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培优--导数

2009届文科培优------导数综合（一）

1．设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（Ⅰ）求a 和b 的值；

（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）设3

2()3

g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．

2．已知函数()()0≠++

=x b x

a x x f ，其中R

b a ∈,.

（Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的??????∈2,21a ，不等式()10≤x f 在??

???1,41上恒成立，求b 的取值范围.

3．设函数f (x )=ax 3+bx 2－3a 2x +1(a 、b ∈R )在x =x 1，x =x 2处取得极值，且|x 1－x 2|=2. (Ⅰ)若a =1，求b 的值，并求f (x )的单调区间； (Ⅱ)若a ＞0，求b 的取值范围.

4．设函数f (x )=

ln ln ln(1).1x x x x

-+++

(Ⅰ)求f (x )的单调区间和极值；

（Ⅱ）是否存在实数a ,使得关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为（0,+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由.

5．已知函数2

()ln (1).1x

f x x x

=+-+

(I)求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）若不等式1(1)

n a

e n ++

≤对任意的N *n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.

求a 的最大值.

2009届文科培优------导数综合（二）

1．已知函数43

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点。

（I ）证明：275c -<<；

（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。

2．已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．（Ⅰ）求a ；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．

3．已知函数32

()2f x x mx nx =++-的图象过点（－1，－6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.

(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；

(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值.

4．已知函数2

1()kx f x x c

+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．

（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；

（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．

5．设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；

（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．

解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，

2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)

(1)

x x x x x x x

f x x

x x ++++--'=

+++

设2()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x

-'=

当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在（-1，0）上为增函数，

当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数.

所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠，函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数. 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >=

当x ＞0时，()(0)0.g x g <=

所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在（-1，0）上为增函数. 当x ＞0时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数.

故函数()f x 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+∞.

（Ⅱ）不等式1(1)

n a

e n

≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n

≤由111n

>知，

1.1ln(1)

a n n ≤

设(]11(),0,1,ln(1)

G x x x x

-∈+则

1(1)ln (1)().(1)ln (1)

(1)ln (1)

x x x G x x x x

x x x ++-'=-

++++

由（Ⅰ）知，2

ln (1)0,1x

x x

≤+即2

(1)ln (1)0.x x x ++-≤

所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数. 故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2

G =-

所以a 的最大值为

1 1.ln 2- 解：（I ）因为函数4

19()4

f x x x x cx =

+有三个极值点,

所以3

2()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.

设3

()39,g x x x x c =+-+则2

()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+-

当3x <-时，()0,g x '> ()g x 在(,3)-∞-上为增函数; 当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数; 当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数; 所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时,()0g x =最多只有两个不同实根. 因为()0g x =有三个不同实根, 所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<,

解得27,c >-且5,c <故275c -<<.

（II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点.

不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，

则[],2a a +?1(]x -∞，, 或[],2a a +?23[,]x x ,

若[],2a a +?1(]x -∞，,则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <- 若[],2a a +?23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<

又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+; 当5c =时，2()(5)(1)f x x x '=+-.

因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-且2 3.a +≤

即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时，总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减.

综上所述, a 的取值范围是(5)(3,1)-∞-- ，.

解：（Ⅰ） 22()323()()3

a f x x ax a x x a '=+-=-

+，又0a >，

∴ 当3

a x a x <->

或时，()0f x '>；当3

a a x -<<

时，()0f x '<，

∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3

a +∞内是增函数，在(,

a a -内是减函数．

（Ⅱ）由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+，

即22[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．∴ 22a -≤0

，即≤a

，又0a ≠，∴

[0)a ∈ ．

当0a >时，()g x 才存在最小值，

∴a ∈． 2

11()()g x a x a a a

，

∴

1(),(0,

h a a a a =-

∈． ∴()h a

的值域为(,12

-∞-

．

（Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(

,)3

a +∞内是增函数，()g x 在1(

,)a

+∞内是增函数．

由题意得0

31a a a a a ?

?>??

≥

?≥?

，解得a ≥1；当0a <时，()f x 在(,)3

-∞和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1(,)a

-∞内

是增函数．由题意得0

2312a a a a a ?

