浅析间距计数故障与非计数故障

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义，因此，双网转换工作中的关键节点是具有时间有效的邻居节点。

3.触发式通讯链路的管理

链路管理主要是指在无线传感器网络中，对一些特殊的通讯链路进行有效的管理，并在需要的时候对其予以有效的利用，这对于网络中的通讯链路的利用率的提升具有非常重要的作用，在实际的应用中，要提升整个网络的综合利用率，需要根据实际的需求选择时间有效通讯链路或者能量有效通讯链路，在触发式通讯链路的管理工作中，会为每条需要实施管理

的通讯链路设计一个触发器，如果需要对相关的通讯网络实施调整，将该触发器触发，相关的触发器就会依据网络中数据传输的实际情况来选择最优的通讯链路，这对于通讯网络的时间有效率及能量有效率的提升都具有非常重要的作用。

四、结束语

无线传感器网络在实际的应用中具有非常广泛的应用范围，基于双网的通讯链路管理技术，对于无线传感器网络中的实时性及节能性能的提升都具有非常重要的作用，本文就针对

此进行了简单探讨。

参考文献

[1]杨卓静,孙宏志,任晨虹.无线传感器网络应用技术综述[J].中国科技信息,2010(13).

[2]赵强利,蒋艳凰,徐明.无线传感器网络路由协议的分析与比较[J].计算机科学,2012(2).

[3]杜晓明,陈岩.无线传感器网络研究现状与应用[J].北京工商大学学报(自然科学版),2010(1).

[4]彭宇,王丹.无线传感器网络定位技术综述[J].电子测量与仪器学报,2011(5).

浅析间距计数故障与非计数故障

国家安全生产重庆矿用设备检测检验中心 彭 莉

【摘要】计数故障与非计数故障是GB3836.4-2010《爆炸性环境 第4部分：由本质安全型“i”保护的设备》中的重要概念。本文对间距计数故障与非计数故障的理解进行了简单分析。

【关键词】计数故障；非计数故障；间距

计数故障与非计数故障这一概念由GB3836.4 -2010《爆炸性环境 第4部分：由本质安全型“i”保护的设备》提出，并作为划分本质安全设备和关联设备的本质安全部分保护等级“ia”、“ib”的依据。保护等级不同，直接影响是否适用于要安装的场所。场所分类是对可能出现爆炸性气体环境的场所进行分析和分类的一种方法，以便正确选择和安装危险场所中的电气设备，达到安全使用的目的[1,3]。

本文仅对影响电路本质安全性能的间距做分析。间距类型有电气间隙(d)、通过浇封化合物的间距(c)、通过固体绝缘的间距(s)、爬电距离(f)、涂层下爬电距离(cf)。

1.器件间距

对于“ia”和“ib”保护等级，如果间距小于GB3836.4-2010中表5规定的值，但大于或等于其1/3，且对本质安全性能会造成损害，则应认为是计数短路故障。对于“ia”和“ib”保护等级，如果间距小于GB3836.4-2010中表5规定值的1/3，且对本质安全性能会

造成损害，则应认为是非计数短路故障[2]。

图1 芯片MP2270的封装外形图

由图1可知，管脚宽度为0.007～0.011in (0.18～0.28mm)，管脚中心点之间的距离为0.0197in(0.5mm)。可得，管脚导体之间的最短距离T=0.0197-0.011=0.0087in(0.5-0.28=0.22mm)。

参照GB3836.4-2010中的表5，现以10V举例说明。对于“ia”和“ib”保护等级，10V 对应的电气间隙是1.5mm，其1/3就是0.5mm，可知芯片MP2270管脚的电气间隙0.22mm，小于0.5mm，可设非计数短路故障。可以通过刷漆等方式满足计数短路故障的要求。对于“ia”和“ib”保护等级，10V对应的涂层下的爬电距离是0.5mm，其1/3就是0.17mm，可知芯片MP2270管脚的电气间隙0.22mm，小于0.5mm，但大于0.17mm，可设计数短路故障。

这是器件自身管脚之间的间距故障，不同器件之间管脚间距故障的考虑方式也是如此。

2.印刷电路板间距

目前测试印刷电路板尺寸参数主要采用影像测量技术。假设线间距最小值为0.2mm。因为印刷电路板要求刷三防漆，可查GB3836.4-2010中表5第6列，对于“ia”和“ib”保护等级，10V对应的涂层下的爬电距离是0.5mm，其1/3就是0.17mm，0.2mm大于0.17mm，可设计数故障。对于“ia”和“ib”保护等级，30V 对应的涂层下的爬电距离是0.7mm，其1/3就是0.23mm，0.2mm小于0.23mm，可设非计数故障。须注意的是，印刷电路板线间距会受芯片管脚间距影响。

