平面向量题型归纳

平面向量题型归纳

一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a

。注意向量和数量的区别。向量

常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB

或||a 。

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =

。(与AB 共线的单

位向量是||

AB AB ±

)； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0

)；

④三点A B C 、、共线? AB AC

、

共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）

A.AB CD =

B.AB AD BD -=

C.AD AB AC +=

D.AD BC +=0 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的

相反向量是－、AB BA =- 。例：下列命题：（1）若a b =

，则a b = 。（2）若,a bb

c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。（3）若AB DC =

，则A B C D 是平行四边形。（4）若

A B C D 是平行四边形，则AB DC =

。其中正确的是_______

题型1、基本概念 1：给出下列命题：

①若|a |＝|b |，则a =b

；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；

④若a =b ，b =c ，则a =c ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ；⑥00a ?= ；⑦00a ?=

；

其中正确的序号是。 2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =

。 （5）若AB CD =

，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c

共线。

（8）若ma mb = ，则a b = 。 （9）若ma na =

，则m n =。

（10）若a 与b 不共线，则a 与b

都不是零向量。

（11）若||||a b a b ?=? ，则//a b 。 （12）若||||a b a b +=-

，则a b ⊥ 。

二、向量加减运算 8.三角形法则：

AB BC AC += ；AB BC CD DE AE +++= ；AB AC CB -=

（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,a b

为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b + ，a b - 。

题型2.向量的加减运算

1、化简()()AB MB BO BC OM ++++=

。

2、已知||5OA = ,||3OB = ,则||AB

的最大值和最小值分别为、。

3、在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-

，则必有 ( )

A. 0AD =

B. 00AB AD ==

或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形

题型3.向量的数乘运算

1、计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=

题型4.作图法求向量的和

1、已知向量,a b

，如下图，请做出向量132a b + 和322

a b - 。

a

b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1、已知在ABC ?中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD

。

2、在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==

，求AB AD 和。

题型6.向量的坐标运算

1、已知(1,4),(3,8)a b =-=-

，则132

a b -= 。

练习：若物体受三个力1(1

,2)F = ,2(2,3)F =- ,3(1,4)F =--

,则合力的坐标为。 2、已知(3,5)PQ =--

，(3,7)P ，则点Q 的坐标是。

3、.已知(3,4)a =-

，(5,2)b = ，求a b + ，a b - ，32a b - 。

2、已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--

与AB 相等，求,x y 的值。

5、已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=

，求OC 的坐标。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1、已知12,e e

是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.1212e e e e +- 和

B.1221326e e e e -- 和4

C.122133e e e e +- 和

D.221e e e - 和

练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A)

)2,1(),0,0(2

1

-== (B)

)7,5(),2,1(2

1

=-=

(C)

)10,6(),5,3(2

1

==e e

(D)

)4

3,21(

),3,2(2

1

-=-=e e

2、.已知(3,4)a = ，能与a

构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4(1,)3

--

3、知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于

4、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.

5、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA

+βOB

，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为 （ ）

A ．3x +2y -11=0

B ．(x -1)2+(y -2)2=5

C ．2x -y =0

D ．x +2y -5=0 四．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，

当θ＝

2

π

时，，垂直。 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=

当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的

方向相反，当λ＝0时，0a λ=

，注意：λa ≠0。

例1、已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC

可用

向量,a b

表示为_____

例2、已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→?=DB CD 2，?→

??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，

它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ

叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θ

。规定：零向

量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3．向量的运算律：

1．交换律：a b b a +=+ ，()

()a a λμλμ= ，a b b a ?=?

；

2．结合律：()(

),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+ ，()()()

a b a b a b λλλ?=?=?

；

3．分配律：()()

,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+

，()

a b c a c b c +?=?+? 。

题型8：有关向量数量积的判断 1：判断下列各命题正确与否：

（1）)()(++=++；（2）若a b a c ?=?

，则b c ≠ 当且仅当0a = 时成立；

（3）?+?=?+)(；（4）()()a b c a b c ??=?? 对任意,,a b c

向量都成立；

（5）若0,a a b a c ≠?=?

，则b c = ；（6）对任意向量a ，有22a a = 。

(7)m （+）=m +m 其中正确的序号是。

2、下列命题中：① →

→→

→→

→

→

?-?=-?c a b a c b a )(；② →

→

→→

→→

??=??c b a c b a )()(；③

2

()a b →

→

-2

||a →

=2

2||||||a b b →→→

-?+；④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→

b ；⑤若,a b

c b ?=? 则

a c = ；⑥22a a = ；⑦2a

b b

a

a

?=

；⑧222()a b a b ?=? ；⑨222()2a b a a b b -=-?+ 。其中正

确的是______

题型9、求单位向量 【与a 平行的单位向量：||

a

e a =±

】

1.与(12,5)a = 平行的单位向量是。

2.与1

(1,)2

m =-

平行的单位向量是

题型10、数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=? ； cos ||||a b

a b θ?=?

