积分中值定理中的极限
积分中值定理中n ξ的极限
杨勇洪
（楚雄师范学院数学系2005级2班）
指导老师 郎开禄
摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限
The limit of n ξ in integral theorem of mean
Yan zilan
Abstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem of
mean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit
导师评语：
在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果.
受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用.
杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.
积分中值定理中n ξ的极限
前 言
改进后的积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()(1,2)b n n n a
F x dx F b a n ξ=-=?
.此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若
lim n n ξ→∞
存在，则lim n n ξ→∞
有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限
时应特别小心（见文[1]）.
改进后的广义积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()()(1,2)b b
n n n a
a
F x g x dx F g x dx n ξ==?? . 此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的
变化而变化，若lim n n ξ→∞
存在，则lim n n ξ→∞
有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时也应特别小心. 在文[2]中，讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限并获得了几个基本结果，文[1]受文[2]的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，获得了两个基本结果.在本文中，我们改进了文[1]中的一个结果的条件，获得了文[1]中同样的结果，并讨论了其应用.
1 积分中值定理
定理1[]
3（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得
()()()b a
f x dx f b a ξ=-?
.
定理2
[]
3（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在
[,]a b 不改变符号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=??.
定理1和定理2表明，ξ在闭区间[,]a b 中取到，故就有可能取左端点a ，或取右端点b ，
也有可能在开区间),(b a 中取到.
2 改进后的积分中值定理
定理3
[][]
4,5（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点
),(b a ∈ξ，使得()()()b a
f x dx f b a ξ=-?.
定理4
[][]
4,5（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在
[,]a b 不改变符号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=??.
定理3和定理4表明，ξ一定能在开区间),(b a 中取到.
3 积分中值定理中n ξ的极限
关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[2]中，有下列结果： 定理5
[]
2 (1) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，记)()(x f x F n n =，由改
进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()b n n n a
F x dx F b a ξ=-?
，
则b n n =∞
→ξlim .
(2) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()b n n n a
F x dx F b a ξ=-?
，
则a n n =∞
→ξlim .
推论
[]
2 设)(x f 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，
)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()b n n n a
F x dx F b a ξ=-?
，
则0lim x n n =∞
→ξ.
关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[1]中，有下列结果： 定理6
[]
1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，则
(1) )0(0)()(lim a b dx
x g dx x g b
a
n b
a n
n -<<=??+
∞
→εε
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()()b b
n
n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
则)()(lim a f f n n =∞
→ξ.
定理7
[]
1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，若
存在[,]a b 上的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得
)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()b
b
n
n a
a
g x dx h x dx =??，
则
(1) ()lim
0(0)()b n a b n n
a
g x dx
b a g x dx
ε
ε-→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()()b b
n n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
则)()(lim b f f n n =∞
→ξ.
关于积分中值定理中n ξ的极限，在本文中，我们去掉了定理7中“若存在[,]a b 上 的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，
()()b b
n n a
a
g x dx h x dx =?
?”的条件，获得了定理7同样的结论.
定理8 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，则 (1) ()lim
0(0)()b n a b n n
a
g x dx
b a g x dx
ε
ε-→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得
()()()()b b
n
n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim b f f n n =∞
→ξ.
证明：(1) 因为
2
()()0()()b b n n a a
b b n
n
a
b g x dx
g b dx
g x dx
g x dx
ε
εεε---
-<
≤
??
?
?
2
()()()()
()()222
n n b n n
b b a g b b a g b g b dx g b εεεεεεεε-------≤=
--?? 2()()()2n
b a g b g b εεεε??
?---= ? ?- ?
??
，
又 1)2()(0
?
??
?
?
??--<εεb g b g ，故0)2()(lim =?????? ??--∞→n
n b g b g εε， 于是
()lim
0()b n a b n n
a
g x dx
g x dx
ε
-→∞
=??
.
(2) 由于)(x f 在b 连续，则)(x f 在b 左连续，故0>?ε，存在)0(0a b -<<>δδ，使得
2
)()(ε
<
-b f x f ，],[b b x δ-∈.