3.内部接线柱间距

图2是产品内部接线柱之间的间距示意图。从图中可看出，螺钉M之间存在绝缘隔板

I，电气间隙d是空间上两个螺钉之间的最短距离，爬电距离是两个螺钉之间沿绝缘材料表面的最短距离，可以理解为一只蚂蚁从其中一颗螺钉爬到另一颗螺钉的距离。

图2 产品内部接线柱之间的间距示意图

值得注意的是，在测量电气间隙d时，这里绝缘隔板I的厚度须大于等于0.9mm，或者能承受用直径为6mm的固体试棒施加的至少为30N、10s的力，否则隔板可忽略不计。当爬电距离是由较短距离相加组成时，例如，插入了导电部件，小于GB3836.4-2010中表5爬电距离规定值的1/3的距离不计算。

绝缘隔板I的厚度就是螺钉M之间通过固体绝缘的间距。如果这里绝缘材料I是浇封化合物，那么绝缘材料I的厚度就是螺钉M之间通过浇封化合物的间距。如果这里金属M之间连同隔板刷上三防漆，那么爬电距离f则为涂层下的爬电距离。

将测试结果参照GB3836.4-2010中表5，可设计数故障或非计数故障。

4.复合间距和组合爬电距离4.1 复合间距

当符合GB3836.4-2010中表5的间距是复合形式时，总间距应以相应间距为基础进行计算。下面按照电压等级进行整理归纳。

在电压U＜10V时：

等效电气间隙=d+(3×s)+(3×c)；

等效通过浇封化合物的间距=(0.33× d)+s+c；

等效通过固体绝缘的间距=(0.33× d)+s+c。

在电压10V≤U＜30V时：

等效电气间隙=d+(4×s)+(3×c)；

等效通过浇封化合物的间距=(0.33× d)+(1.33×s)+c；

等效通过固体绝缘的间距=(0.25×d)+s+ ((0.75×c)。

在电压U≥30V时：

等效电气间隙=d+(6×s)+(3×c)；

等效通过浇封化合物的间距=(0.33×d)+ (2×s)+c；

等效通过固体绝缘的间距=(0.17×d)+s+ (0.5×c)。

值得注意的是，任何小于GB3836.4-2010中表5相应规定值的1/3的电气间隙或间距，在计算时应忽略不计。

4.2 组合爬电距离

当爬电距离一部分涂覆三防漆时：等效爬电距离=f+(3×cf)；

等效涂层下的爬电距离=(0.33×f)+cf。5.结语

计数故障与非计数故障是GB3836.4-2010《爆炸性环境 第4部分：由本质安全型“i”保护的设备》中的重要概念。本文对间距计数故障与非计数故障的定义及理解进行了分析，并举例说明。计数故障与非计数故障的理解，在对本质安全电路的分析中发挥着重要作用。

参考文献

[1] GB12476.3-2007.可燃性粉尘环境用电气设备 第3部

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分:存在或可能存在可燃性粉尘的场所分类[S].

[2] GB3836.4-2010.爆炸性环境 第4部分:由本质安全型

“i”保护的设备[S].

[3] GB3836.14-2000.爆炸性气体环境用电气设备 第14部

分:危险场所分类[S].

基于Android的全国计算机等级考试报名系统的研究

江苏农牧科技职业学院 朱 帅

【摘要】伴随3G移动互联网技术的发展和智能手机的普及，使得广大考生方便获取相关考试信息，通过移动终端进行自主报名，本研究设计并开发了基于 Android的全国计算机等级考试报名系统，实现考生通过移动客户端提交报考信息、查询考试成绩等功能。【关键词】全国计算机等级考试；报名系统；Android