向量的模：若(,)a x y =

，则||a = 22

||a a =

，

||a b += 1、△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________

2、已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-

，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____

3、已知||3,||4a b == ，且a 与b 的夹角为60

，求（1）a b ? ，（2）()a a b ?+ ，

（3）1()2

a b b -? ，（4）(2)(3)a b a b -?+ 。

4、已知,a b

是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____

5

、已知),(a b ==-

，求a 与b 的夹角。

6、已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。

7、已知非零向量,

（2-⊥=，则与的夹角为

8：已知ABC ?中50ABC ∠=

,BC BA =,则BA 与AC

的夹角为

9：已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c =a +b ，且a ⊥c

，则a b

的值为

10：★已知|a |＝1|b |＝2，|a ＋b |＝2，则b 与2a -b

的夹角余弦值为．

11：已知向量｜a ｜=2，｜b ｜=2，a 和b 的夹角为

135，当向量a +λb 与λa +b 的

夹角为锐角时，求λ的取值范围。

题型11、求向量的模的问题如向量的模：若(,)a x y =

，则||a = ，22

||a a =

，

||a b += 1

、已知零向量==+==，则），（2510.,12

2、已知向量,====221

3、已知向量

)3,1(=，=+-=)0,2(

4、已知向量b a ==),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为

5、设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，

（）

=-=+=162

(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1

6、 设向量，1==及34=-，求3+的值

练习：已知向量,，3.,52-===b a +

7、 设向量，则-⊥==2),2(,21

8、已知向量、满足1a =，4||=，则|－|的最大值是最小值是。

题型12、结合三角函数求向量坐标

1. 已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA = ，150xOA ∠=

，求OA 的坐标。

2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA = ，60xOA ∠=

，求OA 的坐标。

五、平行与垂直知识点：1221//a b a b x y x y λ?=?=

； 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=

题型13：向量共线问题

1、已知平面向量）

，（x 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x

2、设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ

3、已知向量）

，（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

_____

)10,(),54(),12,(4=-===k C B A k k 则三点共线，，，，且，、已知向量 练习：设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===

，则k ＝_____时，A,B,C 共线

5、已知,不共线，k -=+=,，如果∥，那么k= ,与的方向关系是

练习：已知(1,1),(4,)a b x ==

，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v ，则x ＝______ 6、已知向量且），（），，（,221m b a -==a ∥b ，则=+b a 32 题型14、 向量的垂直问题

1、已知向量x ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为

2、已知向量=--==b b a n b n a 与），若，（），，（211

练习：已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数k 的值 3、已知单位向量m m n n m ⊥-），求证：（的夹角为和23

π

4、=⊥-===k k 若（），（),2,()3,1(,13

练习：，若向量），（+-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥c b a c ），则（ 5、以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________

题型15、b 在a 上的投影为||cos b θ

，它是一个实数，但不一定大于0。

1、已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=?→

→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______

2、已知8a = ，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3

π

时，a 在e 方向上的投影为。

，45==，与的夹角3

2π

θ=，则向量在向量上的投影为

题型16、三点共线问题

1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线。

2.设5),28,3()2

AB a b BC a b CD a b =+=-+=- ，求证：A B D 、、三点共线。

练习：已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-

，则一定共线的三点是。

3.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值。

4.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使

OA t OB OC += 成立？

5：21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=，若 D B A ,,三点共线，则k =

6：★设O 是直线l 外一定点，A 、B 、C 在直线l 上，且OC x OA OB +=3,则x =

7：设a ，b 是两个不共线向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t=时，a ，t b ，

13

(a ＋b

)三向量的终点在一条直线上。 8：如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同

的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为__________________．

9:在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →

|＝1∶4，设

线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →

.

练习：如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →

＝

b .(1)用a 、b 表示OM →

；

(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →

＝qOB →

，求证：17p ＋37q

＝1.

六、线段的定比分点：

1．定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数

λ ，使12PP PP λ=

，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP 的以定比为λ的定比分点；

2．λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；

例1、若点P 分AB 所成的比为3

4

，则A 分BP 所成的比为_______

3．线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP

所成的

比为λ，则121

211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

，特别地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式121222x x x y y y +?

