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2018年高考数学考点通关练第六章立体几何单元质量测试文

单元质量测试(六)

时间:120分钟

满分:150分

2018年高考数学考点通关练第六章立体几何单元质量测试文

2018年高考数学考点通关练第六章立体几何单元质量测试文

第Ⅰ卷 (选择题,共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知a 、b 表示直线,α、β表示平面,则a ∥α的一个充分条件是( ) A .α∥β,a ∥β B .α⊥β,a ⊥β C .a ∥b ,b ∥α D .α∩β=b ,a ?α,a ∥b

答案 D

解析 对于A 选项直线a 有可能在平面α内,B 选项可以推出a ∥α,或者a 在平面α内,对于C 选项直线a 有可能在平面α内,D 选项是正确的,故选D.

2.[2017·新疆乌鲁木齐模拟]已知一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是? ????1,0,12,(1,1,0),? ????0,12,1,(1,0,1),画该四面体三视图中的正视图时,以yOz 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

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答案 A

解析 由直观图可得A 中的图正确,故选A.

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3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2,这个球的表面积为6π,则这个正四棱柱的体积为( )

A .1

B .2

C .3

D .4

答案 B

解析 S 表=4πR 2

=6π,∴R =

62

,设正四棱柱底面边长为x ,则x 2+x 2+22=(2R )2

,∴x =1.

∴V 正四棱柱=2.故选B.

4.[2016·深圳二调]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体中,最长的棱的长度是( )

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A.4 2 B.2 5

C.6 D.4 3

答案 D

解析该几何体为边长为4的正方体的一部分,如图,最长的边为PC=4 3.

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5.[2017·贵阳期末]设m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,给出下列命题:

①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;

②若m∥α,m∥β,则α∥β;

③若m∥α,n∥α,则m∥n;

④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.

上述命题中,所有真命题的序号是( )

A.①④B.②③

C.①③D.②④

答案 A

解析对于①,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,所以①正确;对于②,平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定,所以②错误;对于③,平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定,所以③错误;对于④,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,所以④正确.故选A.

6.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )

A .36π

B .64π

C .144π

D .256π

答案 C

解析 ∵S △OAB 是定值,且V O -ABC =V C -OAB ,

∴当OC ⊥平面OAB 时,V C -OAB 最大,即V O -ABC 最大.设球O 的半径为R ,则(V O -ABC )max =13×

1

2

R 2×R =16

R 3=36,∴R =6,∴球O 的表面积S =4πR 2=4π×62=144π.

7.已知甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同,俯视图不同,如图所示.记甲的体积为V 甲,乙的体积为V 乙,则( )

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A .V 甲

B .V 甲=V 乙

C .V 甲>V 乙

D .V 甲,V 乙的大小不能确定

答案 C

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解析 如图,在正方体中,甲几何体的直观图是四棱锥D -A 1B 1C 1D 1,乙几何体的直观图是三棱锥D -A 1B 1C 1,显然有V 甲>V 乙,故选C.

8.[2016·唐山一模]已知某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )

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A .17π2

B .8π

C .15π2

D .9π

答案 B

解析 由三视图可知该几何体为一个底面半径为1,高为5的圆柱与一个底面半径为1,高为3的圆柱的组合体,其体积为V =π×12

×(5+3)=8π,故选B.

9.[2017·海南月考]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈

275

L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )

A .227

B .258

C .15750

D .355113

答案 B

解析 设圆锥底面半径为r ,则2πr =L ,r =L 2π.圆锥的体积V =13πr 2h =π3? ??

??L 2π2

h =

L 2h

12π,则12π≈752,即π≈7524=25

8

,故选B. 10.[2016·陕西一检]在正四棱柱ABCD -A ′B ′C ′D ′中,AB =1,A ′A =2,则AC ′与

BC 所成角的余弦值为( )

A .5

5 B .5

6 C .

66

D .

306

答案 C

解析 由题意知,∠AC ′B ′即为AC ′与BC 所成的角,连接AB ′,在Rt △AB ′C ′中,

AC ′=6,B ′C ′=1,故cos ∠AC ′B ′=

6

6

,故选C. 11.[2017·兰州诊断]在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC =BC =2,AA 1=1,则点A 到平面A 1BC 的距离为( )

A .

34

B .