一、引言

随着通讯网络的发展以及3G的全球覆盖，使世界快速步入移动互联网时代，网络无处不在，移动智能终端更是迅速渗透，成为移动互联网发展的强大动力。据IDC统计，2013年智能手机销售首次突破了10亿台，同比增长38.4%。2013年中国市场智能手机销量约为3.2亿台，Gartner预测2014年增长速度出现放缓，总销量将达4.4亿台。现在高校师生的智能移动通讯设备拥有率已经远远超过PC拥有率。而智能手机操作系统中，Android系统的市场份额又远远大于其他的手机操作系统。Android是Google于2007年11月5日发布的基于Linux内核的移动平台，该平台由操作系统、中间件、用户界面、应用软件组成，是一个真正开放的移动平台，移动学习、移动办公逐渐由概念转为现实，信息数据随手可及。对于教育行业而言，也在潜移默化中感受到无线网络的无穷魅力。介于此，为了使广大考生更加方便快捷的报名考试，本文提出并实现了一种基于Android的全国计算机等级考试报名系统。

二、系统特点

目前全国计算机等级考试报名需要登记考生的姓名、性别、民族、出生年月、身份证号、报考级别语言、考试方式、报考校区、职业、文化程度、联系地址、联系电话等主要信息。考生报名需要考务管理人员手工录入信息，经常容易出错。考试院统一的报名信息系统不包含考生院系、班级等必要信息，使得考务管理人员在分发准考证、等级证书时无从下手。

为了减轻考务管理人员的工作负担，提高报名的正确率和效率，基于Android的报名系统具备以下特点：

1.与考试组织机构的报名数据无缝对接。报名系统的数据能很好地满足考试组织机构统一的数据要求，可以直接上报给考试组织机构。

2.考生通过移动终端随时随地地报名。以往传统的集中时间和地点的报名方式不能很好地满足高校多校区办学的要求，通过移动终端报名让异地报名成为现实，使考务人员从繁重的工作中解脱出来，大大提高了工作效率。

3.考生自主报名，降低出错率。以往报名时考生的信息需要考务管理人员手工录入报名系统，经常出现录入信息出错的情况，现在考生可以在自己的移动终端上自主报名，可以降低录入出错率。

4.收集考生的必要信息，便于考务管理。报名系统除了上报考试组织机构要求的数据外，对于在校学生还应该收集考生院系、班级等信息；对于社会考生还应该收集考生的多种联系方式，方便考务人员发放准考证、等级证书等工作。

三、系统设计思路

首先要设计注册功能，登录后进入报名界面报名。考生可以输入姓名、性别、民族、

身份证号、出生年月、报考级别语言、通信地址、联系电话、院系、班级等报名信息，还可以进行上传照片、修改密码、查询报名信息等操作。

考务管理员则是在报名前后对报名系统操作和维护的人员。报名工作开始前，考务管理员通过报名系统发布报名通知，初始化报名系统。报名结束后，统计汇总报名数据，实现与考试组织管理机构下发统一考试管理系统的对接操作等。

全国计算机等级考试的考生报名流程如图

图1 全国计算机等级考试报名流程

四、系统结构图

结合全国计算机等级考试报名工作的特点，本系统包括通知公告、考生报名、用户管理、数据管理等四个模块。

1.通知公告模块。主要实现与全国计算机等级考试相关的各类信息的网上发布、修改、删除等工作，使考生能够及时掌握全国计算机等级考试的方针政策，了解考试动态，关注考试动向。

2.考生报名模块。实现考生基于Android 的移动终端报名，考生可直接通过移动终端填报考试科目，填写个人信息等，不仅方便了考生，同时也使得考生信息的录入工作分散到各个考生，减轻了考务工作人员的工作。

3.用户管理模块。考生报名结束后要到考点进行缴费确认，对于没有确认的考生则从用户管理模块中进行删除，当然也可以在该模块中修改和添加考生的报名信息，并且可以批量操作。

4.数据管理模块。数据管理主要包括报名信息的导出和照片的导出以及成绩库的导入。目前全国计算机等级考试有成熟的报名系统，并且自身提供了数据导入与导出的功能。通过数据管理模块生成标准的可供原考务管理系统导入的数据库文件，然后利用其导入功能导入

系统，进而进行处理并生成上报数据。照片的导出与考生信息的导出方法类似，可以对照片进行更名、导出操作。

五、系统数据信息分析

整个等级考试报名系统实质上是对相关数据表的操作，数据结构设计的好坏直接影响到系统的效率以及效果，合理的数据结构设计可以提高数据库存储效率，保证数据的完整性、一致性和安全性。在手机客户端中，针对Android应用使用SQLite数据库。

根据需求分析设计数据库结构，在数据库里包含系统数据对象和用户数据对象两大部分，其中系统数据对象由系统自动产生，用户数据库对象由设计人员设计。本系统采用一库多表方式建立数据库，不仅方便管理而且易于实现，包括管理员信息表、报考级别语言表、学生基本信息表、院系班级表、民族表、性别表等多张表，满足考务管理和用户数据存储和访问的需要。

