(数学建模教材)31第三十一章支持向量机
第三十一章 支持向量机
支持向量机是数据挖掘中的一项新技术，是借助于最优化方法来解决机器学习问 题的新工具，最初由 V.Vapnik 等人提出，近几年来在其理论研究和算法实现等方面都 取得了很大的进展，开始成为克服“维数灾难”和过学习等困难的强有力的手段，它的 理论基础和实现途径的基本框架都已形成。 §1 支持向量分类机的基本原理
根据给定的训练集
l
T = {(x 1,y 1 ), (x 2 ,y 2 ),L ,(x l ,y l )}∈ ( X ? Y ) ，
其中 x ∈ X = R n ， X 称为输入空间，输入空间中的每一个点 x 由 n 个属性特征组成， i i n
y i ∈Y = {-1,1},i = 1,L ,l 。寻找 R 上的一个实值函数 g (x ) ，以便用分类函数
f (x ) = sgn(
g (x )),
推断任意一个模式 x 相对应的 y 值的问题为分类问题。
1.1 线性可分支持向量分类机
考虑训练集 T ，若 ?ω ∈ R n
， b ∈ R 和正数 ε ，使得对所有使 y = 1
的下标 i 有 i (ω ? x i ) + b ≥ ε（这里 (ω ? x i ) 表示向量 ω 和 x i 的内积），而对所有使 y i = -1 的下标 i 有 (ω ? x i ) + b ≤ -ε ，则称训练集 T 线性可分，称相应的分类问题是线性可分的。 记两
类样本集分别为 M = {x i | y i = 1, x i ∈T }， M = {x i | y i = -1, x i ∈T }。定义 M + 的凸包 conv(M + ) 为
+
- ? N + N +
? conv(M +
) = ?x = ∑λ x | ∑ λ λ ≥ 0, j = 1,L , N + ; x ∈ M + ←, = 1, j j j j j ? ↑
j =1 j =1 M - 的凸包 conv(M - ) 为 ? N - N -
? conv(M - ) = ?x = ∑λ x | ∑λ λ ≥ 0, j = 1,L , N - ; x ∈ M - ←.
= 1, j j j j j ? ↑
j =1 j =1 其中 N + 表示 + 1 类样本集中样本点的个数， N - 表示 - 1类样本集中样本点的个数，定 理 1 给出了训练集 T 线性可分与两类样本集凸包之间的关系。
定理 1 训练集 T 线性可分的充要条件是， T 的两类样本集 M + 和 M - 的凸包相
离。如下图所示
图 1 训练集 T 线性可分时两类样本点集的凸包
证明：①必要性
-762-
+ -
若 T 是线性可分的，M = {x i | y i = 1, x i ∈T }，M = {x i | y i = -1, x i ∈T }，由线 性可分的定义可知，存在超平面 H = {x ∈ R n
: (ω ? x ) + b = 0} 和 ε > 0 ，使得
(ω ? x i ) + b ≥ ε ， ?x i ∈ M 且 (ω ? x i ) + b ≤ -ε ， ?x i ∈ M . + -
而正类点集的凸包中的任意一点 x 和负类点集的凸包中的任意一点 x ' 可分别表示为
N + N - x = ∑αi x i 和 x ' = ∑ β j x ' j
i =1 j =1
N +
N -
其中αi ≥ 0, β j ≥ 0 且 ∑α
i
= 1， ∑β j = 1。
i =1
j =1
于是可以得到
N + N + N +
(ω ? x ) + b = ω ? ∑αi x i + b = ∑αi ((ω ? x i ) + b ) ≥ ε ∑αi = ε > 0
i =1 i =1 i =1 N - N - N - ) + b ) ≤ -ε β = -ε < 0 j =1 ∑ j ∑ j ∑ j (ω ? x ') + b = ω ? β x ' + b = β ((ω ? x ' j j
j =1 j =1 由此可见，正负两类点集的凸包位于超平面 (ω ? x ) + b = 0 的两侧，故两个凸包相离。
②充分性
设两类点集 M +
，M -
的凸包相离。因为两个凸包都是闭凸集，且有界，根据凸集 强分离定理，可知存在一个超平面 H = {x ∈ R n
: (ω ? x ) + b = 0} 强分离这两个凸包， 即存在正数 ε > 0 ，使得对 M +
， M -
的凸包中的任意点 x 和 x ' 分别有
(ω ? x ) + b ≥ ε
(ω ? x ') + b ≤ -ε
显然特别的，对于任意的 x ∈ M + ，有 (ω ? x ) + b ≥ ε ，对于任意的 x ∈ M -
，有 i i i (ω ? x i ) + b ≤ -ε ，由训练集线性可分的定义可知 T 是线性可分的。
由于空间 R n 中超平面都可以写为 (ω ? x ) + b = 0 的形式，参数 (ω, b ) 乘以任意一个
非零常数后得到的是同一个超平面，定义满足条件
?? y i ((ω ? x i ) + b ) ≥ 0, i = 1,L , l ?min ω ? x (
i ) + b = 1 ? ? i =1, ,l
L 的超平面为规范超平面。
定理 2 当训练集样本为线性可分时，存在唯一的规范超平面 (ω ? x ) + b = 0 ，使 得
?(ω ? x i ) + b ≥ 1 y i = 1; （1）
?
?(ω ? x i ) + b ≤ -1 y i = -1.
证明：规范超平面的存在性是显然的，下证其唯一性。
假设其规范超平面有两个： (ω'?x ) + b ' = 0 和 (ω"?x ) + b ' = 0 。由于规范超平面满 足条件
-763-
?? y i ((ω ? x i ) + b ) ≥ 0, i = 1,L , l , ?min
ω ? x ( i ) + b = 1. ??i =1, ,l
L 由第二个条件可知
ω' = ω"， b ' = b ' ，
或者
ω' = -ω" ， b ' = -b ' .
第一个条件说明 ω' = -ω" ， b ' = -b ' 不可能成立，故唯一性得证。
式（1）中满足 (ω ? x i ) + b = ±1成立的 x i 称为普通支持向量，对于线性可分的情况 来说，只有它们在建立分类超平面的时候起到了作用，普通支持向量通常只占样本集很 小的一部分，故而也说明 SVM 具有稀疏性。对于 y i = 1类的样本点，其与规范超平面 的间隔为
(ω ? x i ) + b 1
ω
min y i =1 = ， ω 对于 y i = -1 类的样本点，其与规范超平面的间隔为
(ω ? x i ) + b 1 ω
min y i =-1 = ， ω 2 ω 2
ω
则普通支持向量间的间隔为 。最优超平面即意味着最大化 。如图 2 所示 图 2 线性可分支持向量分类机
(ω ? x ) + b = ±1称为分类边界，于是寻找最优超平面的问题可以转化为如下的二次
规 划问题
1 2
2
ω min
（2）
s.t. y i ((ω ? x i ) + b ) ≥ 1 i = 1,L , l 1 2
2
ω 是 ω 的凸函数，并且约束条件都是线性的。
该问题的特点是目标函数 引入 Lagrange 函数
-764-
l
+ ∑αi (1 - y i ((ω ? x i
) + b ))
1 2 L (ω, b ,α ) = 2 ω i =1
其中α = (α L ,α )T ∈ R l +
为 Lagrange 乘子。根据 wolfe 对偶的定义，通过对原问题 1
l 中各变量的偏导置零可得
l
? ω = ∑αi y i x i
i =1
l
?L ?ω ?L
?b = 0 ? ∑α y = 0 = 0 i i i =1
带入 Lagrange 函数化为原问题的 Lagrange 对偶问题
1 2 l l l
∑∑ i j i j i j ∑ i max - α y y α α (x ? x ) + α i =1 j =1 i =1
l
∑ y i α
i
s.t.
= 0
（3）
i =1
αi ≥ 0, i = 1,L ,l
* * * T
求解上述最优化问题，得到最优解α = (α ,L
α ) ，计算 1 l l
ω = ∑α y x *
*
i i i
i =1 由 KKT 互补条件知
α * (1 - y ((ω* ? x ) + b *
)) = 0 i i i
可得，只有当 x 为支持向量的时候，对应的 α 才为正，否则皆为零。选择
α 的一个 * *
i i 正分量α *
，并以此计算
j l
b = y j - ∑ y i α (x i ? x j ),
*
*
i i =1
于是构造分类超平面 (ω* ? x ) + b *
= 0 ，并由此求得决策函数
l
g (x ) = α* y (x ? x ) + b *
, i =1 得到分类函数
l
f (x ) = sgn( α* y (x ? x ) + b * )
i =1 从而对未知样本进行分类。
1.2 线性支持向量分类机 ∑ i i i
∑ i i i （4）
当训练集 T 的两类样本线性可分时，除了普通支持向量分布在两个分类边界 (ω ? x i ) + b = ±1上外，其余的所有样本点都分布在分类边界以外。此时构造的超平面 是硬间隔超平面。当训练集 T 的两类样本近似线性可分时，即允许存在不满足约束条 件
y i ((ω ? x i ) + b ) ≥ 1
-765-
的样本点后，仍然能继续使用超平面进行划分。只是这时要对间隔进行“软化”，构造 软间隔超平面。简言之就是在两个分类边界 (ω ? x i ) + b = ±1之间允许出现样本点，这 类样本点被称为边界支持向量。显然两类样本点集的凸包是相交的，只是相交的部分较 小。线性支持向量分类机如图 3 所示。
图 3 线性支持向量分类机
软化的方法是通过引入松弛变量
ξi ≥ 0, i = 1,L , l
来得到“软化”的约束条件
y i ((ω ? x i ) + b ) ≥ 1 - ξi i = 1,L , l ,
当 ξi 充分大时，样本点总是满足上述的约束条件，但是也要设法避免 ξi 取太大的 值，为此要在目标函数中对它进行惩罚，得到如下的二次规划问题
1 2 l
2
+ C ξ ,
∑ i ω min i =1
s.t. y i ((ω ? x i ) + b ) ≥ 1 - ξi , ξi ≥ 0, i = 1,L , l .
