考点跟踪突破34 锐角三角函数和解直角三角形

锐角三角函数和解直角三角形

一、选择题(每小题6分，共24分)

1．(2014·滨州)在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sin A ＝35，cos A ＝45，tan A ＝3

4

，则BC 的长为( A )

A ．6

B ．7.5

C ．8

D ．

12.5

2．(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( D )

A .31010

B .12

C .13 D

.1010

解析：作AC ⊥OB 于点C.则AC ＝2，AO ＝22＋42＝20＝25，则sin ∠AOB ＝AC AO ＝225＝10

10

.故选D

3．(2014·凉山)在△ABC 中，若|cos A －1

2

|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )

A ．45°

B ．60°

C ．75°

D ．105°

4．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B )

A ．43米

B ．65米

C ．125米

D ．24米 二、填空题(每小题

6分，共24分)

5．(2014·温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是__1

2

__．

6．(2013·安顺)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝4

3

，BC ＝8，则△ABC

的面积为__24__．

7．(2014·舟山)如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示)

8．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)

85

F E

D

解析：如下图，BC ＝2.2×sin45°＝2.2×

22≈1.54米，CE ＝5×sin45°＝5×2

2

≈3.5米，BE ＝BC ＋CE ≈5.04，EF ＝2.2÷sin45°＝2.2÷2

2

≈3.14米，(56－5.04)÷3.14＋1＝50.96÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)．故这个

路段最多可以划出17个这样的停车位

三、解答题(共52分) 9．(10分)(2014·内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A 俯角为30°方向的F 点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B 点，此时测得点F 在点B 俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F 点的正上方点C 时(点A ，B ，C 在同一直线上)，竖直高度CF 约为多少米？(结果保留整数，参考数值：3≈1.7)

解：∵∠BCF ＝90°，∠FBC ＝45°，∴BC ＝CF ，∵∠CAF ＝30°，∴tan30°＝

CF AB ＋BC ＝CF

CF ＋AB

＝

CF 800＋CF ＝3

3

，解得CF ＝4003＋400≈400×(1.7＋1)＝1080(米)．答：竖直高度CF 约为1080米

10．(10分)(2014·宁波)如图，从A 地到B 地的公路需经过C 地，图中AC ＝10千米，∠CAB ＝25°，∠CBA ＝37°，因城市规划的需要，将在A ，B 两地之间修建一条笔直的公路．

(1)求改直的公路AB 的长；

(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)

解：(1)作CH ⊥AB 于点H.在Rt △ACH 中，CH ＝AC·sin ∠CAB ＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2千米，AH ＝AC·cos ∠CAB ＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1千米，在Rt △BCH 中，BH ＝CH÷tan ∠CBA ＝4.2÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6千米，∴AB ＝AH ＋BH ＝9.1＋5.6＝14.7千米．故改直的公路AB 的长14.7千米

(2)在Rt △BCH 中，BC ＝CH÷sin ∠CBA ＝4.2÷sin37°≈4.2÷0.6＝7千米，则AC ＋BC －AB ＝10＋7－14.7＝2.3千米．答：公路改直后比原来缩短了2.3千米

11．(10分)(2014·遵义)如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)

解：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于点F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝

EF CF ＝1

3

＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴EF ＝1

2

CE ＝10米，CF ＝103米，∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米，

在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米，∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米

12．(10分)(2013·绍兴)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC ，当伞收紧时，点D 与点M 重合，且点A ，E ，D 在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：(单位： cm )

(1)求AM 的长；

(2)当∠BAC ＝104°时，求AD 的长．(精确到1 cm )

备用数据：sin 52°≈0.7880，cos 52°≈0.6157，tan 52°≈1.2799.

解：(1)由题意，得AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )．故AM 的长为72 cm

(2)∵AP 平分∠BAC ，∠BAC ＝104°，∴∠EAD ＝1

2

∠BAC ＝52°.过点E 作EG ⊥AD 于点G ，∵AE ＝DE

＝36，∴AG ＝DG ，AD ＝2AG .在△AEG 中，∵∠AGE ＝90°，∴AG ＝AE·cos ∠EAG ＝36·cos52°＝36×0.6157＝22.1652，∴AD ＝2AG ＝2×22.1652≈44(cm )．故AD 的长约为44 cm

13．(12分)(2013·眉山)如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF 的坡比i ＝1∶ 3.

(1)求加固后坝底增加的宽度AF ；

(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果保留根号)

解：(1)分别过点E ，D 作EG ⊥AB ，DH ⊥AB 交AB 于点G ，H.∵四边形ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，∴DH 平行EG .故四边形EGHD 是矩形．∴ED ＝GH.在Rt △ADH 中，AH ＝DH÷tan ∠DAH ＝10÷tan45°＝

10(米)．在Rt △FGE 中，i ＝13＝EG

FG

，∴FG ＝3EG ＝103(米)．∴AF ＝FG ＋GH －AH ＝103＋3－10＝103

－7(米)

(2)加宽部分的体积V ＝S 梯形AFED ×坝长＝1

2

×(3＋103－7)×10×500＝250003－10000(立方米)．答：(1)

加固后坝底增加的宽度AF 为(103－7)米 (2)完成这项工程需要土石(250003－10000)立方米

2015年河北名师预测

1．如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4 km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( C )

A ．4 km

B ．2 3 km

C ．2 2 km

D ．(3＋1) km

解析：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D.在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝90°，∠AOD ＝30°，OA ＝4，∴AD ＝1

2

OA ＝2.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝∠CAB －∠AOB ＝75°－30°＝45°，∴BD ＝AD ＝2，∴

AB ＝2AD ＝2 2.即该船航行的距离(即AB 的长)为2 2 km

2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝32；②cos B ＝12；③tan A ＝3

3

；④

tan B ＝ 3.其中正确的是__②③④__．(填序号)