又由广义积分中值定理，至少存在点),(b a n ∈ξ，),(δξ-∈'b a n ，),(b b n δξ-∈"
， 使得
()()()()b b
n
n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
()()()()b b n n n a a f x g x dx f g x dx δδξ--'=??，
()()()()b
b
n n n b b f x g x dx f g x dx δδ
ξ--''=?
?
.
而 ?
?
?
--+=b b n b a
n b a
n dx x g x f dx x g x f dx x g x f δ
δ)()()()()()(.
故
()()()()()()()
()()()()()()()b b b n n n n n n a
a
b b b n n n n a b b b n
n n n a
a
f g x dx f g x dx f g x dx
f g x dx f g x dx f g x dx f g x dx
δδ
δδδδξξξξξξξ------'''=+'''=+''''+-??
?
?
??
?
()()(()())()b
b n n n n n a
a
f g x dx f f g x dx δξξξ-'''''=+-??
，
所以
()()()(()())()b n a n
n
n
n
b n a
g x dx
f f f f
g x dx
δ
ξξξξ-'''''=+-??
，
令 ()()b n a n b n
a
g x dx
k g x dx
δ
-=
??
，
则
)(n f ξ=+")(n f ξ))()(("
-'n n f f ξξn k ，
故
)(n f ξ)(b f -=+-")()(b f f n ξ))()(("
-'n n f f ξξn k .
从而
n n n n n k f f b f f b f f ))()(()()()()("
-'+-"≤-ξξξξ.
因为)(x f 在[,]a b 上连续，故存在0>M ，使得M x f ≤)(，[,]x a b ∈.又因为由(1)知0lim =∞
→n n k ，故N ?>?，0ε，当N n >?时，有M
k n 4ε
<
，于是当N n >?时，有
εε
ε
ε
ε
ξ=+
=
?
+<
-2
2
422
)()(M
M b f f n .
因此)()(lim b f f n n =∞
→ξ.
推论1 设)(x f 在]2
,
0[π
是连续函数，则
(1) 20
20
sin lim
0(0)2
sin n n n xdx
xdx
π
ε
π
π
ε-→∞
=<<
?
?
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2
,
0(π
ξ∈n ，使得
??
=20
20
sin )(sin )(π
π
ξxdx f xdx x f n n n
，
且)2
()(lim π
ξf f n n =∞
→.
推论2 设)(x f 在]0,2
[π
-
是连续函数，则
(1) 2
02
cos lim
0(0)2
cos n n n
xdx xdx
επ
π
π
ε--
→∞
-
=<<
??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2
(π
ξ-
∈n ，使得
002
2
()cos ()cos n
n n f x xdx f xdx ππξ-
-
=?
?
，
且)0()(lim f f n n =∞
→ξ.
定理9 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，则 （I ）
(1) 00
0()lim 0(0)()b
n x b n n
x g x dx
b x g x dx
εε+→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得
()()()()b b
n n n x x f x g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim 0x f f n n =∞
→ξ.
（II ）
(1) 000()lim 0(0)()x n a x n n
a
g x dx
x a g x dx
ε
ε-→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得
00
()()()()x x n
n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim 0x f f n n =∞
→ξ.
证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最大值点，故()f x 在0[,]x b 严格递减，在0[,]a x 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 （I ）
(1) )0(0)()(lim 0
0εεε-<<=?
?+∞
→b dx
x g dx
x g b x n
b
x n n ；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得
()()()()b b
n n n x x f x g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim 0x f f n n =∞
→ξ.
（II ）
(1) 000()lim 0(0)()x n a x n n
a
g x dx
x a g x dx
ε
ε-→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得
00
()()()()x x n n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim 0x f f n n =∞
→ξ.
推论1 设)(x f 在],0[π是连续函数，则 （I ）
(1) 22
sin lim
0(0)2
sin
n n n
xdx
xdx
ππ
ε
π
ππ
ε+→∞
=<
?；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),2
(
ππ
ξ∈n ，使得
??
=π
πππξ2
2
sin )(sin )(xdx f xdx x f n n n ，
且)2
()(lim π
ξf f n n =∞
→.
（II ）
(1) 20
20
sin lim
0(0)2
sin n n n xdx
xdx
π
ε
π
π
ε-→∞
=<<
??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2
,
0(π
ξ∈n ，使得
2
20
()sin ()sin n
n n f x xdx f xdx π
π
ξ=?