其中 C > 0 是一个惩罚参数。其 Lagrange 函数如下
（5）
l
l
l
L (ω, b , ξ,α , γ ) = 1
2
∑ + C ∑ξ - ∑α ( y ((ω ? x ) + b ) - 1 + ξ ) - γ ξ , ω i i i i i i i 2 i =1 i =1 i =1
其中 γ i ≥ 0 ， ξi > 0 。原问题的对偶问题如下
1 2 l l l
∑∑ i j i j i j ∑ i ) + α max - α y y α α (x ? x i =1 j =1 i =1
l
∑ y i α
i
s.t.
= 0
（6）
i =1
0 ≤ αi ≤ C , i = 1,L ,l
* * * T
求解上述最优化问题，得到最优解α = (α ,L α
) ，计算 1 l l
*
= ∑
* ω α y x , i i i i =1 选择α *
的一个正分量 0 < α*
< C ，并以此计算
j -766-
l
j - ∑ i i b *
y α* (x = y i ? x
) j i =1
于是构造分类超平面 (ω* ? x ) + b *
= 0 ，并由此求得分类函数
l
f (x ) = sgn( α* y (x ? x ) + b *
)
i =1 从而对未知样本进行分类，可见当 C = ∞ 时，就等价于线性可分的情形。
1.3 可分支持向量分类机 当训练集 T 的两类样本点集重合的区域很大时，上述用来处理线性不可分问题的 线性支持向量分类机就不可用了，可分支持向量分类机给出了解决这种问题的一种有效 途径。通过引进从输入空间 X 到另一个高维的 Hilbert 空间 H 的变换 x a ?(x ) 将原输 入空间 X 的训练集
∑ i i i l
T = {(x 1,y 1 ), (x 2 ,y 2 ),L ,(x l ,y l )}∈( X ? Y ) 转化为 Hilbert 空间 H 中的新的训练集： T = {(x 1,y 1 ), (x 2 ,y 2 )L (x l ,y l )} = {(?(x 1 ), y 1 ), (?(x 2 ), y 2 ), (?(x l ), y l )} 使其在 Hilbert 空间 H 中线性可分，Hilbert 空间 H 也称为特征空间。然后在空间 H 中 求得超平面 (ω ??(x )) + b = 0 ，这个超平面可以硬性划分训练集 T ，于是原问题转化为
如下的二次规划问题
2
min
s.t. y i ((ω ??(x i )) + b ) ≥ 1 i = 1,L , l 采用核函数 K 满足
K (x i , x j ) = (?(x i ) ??(x j ))
将避免在高维特征空间进行复杂的运算，不同的核函数形成不同的算法，主要的核函数 有如下几类：
线性内核函数 K (x i , x j ) = (x i ? x j )
多项式核函数
K (x , x ) = [(x ? x ) + 1]q
i j i j 2
x i - x j
径向基核函数 K (x i , x j ) = exp{-
}
σ
2
S 形内核函数 K (x i , x j ) = tanh(v (x i ? x j ) + c ) n
2 ) = ∑ 1 - q 傅立叶核函数
K (x , x i j
2 k =1 2(1
- 2q cos(x ik - x jk ) + q ) 同样可以得到其 Lagrange 对偶问题如下
1 l l l max - ∑∑ y i y j αi α j K (x i ? x j ) + ∑αi
2 α i =1 j =1 i =1
l
∑ y i α
i
s.t.
= 0
i =1
αi ≥ 0, i = 1,L ,l
-767-
若 K 是正定核，则对偶问题是一个凸二次规划问题，必定有解。求解上述最优化 问题，得到最优解α = (α ,L ,α
) ，选择α 的一个正分量α ，并以此计算 *
*
* T
*
*
1 l j l
j - ∑ i i b *
y α* K (x = y i ? x
) j i = 1
构造分类函数
l
∑ i i f (x ) = sgn( y α* K (x ? x ) + b *
)
j i =1 从而对未知样本进行分类。
1.4 C-支持向量分类机 当映射到高维 H 空间的训练集不能被硬性分划时，需要对约束条件进行软化。结 合 1.2 和 1.3 中所述，得到如下的模型
l
l
∑∑ l
1 2 ∑ y y α α K (x ? x ) + α max α - i j i j i j i i =1 j =1 i =1
l
∑ y i α
i
= 0
s.t.
(7)
i =1
0 ≤ αi ≤ C , i = 1,L ,l
* * * T * *
得到最优解α = (α ,L
α ) ，选择α 的一个正分量 0 < α < C ，并以此计算 1 l j l
j - ∑ i i b *
y α* K (x = y i ? x
) j i = 1 构造决策函数
l
∑ i i g (x ) = y α* K (x ? x ) + b *
j i 1 = 构造分类函数
l
f (x ) = sgn( y α* K
(x ? x ) + b * ) ∑ i i i =1 j 从而对未知样本进行分类。
当输入空间中两类样本点的分布区域严重重合时，选择合适的核函数及其参数，可 以使映射到特征空间的每一类样本点的分布区域更为集中，降低两类样本点分布区域的 混合程度，从而加强特征空间中两类样本集“线性可分”的程度，来达到提高分类的精 度和泛化性能的目的。但是就核函数及其参数的选取问题，目前尚无理论依据，同样的 实验数据，采用不同的核函数，其精度往往相差很大，即便是对于相同的核函数，选取 的参数不同，分类的精度也会有较大的差别。在实际应用过程中，往往针对具体的问题 多次仿真试验，找到适合该问题的核函数，并决定其最佳参数。
下述定理给出了支持向量与 Lagrange 乘子之间的关系。
*
*
* T
定理 3 对偶问题(7)的最优解为α = (α ,L ,α
) ，使得每个样本点 x 满足优化 1 l i 问题的 KKT 条件为
α * = 0 ? y g (x ) >
1 i i i 0 < α * < C ? y g (x ) =
1 i i i -768-
α * = C ? y g (x ) <
1 i i i 其中 0 < α < C ，所对
应的 x i 就是普 通支持向量 (NSV) ，位 于分类间隔 的边界 *
i = 1 ；α = C 所对应的
x i 就是边界支持向量(BSV)，代表了所 *
g (x ) = ±1上，有 g (x ) i 有的错分样本点，位于分类间隔内部，有 g (x i
) < 1。BSV U NSV 就是支持向量集，是
位于分类间隔两个边界上及其内部的所有训练样本集的子集。
§2 支持向量回归机
支持向量回归机在回归和函数逼近问题上有广泛的应用。考虑 l 个独立同分布的样 本数据点
l
T = {(x 1,y 1 ), (x 2 ,y 2 ),L ,(x l ,y l )}∈ ( X ? Y )
n
其中 x i ∈ X = R , y i ∈Y = R , i = 1,L , l 。寻找 x 与 y 的函数 y = f (x ) 以便推断任意 x 所对应的 y 值，并且使得经验风险最小。
2.1 线性 ε - 支持向量回归机 给定一个 ε > 0 ，线性超平面 y = f (x ) = (ω ? x ) + b 沿 y 方向依次上下平移 ε 所扫 过的区域构成硬 ε - 带超平面，并且超平面满足
- ε ≤ (ω ? x i ) + b - y i ≤ ε , i = 1,L , l 当 ε 足够大时，硬 ε - 带超平面总是存在的，而最小能使硬 ε - 带超平面存在的 ε 为 ε min ，是下列优化问题的最优值
min ε ω ,b
s.t. - ε ≤ (ω ? x i ) + b - y i ≤ ε , i = 1,L , l
（8）
可见，只要选定的 ε > ε min ，硬 ε - 带超平面就有无限多个，从给定的训练集 T 出发，
可以构造正负两类点，
+ T T
D = {(x , y i + ε
) , i = 1,L , l } i （9）
-
T
T
D = {(x , y i - ε ) , i = 1,L , l }
i
则回归问题转化为线性二分类问题。由定理 4 可知硬 ε - 带超平面与线性划分之间的关
系。
-769-
图 4 三种情况下 D + 和 D -
的凸包分布
定理 4 设上述给定的训练集 T 和 ε > 0 ，考虑由（9）定义的集合 D + 和 D -
。则 一个超平面 y = f (x ) = (ω ? x ) + b 是硬 ε - 带超平面的充要条件是 D +
和 D -
的凸包分
别位于该超平面的两侧。
证明：①必要性 对给定的 ε > 0 ，若 y = f (x ) = (ω ? x ) + b 是硬 ε - 带超平面，据其定义可知
- ε ≤ (ω ? x i ) + b - y i ≤ ε , (~y + εe ) - A ω - be ≥ 0
(~y - εe ) - A ω - be ≤ 0
i = 1,L , l
上式可以简单表示为
（10）
~ T
T
T
+
其中 y = ( y ,L , y ) ，e = (1,L ,1) ， A = (x ,L , x ) ，D 的凸包中的任意一点都可 1 l 1
l 以表示为
l
x
y ∑ i t = (t T
, t = u (x , y + ε
)T )T T
i i i = 1 l
∑
i
T
其中 u = (u ,L ,
u ) ，且满足 u = 1 ， u ≥ 0 ， i = 1,L ,l ，由（10）的第一式可知 1 l i
i =1
t - (ω ? t ) - b = (
y ? + εe )T u - ω T ? ( A T u ) - b ≥ 0. （11）
y x 类似的， D -
的凸包的任意一点都可以表示为
l
x
y ∑ i s = (s T
, s = v (x , y - ε
)T )T T
i i i =1 l
∑ i
T
其中 v = (v ,L , v ) ，且满足
v = 1 ， v ≥ 0 ，
i = 1,L ,l ，由（10）的第二式可知 1 l i
i =1
s - (ω ? s ) - b = (
y ? - εe )T u - ωT ? ( A T u ) - b ≥ 0 （12）
y x 由（11）和（12）可知 D +
和 D -
的凸包分别位于该超平面的两侧。
②充分性： 任取满足
e T u = 1， u ≥ 0
的凸组合系数向量 u ，则可以得到 D +
中的一点 (( A T
u )T
, (~y + εe )T
u )T
，与此对应，选
择满足
e T v = 1， A T u = A T v
-770-
的凸组合系数向量 v ，则可以得到 D -
中的一点
(( A T v )T , (~y - εe )T v )T = (( A T u )T , (~y - εe )T v )T 将该点与上述 D + 中的点比较，他们的前 n 个分量相同，同时超平面
y = f (x ) = (ω ? x ) + b
分离两个集合 D + 和 D - 的凸包，则可知他们的第 n + 1个分量满足
(~y + εe )T u - (~y - εe )T v ≥ 0
由此可见，关于变量 u , v 的不等式组
?A T u = A T v ? ?e T
u = e T v = 1 ?(~y + εe )T u - (~
y - εe )T v < 0 ?u ≥ 0, v ≥ 0
? ?
