是11、、……这些数字中显然没有这样的数.

2299(2)三位数,设这个三位数为abc ,有13a b c ++=和11a c b +?=,显然有,12a c +=1b =,所

以就有91,81,71,,51,41,31这7个.

345616789(3)四位数,设这个四位数为abcd ,

①有13a b c d +++=和(a c +)?()1中,若b d +1=12a c +=13d +=,则或有种组合,b 和有种.因此有4种;② 有和(b d )()1=,,b d 1b d +=+?3a =a c +412a c +d 212a b c ++1=+=,则只能1a =,0c =,b 和d 有71种组合. 综上所述,这样的数有个。

74718++=

例3、 右图的方格表中已经填入了9个数,其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方

格中的数。比如a =5×10=50,b =50×12=600。那么c 方格内所填的自然数的末尾有___个连续的0。

c

b

a 25

201510516141210

【分析】 由于考虑的是c 末尾有多少个连续的0,则只需考虑有多个5,有多少个2即可。

先考虑因数5,其累积如下左图:

51106

2175530149525

16497532

2

22110001112

2014

1210134

8

259172

1633

47112760415102

42

再考虑因数2,其累积过程如上右图。

由于5多于2,则c 方格内所填的自然数有102个0。

例4、(2008年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数既是的倍数,又是11的倍数,那么,

这个九位数是多少?

2007122□□9【分析】 (方法一)设原数2007122a b =,∵ 9|2007122a b ?4a b +=或者13a b +=,

∵11|2007122a b ?20a +++22+?(071b +++)0=或者

()071b +++(2202)a ?++++11=?2a b ?=或者9b a ?=根据两数和差同奇偶,得:或者42a b a b +=??

?=??31a b ==139a b b a +=???=?????2

11a b =??=?

不成立.所以,2007122a b 200731212=. (方法二)设原数=2007122a b ,该数既能被9整除,又能被11整除,则该数能被99整除。所以21270299b a ++++=,所以2785b a +=

2011学而思第七讲 数的整除的综合运用

例5、 对怎样的最小值n ,数12被2221n " 个2

999"

9个9

整除? 【分析】 设,,根据A 、B 的特征可对A 、B 进行分解: 122221n A =" 个2

999B ="

9个9

因为,,根据条件.注意到,根据整除的性质,为使A 被B 整除,必须且只需算式N N N 11111011111111n n n A +++=+=×""个1

个1

个1

1111=(,)1""N 9111B =×"9个1

N N

19111|11111n +××"9个1

个1

P N

N

11"9个11111

9111n +×""个1

9个1

是一个整数,这就说明了两点:

⑴ 算式P N 1111111n +""个19个1

也是一个整数,所以P N P P N P

P 1998080

11111111110011001111111n k +==""""""" ""个1个1个1个个个1

9个1

9个1

⑵ 算式P P 80

80

10011001k """

个个个1

的数字之和应是9的倍数,这说明9k =. 综上所述,.

99180n =×?=

例6、六位数20□□08能被99整除,□□是 . 【分析】 法一:20,现在要实现20□□08能被99整除,则必须减去99,经试

算可得,此时□□为71

990899212028÷="28n =28n +法二:利用99的整除性,20+□□+08=99,□□=99-20-8=71

例7、(2009年迎春杯五年级初赛第8题)

将数字4、5、6、7、8、9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除以667的结果是 。 【分析】 六位数的数字和是4+5+6+7+8+9=39,是3的倍数,而667与3互质,因此这个六位数能被667×3=2001

整除,于是它的前三位组成的三位数是后三位组成的三位数的两倍。用4,5,6,7,8,9组成两个三位数,一个是另一个的两倍,容易算出只能是956和478。而956478÷2001=478,所以商为956478÷667=478×3=1434。

例8、如果一个五位数,它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍.那么,这个五位数的前两位

的最大值是 。

【分析】假设组成这个五位数的个数字分别为a 、、c 、、,可知其中不能有0.

5b d e 由题知,由于25()a b c d e a b c d e ××××=++++25|a b c d e ××××可知、、、、中有两个,不妨设,则.

a b c d e 55d e ==a b c a b ××=+10c ++要求这个五位数的最大值,必须使其中最大的数尽可能大.不妨设是其中最大的数. a 如果,则919a =9bc b c =++,即19b c ++是9的倍数,b c +可以为8或17.若,则8b c +=3bc =;若,则,这两种情况下都没有满足条件的整数b 、; 17b c +=4bc =c 如果,则818a =8bc b c =++,即18b c ++是8的倍数,b c +可以为6或14.若,则6b c +=3bc =;若,则,这两种情况下都没有满足条件的整数b 、;

14b c +=4bc =c

2011学而思第七讲 数的整除的综合运用

如果,则 ,即7a =17b c ++是7的倍数,b c +可以为4或11或18.若4b c +=,则;若,则,若3=bc 11b c +=4bc =18b c +=,则5bc =,易知只有前一种情况下有满足条件的整数b 、,此时b 、分别为1和3.

c c 717bc b c =++故此时组成五位数的个数字分别为,5,,3,1,所以所求最大的五位数为。

57575531

五、学案答案

【超常班学案1】 4个 【超常班学案2】14个 【超常班学案3】59895 【超常班学案4】4对

【超常123班学案1】(1)999个(2)999个 【超常123班学案2】()1,9,、、 (3,1)()8,2()7,9【超常123班学案3】645129387 【超常123班学案4】25