?，
且)2
()(lim π
ξf f n n =∞
→.
推论2 设)(x f 在]2
,2[π
π-是连续函数，则 （I ）
(1) 2
20
cos lim
0(0)2
cos n n n xdx xdx
π
επ
π
ε→∞
=<<
??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2
,
0(π
ξ∈n ，使得
220
()cos ()cos n
n n f x xdx f xdx π
π
ξ=?
?，
且)0()(lim f f n n =∞
→ξ.
（II ）
(1) 2
22
cos lim
0(0)2
cos n n n xdx
xdx
εππππ
ε--
→∞
-
=<<
??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2
(π
ξ-
∈n ，使得
002
2
()cos ()cos n
n n f x xdx f xdx ππξ-
-
=?
?
，
且)0()(lim f f n n =∞
→ξ.
定理10 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一最小值点0x ，则
(I) (1) 000()lim
0(0)()x n a x n n
a
g x dx x a g x dx
εε+→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得
00
()()()()x x n n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim a f f n n =∞
→ξ.
(II) (1) 00
0()lim
0(0)()b n x b n n
x g x dx
b x g x dx
ε
ε-→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得
()()()()b b
n
n n x x f x g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim b f f n n =∞
→ξ.
证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最小值点，故()f x 在0[,]a x 严格递减，在0[,]x b 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 (I)
(1) 000()lim
0(0)()x n a x n n
a
g x dx x a g x dx
εε+→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得
00
()()()()x x n
n n a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim a f f n n =∞
→ξ.
(II) (1) 00
0()lim
0(0)()b n x b n n
x g x dx
b x g x dx
ε
ε-→∞
=<<-??
；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得
()()()()b b
n
n n x x f x g x dx f g x dx ξ=?
?，
且)()(lim b f f n n =∞
→ξ.
推论1 设)(x f 在]2,1[是连续函数，则
(1) 21
211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dx
x ε
ε-→∞+=<<+??； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得
221
111
()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x x
ξ+=+?
?，
且)2()(lim f f n n =∞
→ξ.
证明：令x
x
x g )11()(+
=，]2,1[∈x ，则 ??
?
??+-++='x x x x g x 11)11ln()11()(，]2,1[∈x .
令x
x x h +-+=11
)11ln()(，]2,1[∈x ，则
0)1(1
)(2
<+-='x x x h ，]2,1[∈x
于是)(x h 在]2,1[严格递减，故)(x h 03
1
23ln )1(>-=>h ，因此
]2,1[,011)11ln()11()(∈>??
?
??+-++='x x x x x g x .
故)(x g 在]2,1[严格递增，且02)1()(>=>g x g .
所以我们有
(1) 21
211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dx
x ε
ε-→∞+=<<+??； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得
221
111()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x x
ξ+=+??， 且)2()(lim f f n n =∞
→ξ.
同样我们有
推论2 设)(x f 在]2,3[--是连续函数，则
(1) 23
231(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dx
x ε
ε----→∞-+=<<+??；
(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,3(--∈n ξ，使得
223
311()(1)()(1)nx nx
n f x dx f dx x x
ξ----+=+??， 且)2()(lim -=∞
→f f n n ξ.
参考文献
[1] 郎开禄.积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7—15.
[2] 裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M].北京：科学出版社，2004：223—226，272.
[3] 华东师范大学数学系编.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2002：217—218. [4] 毛羽辉编著.数学分析选论[M].北京：科学出版社，2003：101—102.
[5] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏编著.数学分析学习指导（上）[M].北京：高等教育出版社，2004:272.
致 谢
感谢郎开禄老师在我的论文选题及写作过程中给予悉心指导.