无解，不难证明
?A T u = A T v ? ?e T
u = e T v = 1 ?(~y + εe )T u - (~
y - εe )T v = -1 ?u ≥ 0, v ≥ 0
? ?
无解，由择一定理知不等式组
(~y + εe ) - A ω - be ≥ 0 (~y - εe ) - A ω - be ≤ 0
有解，即超平面 y = f (x ) = (ω ? x ) + b 是硬 ε - 带超平面。
定理 4 说明寻找训练集 T 的最优硬 ε - 带超平面等价于集合 D +
和 D -
的最优分类 超平面。于是可以得到如下的最优化问题
1 2
2
ω min
s.t. y i - ((ω ? x i ) + b ) ≤ ε , i = 1,L , l
((ω ? x i ) + b ) - y i ≥ ε , i = 1,L , l （13）
其中 ω ∈ R n
， b ∈ R 。（13）的解存在的前提是 ε > ε 给出了两者之间的联系。
定理 5 若 ε > ε min ，且 ε min 是优化问题（8）的最优值，则（13）的解存在，并 ，而 ε 就为最优解。定理 5 min min 且对于 ω 的解唯一，即若 (ω*
, b *
) ， (ω*
, b *
) 都是解，则 ω*
= ω*
。
1 1
2 2 1 2 证明：若 ε > ε min ，则问题（13）的可行域非空，又因为该问题是凸的，所以一定 有解，解的存在性即证。
下证解的唯一性。设 (ω*
, b *
) ， (ω*
, b *
) 是问题（13）的两个最优解，显然
1 1
2 2 = ω* ω* = r 1 2
-771-
* *
* *
ω + ω b + b 其中 r 是一个常数，则有 ω*
= λω*
，
λ = 1 。令 ω =
，则 (ω, b ) 1 2
，b = 1 1
1 2 2
2
是问题（13）的可行解，从而有
r ≤ ≤
+ 1 * ω* ω = r
1 2 2
= 0 ，则有 ω* = ω*
= 0 ；
若 λ = 1， ω = r ，当 λ = -1时，ω = 0 ，即 r = ω 上式说明 1 2 * * 则有 ω = ω ，故解的唯一性得证。
1 2 引入 Lagrange 函数
l l
L (ω,α (*)
, b ) = 1
2
- ∑α (ε + y ∑ * ω - (ω ? x ) - b ) - α (ε - y + (ω ? x ) + b ) i i i i i 2 i i =1 i =1
其中α
(*) = (α ,α ,L ,α ,α * )T ≥ 0 为 Lagrange 乘子，根据 Wolfe 对偶的定义，分别对 *
1 1 l l ω ， b 求偏导置零得到
?L ?ω ?L ?b l
∑ *
= ω - (α - αi )x i =0 i i =1
l ∑ *
= (α - αi ) = 0 i i =1
带入 Lagrange 函数，得到（13）的对偶问题如下
l l l l
1 2 ∑∑ i i j j i j ∑ i i ∑ i i i (α * - α )(α * - α )(x ? x ) + ε (α * - α ) - y (α *
-
α ) min
(*) 2 l α ∈R
i 1 = j 1 = i 1 = i
1 = l
∑ (α - α ) = 0
*
s.t.
（14）
i
i
i =1
α (*) = (α ,α ,L ,α
,α * )T ≥ 0 *
1 1 l l 对于给定的训练样本集 T ，首先选择适当的精度 ε > 0 ，构造并求解优化问题（14）， 得到最优解α
(*)
= (α ,α ,L ,α ,α * )T
，其中只有支持向量对应的α 或α * 非零，
计算 *
1
1
l l
i i l
∑ ω = (α -
αi )x i *
i i =1
选择α (*)
的正分量α > 0 ，计算
j b = y j - (ω ? x j ) + ε
或选择α (*)
的正分量α *
> 0 ，计算
j b = y j - (ω ? x j ) - ε
l
∑ 构造决策函数 y = (ω ? x ) + b =
(α - αi
)(x i
? x ) + b ，即可对未知样本进行预测。
* i
i =1
2.2
ε - 支持向量回归机
当构造的两类样本 D +
， D -
线性不可分时，通过对硬间隔的软化和引入罚参数， 同样可以考虑在高维空间构造超曲面来达到回归的目的。
对于给定的训练样本集 T ，选择合适的精度参数 ε > 0 ，罚参数 C > 0 以及合适的
-772-
核函数 K (x , x ') 。
构造并求解优化问题
l l l
1 2 ∑ i i j ∑ i ∑ i i (α - α )(α - α j )K (x i , x j ) + ε (α - αi ) - y (α - αi ) * * * *
min
(*) 2 l α ∈R
i j = i = i = , 1
1 1 l
∑ *
(α - αi
) = 0
s.t.
（15）
i
i =1
0 ≤ α ,α * ≤ C
, i = 1,L , l i i
l 得到最优解α *) = (α ,α ,L ,α ,α * )T ，选择α (*) 的正分量α > 0 ，计算 *
1 1
l l j
l
j ∑ *
b = y - (α -
αi )K (x i , x j ) +ε i i =1
或选择α (*)
的正分量α *
> 0 ，计算
j
l
j ∑ *
b = y - (α -
αi )K (x i , x j ) -ε i i =1
l
∑ * 构造决策函数 y =
(α - αi
)K (x i
, x ) + b ，即可对未知样本进行预测。
i
i =1
如下定理给出了样本点与 Lagrange 乘子之间的关系。 *
定理 6 若样本 (x , y ) 在 ε - 带内部，则α = αi = 0 。
i i i C C *
* 若样本 (x , y ) 在 ε - 带的边界上，则α ∈[0, ] ，αi = 0 ；或 α = 0 ，αi ∈[0, ]。 i i i
l l i
C C *
* 若样本 (x , y ) 在 ε - 带的外部，则α = ，αi = 0 ；或α = 0 ，αi = 。 i i i l
l i
可见，在 ε - 带内部的样本点都不是支持向量，它们对决策函数没有贡献，并且它
们在样本集中的比例较大。
§3 乳腺癌的诊断
3.1 问题的提出 乳腺肿瘤通过穿刺采样进行分析可以确定其为良性的或为恶性的。医学研究发现
乳腺肿瘤病灶组织的细胞核显微图像的 10 个量化特征：细胞核直径、质地、周长、面 积、光滑度、紧密度、凹陷度、凹陷点数、对称度、断裂度与该肿瘤的性质有密切的关 系。现试图根据已获得的实验数据建立起一种诊断乳腺肿瘤是良性还是恶性的方法。数 据来自已确诊的 500 个病例，每个病例的一组数据包括采样组织中各细胞核的这 10 个 特征量的平均值、标准差和最坏值共 30 个数据，并将这种方法用于另外 69 名已做穿刺 采样分析的患者。
这个问题实际上属于模式识别问题。什么是模式呢？广义地说，在自然界中可以 观察的事物，如果我们能够区别它们是否相同或是否相似，都可以称之为模式。人们为 了掌握客观事物，按事物相似的程度组成类别。模式识别的作用和目的就在于面对某一 具体事物时将其正确地归入某一类别。
模式识别的方法很多，如数理统计方法、聚类分析方法等。 3.2 支持向量机的分类模型
-773-
支持向量机（Sport Vector Machine ,以下简称 SVM ）是一种基于统计学习理论的 模式识别方法。在模式识别等领域获得了广泛的应用。其主要思想是这样：找到一个超 平面，使得它能够尽可能多的将两类数据点正确地分开，同时使分开的两类数据点距离 分类面最远，如图 5（b ）。
图 5 最佳超平面示意图
30
记 n （这里 n = 500 ）个已知观测样本为 (t 1, g 1 ), (t 2 , g 2 ),L ,(t n , g n ) 。其中 t i ∈ R ，
g i = 1 为良性肿瘤， g i = -1为恶性肿瘤。
（1）样本线性或非线性可分
我们要找一个最优分类面 w T
x + b = 0 ，其中 w , x ∈ R 30
， b ∈ R ， w , b 待定，满 足如下条件：
?w t i + b ≥ 1, T
g i = 1时 g i = -1
时 ?
