浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

Last revision on 21 December 2020

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势；

函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。

一、函数与几何综合题例析

（一）“几函”问题：

1、线段与线段之间的函数关系：

由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的

取值范围。

例1 如图，AB是半圆的直径，O为圆心

AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段

AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半

圆的切线，切点为C，过B点作BE⊥PC交PC

的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x

的函数关系式及x的取值范围。（2003年山东省烟台市中考题）O

评析：这是一道集圆、直角三角形、相似三角形与函数的综合题，由于已知条件中有切线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理；又因为有直径这一已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。 因此，连结BC ，构造出“双直角三角形”和弦切角定理的典型图形，然后利用两对相似三角形中的一对建立比例式，再结合勾股定理解决问题。

解：连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，∴BC 2=36-x 2

又∵PC 切⊙O 于C ，∠ECB=∠BCA ；

由BE ⊥PC 于E 可知，∠ACB=∠CEB=90°，∴ΔACB ∽ΔCEB ；

BE

BC BC AB =，即6622x AB BC BE -== ∴662++-=x x y ； 当P 点与A 点重合时，AC=0最小，但P 点与A 点不重合， ∴x ＞0；

当P 点与F 点重合时，x=AC 最大，此时有PC 2=PA·PB=6×12， ∴26=PC

又∠P=∠P ，∠PCA=∠PBC ∴ΔPCA ∽ΔPBC

12

26==∴BC AC PB PC CB AC 即 ∴BC=AC 2 由勾股定理得，()36222=+AC AC ,32=∴AC

函数关系式为：()

)32066

2

≤<++-=x x x y 2、面积与线段间的函数关系的建立： 解决此类问题除了掌握第一类型的知识外，还要注意到以下两点：（1）常见图形的面积公式，（2）学会灵活地将非特殊图形的面积转

例2如图所示，已知A 、（28，0）和（0，28），动点AO 上以每秒3直线EF 从x 轴开始以每秒1平移（即EF ∥x 于E 、F 点，连结FP ，设动点发，运动时间为t 秒。

（1）当t=1时，求梯形积是多少

（2）当梯形OPFE （3）设t 的值分别取t 1、t 2AF 2P 2（

评析：这是一道综合性较强的中考压轴题，它将几何与代数“相邀”于平面直角坐标系中，使“数”与“形”、“动”与“静”相互转化，综合考查了梯形面积计算、勾股定理、相似三角形、二次函数的性质等多个知识点，同时利用图形的变化，渗透数形结合的数学思想、函数的思想、方程的思想；第（1）小题中前面的“静”为后面的“动”作准备，而后面的“动”是前面的“静”的升华，让学生懂得静止是相对的而运动是绝对的，在“动”中求“静”，在考题中向学生渗透辩证唯物主义思想，从而不被“动”所迷惑；第（2）小题在第（1）小题的基础上，首先建立梯形、三角形面积与t 的函数关系式，再利用方程的思想解决，考查了学生的知识迁移能力；在求得t 值后，要决定取舍，考查了学生思维的批判性；第（3）小题是一个探索性问题，考查了学生的探索能力。象这种计算量小、坡度较缓、综合性强、能力要求高的“双动”问题是今后各地中考命题的一大趋势。 解：（1） A （28，0），B （0，28）， ∴OA=28，OB=28，∴Δ AOB 是等腰直角三

角形；

当t=1秒时， OE=1，AP=3； ∴OP=28-3=25，BE=28-1=27；

又∴EF ∥OA ，∴ ΔBEF ∽Δ BOA ，∴ΔBEF 也是等腰直角三角形；

∴EF=EB=27； ()()262

127252=?+=+=∴OE PF OP S OPFE 梯形 因此，当t=7秒时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积为98。

（2）t t S OPFE 2822+-=梯形 而2

3232

t t t S AFP =?=? 解之：t 1=8（秒）t 2=0（舍去）

过F 点作FH ⊥AO 垂足为H ，

∠OAB=45°，∴AH=FH=8，∴16883=-?=PH ；

在Rt Δ FHP 中，581682222=+=+=PH FH FP

（3）当运动时间为t 秒时，过P 点作PG ⊥OA 于G ，则FG=GA=t ，

由勾股定理得：t FA 2=，AP=3t ，FA ∶AP=3∶2为一定值，

而 ∠FAP=45°， ∴ Δ AF 1P 1 ∽ ΔAF 2P 2

（ 二）“函几”问题：

纵观历年各地的中考试题，几乎无一例外地出现函数中的几何问题，这些题目从难度上来看大多数是难题，少数属于中档题，在题型上来看，绝大多数是探索题，只有少数是计算题，在设计方法上都注重创新，都注重在初中数学主干知识的交汇处进行命题，在考查意图上，都突出对数学思想方法和能力（特别是对思维能力、探究能力、创新能力、综合运用知识能力）的考查；因此在解决这类问题时要灵活运用函数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐藏条件，注意数形结合、数学建模、分类讨论等数学思想的运用；下面谈一谈这类问题的分类及其解法。