=???+?=??。 题型17、定比分点

2、若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3

--→

--→

=-，则点P 的坐标为_______

3、已知(,0),(3,2)A a B a +，直线1

2

y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB = ，则a 等于

七、平移公式：如果点(,)P x y 按向量(),a h k =

平移至(,)P x y ''，则x x h

y y k

'=+??

'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(),a h k =

平移得曲线(,)0f x h y k --=.注意：

（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，

题型18、平移

1、按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a

把点(7,2)-平移到点______

2、函数x y 2sin =的图象按向量→

a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→

a ＝________

八、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ，特别地，当 a b 、同向或有0 ?||||||a b a b +=+

≥||||||||a b a b -=- ；当 a b 、反向或有0 ?||||||a b a b -=+ ≥||||||a b a b -=+ ；当 a b 、

不共线?||||||||||a b a b a b -<±<+

(这些和实数比较类似).

（3）在ABC ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123

,33x x x y y y G ++++?? ???

。如

1、若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为

_______

②1()3

PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?

为ABC ?的重心； ③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??

为ABC ?的垂心；

④向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠

所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?

ABC ?的内心；

（3）若P 分有向线段12PP 所成的比为

λ，点M 为平面内的任一点，则121MP MP

MP λλ

+=+ ，特别地P 为12

P P 的中点122

MP MP

MP +?= ； （4）向量 PA PB PC

、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC

αβ=+ 且1αβ+=.如

2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=

?→

?OC ?→

??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______

题型19、判断多边形的形状

1.若3AB e = ，5CD e =- ，且||||AD BC =

,则四边形的形状是。

2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形。

3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ?是直角三角形。

4、在△ABC 中，若0=?-?→

→

→

→

CB AB BA BA ，则△ABC 的形状为 （ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形

5、在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=

,求证：ABC ?是等腰直角

三角形。

6、平面四边形ABCD 中，=，=，=，=，且

?=?=?=?，判断四边形ABCD 的形状．

题型20：三角形四心

1、已知ABC ?的三个顶点A 、B 、C 及ABC ?所在平面内的一点P ，若0

PA PB PC ++=

则点P 是?ABC 的 （ ） A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心

2. 已知点O 是三角形所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ?=?=?

,则O 是三角形ABC 的

（ ）

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心

3、已知点O 是三角形所在平面上一点，若222

OA OB OC == ，则O 是三角形ABC 的（ ）

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 练习、已知O ，N ，P 在所在平面内，且，

且，则点O ，N ，P 依次是的（ ） （A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心

4、★在平面内有?ABC 和点O ，若()()0AB OA OB AC OC OA ?+=?+=

，则点O 是?ABC 的

A ．重心

B ．垂心

C ．内心

D ．外心

ABC ?,0OA OB OC NA NB NC ==++=PA PB PB PC PC PA ?=?=?ABC ?

5、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足

()OP OA AB AC λ=++

,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的（ ）

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心

6、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足OP OA λ=+

+ ||||AB AC AB AC ??

???

,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心

7、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足OP OA λ=+

+ ||cos ||cos AB AC AB B AC C ?? ???

,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 8、已知O 平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足

2

O B O C OP λ

+=+ + ||c o s ||c o s A B A C A B B A C C

?? ??? ,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的

（ ）

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 题型21.平面向量与三角函数结合题

1、已知向量(2sin ,cos )42x x m =

，(cos 4

x

n = ，设函数()f x m n =?

⑴求函数()f x 的解析式 （2）求()f x 的最小正周期；

（3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值．

练习：已知向),cos ,sin 3(x m x +=),cos ,(cos x m x +-=且x f ?=)( （1）求函数)(x f 的解析式；

（2）当???

??

?-∈3,6ππx 时，)(x f 的最小值是4-，求此时函数)(x f 的最大值，并求出相应的x 的值

练习2、.已知向量)cos ,(sin A A = , )2,1(-=，且0=? ⑴求A tan 的值

（2）求函数)(sin tan 2cos )(R x x A x x f ∈+=的值域

2、 已知

32

2

π

π

α<<

，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα。

(I)若||||AC BC =

，求角α的值；

(II)当1AC BC ?=- 时，求22sin sin(2)1tan ααα

++的值。

.cos ,2

0,1010)sin()2(;cos sin 12

0)cos ,1(),2,(sin 3的值求若的值和）求（）

，（相互垂直，其中、已知平面向量φπ

φφθθθπ

θθθ<<=

-∈=-=

.