?wt i + b ≤ -1, T
即有 g i (wt i - b ) ≥ 1，其中，满足方程 w t i + b = ±1的样本称为支持向
量。
max 2 ? min 1
2 w
w 于是建立 SVM 的数学模型如下：
模型 1
2
1 2 2
w min
T
s.t. g i (w t i + b ) ≥ 1， i = 1,2,L , n
求得最优值对应的 w * , b * ，可得分类函数：
g (x ) = sgn(w *T x + b * )
模型 1 是一个二次规划模型。下面把模型 1 化为其对偶问题。
定义广义拉格朗日函数
1 n
2 + ∑αi [1 - g i
(w t i + b )] T
L (w ,α ) = 2 w i = 1
其中α = (α ,L ,α )T
，α ≥ 0 。 1
n i 由 Karush-Kuhn-Tucker 互补条件，通过对 w 和 b 求偏导可得
n
?L
?w = w - ∑α g t = 0 i i i i =1
-774-
?L = ∑α
n
g = 0
i i ?b i =1 n
n
得 w =
∑αi g i t
i ，
∑αi g
i
= 0 ，代入原始拉格朗日函数得
i =1
i =1 n
n n
1 2 ∑ ∑∑ L = α i =1 α α g g (t ? t ) - i i j i j i j i =1 j =1
其中 (x i ? x j ) 表示向量的内积
于是模型 1 可以化为 模型 2
n
n n
1 2 ∑ i ∑∑ i j i j i j max α - i =1
α α g g (t ? t ) i =1 j =1 ? n
?∑αi g i = 0 s.t. ? i =1
?
?0 ≤ αi , i = 1,2,L , n
n
∑
i i i 解此二次规划得到最优解α ，从而得权重向量 w =
α g t 。 i =1
由 KKT 互补条件知
*
*
*
α *[1 - g ((w * ? t ) + b * )] = 0
i i i 这意味着仅仅是支持向量（距离分类超平面为 1）的输入点 t ，使得α 为正，所有其
*
i i 它样本对应的α * 均为零。选择α * 的一个正分量α *
，并以此计算
i j n
∑ b = g - g α t i ? t j ) *
* (
j i i i 1 = 最终的分类函数表达式如下：
g (x ) = sgn(w *T x + b * )
实际上，模型 2 中的 (t i ? t j ) 是核函数的线性形式。核函数可以将原样本空间线性
不可分的向量转化到高维特征空间中线性可分的向量。以下是核函数的一些常用形式：
K (x , y ) = x ? y
? ? 线性内核 径向基函数内核 K (x , y ) = [(x ? y ) + 1]q
2
K (x , y ) = exp{- | x - y | } ? 多项式内核
σ
2 K (x , y ) = tanh(v (x ? y ) + c ) ?
S 形内核 将模型 2 换成一般的核函数 K (x , y ) ，可得一般的模型：
模型 3
n
1 2 n n
∑ i ∑∑ i j i j i j max α α α g g K (t , t ) - i =1
i =1 j =1 -775-
? n
?∑αi g i = 0 s.t. ? i =1
?
?0 ≤ αi , i = 1,2,L , n
分类函数表达式：
n
g (x ) = sgn( α * g K (t , x ) + b *
) i =1 （2）样本不可分时的软间隔处理。
引入松弛变量 ξ ，其作用在于允许较少数量的样本被错误划分。这种处理方法称为 软间隔。控制这个错误程度的参数为 c ，于是模型 1 修改为
模型 4
n
∑ i i i
1 2 2
+ c ∑ξi min
w i =1
?g (w T t + b ) ≥ 1 - ξ i
i i s.t. ? ?ξi ≥ 0, i = 1,2,L , n
求得最优值对应的 w * , b * ，可得分类函数：
g (x ) = sgn(w *T x + b * )
对应地，模型 3 改造得到
模型 5
n
1 2 n n
∑ i ∑∑ i j i j i j max α α α g g K (t , t ) - i =1
i =1 j =1 n
? ?∑αi g i = 0 s.t. ? i =1
?
?0 ≤ αi ≤ c , i = 1,2,L , n
注意到其只是在模型 3 的基础上约束 0 ≤ α i ≤ c 。分类函数表达式：
n
g (x ) = sgn( α * g K (x , x ) + b *
)
i =1 应用支持向量机时，可以按照线性可分、线性不可分、非线性可分、非线性不可分
的顺序求解。
3.3 分类模型的求解
对于给定的 500 个训练样本，利用 Matlab 的优化工具箱，求解模型 1，得到最优 解 w *
, b *
。说明两类样本点是线性可分的，且对已知样本点，支持向量机的分类方法错 判率为 0。
∑ i i i 把 69 个测试样本 ~
t , j = 1,2,L ,69 ，代入分类函数 g (x ) = sgn(w *T x + b *
) ，按如 j
下规则分类：
g (~t ) = 1 ，第 j 个样本点为良性肿瘤 j
g (~t ) = -1 ，第 j 个样本点为恶性肿瘤
j
求解结果见表 1。
-776-
表 1 分类结果
注：这里的数字代表病例序号。
计算的 Matlab 程序如下：
%原始数据中的 B 替换成 1，M 替换成-1，X 替换成 2，删除了分割符* clc,clear
load cancerdata.txt; can=cancerdata;
can(:,1)=[]; %删除第一列病例号
gdb=find(can(:,1)==1); %读出良性肿瘤的序号 n1=length(gdb); %计算良性肿瘤样本点的个数 bdb=find(can(:,1)==-1); %读出恶性肿瘤的序号 n2=length(bdb); %计算恶性肿瘤样本点的个数 gd=can(gdb,2:end); %提出良性肿瘤的数据 bd=can(bdb,2:end); %提出恶性肿瘤的数据 xd=can([501:569],[2:end]); %提出待分类数据 H=eye(31);H(31,31)=0; %w,b 总共 31 个待定参数，b 对应最后一个参数 ga=[gd,ones(n1,1)]; %良性样本点对应的系数矩阵 ba=[bd,ones(n2,1)]; %恶性样本点对应的系数矩阵 a=[-ga;ba]; %线性不等号约束的系数矩阵 b=-ones(500,1); %线性不等号约束的右端项
[wb,fval,flag]=quadprog(H,[],a,b) %调用二次规划命令 xdf=[xd,ones(69,1)];
g=xdf*wb; %计算ｗ'*x+b 的值 g1=find(g>0)' g2=find(g<0)' %良性样本序号 %恶性样本序号
模型 2 的 Matlab 计算程序如下： function svm1 clc,clear global N
load cancerdata.txt; can=cancerdata;
can(:,1)=[]; %删除第一列病例号
gdb=find(can(:,1)==1); %读出良性肿瘤的序号 n1=length(gdb); %计算良性肿瘤样本点的个数 bdb=find(can(:,1)==-1); %读出恶性肿瘤的序号 n2=length(bdb); %计算恶性肿瘤样本点的个数 gd=can(gdb,2:end); %提出良性肿瘤的数据
-777-
良 性
恶 性
1 3 5 6 7 8 9 11 1
2 14 16 19 20 21 2
3 2
4 2
5 2
6 2
7 2
8 30 31 32 33 35 38 3
9 40 41 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
56
57
58
59
60
61
62
69
2 4
10 13 15 17 18 22 29 34 36
37
42
63
64
65
66
67
68
bd=can(bdb,2:end); %提出恶性肿瘤的数据
xd=can([501:569],[2:end]); %提出待分类数据
%重新排序后的训练样本
X=[gd;bd];
N=size(X,1);
gb=[ones(n1,1);-ones(n2,1)]; %g_i 的取值向量
a0=eps*ones(N,1); %eps 为Matlab 中最小的正数
C=1; %人为地设定参数的取值范围
[a,fval,flag]=fmincon(@qfun,a0,[],[],gb',0,zeros(N,1),C*ones(N,1),[],[],X,gb)
w=X'*(a.*gb) %计算w'*x+b=0 中的w
b=sum(diag(a)*(X*w0-gb))/sum([a>10*eps]) %计算w'*x+b=0 中的b
save dwb w b
function y=qfun(a,X,gb); %定义非线性规划的目标函数
global N
y=-ones(1,N)*a+0.5*a'*diag(gb)*X*X'*diag(gb)*a;
模型3 的Matlab 计算程序如下：
%原始数据中的B 替换成1，M 替换成-1，X 替换成2，删除了分割符*
clc,clear
load cancerdata.txt;
can=cancerdata;
can(:,1)=[]; %删除第一列病例号
gdb=find(can(:,1)==1); %读出良性肿瘤的序号
n1=length(gdb); %计算良性肿瘤样本点的个数
bdb=find(can(:,1)==-1); %读出恶性肿瘤的序号
n2=length(bdb); %计算恶性肿瘤样本点的个数
gd=can(gdb,2:end); %提出良性肿瘤的数据