+≤

，解得a ≤3-；

综上可知，实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞ ．

高中数学导数专题培优练习(综合问题)

导数专题培优练习（综合问题） 1.对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数 ()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 32115()33212 g x x x x =-+-，则122015()()...()201620162016g g g +++=（） A. 2016 B. 2015 C. 4030 D. 1008 2.函数()sin 2()3f x x xf π=+'，()f x '为()f x 的导函数，令12 a =-，3 b log 2=，则下列关系正确的是（） A. ()()f a f b > B. ()<()f a f b C. ()()f a f b = D. ()()f a f b < 3.已知函数213()4ln(1)(2)22 f x x x m x m =-+-++-,（其中为m 常数）,函数()y f x =有两个极值点，则数m 的取值范围是（） A. (－∞,－3)∪(1,+∞) B. (－∞,－3]∪[1,+∞) C. (1,3) D. (3,+∞) 4.记函数()x f x e x a =--,若曲线2cos 2cos 1y x x =-++上存在点()00,x y 使得()00f y y =,则a 的取值范围是（） A. ()2,e 4-∞- B. 222ln 2,e 4??--?? C. 222ln 2,e 4-??-+?? D. () 2,e 4--∞+ 5.已知函数31()21x x f x x x e e =-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（）． A. ??????-23,1 B. 3,12??-???? C. 11,2??-???? D. 1,12??-???? 6.若定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x =f +x -，且当1x <时，()x x f x e = ，则满足(1)()f a ->f a 的a 的取值范围是（） A. (2,+∞) B. 1,2??+∞ ??? C. (3,+∞) D. 3,2??+∞ ???

导数的运算法则

课题：导数的运算法则 1、求下列函数的导数（1 ）y = （2 ）y = （3）12x y ??= ??? （4）12 =log y x （5）212sin 2x y =- 2、已知直线1l 为曲线2+-2y x x =在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形面积。例1 求下列函数的导数（1） )11)(1(x x y +- = ；（2） x x y 2= （3） x x x y +=s i n ；例2 已知曲线Ｃ：x x x y 2323+-=，直线ｌ：kx y =，且ｌ与Ｃ切于点),(00y x )0(0≠x ，求直线ｌ的方程及切点的坐标。例3设)(x f 、)(x g 分别是定义在),0()0,(+∞?-∞上的奇函数和偶函数，当0'+'x g x f x g x f 且0)3(=-g ，求不等式0)()(

函数导数压轴小题题(适用培优)

函数导数压轴小题一、单选题 1．已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B． C．D． 2．已知实数，满足，则的值为（） A．B．C．D． 3．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 4．若，恒成立，则的最大值为（） A．B．C．D． 5．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 7．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（） A． B． C． D． 8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D． 9．设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 10．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是 ( ) A． B． C． D． 11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（） A． B． C． D． 12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 13．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是( ) A． B． C． D． 14．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，，则函数y=f(x)-|sinx|在区间上的零点个数为( ) A．4 B．6 C．7 D．8 15．已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（） A． B． C．

高中数学选修2-2精品教案 3.2 函数的极值与导数

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤教学环节教学活动设计意图创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=．对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案谷城一中杨超教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性教学过程一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函数．相应地' v t h t ()()0 =<，【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与

函数的极值与导数教学设计一等奖

函数的极值与导数作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话：一．教材分析本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点重点是会用导数求函数的极值．难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程 1．引入让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题．【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．

导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=-

3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率 x x y ?= ?? （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即证明：令)()()(x v x u x f y ±==， )] ()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=?v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+=)]()([)]()([， ∴ x v x u x y ??±??=??，x v x u x v x u x y x x x x ??±??=? ?? ????±??=??→?→?→?→?0000lim lim lim lim 即 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±．例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22 +=；（2）x x y ln -= ；（3）)1)(1(2-+=x x y ；（4） 2 2 1x x x y +-= 。解：（1）2ln 22)2()()2(2 2 x x x x x x y +='+'='+='。（2）x x x x x x y 121)(ln )()ln (- = '-'='-='。（3） [] 123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-=' -+='x x x x x x x x x x y 。例2：求曲线x x y 1 3- =上点（1，0）处的切线方程。

函数与导数数学培优

函数与导数培优练习题一、选择题 1．已知(3)2f =，'()2f x =-，则363()lim 3 x f x x →-=- （） A.﹣4 B.6 C.8 D.不存在 2.)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记（） A ．c b a << B.c a b << C.b a c << D.a b c << 3.已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2 221x x +等于（） 4.定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为()x f '，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式集为（） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()2,∞- D ．()+∞,2 5.已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且,1)1(,1)1(>'=f f 则x x f >)(的解集是（） A ．)1,0( B ．()1,0()0,1?- C ．),1(+∞ D ．),1()1,(+∞?--∞ 二、解答题 6.已知函数[]2 ()22,5,5f x x ax x =++∈-．（1）当1a =-时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数，并指出相应的单调性．

7.，k R ∈. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）当时，求在上的最小值，并证明 8.已知函数()1ln f x x x =-- （1）求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值；（3）对(0,),()2x f x bx ?∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围． 9.已知函数21()ln ,2 f x x x a x x R = --∈． (1)若()f x 在区间1[,)3+∞上单调递增，求a 的取值范围； (2)试讨论()f x 的单调区间． 1k =)(x f [0,)+∞

