线性代数齐次方程组解法

D =)

()

()(0)()()

(001

11112

132

3122211331221

1

312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------

按第一列展开，再将各列的公因子提出来

D =

)

()()()

()

()

(121323122211331221131

2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------

=(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)

22322

32

111

---k k

k k k

a a a a a a

得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为

∏≤<≤-k

i j j i

a a

2)(

于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)

∏≤<≤-k

i j j i

a a

2)(=

∏≤<≤-k

i j j i

a a

1)(

因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式：

D n =

2

1

120000

021000

12

1000

12------

解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得

D n =

2100

12000002100

120

00011-----

+2

1

1200000

21000

12

1

00011------

第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得

D n =D n －1+

1

110000

01000

110

00011

---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到

D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1

例1.15 计算n 阶行列式

D n =

n a b

b

b

a b b

b a

21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。

D n =n

a b

b

b a b

b b a b b b 000121 第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得

D n =b

a b

a b a b b b n ------

010******** 第二列乘以

b a -11加到第一列上去，第三列乘以b

a -21

加到第一列上去，依次类推，最后一列乘以

b

a n -1

加到第一列上去，得到

D n =

b

a b a b a b

b b b

a b n n

i i ----+∑

= 000

0000

0011211

=???? ??-+∑=n

i i b a b 11

11()i i n

a b ≤≤-∏ 1.4 行列式的应用

1.4.1 克拉默法则

本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设n 个未知量n 个方

程的线性方程组为

??????

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* （1.18） 简记为

∑=n

j j kj

x a

1

=b k (k =1,2,…,n ) （1.19）

它的系数构成的行列式

D =

nn

n n n

n

a a a a a a a a a 21

2222111211

(1.20)

称为方程组（1.18）的系数行列式。

定理1.7 如果方程组（1.19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：

x 1=

D

D 1

, x 2=D D 2, …, x n

=D D n (1.21) 这里D j (j =1,2,…,n )是把方程组的常数项b 1,b 2,…,b n 依次替换系数行列式中的第j

列元所得到的n 阶行列式。

通常称这个定理为克拉默（G.Cramer ）法则。

证明 取正整数1,2,…,n 中任意一个为j ，以A 1j ,A 2j ,…,A nj 分别乘以方程组中第一，第二，…，第n 个方程，然后相加，得

(

∑=n

k kj k A a

11

)x 1+(∑=n k kj k A a 1

2)x 2+…+(∑=n k kj kj A a 1

)x j +…+(∑=n

k kj kn A a 1

)x n

=

∑=n

k kj k A b

1

1

(1.22)

由性质1.13可知，方程左边x j 的系数为D ，而其它的x i 的系数为零；方程右边恰好是用b 1,b 2,…,b n 依次替换D 中第j 列每个元所得到的行列式D j ，因此有

Dx j =D j

令j =1,2,…,n ，就得到方程组

Dx 1=D 1, Dx 2=D 2,…,Dx n =D n (1.23)

显然方程组（1.18）的解是（1.23）的解，而当D ≠0时，方程组（1.23）有惟一解：

x 1=

D

D 1

, x 2=D D 2, …, x n

=D D n （1.24） 因此，方程组（1.18）最多有一组解。

将（1.24）代入（1.18）的第i 个方程，得

∑=n

j j

ij D D a 1

=∑=n j ij a D 11(∑=n

k kj k A b 1)=∑=n

k k b D 11∑=n

j kj ij

A a

1

=b i (i =1,2,…,n )

则（1.24）的解是（1.18）的解。而且是唯一解。 证毕

例1.16 解线性方程组

??

?

??=++--=-+=+-3

2731342273321321321x x x x x x x x x 解 系数行列式

D = 27

3

342

731

---= 196 由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时

D 1= 273341

732

---= －54 D 2= 2

3

3

312721---= 38

D 3= 3

7

3

142

231

---= 80 则有

98271965411-=-==

D D x 98191963822===D D x 49

20

1968033=

==D D x 用克拉默法则解一个有n 个未知量、n 个方程的线性方程组，需要计算n +1

个n 阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。

1.4.2 拉普拉斯定理

行列式按任意一行（列）展开的方法可以推广到按若干行（列）展开。行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。

在n 阶行列式D 中任选k 行和k 列，位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的k 阶子式；而划去这k 行k 列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n －k 阶行列式N ，称为M 的余子式；如果k 阶子式在D 中所在的行、列的序号依次为，i 1,i 2,…,i k ,j 1,j 2,…,j k ,则把