32

C .334

D . 3

答案 B

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解析 解法一:如图,设D 为BC 的中点,连接AD 、A 1D 、A 1C 、A 1B ,过A 作A 1D 的垂线,垂足为E ,则BC ⊥A 1D ,BC ⊥AD ,所以BC ⊥平面A 1AD ,则BC ⊥AE .又AE ⊥A 1D ,所以AE ⊥平面

A 1BC ,由条件可得AD =

32

AB =3,A 1D =AA 21+AD 2=2,由面积相等得AE ·A 1D =AA 1·AD ,即AE =AA 1·AD A 1D =32

,故选B.

解法二:设点A 到平面A 1BC 的距离为h ,因为V A -A 1BC =V A 1-ABC ,所以13·h ·S △A 1BC =13

·AA 1·S

△ABC

,又S △A 1BC =1

2

×

5

2

-1×2=2,AA 1=1,S △ABC =

34×22

=3,所以h =32

,故选B.

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12.在三棱锥C -ABD 中(如图),△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形,O 为斜边BD 的中点,AB =4,二面角A -BD -C 的大小为60°,给出下列结论:①AC ⊥BD ;②AD ⊥CO ;③△AOC 为正三角形;④cos ∠ADC =

3

4

;⑤四面体ABCD 外接球的表面积为32π.

其中所有正确结论的序号是( ) A .②③④ B .①③④ C .①④⑤ D .①③⑤

答案 D

解析 由题意知BC =CD =AD =AB ,且BC ⊥CD ,BA ⊥AD .因为O 是斜边BD 的中点,所以

OC ⊥BD ,OA ⊥BD ,且OC =OA =12

BD ,所以∠AOC 是二面角A -BD -C 的平面角,所以∠AOC =60°,

所以△AOC 是正三角形,即③正确.而OC ∩OA =O ,所以BD ⊥平面AOC ,所以BD ⊥AC ,即①正确.若AD ⊥CO ,则由CO ⊥BD ,可得CO ⊥平面ABD ,所以CO ⊥OA ,这与∠AOC =60°矛盾,所以②不正确.因为AB =CD =AD =4,AC =22,所以cos ∠ADC =

42

+42

-22

2×4×4

=3

4

,所以④不正确.因为OB =OC =OA =OD ,所以O 是四面体ABCD 外接球的球心,所以外接球的表面积为4π×(22)2

=32π,即⑤正确.综上所述,所有正确结论的序号是①③⑤.

第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

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13.如图,一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球,水面高度恰好升高r ,则R r

=________.

答案

23

3

解析 由水面高度升高r ,得圆柱体积增加πR 2

r ,恰好是半径为r 的实心铁球的体积,因此有43πr 3=πR 2

r .故R r =233

.

14.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上.若AB =BC =2,∠ABC =90°,

AA 1=22,则球O 的表面积为________.

答案 16π

解析 由题设可知,直三棱柱可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径为长方体的体对角线长,即22

+22

2

2

=4,故球O 的表面积S =4πR 2

=16π.

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15.已知A ,B ,C 三点在球O 的球面上,AB =BC =CA =3,且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的1

3

,则球O 的表面积为________.

答案

272

π

解析 设球O 的半径为R .∵AB =BC =CA =3,∴△ABC 的外接圆半径r =3×

32×2

3

=3,则R 2=? ??

??R 32+r 2,即89R 2=3,解得R 2=278,则球O 的表面积为S 表=4πR 2

=27π2.

16.[2017·唐山模拟]已知一个几何体由八个面围成,每个面都是正三角形,有四个顶点在同一平面内且为正方形,若该八面体的棱长为2,所有顶点都在球O 上,则球O 的表面积为________.

答案 8π

解析 依题意,该八面体的各个顶点都在同一球面上,则其中四点所组成的截面在球的大圆面上,因为该八面体的棱长为2,所以这四点组成的正方形的对角线的长为22,故球的半径为2,该球的表面积为4π(2)2

=8π.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)四棱锥S -ABCD 的三视图和直观图如图所示,其中正视图和侧视图为两个全等的直角三角形,俯视图为正方形,M 、N 、P 分别为AB 、SA 、AD 的中点.

2018年高考数学考点通关练第六章立体几何单元质量测试文

(1)求四棱锥S -ABCD 的体积; (2)求证:直线MC ⊥平面BPN .

解 (1)由三视图知SD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,AB =1,SD =2,∴S 正方形ABCD =1×1=1,

∴V S -ABCD =13×S 正方形ABCD ×SD =13×1×2=2

3.