1、三类基本初等函数中的图形面积问题：

解决这类问题时，通常要将坐标系中的图形进行分割，一般情况是将它分割成一些两边（或三边）在坐标轴上或者两边（或三边）平行于坐标轴的三角形（或梯形、矩形）

等；同时要注意点到坐标轴的距离与点的坐标间的区别，正确利用点的坐标来表示线段的长度。

例3 如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别为 y=x 和 y=-2x+6，动点P （x ，0）在OB 上移动（0＜x ＜3），过点P 作直线 与x 轴垂直。

（1）求点C 的坐标；

（2）设?OBC 中位于直线 左侧部分的面积为s ，写出s 与x 之间

（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；

（4）当x 为何值时，直线 平分?OBC 的面积

（2003年常州市中考题） 立两个解析式就可以求出第（1）问中C 点的坐标；在第二问中，由于ΔOBC 位于直线左边的部分的形状有两种情况：当直线在C 点左边时，左边的部分为三角形；当直线在C 点右边时，左边的部分为一不规则的四边形，因此在解决此问题时要分两种情况讨论，由于（2）中的函数是一个分段函数，所以在解决第（3）问时画图也要分两部分来画；在解决第（4）问时，首先要对直线l 平分ΔOBC 的面积时，直线是在点C 的左边还是在右边作出判断，然后再利用方程的思想来解决。本题考查了学生的数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想以及学生动手画图的能力。分值虽不大，但考查的知识点却不少。

解：（1） ???+-==62x y x y 解之得???==2

2y x ， 点C 的坐标为（2，2）

（2）作CD ⊥轴于点D ，则D （2，0）

①当0＜x≤2时，设直线l 与OC 交于点Q ，则Q （x ，x ），

∴22

1x S = ②当2＜x ＜3时，设直线与OB 交于点Q ，则此时的Q 的坐标为（x ，6-x ）

而点B （3，0）∴S ΔBQP =()()()232632

1x x x -=--? ∴S=3-（3-x ）2， 即S=-x 2+6x-6

（3）略

（4）由于（2）中ΔODC 的面积大于ΔBDC 的面积，则直线l 要平分ΔOBC 的面 积，则点P 只能在线段OD 上，即0＜x ＜2，由于ΔOBC 的面积为3，

∴2

3212=x ，解之得x=3（负值舍去）；显然，0＜3＜2； ∴l 平分ΔOBC 的面积时，相应的x 值为3。

2、三类基本初等函数中的三角形、四边形、圆的问题：

这类题目一般由1~3问组成，第一问往往是求函数的解析式，然后在此基础上再与几何中的三角形（全等、相似或特殊三角形是否存在等问题）四边形（面积的函数关系

式、特殊四边形是否存在）和圆（直线与圆的位置关系的判

断、圆中的比例式是否成立）结合起来，利用初中的主干知

识全面考查学生综合运用所学知识解决问题的能力；解决这

类综合性问题时要注意以下几个问题：（1）注意弄清题目中

所涉及的概念，熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；

（2）注意剖析综合问题的结构，弄清知识点之间的联系，善

于把一个综合题分成若干个基本题，各个知识点之间的结合

部，往往是由一个基本问题转化到另一个基本问题的关键；

（3）注意从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看可知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论。

例4 已知二次函数的图象如图所示，

（1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点M的坐标；

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使ΔPAC为直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将ΔOAC补成矩形，使ΔOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边的对边上，试直接写出矩形的未知顶点的坐标（不需要计算过程）。