积分中值定理及定积分极限
第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009 智 轩 一、完整的积分中值定理包含下列全部内容 1．函数平均值 []()1b a M f f x dx b a =-? 2．第一中值定理 ()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b a a b f x dx f b a ξξ?≤≤?=-?。 （教材上的描述） ()2如果函数 ()(), f x x ?在积分区间[] ,a b 上连续，且当a x b <<时，()x ?不变号，则 则()()()()b b a a a b f x x dx f x dx ξ ?ξ??≤≤?=??。 3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用） ()1若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ?单调，则 ()()()()()()00b b a a f x x dx a a f x dx b f d b x x ξξ ?ξ???≤-≤=++????。 ()2若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积， 当且当a x b <<时，()x ?单调递减（广义上），且为非负数，则 ()()()()0b a a a b f x x dx a f x dx ξ ξ???≤≤?=+??。 ()3若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ?单调递增（广义上） ，且为非负数，则 ()()()()0b b a a b f x x dx b f x dx ξ ξ???≤≤?=-??。 二、与积分有关的求极限问题 【例1】求极限1 10lim 1n n x I dx x →∞=+? 解：
(完整版)大数定律及中心极限定理
第五章大数定律及中心极限定理 【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯 中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用 相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。 【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。 【学时分配】2学时 【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言 在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。 下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 一、切比雪夫大数定律 1
2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划 （弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ， 则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律） 设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在 常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即
微积分定理归纳
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.
概率极限理论
随机微分方程基本理论 1、引言 随机微分方程（SDE ）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。 随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。 2、基础理论和线性方程 0)0( , )()),(()),(()(x x x dw t t x b dt t t x a t dx =+= (2.1) 是由伊藤积分方程 )() ),(()),(()(0 0s dw s s x b s s x a x t x t t ??+ + = (2.2) 定义。
黎曼积分与勒贝格积分
黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σf(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中Δ Xi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。 勒贝格积分 将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。概念简述 定义：设f (x) 是E ∈L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈L(E) ，如果对任意ε> 0，必然存在E 的分划D，使S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε， 这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。 它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说: 假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1)
即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块 上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。 积分介绍 积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数： Y=1，当X是无理数； Y=0，当X是有理数。 求该函数覆盖的面积。 黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。 用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。 [0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度+ 无理数集的长度。 所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。 由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。
特征函数与极限定理
第 十二 次课 2学时 本次课教学重点： 特征函数的定义与性质 本次课教学难点： 常见分布的特征函数的计算 本次课教学内容： 第四章 特征函数 通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的，另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度函数的卷积），要解决复杂的多的问题，没有更优越的数学工具是不行的，在学习数学分析时我们就知道富里埃变换能把卷积运算变成乘法运算，它在数学中是非常重要而有效的工具，把富里埃变换引入到概率之中来，就产生了“特征函数”，可以毫不夸张地说，概率统计自从引进了特征函数以后，就把理论的研究推进到一个新的台阶。 第一节特征函数定义与性质 一、定义 本章中1-= i 定义4.1.1设ξ是定义在概率空间),,(P F Ω一个随机变量，分布函数为)(x F ，称 ()ξ?it Ee t =，∞<<∞-t （4.1） 为ξ的特征函数。有时也称为分布函数)(x F 的特征函数。 由定义 ()()???????=?∑∞ ∞ -∞=dx x f e p e t itx k k ita k 1 ? （4.2） 由1=itx e ，故（4.2）的级数或积分是绝对收敛，即ξ,,v r 的特征函数总存在。 由（4.2）看出，ξ..v r 的f c .是其概率函数或密度函数的富里埃变换，计算特征函数则需要进行复数求和或作实变量复值函数的积分。作积分时有时会用到复变函数中的残数理 当ξ～f （x ） 当
