苏科版数学七年级上册 第三章代数式：与整式相关的找规律 知识点与同步训练 讲义(解析版)

与整式相关的找规律

一．找规律

规律探究类的问题是近几年中考题中出现的创新性题目，考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等．

掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．

（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律．

（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．

一．考点：数字类、图形类找规律． 二．重难点：数字类、图形类找规律． 三．易错点：

1．数字类规律是等差数列时，第项计算错误．

题模一：数字类

例2.1.1 观察下列各式： 猜想：__________． 【答案】 【解析】 略．

例2.1.2 观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的

第6个数为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

三点剖析知识精讲

【解析】观察该组数发现：1，，，，…，

第n个数为，

当n=6时，=．

例2.1.3 定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为．记，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则____________；

____________

【答案】 2；2

【解析】根据题意可知，，，，，，，……，∵，∴．

例2.1.4 有一列式子，按一定规律排列成, （1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是___________；

（2）上列式子中第n个式子为__________（n为正整数）．

【答案】（1）（2）

【解析】该题考查的是找规律．

（1）当时，则，，，

则，即，

所以，解得，故答案为；

（2）第一个式子：，

第二个式子：，

第三个式子：

第四个式子：

则第n个式子为：

例2.1.5 对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则．

例如，．若，，，

，…

依此规律进行下去，得到一列数，，，，…，，…（为正整数），

则______，______________ 【答案】 2；4705

【解析】 该题考查的是找规律．

这一列数按照除外，按照4、2、1三个数一循环，

题模二：图形类

例2.2.1 如图，图①是一块边长为1，周长记为的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第块纸板的周长为

，则

_____．

【答案】

【解析】

例2.2.2 如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ） A ． 20 B ． 27 C ． 35 D ． 40

【答案】B

【解析】 第（1）个图形中面积为1的正方形有2个， 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个， 第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个， 按此规律，

第n 个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=

个，

则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个

例2.2.3 小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是 枚． 【答案】 13

【解析】 设第n 个图形有an 个旗子，

观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…， a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n 为自然数）． 当n=4时，a9=3×4+1=13．

随堂练习

随练2.1 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的矩形．如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：

．

【答案】

【解析】借助图形，不难发现．

随练2.3 一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，

42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等

式．

【答案】 92+102+902=912．

【解析】∵12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，∴第9个等式为：92+102+（9×10）2=（9×10+1）2，

即92+102+902=912．

随练2.4 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）

A． 43 B． 45 C． 51 D． 53

【答案】C

随练2.5 观察下面两行数

第一行：4，，16，，36，…

第二行：6，，18，，38，…

则第二行中的第6个数是___________；第n个数是___________

【答案】；

【解析】本题考查的是找规律．

由于第一行第n个数是，第二行每个数是第一行相应位置上的数加2，

那么第二行第n个数是．

第二行第6个数是

随练2.6 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数：1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是______；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C第次出现时（n为正整数），恰好数到的数是___________（用含n的代数式表示）

【答案】 B；603；

【解析】不难发现，字母的出现规律是A→B→C→D→C→B，循环下去．因此数到12时，对应的字母是B；每个循环中出现2个字母C，因此当字母C第201

次出现时，数到的数字应该是；当字母C第次出现时（n 为正整数），数到的数字应该是

随练2.7 中考）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是____．

【答案】 3n+4

【解析】此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；

观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；

第2个图形共有三角形5+3×2-1个；

第3个图形共有三角形5+3×3-1个；

第4个图形共有三角形5+3×4-1个；

则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4

随练2.8 某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时，，

表示非负实数a的整数部分，例如，。按此方案，第6

棵树种植点为_________；第2019棵树种植点为_________。

【答案】 2；403

【解析】该题考察的是找规律．

当时，，

当时，

故答案是2；403．