（2003年黄冈市中考试题）

评析：该综合题有4个大问题共7个基本问题，其问题之多、考查的知识点之多、考查的数学思想方法之多、分值之大（满分16分）在全国各地的中考题中屈指可数；该题中的4个大问题难度依次增加，这就要求考生在遇到此问题时要有“攻书莫畏难”的勇气；解决第（1）个问题时，关键是要学生认真观察函数的图象，弄清楚点的坐标的含义，正确地确定A、B、C三点的坐标，然后再利用待定系数法求出二次函数的解析式，在正确确定解析式的基础上，利用配方法或抛物线的顶点坐标公式求出顶点M的坐标；在解决第（2）个问题时，由于四边形NQAC是由一个直角三角形AOC与一个直角梯形组成的图形，而直角三角形AOC的面积是不变的，因此要解决此问题，关键是用含t的代数式表示直角梯形NQOA的面积，而该直角梯形的两底OC、NQ的长分别为2和t，因此要解决梯形的面积问题，就要想法求出梯形的高（即OQ的长，它等于点N的横坐标），而点Q的纵坐标是-t（而不是t，这一点学生最容易弄错），且点Q在两已知点B、C决定的线段CB上运动，因此求点Q的横坐标的问题就转化成求直线BC的解析式的问题，有了直线BC的解析式问题便迎刃而解；第（3）问是一个探索性的问题，既可以用分析法解决，也可以用综合法来解决；但要注意分∠PAC=90°、∠ACP=90°、∠APC=90°三种情况来讨论；无论是∠PAC=90°还是∠ACP=90°，在分别过A点和C点作AC的垂线后，都出现了几何中常见的“双垂直”的典型图形，利用相似三角形的性质（或直接利用射影定理）可求出直线AP与y轴或直线CP与x轴的交点坐

标，然后再求出直线AP或CP的解析式，再利用方程的思想求出合条

件的点P的坐标；由于以AC为斜边的直角三角形的直角顶点一定在以

AC为直径的圆上（A、C除外）观察图形可知，以点P为直角顶点的

直角三角形不存在；在解决第（4）时要求学生一定要认真审题，弄清

题目的要求，并且要求学生的思维严密，多方面考虑点D存在的各种

可能性，只有这样才能得出完整的结论；（解答此处略）

例5已知二次函数y=x2+bx+c的顶点在直线y=-4x上，并且图象经过点A（-1，0）。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设此二次函数与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，求经过M、

B、C三点的⊙O′的直径长；

（3）设⊙O′与y轴的另一个交点为N，经过P（-2，0）、 N两点的直线为l，则圆心O′是否在直线l上，请说明理由请说明理由；

（2003年成都市中考试题）

评析：这也是一个“函几问题”，由于二次函数的解析式中两个待定的系数，而大前提中又有两个独立的已知条件，因此解决问题（1）的的关键是如何使用顶点在直线y=-4x 上这一已知条件：可以用抛物线的顶点公式，也可以先设顶点的坐标为（m，-4m），然后用二次函数的顶点式来求解；在第（2）问中，由于要求⊙O′的直径，而⊙O′的由B、M、C三点确定的圆，因此要首先求出点C、M、B的坐标，然后求出线段CB、BM、CM的长，从它们的长度关系中发现三角形BMC是直角三角形，这是解决这一问题的关键，抓住了这一关键，问题（2）便迎刃而解；在第（3）问中，要判断圆心O′中否在直线PN上，关键是求直线PN的解析式和圆心O′的坐标，由于点M、B的坐标都已知，又知BM是圆的直径，因此点O′是线段BM的中点，所O′点的坐标不难求出；而要求直线PN的解析式，关键是求点N的纵坐标，此时可以过点O′作y轴的垂线，利用垂径定理结合点到坐标轴的距离的有关知识可以求出点N的坐标；（解答此处略）

二、函数与几何综合题的解题策略：

“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：

1、综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问

题得以解决。如本文例5中的第（2）、（3）问的解答就使用了此种方法；

2、运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组；如本文例2中的第（2）个问题的解决就用到了此种思想；

3、注意使用分类讨论的思想。函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想，因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考，用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性，从而使问题的解答完整无遗。如本文例4中的第（2）、（3）问，要从直角的顶点的位置、矩形的第四个顶点的位置进行讨论，例3第（2）问中，求面积S与x间的函数关系式时，也要分直线l在点C的左边和右边两种情况来讨论，千万不能一蹴而就；

4、运用数形结合的思想。在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表现在：“数”可以准确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算；使用数形结合的思想来解决问题时，要时刻注意由图形联想其性质，由性质联想相应的图形，从而使问题得以简化；如本文中的例1，在解决y与x间的函数关系时，首先根据图形的性质，建立起线段间的关系式，然后再利用线段间的关系，建立y与x间的函数关系；在求自变量x的取值范围时，把自变量所对应的几何元素推到两个极端的位置，求出相应的值，再结合几何量的实际意义和题目中的已知条件加以确定；

5、运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，上面所有各例，都用到了转化的数学思想，可以大胆地说，不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题；

三、函数与几何综合题复习的几点建议：

从以上的评析可以感觉到，函数与几何结合的综合问题都比较抽象，一些隐藏条件不易发现，有些思路、方法具有特殊性，对基础知识和基本技能要求既有广度又有深度，对逻辑思维能力、联想能力、都有较高的要求，要想让学生能熟练地掌握其解法，在平时的教学中应注意以下几点：