bd=can(bdb,2:end); %提出恶性肿瘤的数据
xd=can([501:569],[2:end]); %提出待分类数据
%重新排序后的训练样本
hd=[gd;bd];
N=size(hd,1);
basefun=@(x,y) (x*y'+1).^2; %定义多项式核函数的匿名函数
gb=[ones(n1,1);-ones(n2,1)]; %g_i 的取值向量
H=gb*gb'.*basefun(hd,hd); %定义二次规划目标函数的二次项系数矩阵
f=-ones(N,1); %定义二次规划目标函数的一次项系数列向量
aeq=gb'; %定义二次规划的线性等号约束矩阵
[alpha,fval,flag]=quadprog(H,f,[],[],aeq,0,zeros(N,1),ones(N,1))
模型2 和模型3 的Matlab 程序计算时间很长，必须寻找一些更好的算法。
习题三十一
1．蠓虫分类问题：生物学家试图对两种蠓虫（Af 与Apf）进行鉴别，依据的资料是触角和翅膀的长度，已经测得了9 支Af 和6 支Apf 的数据如下：
Af：(1.24,1.27)，(1.36,1.74)，(1.38,1.64)，(1.38,1.82)，(1.38,1.90)，(1.40,1.70)，
(1.48,1.82)，(1.54,1.82)，(1.56,2.08)
Apf：(1.14,1.82)，(1.18,1.96)，(1.20,1.86)，(1.26,2.00)，(1.28,2.00)，(1.30,1.96)
-778-
现在的问题是：
（i ）根据如上资料，如何制定一种方法，正确地区分两类蠓虫。 （ii ）对触角和翼长分别为(1.24,1.80)，(1.28,1.84)与(1.40,2.04)的 3 个标本，用所得 到的方法加以识别。
2．考虑下面的优化问题
n
+ c ξ + c n
2
1 ∑ i
2 ∑ξi
2
min w i =1
i =1
s.t. g i ((w ? x i ) + b ) ≥ 1 - ξi ， i = 1,2,L , n
ξi ≥ 0 ， i = 1,2,L , n
讨论参数 c 1 和 c 2 变化产生的影响。导出对偶表示形式。
-779-
(完整word版)支持向量机(SVM)原理及应用概述分析
支持向量机（SVM ）原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方法，它以结构风险最小化原则为理论基础，通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数，使学习机器的实际风险达到最小，保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器，对独立测试集的测试误差仍然较小。 支持向量机的基本思想：首先，在线性可分情况下，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。在线性不可分的情况下，加入了松弛变量进行分析，通过使用非线性映射将低维输
实验2分类预测模型_支持向量机
实验2分类预测模型——支持向量机SVM 一、 实验目的 1. 了解和掌握支持向量机的基本原理。 2. 熟悉一些基本的建模仿真软件（比如SPSS 、Matlab 等）的操作和使用。 3. 通过仿真实验，进一步理解和掌握支持向量机的运行机制，以及其运用的场景，特别是 在分类和预测中的应用。 二、 实验环境 PC 机一台，SPSS 、Matlab 等软件平台。 三、 理论分析 1. SVM 的基本思想 支持向量机（Support Vector Machine, SVM ），是Vapnik 等人根据统计学习理论中结构风险最小化原则提出的。SVM 能够尽量提高学习机的推广能力，即使由有限数据集得到的判别函数，其对独立的测试集仍能够得到较小的误差。此外，支持向量机是一个凸二次优化问题，能够保证找到的极值解就是全局最优解。这希尔特点使支持向量机成为一种优秀的基于机器学习的算法。 SVM 是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的，其基本思想可用图1所示的二维情况说明。 图1最优分类面示意图 图1中，空心点和实心点代表两类数据样本，H 为分类线，H1、H2分别为过各类中离分类线最近的数据样本且平行于分类线的直线，他们之间的距离叫做分类间隔（margin ）。所谓最优分类线，就是要求分类线不但能将两类正确分开，使训练错误率为0，而且还要使分类间隔最大。前者保证分类风险最小；后者（即：分类间隔最大）使推广性的界中的置信范围最小，从而时真实风险最小。推广到高维空间，最优分类线就成为了最优分类面。 2. 核函数 ω
支持向量机的成功源于两项关键技术：利用SVM 原则设计具有最大间隔的最优分类面；在高维特征空间中设计前述的最有分类面，利用核函数的技巧得到输入空间中的非线性学习算法。其中，第二项技术就是核函数方法，就是当前一个非常活跃的研究领域。核函数方法就是用非线性变换 Φ 将n 维矢量空间中的随机矢量x 映射到高维特征空间，在高维特征空间中设计线性学习算法，若其中各坐标分量间相互作用仅限于内积，则不需要非线性变换 Φ 的具体形式，只要用满足Mercer 条件的核函数替换线性算法中的内积，就能得到原输入空间中对应的非线性算法。 常用的满足Mercer 条件的核函数有多项式函数、径向基函数和Sigmoid 函数等，选用不同的核函数可构造不同的支持向量机。在实践中，核的选择并未导致结果准确率的很大差别。 3. SVM 的两个重要应用：分类与回归 分类和回归是实际应用中比较重要的两类方法。SVM 分类的思想来源于统计学习理论，其基本思想是构造一个超平面作为分类判别平面，使两类数据样本之间的间隔最大。SVM 分类问题可细分为线性可分、近似线性可分及非线性可分三种情况。SVM 训练和分类过程如图2所示。 图2 SVM 训练和分类过程 SVM 回归问题与分类问题有些相似，给定的数据样本集合为 x i ,y i ,…, x n ,y n 。其中， x i x i ∈R,i =1,2,3…n 。与分类问题不同，这里的 y i 可取任意实数。回归问题就是给定一个新的输入样本x ，根据给定的数据样本推断他所对应的输出y 是多少。如图3-1所示，“×”表示给定数据集中的样本点，回归所要寻找的函数 f x 所对应的曲线。同分类器算法的思路一样，回归算法需要定义一个损失函数，该函数可以忽略真实值某个上下范围内的误差，这种类型的函数也就是 ε 不敏感损失函数。变量ξ度量了训练点上误差的代价，在 ε 不敏感区内误差为0。损失函数的解以函数最小化为特征，使用 ε 不敏感损失函数就有这个优势，以确保全局最小解的存在和可靠泛化界的优化。图3-2显示了具有ε 不敏感带的回归函数。 o x y 图3-1 回归问题几何示意图 o x y 图3-2 回归函数的不敏感地
支持向量机的实现
模式识别课程大作业报告——支持向量机（SVM）的实现 姓名： 学号： 专业： 任课教师： 研究生导师： 内容摘要
支持向量机是一种十分经典的分类方法，它不仅是模式识别学科中的重要内容，而且在图像处理领域中得到了广泛应用。现在，很多图像检索、图像分类算法的实现都以支持向量机为基础。本次大作业的内容以开源计算机视觉库OpenCV为基础，编程实现支持向量机分类器，并对标准数据集进行测试，分别计算出训练样本的识别率和测试样本的识别率。 本报告的组织结构主要分为3大部分。第一部分简述了支持向量机的原理；第二部分介绍了如何利用OpenCV来实现支持向量机分类器；第三部分给出在标准数据集上的测试结果。 一、支持向量机原理概述
在高维空间中的分类问题实际上是寻找一个超平面，将两类样本分开，这个超平面就叫做分类面。两类样本中离分类面最近的样本到分类面的距离称为分类间隔。最优超平面指的是分类间隔最大的超平面。支持向量机实质上提供了一种利用最优超平面进行分类的方法。由最优分类面可以确定两个与其平行的边界超平面。通过拉格朗日法求解最优分类面，最终可以得出结论：实际决定最优分类面位置的只是那些离分类面最近的样本。这些样本就被称为支持向量，它们可能只是训练样本中很少的一部分。支持向量如图1所示。 图1 图1中，H是最优分类面，H1和H2别是两个边界超平面。实心样本就是支持向量。由于最优超平面完全是由这些支持向量决定的，所以这种方法被称作支持向量机（SVM）。 以上是线性可分的情况，对于线性不可分问题，可以在错分样本上增加一个惩罚因子来干预最优分类面的确定。这样一来，最优分类面不仅由离分类面最近的样本决定，还要由错分的样本决定。这种情况下的支持向量就由两部分组成：一部分是边界支持向量；另一部分是错分支持向量。 对于非线性的分类问题，可以通过特征变换将非线性问题转化为新空间中的线性问题。但是这样做的代价是会造成样本维数增加，进而导致计算量急剧增加，这就是所谓的“维度灾难”。为了避免高维空间中的计算，可以引入核函数的概念。这样一来，无论变换后空间的维数有多高，这个新空间中的线性支持向量机求解都可以在原空间通过核函数来进行。常用的核函数有多项式核、高斯核（径向基核）、Sigmoid函数。 二、支持向量机的实现 OpenCV是开源计算机视觉库，它在图像处理领域得到了广泛应用。OpenCV 中包含许多计算机视觉领域的经典算法，其中的机器学习代码部分就包含支持向量机的相关内容。OpenCV中比较经典的机器学习示例是“手写字母分类”。OpenCV 中给出了用支持向量机实现该示例的代码。本次大作业的任务是研究OpenCV中的支持向量机代码，然后将其改写为适用于所有数据库的通用程序，并用标准数据集对算法进行测试。本实验中使用的OpenCV版本是，实验平台为Visual
机器学习SVM(支持向量机)实验报告
实验报告 实验名称：机器学习：线性支持向量机算法实现 学员：张麻子学号： *********** 培养类型：硕士年级： 专业：所属学院：计算机学院 指导教员： ****** 职称：副教授 实验室：实验日期：
