利用定积分证明不等式

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/292062076.html,

利用定积分证明不等式

作者：王小林

来源：《学周刊·C》2013年第06期

摘要：在中学和大学的教学中，关于不等式的证明方法，已有较多的人做了研究，较详细地介绍了证明不等式的若干种常用的方法，笔者在教学中发现，结合利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系，来证明某些不等式，学生更容易理解，证明过程也更简单。

关键词：定积分；证明；不等式

利用定积分证明不等式，主要是利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系建立不等关系，进而证明不等式。

一、用定积分证明代数不等式

例1.证明x>0时，■

原高等数学教材中通常利用拉格朗日中值定理来证明这个不等式，方法如下：

证明：首先取函数f（x）=1n（1+x），并取闭区间[0，x]

显然f（x）在[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件

于是有f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0

因为f（0）=0，f′（x）=■故上式即为

1n（1+x）=■（0

由于0

x>0时，■

对上述证明过程，部分数学基础较差的学生总是觉得难于理解，为什么要取函数f（x）

=1n（1+x），并取闭区间[0，x]，使用拉格朗日中值定理得出的结论还要作替换才能找到不等关系。

二、用定积分证明数列不等式

例2.求证1+■+■+…+■