N k k j j j i i i +++++++- 2121)1(

称为M 的代数余子式。

例如

D=

44

43

42

41

34333231

24

23222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M ；M 的余子式记为N ，具体写出来就是：

M =

33312321a a a a N =44

42

1412

a a a a

M 的代数余子式为（－1）2+3+1+3N =－N

定理1.8 在n 阶行列式中任取k 行（列），则由这k 行（列）的元所组成的所有的k 阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。

通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace ）定理，证明从略。 例1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开

D =

4

10

1

3

1001210011

---

解 D 中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个

M 1=

211

1-=3, M 2=

110

1-=1, M 3=

010

1-=0

M 4=1201=1, M 5=0

201=0, M 6=0

100=0

其中M 1,M 2,M 4的代数余子式为

A 1=(－1)1+2+1+2

411

3

-=13, A 2=(－1)1+2+1+3

40

11-=4

A 4=(－1)1+2+2+3

4010=0

由拉普拉斯定理知

D =M 1A 1+ M 2A 2+ M 3A 3+ M 4A 4+ M 5A 5+ M 6A 6=3×13+1×4=43

由此可见，当选出的行（列）中所组成的k 阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单。

例1.18 计算n 阶行列式

D =a

b a a b a 0000000000

解 先做n －2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做n －2次相邻列的互换，使最后一列换到第二列的位置上

D =(－1)n －

20000000000a a a b b a =a

a a

b b a

000000000

0 用拉普拉斯定理，可得

D =a

b b a ·a

a 00=a n －

2(a 2－b 2)

1.4.3 方阵与行列式

行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A ，B 为n 阶方阵，λ为数）

性质1.14 det A T =det A

性质1.15 det(λA )=λn det(A ) 证明 设

A =

?????

???????nn n n n n a a a a a a a a a

2

1

2222111211 则

λA =

???

????

?????nn n n n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ

2

1

222

2111211及det(λA )=nn

n n n

n

a a a a a a a a a λλλλλλλλλ 212222111211

依据行列式的性质，将det(λA )中每一行中的公因子λ提出，得到

det(λA )=λn

nn

n n n

n

a a a a a a a a a

21

22221

11211

=λn

det(A ) 证毕 性质1.16 设A 、B 为n 阶方阵，则有

det(AB )=(det A )·(det B ) (此性质称为行列式的乘法定理) (1.25) 证明 设C =AB ，并设A =(a ij )n ×n ,B =(b ij )n ×n ,C =(c ij )n ×n 构造2n 阶行列式如下：

D =

nn

n n n

n nn n n n n

b b b b b b b b b a a a a a a a a a

21222211121121222211121110

0100

010

000000

00---

根据拉普拉斯定理，把D 按照前n 行展开，有 D =(det A ) ·(det B )

另一方面，对D 中的后n 列实施行列式的性质1.11，将第k 列(1≤k ≤n )乘以b kj 加入到第n +j 列中去，使得原来矩阵B 位置上的每个元都变为零，得到

D =

1

000010000001212122221222211121111211

---nn

n n nn n n n

n

n n c c c a a a c c c a a a c c c a a a

其中c ij =

∑=n

i kj ik

b a

1

，即C =(c ij )=AB

再用拉普拉斯定理，把D 按照最后n 行展开，有

D =(－1)s

1

00

10

001---

·(det C )=(－1)s ·(－1)n

·(det C ) 其中s =[(n +1)+(n +2)+…+2n ]+（1+2+…+n ）=n (2n +1), s +n =n (2n +2)为偶数。

所以 D =det C =det(AB ) 故 det(AB )=(det A )·(det B ) 证毕

显然，行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形，即

det(A 1A 2…A k )=(det A 1)·(det A 2)…(det A k )

1.4.4 行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系

前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法，利用行列式

还可给出判明可逆阵的一个简单条件，并给出逆阵的一个公式。为此，需要引入n 阶矩阵A 的转置伴随阵的定义。

定义1.9 对任意n 阶方阵A =(a ij )，则称由det A 中每个元的代数余子式所构成的如下方阵：

adj A = ?

?

???

????

???nn n n n n A A A A A A A A A 2122212

12111 (1.25) 为A 的转置伴随阵(adjugate matrix)或伴随矩阵，用记号A *表示。

定理1.8 设A 是n 阶矩阵，adj A 为其转置伴随矩阵，则有

A (adj A )=(adj A )A =(det A )E （1.26）

证明 因为