双曲线的简单几何性质与抛物线标准方程
双曲线的简单几何性质
例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近
线方程，以及x,y 的取值范围．
例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103
； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x .
基础自测：
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 212＝1
B.x 212－y 24＝1
C.x 210－y 26＝1
D.x 26－y 2
10
＝1 2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )
A ．－14
B ．－4
C ．4D.14 3．若在双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．e > 2
B ．1 C ．e >2 D ．1 80 ＝1 课时作业 一、基础过关 1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x 3．双曲线x 24－y 212 ＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．23 B ．2 C.3 D ．1 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 2 5＝1 5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( ) A.6B.3C.2D.33 6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52 ，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12 x D ．y ＝±x 7．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，求双曲线的离心率． 二、能力提升 8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2 16 ＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______________________________． 9．双曲线x 24＋y 2 k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________． 10．已知双曲线C ：x 24－y 2 m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是_． 11．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 29－y 2 16 ＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)； (2)与双曲线x 216－y 2 4 ＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程． 三、探究与拓展 13．给定双曲线x 2 －y 2 2＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由． 2．4.1 抛物线及其标准方程 例1 方程2[(x ＋3)2＋(y －1)2]＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 跟踪训练1 若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y 2＝a 2x (a ≠0)． 跟踪训练2 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程． 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 2．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3C.115D.3716 4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B .1516C.78 D ．0 双曲线的简单几何性质 例2 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近 线方程，以及x,y 的取值范围． 例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103 ； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x . 解 (1) y 281－x 29 ＝1. (2)∴所求双曲线方程为x 2359 －y 2 35 ＝1. 基础自测： 1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 2 10 ＝1 2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4D.14 3．若在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．e > 2 B ．1 C ．e >2 D ．1 80 ＝1 课时作业 一、基础过关 1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x 3．双曲线x 24－y 212 ＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．23 B ．2 C.3 D ．1 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( ) A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 2 5＝1 5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( ) A.6 B.3 C.2 D. 33 6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52 ，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 7．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，求双曲线的离心率． 解 e ＝2＋1. 二、能力提升 8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2 16 ＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______________________________．答案 163 9．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．答案 (－12,0) 10．已知双曲线C ：x 24－y 2 m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是_． 答案 (4，＋∞) 11．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 29－y 2 16 ＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)； (2)与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 解 (1) 4x 29－y 2 4 ＝1. (2)故所求双曲线的方程为x 212－y 2 8 ＝1. 12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程． 解 ∴双曲线的标准方程为x 236－y 2 12＝1. ②x 236－y 212＝1或y 212－x 236 ＝1. 三、探究与拓展 13．给定双曲线x 2 －y 2 2＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由． 解 方法一 设存在直线m 过B 与双曲线交于Q 1、Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点，当直线m 的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点； 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y －1＝k (x －1)， 由????? y －1＝k (x －1)，x 2－y 22＝1知 (2－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －(k 2－2k ＋3)＝0， 设该方程的两根为x 1、x 2， 由根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2k 2－2k k 2－2 ＝2，解得k ＝2. 当k ＝2时， Δ＝(2k 2－2k )2＋4(2－k 2)(k 2－2k ＋3)＝－8<0， 因此不存在满足题意的直线． 方法二 假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)， 则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22 ＝1. ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且????? 2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2， 两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0， ∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0. 若直线Q 1Q 2⊥Ox ， 则线段Q 1Q 2的中点不可能是点B (1,1)， 所以直线Q 1Q 2有斜率，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝2. ∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 由????? y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24＝－8<0. 这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在． 2．4.1 抛物线及其标准方程 例1 方程2[(x ＋3)2＋(y －1)2]＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 跟踪训练1 若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y 2＝a 2x (a ≠0)． 跟踪训练2 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． 解 (1)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13 x 或x 2＝－9y . (2)∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 解 (1)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94 y . (2)∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程． 解 所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 2．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3C.115D.3716 4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B .1516C.78 D ．0 一、复习预习 复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用 二、知识讲解 (一)导出课题 我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”． 请大家思考两个问题： 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形． 引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线． (二)抛物线的定义 1．回顾 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2．简单实验 如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 3．定义 这样，可以把抛物线的定义概括成： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． (三)抛物线的标准方程 抛物线的简单几何性质; ●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点 抛物线的几何性质 ●教学难点 几何性质的应用 ●教学方法 学导式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P . 