六、系统模型架构与系统实现（一）系统模型架构

基于Android的全国计算机等级考试报名系统参照MVC设计模式，采用由用户层、表示层、应用层和数据层组成的四层C/S结构体系，有利于提高系统的可拓展性、可维护性和可移植性，便于软件工程化管理。系统总体架

构如图2所示。

图2 基于Android的

全国计算机等级考试报名系统架构图

1.数据层。主要包括考生报名库、成绩库等，为应用层提供丰富的数据来源。

2.应用层。系统的业务逻辑层是全国计算机等级考试报名系统客户端，以数据层为基础，根据数据库类型，采用JDBC（java database connectivity，Java数据库连接）、ODBC（open database connectivity，开放数

初中数学竞赛专题复习 第四篇 组合 第25章 染色问题试题 新人教版

第25章 染色问题 25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点，它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何2个黑点之间 至少间隔2个点．证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点． 解析 我们将27个点依次编号，易知它们一共可以形成9个正三角形 (1，10，19)，(2，11，20)，…，(9，18，27)． 由染色规则知，其中至多有9个黑点． 如果黑点不多于8个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有9个，那么由 染色规则知，它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色． 25．1．2★★某班有50位学生，男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证：必能找到一位两旁都是女生的学生． 解析 将50个座位相间地涂成黑白两色，假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生．否则一定存在两相邻的涂有黑色标记的座位，其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理，25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人，与题设相矛盾．故命题得证． 25.1.3★在线段AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入n 个分点，在各个分 点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为1n +个不重叠的小线段，这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段．求证：标准线段的个数是奇数． 设最后一个标准线段为1k k A A +．若0k A A =，则仅有一个标准线段，命题显然成立；若n k A A =，由 A 、 B 不同色，则0A 必与k A 同色，不妨设0A 与k A 均为红色，那么在0A 和k A 之间若有一红 蓝的标准 线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则k A 不能为红色，所以在0A 和k A 之间，红蓝和 蓝红的标准线段就成对出现，即0A 和k A 之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准 线段1k k A A +，所以，A 和B 之间的标准线段的个数是奇数． 25．1．4★★能否用面积为14?的一些长方块将1010?的棋盘覆盖? 解析 如图中标上1～4这些数，显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖，则1、2、3、4应一样多，但1有25个，2则有26个，矛盾!因此不能覆盖．

小学数学《几何中的计数问题(二)》练习题(含答案)

小学数学《几何中的计数问题（二）》练习题（含答案） 一、数长方形 例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？ 分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为： 4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为： （4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）. 解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）. 小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为： （1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）. 例2 如右图数一数图中长方形的个数.

解：AB边上分成的线段有： 5+4+3+2+1=15. BC边上分成的线段有： 3+2+1=6. 所以共有长方形： （5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）. 二、数正方形 例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）分析图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有： 2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有： 1×1=1（个）. 所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）. 图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）； 边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）； 边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）. 所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）. 图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有： 4×4=16（个）；

高中理科数学-计数问题(排列组合)

理科数学复习专题统计与概率 排列组合 一．基本计数原理 １.加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理：做一件事分n步完成,完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注:要求做一件事有多少种方法,一般先分类,再分步。 例:用ＡBCD四个字母和1-９九个数字中各取一个给教室的座位编号,可以编出几种号码？ 练：从3名老师,8名男生,5名女生中选人参加活动。 （１）活动只需一人参加，有几种选法? （2)活动需一名老师,一名男生，一名女生参加，有几种选法? （3)活动需一名老师,一名学生参加，有几种选法？ 题型总结 ※重排问题（元素可以重复选取） 例：（1)将５本书分给3个不同的学生，有几种分法？ (2）将3个人分到５个不同的车间工作，有几种分法？ 练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军,每门学科一名冠军,可能出现几种结果? ※组数问题(特殊位置、特殊元素优先考虑） 例：(1）用1、2、３、4、5可以组成多少个四位偶数? （２）用1、2、３、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ （3)用0、１、2、3、４、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

