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数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解

数学期望:随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个,则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率为0.01,取1的概率为0.9,取2的概率为0.06,取3的概率为0.03,它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个,用数学式子表示为:E(X)=1.11。

也就是说,我们用数学的方法分析了这个概率性的问题,对于每一个家庭,最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是:

1、一个完全符合分布的样本

2、这个样本的方差

概率密度的概念是:某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布,即平均分是80分,由正态分布的图形知x=80时的函数值最大,即随机变量在80附近取值最密集,也即考试成绩在80分左右的人最多。

下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x),表示概率密度):

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离散型分布:二项分布、泊松分布

连续型分布:指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布

抽样分布只与自由度,即样本含量(抽样样本含量)有关

二项分布(binomial distribution ):例子抛硬币

1、 重复试验(n 个相同试验,每次试验两种结果,每种结果概率恒定————伯努利试验)

2、

抽样分布

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3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布,即二

项分布

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泊松分布(possion distribution):

1、一个单位内(时间、面积、空间)某稀有事件

2、此事件发生K次的概率

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3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布,即泊

松分布

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二项分布与泊松分布的关系:

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二项分布在事件发生概率很小,重复次数n很大的情况下,其分布近似泊松分布

均匀分布(uniform distribution):

分为连续型均匀分布和离散型均匀分布

离散型均匀分布:

1、n种可能的结果

2、每个可能的概率相等(1/n)

连续型均匀分布:

1、可能的结果是连续的

2、每个可能的概率相等()

连续型均匀分布概率密度函数如下图:

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指数分布(exponential distribution):

用来表示独立随机事件发生的时间间隔,比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

指数分布常用于各种“寿命”分布的近似。

1、连续型分布,每个点的概率:

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2、无记忆性。已经使用了s小时的元件,它能再使用t小时的概率,与一个从未使用过的元件使用t小时的概率相同。即它对已经使用过的s小时没有记忆。

指数分布的概率密度函数如下图:

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正态分布(normal distribution):

又称高斯分布。

1、描述一个群体的某个指标。

2、这个指标是连续的。

3、每个特定指标在整个群体中都有一个概率()。

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4、所有指标概率共同组成了一个分布,这个分布就是正态分布。正态分布的概率密度函数如下图:

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中心极限定理:

不论总体的分布形式如何(正态或非正态),只要样本(抽样样本)含量n足够大时,样本均数的分布就近似正态分布,且均数与总体均数相等,标准差为(总体标准差)/(n的开方)。

中心极限定理使得t分布、F分布和X2分布在抽样样本含量很大时不需要对总体样本是否正态有要求。

t分布(student t distribution):

1、t分布是以0为中心的一簇曲线,每个自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数(抽样样本含量)-1

3、总体样本呈正态分布(抽样样本含量较小时,要求总体样本呈正态分布,如果抽样样

本含量很大(eg. n >= 100),由中心极限定理可知抽样样本均数也近似正态分布,因而“差值”的概率也呈正态分布,而t分布的每一条曲线实际上都是正态分布曲线)

4、从一个总体样本中抽取很多个小样本———抽样

5、每个小样本都有一个均值

6、每个小样本的均值与总体样本均值有一个差值,这个差值用t估计

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7、可能有多个小样本的差值估计都是t,t出现的次数占所有小样本的比例可以用一个概率衡量

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8、所有t值的概率组成一个分布,就是t分布的一个曲线

9、另外做一个抽样,每个小样本包含的观测值不同,则形成t分布的另外一个

曲线

10、自由度越大,则曲线越接近于标准正态分布

11、t分布只与自由度相关

t分布的概率密度函数如下图(v为自由度):

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X2分布(chi square distribution):

1、X2分布也是一簇曲线,每个自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数(抽样样本含量)-1

2、总体样本呈正态分布(抽样样本含量(n)较小时,要求总体样本呈正态分布)

3、从总体样本中抽取n个观测值:z1,z2,z3……———抽样

4、将它们平方后求和,这个和用一个新变量表示,即X2

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5、重复抽样并获得多个X2:X12,X22,X32,X42………

6、可能有多次抽样的X2值相同,同一个X2值的抽样次数占总次数的比例可以用一个概率表示

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7、所有的概率值共同组成一个分布,就是X2分布的一条曲线

8、另外做一次,只要从总体中选取观测值数目n不同,得到的就是另外一条曲线

10、自由度越大,则曲线越接近于标准正态分布

11、X2分布只与自由度相关

X2分布的概率密度函数如下图(n在这里为自由度):

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F分布(F-distribution):

1、F分布也是一簇曲线,每对自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数(抽样样本含量)-1

2、两总体样本方差比的分布

3、总体样本呈正态分布(抽样样本含量(n)较小时,要求总体样本呈正态分布)

4、从总体样本中抽取两个样本,两个样中的观测值数目可相同也可不同,分别

记为n1和n2

5、分别计算出X2:X1,X2

6、构建一个新变量F:

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7、重复抽取样本,计算多个F值:F1,F2,F3……..

8、可能有多次抽样的F值相同,同一个F值的抽样次数占总次数的比例可以用一个概率表示

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9、所有的概率值共同组成一个分布,就是F分布的一条曲线

10、另外做一次,只要从总体中选取观测值数目n不同,得到的就是另外一条曲线

10、两个自由度越大,则曲线越接近于标准正态分布

11、F分布只与自由度相关

F分布的概率密度函数如下图(m,n在这里为自由度):

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【在推估总体平均值时,基于样本平均数的抽样分布】——t分布【在用样本方差来推估总体方差时,必须知道样本方差的抽样分布】—X2分布【比较两个总体的方差是否相等时,必须知道样本方差的联合抽样分布】—F 分布

生存分析(survival analysis):

1、多种影响慢性疾病的因素(不同手术方法、不同药物………)

2、随访一群患者

3、一段时间后统计生存和死亡

3、最终给出的结果是一个评价各种因素对生存时间的影响(生存时间、生存率有无差异)

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贝叶斯公式(bayes formula):

1、描述两个条件概率之间的关系———P(Bi|A)与P(A|Bi),A为事件,Bi 为一个划分

2、P(Bi|A)=P(A|Bi)*P(Bi)/P(A) 或者

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3、看图理解

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全概率公式(full probability formula):

1、描述一个特定事件的概率与条件概率间的关系

2、P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)

3、看图理解

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