解:因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),所以可设它的标准方程为: )0(22 p px y = 因为点M 在抛物线上，所以22)22(2?=-p ，即2=p 因此所求方程是.42x y = 下面列表、描点、作图： 说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程)0(22 p px y =中p 2的几何意义：抛物线的通 径，即连结通过焦点而垂直于x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习 课本P 122练习1,2. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式. ●课后作业 习题8.6 1,2,5. ●板书设计 ●教学后记 抛物线及其标准方程 一、教学目标 1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。 二、教学过程 （一）、复习引入 问题1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线。自然引出问题：那么，当1 e 时，轨迹是什么形状的曲线呢? （二）.创设情境 问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直角边BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C 的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？ 设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动： (1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔 尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题： （三）、新课讲授： （1）抛物线定义：平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简 称焦准距。 特别提醒：定点F 在定直线l 外。（并假设F 在直线l 上） 2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件， <<抛物线的定义及标准方程>>教案 西乡二中陶小健 一．教学媒体的选择和设计 本课件需在多媒体教室完成，借助powerpoint、几何画板课件，从动态演示和实物模型入手，使学生对抛物线有一个初步的认识。 二．教学目标分析 1.知识目标 掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程；会推导抛物线标准方程，掌握Ｐ的几何意义，掌握开口向右的抛物线的标准方程的数形特点，并会简单的应用。 2.能力目标 通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形结合和转换能力。 3.情感目标 通过学生们寻找生活中与抛物线有关的物体和形象，加强知识与实际的联系，增强学生的学习兴趣。 三．教材的重点和难点 掌握抛物线的定义及标准方程，进一步熟悉解析法的应用，会根据抛物线的标准方程、准线方程、焦点坐标、图象四个条件中一个求其余条件是本节课的教学重点。 教学难点是用解析法求抛物线的标准方程，及坐标系的选取。 四．教学过程 1、设置情境，引出课题 （借助多媒体）先给出一段悉尼海港大桥的视频和中国一古一今两张抛物线形大桥图片，让学生体会世界的古代文明和现代化建设成就。 再给出一幅抛球画面。 学生在学习了圆锥曲线中的椭圆后自然想到抛物线。借此教师点明并板书课题：今天我们就来学习抛物线，研究一下《抛物线的定义和标准方程》。 2．实验探索，归纳定义 为了加深对抛物线直观形象的认识，教师操纵微机，展示多媒体课件，顺序显示下列图形: 1)一条直尺和沿直尺一侧的一定直线Ｌ； 2)一个直角三角板并把其一直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上）； 3)取一段细线一段固定在直角三角板另一条直角边上，把细线紧靠在直尺直角三角板一条直角边上，截取一段使其恰好等于到直尺一侧（即定直线Ｌ）的距离； 4)再取定直线L 外一个定点F ，把细线的另一端固定在这个定点F 上，取一支铅笔P 靠在三角板的直角边上并使细线扯紧； 5）让直角三角板一条直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上） ，上下移动时铅笔P 就画出一段曲线-------抛物线。 教师展示完成多媒体课件后，找一至两个同学再一次来操作课件展示抛物线的形成过程，并提出问题让同学思考。 课堂上要充分发挥学生的主体作用，引导学生合作探究得出定义，这是本节课的第一个探究点。学生在此问题中，认为简单，其实很容易出错，并且在探究错因时，难于理解。我给提供平台、激发学生兴趣，首先要求学生独立思考、自主探究，然后引导学生小组交流讨论，最后让小组代表总结。这里学生容易忽视定义的两个前提—(1)在平面内，（2）点F 不能取在定直线L 上.教师要根据学生探究的情况恰当引导学生去发现这些问题，得出抛物线的定义后，要及时给于探究全面、分析问题到位的小组同学表扬，对定义描述尚有不足的同学也要及时鼓励，期待他们在下一个探究点能做的更好。得出抛物线的正确定义后，教师板书抛物线的定义。 《抛物线的简单几何性质》教案 《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一. 教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它 们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1) 知识目标： ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：. ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标： ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。 ) 0(22>=p px y 抛物线的定义与标准方程 教学目标 1．掌握抛物线的定义及其标准方程； 2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系； 3．认识抛物线的变化规律. 教学重点 抛物线的定义及标准方程 教学难点 区分标准方程的四种形式 教学过程 Ⅰ.复习回顾： 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？ Ⅱ.讲授新课： 1．抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程： ⑴推导过程： （先由学生自己建立坐标系，然后在确定以下方法方程最简） 如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合. 设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2 p x -= 设点M （x ,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d .由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P == |2p x |y )2p x (|2 p x |d ,y )2p x (|MF |2222+=+-∴+=+-=Θ 将上式两边平方并化简，得y 2=2px ① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是.2 p x -= ⑵抛物线标准方程的四种形式： 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ,x 2=2py ,x 2=－2py .这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下： 抛物线的标准方程及性质2018/11/25 题型一、抛物线的标准方程： 例题： 1、 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______ 2、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 3、 以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为 4、 点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _______ 5、 抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______ 练习： 1、 抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(－到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______ 2、 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y =12上的抛物线方程是 _______ 3、 已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ________ 4、 若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA |+|MF |取最小值的M 的坐标为 _______ 题型二、抛物线性质： 例题： 1、 抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 2、 抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________ 3、 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322 --=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 4、 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物线的方程是 练习： 1、 过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 2、 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________ 3、 若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则线段AB 的长 4、 过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，则AB 所在直线方程是 题型三、抛物线的应用 例题： 1、 已知圆2290x y x +-=与顶点原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程。 3.3.2抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一抛物线的几何性质及其运用 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于() A.2 B.1 C.4 D.8 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为() B.1 C.2 D.4 A.1 2 4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当 |AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当 △FPM为等边三角形时,其面积为() A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为. 题组二直线与抛物线的位置关系 7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点. (1)求弦AB的长; (2)求△FAB的面积. 课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y ) 为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所 以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．43 【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ?? ??m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准 线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)． 又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) B ．6 C ．12 D ．