一、实验目的和要求 实验目的：验证SVM（支持向量机）机器学习算法学习情况 要求：自主完成。 二、实验内容和原理 支持向量机（Support V ector Machine, SVM）的基本模型是在特征空间上找到最佳的分离超平面使得训练集上正负样本间隔最大。SVM是用来解决二分类问题的有监督学习算法。通过引入了核方法之后SVM也可以用来解决非线性问题。 但本次实验只针对线性二分类问题。 SVM算法分割原则：最小间距最大化，即找距离分割超平面最近的有效点距离超平面距离和最大。 对于线性问题： 假设存在超平面可最优分割样本集为两类，则样本集到超平面距离为： 需压求取： 由于该问题为对偶问题，可变换为： 可用拉格朗日乘数法求解。 但由于本实验中的数据集不可以完美的分为两类，即存在躁点。可引入正则化参数Ｃ，用来调节模型的复杂度和训练误差。
作出对应的拉格朗日乘式： 对应的ＫＫＴ条件为： 故得出需求解的对偶问题： 本次实验使用python 编译器，编写程序，数据集共有２７０个案例，挑选其中70%作为训练数据，剩下30%作为测试数据。进行了两个实验，一个是取Ｃ值为１，直接进行ＳＶＭ训练；另外一个是利用交叉验证方法，求取在前面情况下的最优Ｃ值。 三、实验器材 实验环境：windows7操作系统+python 编译器。 四、实验数据（关键源码附后） 实验数据：来自UCI 机器学习数据库，以Heart Disease 数据集为例。 五、操作方法与实验步骤 １、选取Ｃ＝１，训练比例７：３，利用python 库sklearn 下的SVM() 函数进
支持向量机及支持向量回归简介
3．支持向量机（回归） 3.1.1 支持向量机 支持向量机（SVM ）是美国Vapnik 教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。SVM 方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。作为副产品，SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。 所谓核技巧，就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=，代 替在特征空间中内积(),())x y φφ（的计算。因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。 特别， 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形，设(,)K x y 是定义在输入空间 n R 上的二元函数，设H 中的规范正交基为12(),(),...,(), ...n x x x φφφ。如果 2 2 1 (,)((),()), {}k k k k k K x y a x y a l φφ∞ == ∈∑ ， 那么取1 ()() k k k x a x φφ∞ ==∑ 即为所求的非线性嵌入映射。由于核函数(,)K x y 的定义 域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。因此，巧妙地避开了计算高维内 积 (),())x y φφ（所需付出的计算代价。实际计算中，我们只要选定一个(,)K x y ，
支持向量机非线性回归通用MATLAB源码
支持向量机非线性回归通用MA TLAB源码 支持向量机和BP神经网络都可以用来做非线性回归拟合，但它们的原理是不相同的，支持向量机基于结构风险最小化理论，普遍认为其泛化能力要比神经网络的强。大量仿真证实，支持向量机的泛化能力强于BP网络，而且能避免神经网络的固有缺陷——训练结果不稳定。本源码可以用于线性回归、非线性回归、非线性函数拟合、数据建模、预测、分类等多种应用场合，GreenSim团队推荐您使用。 function [Alpha1,Alpha2,Alpha,Flag,B]=SVMNR(X,Y,Epsilon,C,TKF,Para1,Para2) %% % SVMNR.m % Support Vector Machine for Nonlinear Regression % All rights reserved %% % 支持向量机非线性回归通用程序 % GreenSim团队原创作品，转载请注明 % GreenSim团队长期从事算法设计、代写程序等业务 % 欢迎访问GreenSim——算法仿真团队→https://www.wendangku.net/doc/2211888753.html,/greensim % 程序功能： % 使用支持向量机进行非线性回归，得到非线性函数y=f(x1,x2,…,xn)的支持向量解析式，% 求解二次规划时调用了优化工具箱的quadprog函数。本函数在程序入口处对数据进行了% [-1,1]的归一化处理，所以计算得到的回归解析式的系数是针对归一化数据的，仿真测 % 试需使用与本函数配套的Regression函数。 % 主要参考文献: % 朱国强,刘士荣等.支持向量机及其在函数逼近中的应用.华东理工大学学报 % 输入参数列表 % X 输入样本原始数据，n×l的矩阵，n为变量个数，l为样本个数 % Y 输出样本原始数据，1×l的矩阵，l为样本个数 % Epsilon ε不敏感损失函数的参数，Epsilon越大，支持向量越少 % C 惩罚系数，C过大或过小，泛化能力变差 % TKF Type of Kernel Function 核函数类型 % TKF=1 线性核函数，注意：使用线性核函数，将进行支持向量机的线性回归 % TKF=2 多项式核函数 % TKF=3 径向基核函数 % TKF=4 指数核函数 % TKF=5 Sigmoid核函数 % TKF=任意其它值，自定义核函数 % Para1 核函数中的第一个参数 % Para2 核函数中的第二个参数 % 注：关于核函数参数的定义请见Regression.m和SVMNR.m内部的定义 % 输出参数列表 % Alpha1 α系数 % Alpha2 α*系数 % Alpha 支持向量的加权系数（α－α*）向量
支持向量机
支持向量机 支持向量机模型选择研究 摘要:统计学习理论为系统地研究有限样本情况下的机器学习问题提供了一套 比较完整的理论体系。支持向量机 (suPportvectorMachine,SVM)是在该理论体系下产生的一种新的机器学习方法,它能较好地解决小样本、非线性、维数灾难和局部极小等问题,具有很强的泛化能力。支持向量机目前已经广泛地应用于模式识别、回归估计、概率密度估计等各个领域。不仅如此,支持向量机的出现推动了基于核的学习方法(Kernel-based Learning Methods) 的迅速发展,该方法使得研究人员能够高效地分析非线性关系,而这种高效率原先只有线性算法才能得到。目前,以支持向量机为主要代表的核方法是机器学习领域研究的焦点课题之一。 众所周知,支持向量机的性能主要取决于两个因素:(1)核函数的选择;(2)惩罚 系数(正则化参数)C的选择。对于具体的问题,如何确定SVM中的核函数与惩罚系 数就是所谓的模型选择问题。模型选择,尤其是核函数的选择是支持向量机研究的中心内容之一。本文针对模型选择问题,特别是核函数的选择问题进行了较为深入的研究。其中主要的内容如下: 1.系统地归纳总结了统计学习理论、核函数特征空间和支持向量机的有关理论与算法。 2.研究了SVM参数的基本语义,指出数据集中的不同特征和不同样本对分类结 果的影响可以分别由核参数和惩罚系数来刻画,从而样木重要性和特征重要性的考察可以归结到SVM的模型选择问题来研究。在
对样本加权SVM模型(例如模糊SVM)分析的基础上,运用了特征加权SVM模型,即FWSVM,本质上就是SVM与特征加权的结合。 3,在系统归纳总结SVM模型选择。尤其是核函数参数选择的常用方法(例如交叉验证技术、最小化LOO误差及其上界、优化核评估标准)。关键词:机器学习;模式分类;支持向量机;模型选择;核函数;核函数评估 支持向量机基础 引言 机器学习的科学基础之一是统计学。传统统计学所研究的是渐近理论,即当样本数目趋于无穷大时的极限特性。基于传统统计学的机器学习,也称为统计模式识别,由Duda等人提出。Duda的贡献主要是以经典统计理论为工具刻画了模式识别与机器学习的各类任务,同时暗示了对所建模型的评价方法。然而,在实际应用中,学习样本的数目往往是有限的,特别当问题处于高维空问时尤其如此。统计学习理论研究的是有限样本情况下的机器学习问题,它基于PAC(Probably Approximately Correct)框架给出关于学习算法泛化性能的界,从而可以得出误差精度和样木数目之间的关系。这样,样木集合成为泛化指标的随机变量,由此建立了结构风险理论。 Minsky和PaPert在20世纪60年代明确指出线性学习机计算能力有限。总体上,现实世界复杂的应用需要比线性函数更富有表达能力的假设空间"多层感知器可以作为这个问题的一个解,由此导向了 多层神经网络的反向传播算法。核函数表示方式提供了另一条解决途径,即将数据映射到高维空间来增强线性学习机的计算能力。核函数的引入最终使得在适当的特征空间中使用人们熟知的线性算法高效地检测非线性关系成为一可能。SVM是建立在统计学习理论(包括核函数的表示理论)基础上的第一个学习算法,目前主要应用于求解监督学习问题,即分类和回归问题。SVM以泛化能力为目标,其目的不是
支持向量机原理及应用(DOC)
支持向量机简介 摘要：支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以求获得最好的推广能力 。我们通常希望分类的过程是一个机器学习的过程。这些数据点是n 维实空间中的点。我们希望能够把这些点通过一个n-1维的超平面分开。通常这个被称为线性分类器。有很多分类器都符合这个要求。但是我们还希望找到分类最佳的平面，即使得属于两个不同类的数据点间隔最大的那个面，该面亦称为最大间隔超平面。如果我们能够找到这个面，那么这个分类器就称为最大间隔分类器。 关键字：VC 理论 结构风险最小原则 学习能力 1、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik 在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解