C B A D ※选取问题（优先安排“全能者”） 例:艺术小组共有9人,每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的有7人，会小号的有3人。从中选一人参加钢琴比赛,一人参加小号比赛。总共有几种选取方案? 练:艺术小组共有9人,只会钢琴有５人，只会小号有２人，全能的有２人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。总共有几种选取方案？ ※涂色问题 例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相 邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法 练:如图，一环形花坛分成Ａ,B,Ｃ,D 四块,现有4种不同的花供选种，要求在每块里种１种花，且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数是___＿___ 二、排列： 例:从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生,１个上午,1个下午,几种选法? 总结:从n 个元素中选出m 个进行排列,总共有几种选法? 1． 排列的概念:从n 个不同元素中,任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素,②按一定的顺序排列; 2．排列数的定义:从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中,任取m 个

数字找规律方法

数字规律 第一种----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依 次递增或递减的一组数。１、等差数列的常规公式。设等差数列的 首项为a1，公差为d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n 为自然数)。 [例1]1，3，5，7，9，（） A.7 B.8 C.11 D.13 [解读] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。故选C。２、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列. [例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 B.33 C.37 D.36 [解读] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9,是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为 26+11=37.故选C。３、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。 [例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（）A、8/9 B、9/10 C、9/11 D、7/8 [解读] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，

5，6，故括号应为7/8。故选D。４、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。 [例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，，（），（）。 A、19 21 B、19 23 C、21 23 D、27 30 [解读] 相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。第二种--等比数列：是指相邻数列之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。5、等比数列的常规公式。设等比数列的首项为a1，公比为q(q不等于0)，则等比数列的通项公式为an=a1q n-1(n为自然数)。 [例5] 12，4，4/3，4/9，（） A、2/9 B、1/9 C、1/27 D、4/27 [解读] 很明显，这是一个典型的等比数列，公比为1/3。故选D。6、二级等比数列。是指等比数列的变式，相邻两项之比有着明显的规律性，往往构成等比数列。 [例6] 4，6，10，18，34，（） A、50 B、64 C、66 D、68 [解读] 此数列表面上看没有规律，但它们后一项与前一项的差分别为2，4，6，8，16，是一个公比为2的等比数列，故括号内的值应为34+16Ⅹ2=66 故选C。

小学思维数学讲义：容斥原理之重叠问题(二)-含答案解析

容斥原理之重叠问题（二） 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 教学目标 例题精讲 知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．

小学数学解题思路技巧：找规律填数字

小学数学解题思路技巧：找规律填数字 ［知识要点］ １．数列填数； ２．阵图填数。 ［范例解析］ 例1找规律填出后面三个数： ⑴ 3，4，6，9，13，18，______，______，______； ⑵ 56，61，47，44，______，______，______； ⑶ 3，9，27，______，______，______； ⑷ 7，14，21，28，______，______，______； ⑸ 0，1，1，2，3，5，8，______，______，______。 解⑴这一列数，从第二个数开始，逐渐增大，那它是按什么规律变化的呢？我们仔细观察，第二个数4比第一个数3大1；第三个数比第二个数大2；第四个数比第三个数大3；第五个数比第四个数大4；第六个数比第五个数大5。如图3-1所示。 即是按照加1、加2、加3、加4、……的规律加下去。因此，应填24，31，39。 ⑵这一列数正好⑴相反，它们是逐渐减少。其中，第二个数51比第一个数56少5；第三个数又比第二个数少4；第四个数比第三个数少3。如图3-2所示。 即是按照减5、减4、减3、……的规律减下去。因此，应填42，41，40。 ⑶这一列数中，第二个数是第一个数的3倍；第三个数又是第二个数的3倍，如图3-3所示。

图3-3 即是按照前一个数扩大3倍，得后一个数的规律算下去。因此，应填81，243，729。 ⑷ 我们观察发现，这一列数中的第二个数是第一个数的2倍，第三个数又是第一个数的3倍，第四个数是第一个数的4倍，如图3-4所示。 即是按照把第一个数扩大2倍、3倍、4倍……的规律酸下去因此，应填35，42，49。 ⑸ 这一列数的变化规律较复杂一点，要仔细地观察。我们改变一下观察研究的顺序，即从8起往左看，可看出：8是3＋5的和，5又是它的前两个数2＋3的和，3则是1＋2的和，2是1＋1的和，1是0＋1的和。如图3-5所示。 即是按照后一个数是前两个数的和的规律算下去。因此，应填13，21，34。 说明 在一列数中填数，关键是要找出这列数中各数之间的变化规律，按规律酸下去，才能正确填才其中的缺数。 例2 你能把空缺的数填出来吗？ 2 分析 我们发现，这已知的7个数字之间找不出它们的变化规律。因此，我们应该变换观察的角度，即分单双位上的数考虑，这就将一列数分才人下的两列数： 前一列数是按照后一个数是前一个数加1的规律算下去，因此，空缺数应填5。 2