第二积分中值定理
第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
Lebesgue积分和Lebesgue的理论
Lebesgue积分和Lebesgue的理论 Abrat Chen, pku 作为日志，写得比较随意，希望不会造成误导。。 一 2011年刚刚过去，当我想起自己到底在2011年收获了什么的时候，总是能够想起许多的失败的经历，而其余的收获又几乎微不足道，唯一聊以自慰的或许只有我幸运地对于Lebesgue的美妙理论有所了解。我真的很喜欢这个理论，或许是因为我喜欢公理化的东西，这也许可以解释我的物理的悲剧。。 整个过程持续的时间很长，从2011年的春季，那时候在看一本书，但是学得很不明白。真正有所感触，大概要到9月份，那时候在抽象测度论上还是比较磕绊，再后来，鼓起勇气在数分面试的时候想谈谈自己学习这些东西的历程和心得，逼自己把这套优美的理论能够彻底搞明白。虽然我觉得在面试的时候自己讲的不好，但是，对于自己学习这套理论来说，效果非常得好，很多没有想明白的东西终于想明白了。所以，我得到这样一种印象，学习一个东西或许可以试试用自己的语言说给身边的老师同学朋友。 我看的书是Friedman的Foundations of Modern Analysis，包含了实变和泛函的内容，关于实变的部分，组织材料的方法非常奇怪，它先将\sigma-代数，然后讲抽象的公理化的外测度（可以初步地认为外测度和测度都是长度或者面积的推广），然后是公理化的抽象的测度，接着推出的Caratheodory的定理，这条非常要紧，就是说每个外测度都可以诱导出一个测度，只不过要限制在一部分集合上，这些集合叫做可测集。什么意思呢？外测度是大的集合X（可以具体地想成是欧氏空间神马的）的所有子集都有定义的（比如欧氏空间的所有子集都有外测度），但是外测度的公理说了这么三条： 首先它是从X的幂集（X的全体子集的集合）到非负实数的映射。 （1）空集的外测度是0 （2）F是E的子集，于是F的外测度小于等于E的外测度（这条叫做单调性） （3）次可数可加性，就是说A可以写成En的并，En是集合序列（当然是可数个咯），那么A的外测度小于等于En各自的外测度之和（这个和当然是一个非负无穷级数） 这三条都是非常自然的，第三条或许会有些疑虑，其实也很自然，因为En之间可能有交集的，外测度可以想成是长度或者面积的推广，计算A的外测度的时候，这些重叠部分只被算了一次，而计算En的外测度之和的时候，它们都分别被算了，也就是说，被重复计算了，当然会大。 但是外测度有很严重的缺陷，就是，它没有可加性，就是说，我们期待着两个集合A，B不交，那么A并B的长度应该是它们长度之和。所以引入测度的公理： （1）空集的测度是0 （2）可数可加性，这个性质比刚才举的这个A和B的例子还好，现在是说En是集合列，En两两不交，那么它们的测度之和等于它们的并（这个并是不交并）的测度。
数学分析求极限的方法
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有
()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.
积分中值定理中的极限
积分中值定理中n ξ的极限 杨勇洪 （楚雄师范学院数学系2005级2班） 指导老师 郎开禄 摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限 The limit of n ξ in integral theorem of mean Yan zilan Abstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem of mean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit 导师评语： 在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果. 受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用. 杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.
大数定理和中心极限定理
大数定理 概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 发展历史 1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。 表现形式 大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：?切比雪夫大数定理 设 是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望 和方差 。若存在常数C使得： 则对任意小的正数ε，满足公式一： 将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。 ?伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二： 该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。 在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。 ?辛钦大数定律
推广的积分中值定理及其应用
推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem
计量经济学知识点重点总结
一、一些应该掌握的概念（课都上完以后回顾时候提到的应该知道的一些知识，有可能会出简答题） 1、中心极限定理 2、大数定理 3、正态分布 4、契比雪夫不等式 5、方差，期望 6、协方差及其相关系数， 二、一些基本题型 1、随机变量分布，“离散型100%考，图形不会的补考！”（此为他课上威胁性话语，所以重视程度排在第一位了……不知道是不是真考，《北方工业大学》版本有一个其他的数据的例子，供参考） 例：设对任意x，定义F(x)=P{X≤x}=P{w|X(w)≤x} X 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求F(x)=P(X≤x)的分布 1）x<1时，F(x)= P(X<1)=0 2）1≤x<2时，F(x)= P(X≤1)=P(X=1)=1/3 3）2≤x<3时，F(x)= P(X≤2) =P(X=1)+ P(X=2)=2/3 4）3≤x时，F(x)= P(X≤3) =P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)=1 图形:次图形为右连续 F(x) 0 1 2 3 x 2、需求量，很容易考（原话） P15的例1.5，实在打不出来，留个地，大家自己写上去吧。 3、联合概率密度（简单被积分数，身高、体重作为随机变量） 例：用X表示身高，Y表示体重，（X,Y）为二维随机变量 定义F(l,w)=P{X≤l1, Y≤w1} 当两个事件相互独立时，得出