支持向量机算法学习总结
题目：支持向量机的算法学习 姓名： 学号： 专业： 指导教师：、 日期：2012年6月20日
支持向量机的算法学习 1.理论背景 基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面，研究从观测数据（样本）出发寻找规律，利用这些规律对未来数据或无法观测的数据进行预测。迄今为止，关于机器学习还没有一种被共同接受的理论框架，关于其实现方法大致可以分为三种： 第一种是经典的（参数）统计估计方法。包括模式识别、神经网络等在内，现有机器学习方法共同的重要理论基础之一是统计学。参数方法正是基于传统统计学的，在这种方法中，参数的相关形式是已知的，训练样本用来估计参数的值。这种方法有很大的局限性，首先，它需要已知样本分布形式，这需要花费很大代价，还有，传统统计学研究的是样本数目趋于无穷大时的渐近理论，现有学习方法也多是基于此假设。但在实际问题中，样本数往往是有限的，因此一些理论上很优秀的学习方法实际中表现却可能不尽人意。 第二种方法是经验非线性方法，如人工神经网络（ANN）。这种方法利用已知样本建立非线性模型，克服了传统参数估计方法的困难。但是，这种方法缺乏一种统一的数学理论。 与传统统计学相比，统计学习理论（Statistical Learning Theory或SLT）是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论。该理论针对小样本统计问题建立了一套新的理论体系，在这种体系下的统计推理规则不仅考虑了对渐近性能的要求，而且追求在现有有限信息的条件下得到最优结果。V. Vapnik 等人从六、七十年代开始致力于此方面研究[1]，到九十年代中期，随着其理论的不断发展和成熟，也由于神经网络等学习方法在理论上缺乏实质性进展，统计学习理论开始受到越来越广泛的重视。 统计学习理论的一个核心概念就是 VC 维(VC Dimension)概念，它是描述函数集或学习机器的复杂性或者说是学习能力(Capacity of the machine)的一个重要指标，在此概念基础上发展出了一系列关于统计学习的一致性(Consistency)、收敛速度、推广性能(GeneralizationPerformance)等的重要结论。 支持向量机方法是建立在统计学习理论的 VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性(即对特定训练样本的学习精度，Accuracy)和学习能力(即无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折衷，以
支持向量机理论与应用研究综述_张博洋
第19期2015年10月No.19October，2015 无线互联科技 Wireless Internet Technology 支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是通过分析统计理论基础上形成的模式分类方法。上述方式在实际实施的时候，依据最小化风险的基本原则有效增加系统的泛化作用，也是一种为了得到最小误差实施的决策有限训练样中的独立测试集，能够适当分析和解决学习问题、选择模型问题、维数灾难问题等。研究SVM主要就是分析支持向量机自身性质，此外还分析提高应用支持向量机的广度和深度，在文本分类、模式分类、分析回归、基因分类、识别手写字符、处理图像等方面得到应用。1 支持向量机的原理分析1.1 结构风险最小化 依据能够应用的有限信息样本，不能合理计算分析期望风险，所以，传统方式应用主要是经验风险最小化（ERM）标准， 利用样本对风险进行定义： 基于统计学理论分析函数集以及实际经验风险的关系，也就是推广性的界。总结分析上述问题，能够得到实际风险 和经验风险之间概率1-符合以下条件关系： 其中l是训练集样本数，h为函数集VC维，体现高低复杂 性，从上述理论基础可以发现，通过两部分构成学习机实际风险：一是置信范围；二是经验风险也就是训练误差。机器学习的时候不仅需要经验风险，还要尽可能缩小VC维符合置信范围，保证能够获得实际比较小的风险，实际上就是结构风险最小化SRM （Structure Risk Minimization）原则[1]。1.2 支持向量机 支持向量机实际上从最优化线性分析分类超平面形成技术，分析情况的时候，最基本理念就是2类线性。支持向量机学习的主要目的就是能够发现最优超平面，不仅需要正确分开2类样本，还能够具备最大的分类间隔。分类间隔就是说距离超平面最近的2类分类样本，并且可以与2类分类平面间距平行。分析线性分类问题，假设T是训练集： {（x 1，y 2），...，（x l ，y l ）}∈（X×Y）l ，其中x i ∈x=R n ，yi ∈y={-1,1}，i=1,2，...，l。假设（ωx）+b=0是超平面，超平面和训练集之间的集合间距就是1/ω。可以通过以下方式找到最大间隔超平面问题中的原始优化问题： b w min )(ωτ=1/2ω2 ， S.t. y i （（ωx i ）+b）≥1，i=1，...，l 利用Wolfe对偶定理，能够等价原始最优化问题得到相 关对偶问题： α≥0，i=1，...，l， 此时能够得到最优解就是引入松弛变量以后能够得到等价对偶问 题： 其中，C （C＞0）是惩罚因子。1.3 核函数 很多不可分线性问题，在某个高位特征空间中合理筛选符合分类样本情况的非线性变换映射，确保能够得到高维空间目标样本线性可分。依据上述方式进行计算的时候，仅仅只是计算训练样本内积，需要依据原空间来实现函数，不需要分析变换形式，依据泛函基本理论，一种核函数K （x，x /）需要充分符合Mercer ，与某空间变化内积对应。 假设对应变化核函数是K （x，x /），K （x，x /）=（φ（x），φ（x /）），依据之前分析的原始对偶问题，得到相应的决策函数就是： f （x）=sgn *) ),(*(1 b i x x i K y i l i +∑=α，有3种常见的核函数，一是径向有机函数（RBF） ： 二是多项式核函数： 作者简介：张博洋（1990-），男，天津，硕士研究生；研究方向：数据挖掘。 支持向量机理论与应用研究综述 张博洋 （北京交通大学 计算机与信息技术学院，北京 100044） 摘 要：文章研究支持向量机技术，分析支持向量机的运行基本原理，研究支持向量机技术中的多类问题和选择核函数，并 且从人脸检测、文本分类、处理图像、识别手写字符等方面合理分析支持向量机，为进一步应用和发展支持向量机技术提供依据和保证。关键词：支持向量机；理论；应用；综述
支持向量机(SVM)原理及应用概述
支持向量机(SVM)原理及应用 一、SVM得产生与发展 自1995年Vapnik(瓦普尼克)在统计学习理论得基础上提出SVM作为模式识别得新方法之后,SVM一直倍受关注。同年,Vapnik与Cortes提出软间隔(soft margin)SVM,通过引进松弛变量度量数据得误分类(分类出现错误时大于0),同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数),SVM得寻优过程即就是大得分隔间距与小得误差补偿之间得平衡过程;1996年,Vapnik等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression,SVR)得方法用于解决拟合问题。SVR同SVM得出发点都就是寻找最优超平面(注:一维空间为点;二维空间为线;三维空间为面;高维空间为超平面。),但SVR得目得不就是找到两种数据得分割平面,而就是找到能准确预测数据分布得平面,两者最终都转换为最优化问题得求解;1998年,Weston等人根据SVM原理提出了用于解决多类分类得SVM方法(MultiClass Support Vector Machines,MultiSVM),通过将多类分类转化成二类分类,将SVM应用于多分类问题得判断:此外,在SVM算法得基本框架下,研究者针对不同得方面提出了很多相关得改进算法。例如,Suykens 提出得最小二乘支持向量机(Least Square Support Vector Machine,LS—SVM)算法,Joachims等人提出得SVM1ight,张学工提出得中心支持向量机 (Central Support Vector Machine,CSVM),Scholkoph与Smola基于二次规划提出得vSVM等。此后,台湾大学林智仁(Lin ChihJen)教授等对SVM得典型应用进行总结,并设计开发出较为完善得SVM工具包,也就就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM就是一个通用得SVM软件包,可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM方法就是20世纪90年代初Vapnik等人根据统计学习理论提出得一种新得机器学习方法,它以结构风险最小化原则为理论基础,通过适当地选择函数子集及该子集中得判别函数, 使学习机器得实际风险达到最小,保证了通过有限训练样本得到得小误差分类器,对独立测试集得测试误差仍然较小。 支持向量机得基本思想:首先,在线性可分情况下,在原空间寻找两类样本得最优分类超平面。在线性不可分得情况下,加入了松弛变量进行分析,通过使用非线性映射将低维输入空
支持向量机(SVM)原理及应用概述
东北大学 研究生考试试卷 考试科目：信号处理的统计分析方法 课程编号： 09601513 阅卷人: 刘晓志 考试日期： 2012年11月07日 姓名：赵亚楠 学号： 1001236 注意事项 1.考前研究生将上述项目填写清楚.