计数问题与排列组合问题

计数问题与排列组合问题 一、北京考题特征分析: (05)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚 三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ） A ．4841212 14C C C B ．4841212 14A A C C ．33484121214A C C C D ．33 484121214A C C C 分步计数原理，易错选D. 这种错点训练应当从怎样算完成一件事情分析起，对于错的应当举例说明为什么错. (06年未考) (07理)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不 排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 以相邻与位置受限相结合(两个条件)基础，有原型略高于简单原型 启发：对基本型适度组 合命题 (07文)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的 牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2142610C 个 Ｄ．242610A 个 考察分步计算原理与可重复，不可重复问题结合，考察全面，学生审题能力. (08年未考) 但在概率解答题中涉及到. (09理)7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 (2010年)（4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C (2011年) (12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 __________个。（用数字作答） 北京的考题的确重在凸现两个基本原理，在每一类或是每一步计数考虑正确用排列数或 是组合数来表示。教学时始终抓住完成一件事情需要分为几类或是几步来完成. 教学时注意控制层次，首先学生要能列出符合条件的，不重不漏的列出；能够正确的用 排列数、组合数来表示一个计数问题.

小学奥数-几何计数-专题

几何计数 知识框架图几何计 数8计数综合7-7 教学目标 .掌握计数常用方法；1熟记一些计数公式及其推导方法；2. .根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．3本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并 渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 知识要点 一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些条直线最多将平面分成处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n12个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2)(nn?n??????223……2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形 也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层， 共用了多少根小棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4

竞赛中的组合计数问题和概率

组合计数问题和概率 组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题，也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。概率作为新增内容，拓展了排列组合的研究和应用的领域。实则是以排列组合为基础的内容，所以概率的考查通常与计数问题联系在一起，既要用到排列组合的知识来解答，也要用到排列、组合的解题思路。解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等，其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。 例1． （2004年全国高中联赛题）设三位数为abc n =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有 A ．45个 B ．81个 C ．165个 D ．216个 解：选C 。理由：a , b , c 要构成三角形边长，显然不为零，即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。 （1）若构成等边三角形，则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值，所以这样的三位数的个数为 91 91==C n 。 （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形个数为n 2，且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。当111c b a =<时，即腰大于底边时，等腰（非等边）三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定，有29C 个；当111c b a =>时，即腰小于底边时，这时数组(a 1, b 1)有29C 个，但必须1112b a b <<才能构成三角形。而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是 共20种情况，故这时等腰（非等边）三角形只有2039-C 个。 同时，每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ，故156)20(2929232=-+=C C C n 。 综上，16521=+=n n n ，故选C 。 评注：本题综合运用了枚举法和基本计数原理。列表枚举和树图枚举看似复杂，但在很多题中能起到意想不到的作用，有时不防一试。 例2．设p ，q 为给定的正整数，q p n 32?=，求2n 的正约数中小于n 且不是n 的约数的正整数的个数（当31=p ，19=q 时，本题为美国第13届邀请赛题）。 解：因为2n 的正约数都具有形式：p d 21(32≤≤?=αβα，)20q ≤≤β，要求从中找出使得p ≤≤α0， q ≤≤β0不同时成立，并且小于 n 的所有d 的个数。 令p p X 2|32{≤

小学数学 几何计数(一).教师版

7-8-1几何计数（一） 教学目标 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 知识要点 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个． 例题精讲 模块一、简单的几何计数 【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．

初中数学数字找规律题技巧汇总.

1 t 初中数学数字找规律题技巧汇总 通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺 序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以， 把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n－1)b，其中a1为数列的第一位数，b为增幅，(n－1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a1+(n－1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n－1) 6＝6n－2 （二)、比值相等(等比数列)： 例：2、4、8、16、…。第n项为：a n=2n （三）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，即二级等差数列）。如增幅分别为 3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n－1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，……，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是： 3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简 单的多了。 （四）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列， 如：2、3、5、9、17、…. 分析:数列2、3、5、9,17…。的增幅为1、2、4、8…. 即增幅为等比数列，比为：2。 那么，增幅数列(等比数列)1、2、4、8….的和为多少求出来加上第一位数就是第n位数,即增幅数列(等比数列) 1、2、4、8…. 的和为:设:s=1+2+4+8+…+2n-2, 2s=2+4+8+16…+2n-1 2s-s=2n-1-1, 所以: 第n位数为:a1+s=2+2n-1-1=2n-1+1 （五）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分 析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