(2)证明:连接PN 、PB ,设PB ∩CM =O . ∵P 、N 分别为AD 、SA 的中点,∴PN ∥SD . ∴PN ⊥平面ABCD .

又MC ?平面ABCD ,∴PN ⊥MC .

∵在正方形ABCD 中,P 、M 分别是AD 、AB 的中点, ∴△PAB ≌△MBC ,∴∠PBA =∠MCB .

又∠MCB +∠BMC =90°,∴∠PBA +∠BMC =90°. ∴PB ⊥MC .

又PN ∩PB =P ,且PN 、PB ?平面BPN , ∴MC ⊥平面BPN .

18.[2016·江西南昌模拟](本小题满分12分)已知四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是边长为a 的菱形,∠BAD =120°,PA =b

.

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(1)求证:平面PBD ⊥平面PAC ;

(2)设AC 与BD 交于点O ,M 为OC 的中点,若点M 到平面POD 的距离为1

4

b ,求a ∶b 的值.

解 (1)证明:

?

??

????

?PA ⊥平面ABCD BD ?平面ABCD ?PA ⊥BD

在菱形ABCD 中,有AC ⊥BD

?

?

???

?BD ⊥平面PAC BD ?平面PBD ?平面PBD ⊥平面PAC .

(2)因为V M -POD =V P -OMD ,在Rt △OMD 中, 有S △OMD =12×14a ×32a =316a 2

.

在Rt △POD 中,有OD =

3

2a ,PO =b 2+14

a 2?

S △POD =12×

32

a ×

b 2+14

a 2.

所以13

×

a 2?

???

?3b 2

+3

4a 24

×14b =13×316

a 2×

b ?3a 2=4b 2

,即a ∶b =2∶ 3. 19.[2016·广东统考](本小题满分12分) 如图,P 为正方形ABCD 外一点,PB ⊥平面ABCD ,

PB =AB =2,E 为PD 的中点.

2018年高考数学考点通关练第六章立体几何单元质量测试文

(1)求证:PA ⊥CE ;

(2)求四棱锥P -ABCD 的表面积.

解 (1)证明:取PA 的中点F ,连接EF ,BF ,

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则EF ∥AD ∥BC ,即EF ,BC 共面. ∵PB ⊥平面ABCD ,∴PB ⊥BC . 又∵BC ⊥AB ,且PB ∩AB =B , ∴BC ⊥平面PAB ,∴BC ⊥PA . ∵PB =AB ,∴BF ⊥PA . 又∵BC ∩BF =B ,

∴PA ⊥平面EFBC ,∴PA ⊥CE . (2)设四棱锥P -ABCD 的表面积为S . ∵PB ⊥平面ABCD ,∴PB ⊥CD . 又∵CD ⊥BC ,PB ∩BC =B ,

∴CD ⊥平面PBC ,∴CD ⊥PC ,即△PCD 为直角三角形. 由(1)知BC ⊥平面PAB , ∵AD ∥BC ,∴AD ⊥平面PAB , ∴AD ⊥PA ,即△PAD 为直角三角形.

∴S =12PC ·CD +12PB ·CB +12PA ·AD +1

2

AB ·PB +AB ·BC =8+4 2.

20.[2016·江西联考](本小题满分12分)如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,BE ⊥CD ,DE =

BE =CE =2AB ,将ABED 沿BE 边翻折,使平面ABED ⊥平面BCE ,M 是BC 的中点,点N 在线段

DE 上且满足DN =14

DE .

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(1)求证:MN ∥平面ACD ;

(2)若AB =2,求点A 到平面BMN 的距离.

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解 (1)证明:取AC 的中点G ,连接MG ,DG . ∵AG =GC ,BM =MC ,∴GM ∥AB ,且GM =1

2AB .

∵AB ∥DE ,且AB =12DE ,DN =1

4DE ,

∴DN ∥AB ,且DN =1

2AB ,∴GM ∥DN ,GM =DN .

∴四边形DGMN 是平行四边形,∴DG ∥MN . ∵GD ?平面ACD ,MN ?平面ACD , ∴MN ∥平面ACD .

(2)设点A 到平面BMN 的距离为h ,连接CN ,ME ,AN . ∵平面ABED ⊥平面BCE ,且CE ⊥BE , ∴CE ⊥平面ABED .

又M 是BC 的中点,∴点M 到平面ABED 的距离等于点C 到平面ABED 的距离的一半,即1

2EC

=2.