2.字迹要清楚,保持卷面清洁. 3.交卷时请将本试卷和题签一起上交. 4.课程考试后二周内授课教师完成评卷工作,公共课成绩单与试卷交 研究生院培养办公室,专业课成绩单与试卷交各学院,各学院把成 绩单交研究生院培养办公室. 东北大学研究生院培养办公室 支持向量机（SVM）原理及应用 目录 一、SVM的产生与发展 (3) 二、支持向量机相关理论 (4) （一）统计学习理论基础 (4) （二）SVM原理 (4) 1．最优分类面和广义最优分类面 (5) 2．SVM的非线性映射 (7)
3．核函数 (8) 三、支持向量机的应用研究现状 (9) （一）人脸检测、验证和识别 (10) （二）说话人／语音识别 (10) （三）文字／手写体识别 (11) （四）图像处理 (11) （五）其他应用研究 (12) 四、结论和讨论 (12) 支持向量机（SVM ）原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik 在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目 标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即
支持向量机
支持向量机 支持向量机(Support Vector Machine，SVM)是Corinna Cortes和Vapnik等于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。 在机器学习中，支持向量机(SVM，还支持矢量网络)是与相关的学习算法有关的监督学习模型，可以分析数据，识别模式，用于分类和回归分析。 简介 支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折中，以期获得最好的推广能力。 我们通常希望分类的过程是一个机器学习的过程。这些数据点是n维实空间中的点。我们希望能够把这些点通过一个n-1维的超平面分开。通常这个被称为线性分类器。有很多分类器都符合这个要求。但是我们还希望找到分类最佳的平面，即使得属于两个不同类的数据点间隔最大的那个面，该面亦称为最大间隔超平面。如果我们能够找到这个面，那么这个分类器就称为最大间隔分类器。 支持原因 支持向量机将向量映射到一个更高维的空间里，在这个空间里建立有一个最大间隔超平面。在分开数据的超平面的两边建有两个互相平行的超平面。建立方向合适的分隔超平面使两个与之平行的超平面间的距离最大化。其假定为，平行超平面间的距离或差距越大，分类器的总误差越小。一个极好的指南是C.J.CBurges的《模式识别支持向量机指南》。 支持向量概述 所谓支持向量是指那些在间隔区边缘的训练样本点。这里的“机（machine,机器）”实际上是一个算法。在机器学习领域，常把一些算法看做是一个机器。 支持向量机(Supportvectormachines，SVM)与神经网络类似，都是学习型的机制，但与神经网络不同的是SVM使用的是数学方法和优化技术。 相关技术支持 支持向量机是由Vapnik领导的AT&TBell实验室研究小组在1963年提出的一种新的非常有潜力的分类技术，SVM是一种基于统计学习理论的模式识别方法，主要应用于模式识别领域。由于当时这些研究尚不十分完善，在解决模式识别问题中往往趋于保守，且数学上比较艰涩，这些研究一直没有得到充分的重视。直到90年代，统计学习理论(StatisticalLearningTheory，SLT)的实现和由于神经网络等较新兴的机器学习方法的研究遇到一些重要的困难，比如如何确定网络结构的问题、过学习与欠学习问题、局部极小点问题等，使得SVM迅速发展和完善，在解决小样本、非线性及高维模式识别问题中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。从此迅速的发展起来，现在已经在许多领域(生物信息学，文本和手写识别等)
支持向量机(SVM)原理及
支持向量机(SVM)原理及应用概述
支持向量机（SVM ）原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方 法，它以结构风险最小化原则为理论基础，通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数，使学习机器的实际风险达到最小，保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器，对独立测试集的测试误差仍然较小。 支持向量机的基本思想：首先，在线性可分情况下，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。在线性不可分的情况下，加入了松弛变量进行分析，通过使用非线性映射将低维输
非线性支持向量机
非线性支持向量机 建立非线性支持向量机分为两步：首先将非线性数据转变到一个维数比原空间高的新的特征空间中，然后再新的特征空间中使用线性支持向量机。 我们通常将描述数据的量成为特征，而把选择随合适表达式将非线性数据转变到特征空间的任务成为特征选择。 在解决一个特征空间中的最优分类面问题时，我们只需要考虑这个空间中的内积运算。根据虽有分类面的性质，当非非线性支持向量机映射到特征空间时，在这个变幻空间中我们只需要进行内积运算即可。如果有一种方法可以在变换空间中直接计算内积，使其与原空间中的内积计算直接对应，那么久省去了通过特征选择将一个非线性支持向量机映射到特征空间的不会步骤。这样即使变换空间的维数增加许多，计算的复杂度也没增加多少。核函数方法就是这样一种方法。 核函数的定义： 定义：核是一个函数K，对所有x i,x j?X，满足：K x i,x j=，?为从X到特征空间F的映射。注意：核函数为对称函数。 因为K x i,x j=，所以在SVM算法中只需用到K，而无需考虑如何得到?。如果在算法中每处的x i?x j都由K x i,x j替代，算法就能在特征空间F中使用SVM，并且训练样本所花时间与训练原始样本所花时间相同。因此，在完成核变换后，所有操作和线性SVM一样，只不过操作进行的空间不一样。 在支持向量机中，最常用的核函数是： 多项式： K x i,x j=（x i T x j+1）q,q>0 径向基函数： K x i,x j=exp?(?x i?x j2σ2 ) 双曲正切： K x i,x j=tanh?(βx i T x j+γ) 下面，我们将用一个例子来说明该如何选择核函数。 假设训练数据都是R2中的向量，我们选择核函数K x i,x j=(x i?x j)2。这样我们很容易找到一个新的空间H，以及从R2→ 的特征映射?，比如说：(x i?x j)2=?x??(y)如果选择H=R3，则
20.ENVI4.3 支持向量机分类原理、操作及实例分析
ENVI4.3 支持向量机分类原理、操作及实例分析 一、支持向量机算法介绍 1.支持向量机算法的理论背景 支持向量机分类（Support Vector Machine或SVM）是一种建立在统计学习理论（Statistical Learning Theory或SLT）基础上的机器学习方法。 与传统统计学相比，统计学习理论（SLT）是一种专门研究小样本情况下及其学习规律的理论。该理论是建立在一套较坚实的理论基础之上的，为解决有限样本学习问题提供了一个统一的框架。它能将许多现有方法纳入其中，有望帮助解决许多原来难以解决的问题，如神经网络结构选择问题、局部极小点问题等；同时，在这一理论基础上发展了一种新的通用学习方法——支持向量机（SVM），已初步表现出很多优于已有方法的性能。一些学者认为，SLT和SVM正在成为继神经网络研究之后新的研究热点，并将推动机器学习理论和技术的重大发展。 支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC维（VC Dimension）理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力。 支持向量机的几个主要优点有： （1）它是专门针对有限样本情况的，其目标是得到现有信息下的最优解而不仅仅是样本数趋于无穷大时的最优值； （2）算法最终将转化成为一个二次型寻优问题，从理论上说，得到的将是全局最优点，解决了在神经网络方法中无法避免的局部极值问题； （3）算法将实际问题通过非线性变换转换到高维的特征空间(Feature Space)，在高维空间中构造线性判别函数来实现原空间中的非线性判别函数，特殊性质能保证机器有较 好的推广能力，同时它巧妙地解决了维数问题，其算法复杂度与样本维数无关； 2.支持向量机算法简介 通过学习算法，SVM可以自动寻找那些对分类有较大区分能力的支持向量，由此构造出分类器，可以将类与类之间的间隔最大化，因而有较好的推广性和较高的分类准确率。 最优分类面（超平面）和支持向量
支持向量机理论及工程应用实例
《支持向量机理论及工程应用实例》 支持向量机理论及工程应用实例 求助编辑百科名片 《支持向量机理论及工程应用实例》共分为8章，从机器学习的基本问题开始，循序渐进地介绍了相关的内容，包括线性分类器、核函数特征空间、推广性理论和优化理论，从而引出了支持向量机的算法，进而将支持向量机应用到实际的工程实例中。《支持向量机理论及工程应用实例》适合高等院校高年级本科生、研究生、教师和相关科研人员及相关领域的工作者使用。《支持向量机理论及工程应用实例》既可作为研究生教材，也可作为神经网络、机器学习、数据挖掘等课程的参考教材。 书名： 支持向量机理论及工程应用实例 作者： 白鹏 张斌 ISBN ： 9787560620510 定价： 16.00 元 出版社： 西安电子科技大学出版社 出版时间： 2008 开本： 16 LIBSVM 的简单介绍 2006-09-20 15:59:48 大 中 小 1. LIBSVM 软件包简介 LIBSVM 是台湾大学林智仁(Chih-Jen Lin)博士等开发设计的一个操作简单、易于使用、快速有效的通用SVM 软件包，可以解决分类问题（包括C- SVC 、n - SVC ）、回归问题（包括e - SVR 、n - SVR ）以及分布估计 （one-class-SVM ）等问题，提供了线性、多项式、径向基和S 形函数四种常
用的核函数供选择，可以有效地解决多类问题、交叉验证选择参数、对不平衡样本加权、多类问题的概率估计等。LIBSVM 是一个开源的软件包，需要者都可以免费的从作者的个人主页 处获得。他不仅提供了LIBSVM的C++语言的算法源代码，还提供了Python、Java、R、MATLAB、Perl、Ruby、LabVIEW以及C#.net 等各种语言的接口，可以方便的在Windows 或UNIX 平台下使用。另外还提供了WINDOWS 平台下的可视化操作工具SVM-toy，并且在进行模型参数选择时可以绘制出交叉验证精度的等高线图。 2. LIBSVM 使用方法简介 LibSVM是以源代码和可执行文件两种方式给出的。如果是Windows系列操作系统，可以直接使用软件包提供的程序，也可以进行修改编译；如果是Unix类系统，必须自己编译。 LIBSVM 在给出源代码的同时还提供了Windows操作系统下的可执行文件，包括：进行支持向量机训练的svmtrain.exe；根据已获得的支持向量机模型对数据集进行预测的svmpredict.exe；以及对训练数据与测试数据进行简单缩放操作的svmscale.exe。它们都可以直接在DOS 环境中使用。如果下载的包中只有C++的源代码，则也可以自己在VC等软件上编译生成可执行文件。 3. LIBSVM 使用的一般步骤是： 1）按照LIBSVM软件包所要求的格式准备数据集； 2）对数据进行简单的缩放操作； 3）考虑选用RBF 核函数； 4）采用交叉验证选择最佳参数C与g ； 5）采用最佳参数C与g 对整个训练集进行训练获取支持向量机模型； 6）利用获取的模型进行测试与预测。 4. LIBSVM使用的数据格式 1）训练数据和检验数据文件格式如下：