计数问题竞赛讲义题一

计数问题竞赛讲义一 一．分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事情，有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法……在第n 类方案中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法. 说明：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2.分步乘法计数原理 完成一件事情，需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ??????=21种不同的方法. 说明：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 4.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点： ①首先要确定“完成一件什么事”，然后确定怎样去完成？（即需要“分类”还是“分步”） ②分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次要保证分类时做到“不重不漏”。分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次要保证“步骤完整”，即必须并且只需连续完成这n 个步骤，这件事才算完成. 【例题选讲】 例1 .在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 使其和大于20的不同取法又共有多少种? 例2.75600有多少个正约数?有多少个奇约数? 例3.（排数问题）用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1） 可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2） 可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （3） 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4） 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ （5） 可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？ 例4.（1）集合A },,,,{321n a a a a =的子集有多少个？为什么？ （2）设B A ,，） （k i A i ≤≤1为集合， ①满足}{b a B A ，= 的集合有序对（A ，B ）有 对？为什么？ ②满足}{321n a a a a B A ，，，=的集合有序对（A ，B ）有 对？为什么？ ③满足}{32121n k a a a a A A A ，，，=的集合有序组},,,(21k A A A 有 组？为什么？ 例5.（染色问题）将4种不同的颜色涂在下列图中的区域上，每一个区域涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则不同的涂法种数各有多少？ 分析：对每一块区域逐一涂色:第一块：有4种颜色选择；第二块有3种；第三块有2种；第四块有2种，只有四块区域全涂完这件事情才算完成了，所以涂色种数为：482234=??? 你还有别的解答方法吗？（能否从颜色的角度入手考虑？） ①用4色：共有241234=???（种）； ②用3色：共有24234=??（种）； 所以一共有482424=+（种） 变式： （1）如图一，要给①,②,③,④四块区域分别涂上5种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为

数字找规律的方法

数字找规律的方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-

数字规律 第一种----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。 １、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为a1，公差为d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。 [例1]1，3，5，7，9，（） .8 C [解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。故选C。 ２、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列. [例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 .33 C [解析] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9, 是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。 ３、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。

[例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（） A、8/9 B、 9/10 C、9/11 D、7/8 [解析] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。故选D。 ４、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。 [例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，，（），（）。 A、19 21 B、19 23 C、21 23 D、27 30 [解析] 相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差 数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。 第二种--等比数列：是指相邻数列之间的比值相等，整个数字序列 依次递增或递减的一组数。 5、等比数列的常规公式。设等比数列的首项为a1，公比为q(q不等于0)，则等比数列的通项公式为an=a1q n-1(n为自然数)。 [例5] 12，4，4/3，4/9，（） A、2/9 B、1/9 C、1/27 D、4/27

计数问题竞赛讲义题二

计数问题竞赛讲义二 解排列、组合题的基本策略与方法 （1）合理分类与准确分步（2）有序排列，无序组合（3）排列、组合混合问题先选后排 （4）特殊元素、特殊位置优先（5）正难则反，等价转化（6）相邻问题捆绑处理 （7）不相邻问题插空处理策略（8）定序问题除法处理（9）分排问题直排处理（10）构造模型的策略一．有条件限制的排列组合问题 例1.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) 例 2. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答） A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 例3.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 ________________种（用数字作答）． 例4.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为（） A．360 B．520 C．600 D．720 例5.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（） A. 36 B. 32 C.28 D.24 例6.把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( ) .A168.B96.C72.D144 例7.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种？（用数字作答）。 解：使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。所以，符 合题设条件的填法共有722?72?16×72=3960种。 例8.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）. 二．鞋子配对问题 例1．现有5双型号不同的鞋，从中任取4只，按下列条件各有多少种不同的取法？ （1）互不配对（2）恰有1双配对（3）恰有2双配对 例2．某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12人中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有多少？ 三．分组分配问题 本类问题主要集中了三类问题：分组问题，不定向分配问题，定向分配问题 例1.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有多少种(用数字作答)？ 例2.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 例3.星期天，有3家人约好外出自驾游，每家都有三口人（两个大人一个孩子），现在他们准备开A,B,C 三辆车，并且规定：（1）每辆车限坐4人；（2）每辆必须有一个大人开车；（3）三个孩子不能乘坐同一辆车。问满足上述三个条件的乘车方法有多少种？（9180）