1、在复习过程中，要对近几年各地的中考试题进行归类、整理，将类型相同或相似的题目的精华浓缩于一个题目中进行分析、讲解，提高复习效率。笔者对近三年各地的中试题进行研究发现，有很多地方的中考数学试题都有惊人的相似之处，如山西省2003年中考数学试卷中的第27题与孝感市2002年的压轴题完全相似，只不过改变了提问的方式，使问题略有一点探索性；而2003年孝感市的压轴题与2002年南京市中考数学试卷第八题中的已知条件完全一样，要解决的问题也几乎一样，2003年黄冈市的压轴题与2002年哈尔滨市中考数学压轴题的已知条件和图形都极其相似，问题只有第（3）问不一样（没有第四问），……，因此深入研究各地的中考试题，将它们进行归类进行复习，可以节约大量的时间。

2、在复习过程中，对例题的讲解要注意引导分析，解完题后要注意对解

题过程作更深入、更广阔的反思，总结那些比解题更重要的东西——规律，

如解决坐标系中的面积问题，通常要将不规则的图形转化为规则的图形，而

转化的方法通常是过图形的顶点作坐标轴的垂线，将求不规则图形的面积问题转化为两边（或三边）垂直于（或平行于）坐标轴的基本图形的面积问题；又如，求动态几何中的函数关系式中自变量的取值范围时，可以把自变量所代表的几何量推到两个极端位置，求出相应值，再结合几何量的实际意义加以确定；如果我们在复习过程中不注意总结解决问题的规律，讲得再多，练习得再多，也只能的“题海”中打转，很难进入“举一反三”、“触类旁通”的境界，遇到新的问题，也就很难产生灵感，找到思路；

3、在复习过程中，要注意挖掘课本例、习题和各地中考成题中的潜在结论，变化出新的综合题，以开阔学生的思路，培养学生分析问题、解决问题的能力；如2002年孝感市的压轴题就是将初中《几何》课本P182的“做一做”改编而成，2002年襄樊市的阅读理解题就是根据初二《代数》课本P38中的“读一读”的内容改编而成，而太原市2003年的中考压轴题是由《几何》第三册P79例2改编、深化而成，嘉兴市2003年中考数学试卷中的第24题、厦门市第28题都是由《代数》第三册P126面的第4题和P72面的第7题改编而成；因此，在复习过程中，一定要注重课本，千万不能以练代讲，以资料代替课本。

下面从近几年各地的中考题中略选几例，供各位教师复习时参考：

1 已知：如图（1），E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF=nAE （n 是正整数）的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动。设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S 。

⑴当n=1，2时，如图（2）、（3），观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动

到何位置，使S=2

1S 矩形ABCD ⑵当n=3时，如图（4），求S 与x 之间的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）

探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各点运动到何位置，使S=2

1S 矩形ABCD

⑶当n=k （k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立请说明理由。

2 如图，在平面直角坐标系中，B

()

0,13+ 点A 在第一象限内，且∠AOB=60°， ∠ABO=45°

（1）求点A 的坐标；

（2）求过点A 、O 、B 三点的抛物线解析式；

（3）动点P 从O 点出发，以每秒2个单位的速度沿OA 运动到点

A 止；①若ΔPO

B 的面积为S ，写出S 与时间t （秒）的函数关系式。

②是否存在t ，使ΔPOB 的外心在x 轴上，若不存在，说明理由；若存在，

请求出t 的值。

3、已知：一次函数124

3--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求A 、C 两点的坐标；

（2）若x 轴上有一点B ，使ΔACB ∽ΔAOB ，且抛物线过A 、B 、C

三点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同的速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，设AP=m ，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ΔABC 相似；若存在，求出所有的m 值；若不存在，请说明理由。

4、如图，直线22

1+=x y 分别与x 轴、y 轴相交于A 、C 两点，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴于点B ，且S ΔABP =9。

（1）求点P 的坐标；

（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线

PB 的右侧，作RT ⊥x 轴于点T ，当ΔBRT 与ΔAOC 相似时，求R 点

的坐标。

5、已知：如图，二次函数y=2x 2-2的图象与x 轴相交于A 、B 两点

（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，直线x=m （m ＞1）与x 轴交

于点D ，

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）在直线x=m （m ＞1）上有一点P （点P 在第一象限内），

使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形

相似，求P 点有坐标（用含m 的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，试问：抛物线y=2x 2-2上是否存在

一点Q ，使得四边形ABPQ 是平行四边形如果存在这样的点Q ，请

求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由。