73 【解析】 焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0， 学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址] 抛物线及其标准方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0) 3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+ 6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ) A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2 C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x 4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(4,0) 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是. 7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为. 8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程. 10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小. 答案解析 1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y. 【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何? 课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)． 【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】 由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上， ` 课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B ; 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9 ＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( ) C ．2 D ．23 | 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近 线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即 b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝ c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝± 3 3 x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． · 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－12， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. § 2.3双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________. (3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________． 一、选择题 1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12 B ．1或3 C .1＋22 D .2－12 5．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 抛物线及其标准方程 一、教学目标 1. 知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点 位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。 二、教学过程 （一）、复习引入 问题 1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点 F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当 0＜e ＜1 时是椭圆，当 e ＞1 时是双曲线。自然引出问题：那么，当e 1时，轨迹是什么形状的 曲线呢? （二）.创设情境 问题 2、用制作好的教具实验：三角板 ABC 的直角边 BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点 C 的距离。 用笔尖绷紧绳子，并且使三角板 AC 在定直线 l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？ 设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的 聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动： (1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? N (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当 K 笔尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的 距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题： （三）、新课讲授： （1）抛物线定义：平面内，到一个定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线 l 的距离简称焦准距。 特别提醒：定点 F 在定直线 l 外。（并假设 F 在直线 l 上） M A F 第 二 章圆锥曲线与方程 第 2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时） 主备教师 陈本川 一、内容及其解析 学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关键是先让学生认识抛物线的图形，从中概括出抛物线的性质。 学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。是抛物线的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。 二、目标及其解析 1、目标定位 （1）了解抛物线的基本性质及基本线段的概念。 （2）能够根据抛物线的标准方程及性质进行简单的运算。 2、目标解析 （1）是指：抛物线的基本线段范围及概念，对称性，离心率，准线表示。 （2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程。 三、问题诊断分析 在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。 四、教学支持条件分析 在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。 五、教学设计过程 问题一：抛物线性质有哪些？观察抛物线的标准方程)0(22>=p px y 的形状， 设计意图：推导、识记抛物线的性质，并能够熟练的应用 问题1你能从图中看出它的范围吗？ 问题2它具有怎样的对称性？ 课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．23 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2 ＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 D.3 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±3 3x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积 为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－1 2， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. 【答案】 2 6．对标准形式的抛物线，给出下列条件： 双曲线及其标准方程习 题 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 [学业水平训练] 1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线D．一条射线 解析：选D.依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|， 所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线． 2．若方程x2 10－k ＋ y2 5－k ＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．(5,10) B．(－∞，5) C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5 圆锥曲线教案抛物线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题． 2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明． 3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点 抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程 师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义． 生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e ＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线． (计算机演示动画——图2-45) (1)不妨设定点F到定直线l的距离为p． (2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础． 师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！ (可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．) 师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46) 我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1 的点的轨迹． 师：你见过这种曲线吗？(抛物线) 这就是我们这节课主要的研究对象． (师板书课题——抛物线的定义及其标准方程) 师：能否给抛物线下个定义？ 生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线．师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计． 如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为： §2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习目标 1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处） 复习1： 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ． 复习2：双曲线22 1169 x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形 标准方 程 焦点 (0,)2p - 准线 2p y =- 顶点 (0,0)(0,0) 对称轴 x 轴 离心率 试试：画出抛物线28y x =的图形， 顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、 离心率 ． ※ 典型例题 例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程． 变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程． 小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ． 变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ． 小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※动手试试 练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 (5 M，4) -； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5) F； ⑶焦点是(0,8) F-，准线是8 y=． 三、总结提升 ※学习小结 1．抛物线的几何性质； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※知识拓展 抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径． 其长为2p． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（）． A．21 2 y x =B．2y x =抛物线定义及标准方程
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