(完整版)小学奥数几何计数专题

知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数

二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 例题精讲

517 数字找规律(学生版)

学科培优数学 数字找规律 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 在今天这节课中，我们将来研究数列问题．正确认识数列，并且掌握研究数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力. 知识梳理 一、日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： 自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1) 年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2） 某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列） 45，45，44，46，45 （3） 像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。 根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。 研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。 注： 从日常生活中找出例子来举例说明，数列在生活中处处相关，例如日期，时间，年龄等等

二、重点难点解析 1、掌握一些常见的数列的规律. 2、掌握一些特殊数列的规律，并熟练应用规律解决问题. 3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题. 三、竞赛考点挖掘 1.数列规律的发现 2.综合数列的区分和解答 例题精讲 【试题来源】 【题目】 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（），17，20 ②19，17，15，13，（），9，7 ③1，3，9，27，（），243 ④64，32，16，8，（），2 【试题来源】 【题目】 （1） 1，1，2，3，5，8，（），21，34… （2） 1，3，4，7，11，18，（），47… （3） 1，3，6，10，（），21，28，36，（）. （4） 1，2，6，24，120，（），5040。

高中数学竞赛之组合计数

组合计数（一） 一、基础知识 （一）、两条基本原理 1、（加法原理）如果完成某件事有n 类互相排斥的办法，在第1类办法中有1m 种方法，在第2类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种方法，那么完成这件事共有 n m m m N +++= 21种不同的方法. 2、（乘法原理）如果完成某件事需要分n 个互相独立的步骤，做第1步有1m 种方法，做第2步有2m 种方法，……，做第n 步有n m 种方法，只有依次完成每个步骤，才能完成这件事，那么 完成这件事共有n m m m N ???= 21种不同的方法. （二）、排列及排列数公式 1、定义1：（排列）从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素（各不相同），按照一定的顺序排列成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． 2、定义2：（排列数）从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记做m n A ． 3、排列数公式：! )(! )1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= ，N n m ∈,,且n m ≤． 4、全排列公式：!12)2)(1(n n n n A n n =?--= ． (三)、组合及组合数公式 1、定义3：（组合）从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素（各不相同）并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2、定义4：(组合数) 从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记做m n C ． 3、组合数公式：!)(!!!) 1()2)(1(m n m n m m n n n n A A C m m m n m n -=+---== ． 4、组合数的两个性质： （1）m n n m n C C -=； （2）1 1-++=m n m n m n C C C ． (四)、几种特殊排列与组合 1、圆排列：将从n 个不同的元素首尾排成一圈，称为n 个相异元素的圆排列，这种排列的个数为!)1(-n ． 2、可重复的排列：从n 个不同的元素中取m 个元素（同一元素允许重复取出），按照一定的顺序排列成一列，叫做从n 个不同元素中取m 个元素的可重复排列．这种排列的个数为m n ． 3、可重复的组合：从n 个不同的元素中取m 个元素（同一元素允许重复取出）并成一组，叫做从n 个不同元素中取m 个元素的可重复组合．这种组合的个数为m m n C 1-+． 4、不全相异元素的全排列：如果n 个元素中，分别有k n n n ,,,21 个元素相同，且 n n n n k =+++ 21，则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列．这种排列的个数为 ! !!! 21k n n n n ??? ． 5、多重组合：把n 个相异元素分为)(n k k ≤个不同的组，其中第i 组有i n 个元素（,,,2,1k i =n n n n k =+++ 21），则不同的分组方法的种数为 ! !!! 21k n n n n ??? ． （五）两个重要结论 （1）、不定方程)(21m n n x x x m ≥=+++ 的正整数解的组数为1 1--m n C ； （2）、不定方程n x x x m =+++ 21的非负整数解的组数为n m n m m n C C 11 1-+--+=. 二、典型问题选讲 问题1、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，求不同调整方法的总数． 问题2、7个人并排站成一排， （1） 如果甲必须站在正中间，有多少种排法？ （2） 如果甲乙两人必须站在两端，有多少种排法？ （3） 如果甲乙两人必须相邻，有多少种排法？ （4） 如果甲乙两人必须不相邻，有多少种排法？ （5） 如果甲乙两人中间必须恰有2人，有多少种排法？