F(l,w)=F X(l) * F Y(w) 即同时满足身高、体重条件的概率为满足身高事件的概率与满足体重的概率乘积。 4、古典概型例子 例一：有藏品100个，其中5个次品，求取8个里面最多2个次品的概率？解：书上p6，例1.1 其中应注意公式： n! C m n =---------------------- m!(n-m)! (公式打得难看了一点，但是很有用) 例二：黑球a个，白球b个，放在一起抓阄。1≤k≤a+b，求在第k个位置抓到黑球的概率？ 解： a*(a+b-1)! / (a+b)! =a/(a+b) 此用来证明第k次抽签时与前面抽到的概率都相等，（本人认为考的可能性小，哈哈） 例三：n个人坐一圈，求其中2个熟人坐一起的概率 解： P=2/(n-1) 即为，把两个人看作一个整体，与其他n-1个人排列，有n-1种方法，他们之间的座位左右更换，有两个，所以得出上式。太简单了，估计不会考吧？ 例四：n个人，至少2个人同生日的概率 如p6，例1.2 P=1 - 365*364*…（365-n+1）/365n 例五：n双不同的鞋，取2k只，（2k 第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性 第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测 一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点： ◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示； ◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存在与L可积的差异； ◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。 ◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理（Levi 定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。 ◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法； 注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。 ◇会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。 ◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论： ① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()d 0E f x x =??()0..f x a e =于E （称 为非负可测函数积分值为零的特征）； ② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈?()f x 在E 上几乎处处有限（称为非负可测函数L 可积的有限性，注意L 积分存在不具有这个性质）； ③ mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数，{}n y 满足： n y ，lim n n y →∞ =+∞，00y =，1n n y y δ+-<， 则()()f x L E ∈?10 [()]n n n n y mE x y f x y ∞ +=≤<<+∞∑； ④（非负可测函数L 可积的积分绝对连续性）设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，若()()f x L E ∈，则A E ??，A 为可测集，总有 lim ()d 0mA A f x x →=?， 即0ε?>，0δ?>，使得A E ??，A 为可测集，当mA δ<时，总有 0()d A f x x ε≤ 极限理论在微积分中的地位和作用 摘要：极限思想至始至终贯穿于高等数学之中，微积分中许多重要的概念都是用极限来定义的，如连续、导数、积分、级数等.可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量间依赖关系和函数变化规律的数学分支，极限和极限思想在微积分中扮演着核心的地位. 关键词：极限微积分核心连续导数积分级数 极限的思想方法贯穿于微积分课程的始终。可以说微积分中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的微积分教材中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是微积分乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是高等数学与初等数学的本质区别之处。微积分之所以能决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等题），正是由于它采用了极限的思想方法。例如，求变速直线运动的瞬时速度，这时速度是变量，为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助极限法，从“不变”认识“变”。曲线形与直线形有本质的差异，但在一定件下也可相互转化，善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，要求曲线形的面积，只用初等的方法就不行了。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积，都是借助极限法，从直线形认识曲线形质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起重要作用。无穷级数数求和、瞬时速度等都是借助极限法，从近似认识准确。 一、极限与连续 客观世界的许多事物以及现象都是运动变化的，且变化过程往往是连绵不断的，而连续函数是刻画变量连续变化的最佳数学方式.正是对物体连续运动的研究促使了微积分的萌芽和产生. 18 世纪时，虽然许多数学家都已在研究连续函数，但仍停留在几何直观上.直到19 世纪，柯西及维尔斯特拉斯等数学家建立严格的极限理论后，才使连续函数有了精确定义. 连续的精确定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当x->x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值，即那么就称函数在点连续。 二、极限与导数 法国数学家费马为研究极值问题最早的引入了导数的思想，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线. 这是由英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和研究几何学过程中建立起来的. 导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量x在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量，如果当时，的极限存在，那么称函数在点处可导，则称此极限值为函数在点处的导数，记为， = 可见，微分学的基本概念导数是用极限来定义的. 此外，导数也可用来解决极限问题，如洛必达法则就是以导数为工具解决未定式极限的. 三、极限与积分 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x高数-极限求解方法与技巧总结
第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测
极限理论在微积分中的地位和作用
(完整word版)数学分析求极限的方法