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】考点：函数的极值．【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ，所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

函数与导数培优补差

1．若集合{} 2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的（） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件. C ．充要条件. D ．既不充分也不必要条件. ] 2．若函数x e x f x sin )(=，则此函数图象在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（） A ． 2 π B ．0 C ．钝角 D ．锐角 3．在平面直角坐标系中，已知曲线C ：2cos ,sin ,x y θθ=-+??=? （θ是参数，且3,22ππθ?? ∈????），那么曲线C 关于直线y ＝x 对称的曲线是（） 4．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（）． A ．25 B ．6 C ．7 D ．8 5.设两个非零向量12,e e 不共线，若12ke e + 与12e ke + 也不共线，则实数k 的取值范围为（）． A ．(,)-∞+∞ B ．(,1)(1,)-∞-?-+∞ C ．(,1)(1,)-∞?+∞ D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-?-?+∞ 6.曲线)4 cos()4sin(2π π -+ =x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（）． A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 7．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是（）． A ．m < 0 , n >1 B ．m > 0 , n > 1 C ．m > 0 , 0 < n <1 D ． m < 0 , 0 < n < 1 8已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=?且

(完整word版)函数的极值与导数导学案

§1.3.2函数的极值与导数教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程：一．复习与思考已知函数 3 2 ()267f x x x =-+ (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 二．新课讲授 1、极值点与极值 (1)极小值点与极小值：若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝，而且在点x ＝a 附近的左侧，右侧，就把叫做函数y ＝f (x )的极小值点，叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值：若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝，而且在点x ＝b 附近的左侧，右侧，就把叫做函数y ＝f (x )的极大值点，叫做函数y ＝f (x )的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为；极大值、极小值统称为 2.关于极值概念的几点说明 (1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值（3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。（5）函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的条件。 3.函数的极值与单调性有什么联系？【提示】极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性．函数极值的求法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： (1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值. 求下列函数的极值．（1）3 1()443 f x x x =-+

函数的单调性与导数教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计教材分析 1、内容分析导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标：借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.

2、过程与方法目标：会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。教学重点、难点教学重点：1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。教学难点：1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解. 教法设计： 1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性. 教学媒体根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型：新授课教学过程教学过程设计意图

1.2.2 导数的运算法则(一)

1.2.2 导数的运算法则（一）知识要点 1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的，即()()'u x v x ±=???? 2，两个函数的积的导数，等于，加上，即()()'u x v x ?=???? 。特别地，()'cu x =???? （其中c 为常数）。 3，两个函数的商的导数，等于减去，再除以。即

知识点一，直接求导例1，求下列函数的导数（1）2 3cos y x x x =+ （2）1x y x = + （3）tan y x = （4）lg x y x e =- 变式训练1，求下列函数的导数 (1)23y x = (2)5314353 y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1 x y x =+ 知识点二，先变形再求导例2，求下列函数的导数（1） y =（2）cos 2sin cos x y x x = + （3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+ + ??? (2)44sin cos 44 x x y =+ 知识点三，导数的综合应用例3，已知函数21n x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ??? ，求函数在点P 处的切线方程。变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v

水平基础题 1．已知物体的运动方程是s ＝14 t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x . 水平提升题 6．曲线y ＝x sin x 在点??? ?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π2 2 B ．π2 C ．2π2 D.12 (2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )－g (x )为常数 C ．f (x )＝g (x )＝0 D ．f (x )＋g (x )为常数 9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______． 10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________． 11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．提升拓展题 13．求满足下列条件的函数f (x )： (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数） 1(1)(2)y f y f x ??== ???

《函数的极值与导数》教学设计

3.3.2 函数的极值与导数教学设计一、教学目标 1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程四、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）

2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？（2）在点t=a 附近的图象有什么特点？（3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2）函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t

培优导数与零点题型归纳

导数与函数零点方法技巧用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。题型一判断，证明函数零点个数例1设函数()ln f x x =，。若方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解，求实数m 的取值范围；练习1设函数()()ln f x x a x =+，2 ()e x x g x =. 已知曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线20x y -=平行. (I ) 求a 的值；(II ) 是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(1)k k +，内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；练习2设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数．若)(x g 在),1(+∞-上是

单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论．练习3．设函数,)(x e x f m x -=-其中.R m ∈ （1）求函数)(x f 的最值；（2）判断，当1>m 时，函数)(x f 在区间)2,(m m 内是否存在零点。练习4设函数()2 ln 2 x f x k x =-，0k >．（I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e ?? 上仅有一个零点．例2已知函数21()32 f x x = +，()h x x =．（Ⅰ）设函数F (x )＝f (x )－h (x )，求F (x )的单调区间与极值；