)(sin tan 2cos )()2(;tan )1(0

.),2,1(),cos ,(sin 4的值域求函数的值求且、已知向量R x x A x x f A A A ∈+==-==

5、已知向量，，设函数

的图象关于直线对称，其中，为常数，且.

（Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.

(cos sin ,sin )x x x ωωω=-

a (cos sin ,)x x x ωωω=--

b ()f x λ=?+a b ()x ∈R πx =ωλ1

(,1)2

ω∈()f x ()y f x =π

(,0)4

()f x 3π[0,]5

6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B,C 三点满足OC =1OA 3 +2OB 3

.

(1)求证:A,B,C 三点共线;

(2)求|AC ||CB|

的值; (3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x ∈0,2π??????,f (x )=OA ·OC -22m 3??+ ?

?

?|AB |的最小值为-32,求实数m 的值.

平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

高三高考平面向量题型总结

平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）

平面向量题型归纳总结

平面向量题型归纳 一。向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 １。向量得概念:既有大小又有方向得量,记作:或。注意向量与数量得区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？（向量可以平移)。 例:已知A(1，2)，B(４,2）,则把向量按向量＝（-1，3）平移后得到得向量就是 ２、向量得模：向量得大小（或长度），记作：或. 3。零向量：长度为0得向量叫零向量，记作：,注意零向量得方向就是任意得; ４．单位向量:单位向量:长度为1得向量。若就是单位向量，则。(与共线得单位向量就是); 5。相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6。平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量,记作：∥,规定零向量与任何向量平行。 提醒：①相等向量一定就是共线向量，但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性！（因为有）； ④三点共线共线； 如图，在平行四边形中，下列结论中正确得就是( ) A、B、 C、Ｄ、 7．相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量.得相反向量就是－、。例：下列命题：(1)若，则。(2）若，则。（6）若，则。（3）若,则就是平行四边形。(4）若就是平行四边形，则。其中正确得就是_＿_____ 题型1、基本概念 １：给出下列命题: ①若｜|=｜｜,则＝;②向量可以比较大小；③方向不相同得两个向量一定不平行; ④若＝，=，则=；⑤若/／，//，则/／；⑥;⑦； 其中正确得序号就是。 ２、基本概念判断正误：（1）共线向量就就是在同一条直线上得向量。 （２)若两个向量不相等,则它们得终点不可能就是同一点. (3）与已知向量共线得单位向量就是唯一得。 （4）四边形ABCＤ就是平行四边形得条件就是。

2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)

江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+

平面向量题型归纳

平面向量题型归纳 题型一 平面向量的线性运算 例 1：记 N ?? ?，y ＝ ?t ? ≤ y t N i !{?，y }＝ y t ? ≤ y 设 a t b 为平面向量，则( ) yt ? ? y ?t ? ? y A ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |} B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |} C ．N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 D ．N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误． 方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时 |a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b ＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与 N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b ＝3t |a －b |＝1，这时 N ?? a + b 2 t a －b 2 = ?，而 a 2 + b 2 ＝5，不可能有 N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2，故选 C 项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项； 也可从选择题的特点入手，通过对 a t b 特殊化，从而得到 a + b t |a －b |的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例 1.O A B C 中,A B 边的高为 C ?,若ˉC ˉˉB ˉ˙＝a t ˉC ˉˉA ˙＝b t a ·b ＝O t a ＝1t b ＝2t 则ˉA ˉˉ?ˉ˙＝( ) A.1 a －1 b B.2 a －2 b C.3 a －3 b D.4 a －4 b 3 3 3 3 5 5 5 5 【答案】 D 【解析】方法一： a ·b ＝0t ?A C B ＝?0°t A B ＝ 5t C ?＝ 2 5 . 5 B ?＝ 5 t A ?＝ 4 5 t A ? : B ?＝4 : 1. ˉA ˉˉ?ˉ˙＝4 ˉA ˉˉB ˉ˙＝4 (ˉC ˉˉB ˉ˙ — ˉC ˉˉA ˙)＝ 4 a －4 b .

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D

【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；

平面向量题型归纳归纳

平面向量题型归纳 一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ） A.AB CD = B.AB AD BD -= C.AD AB AC += D.AD BC +=0 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 、AB BA =-。例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则 AB DC =。其中正确的是_______ 题型1、基本概念 1：给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a =b ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a =b ，b =c ，则a =c ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ；⑥00a ?=；⑦00a ?=； 其中正确的序号是 。

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：

平面向量题型归纳

平面向量题型归纳

平面向量题型归纳 一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作： AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向 线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或 || a 。 3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± )； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、共线； 、、共线?AB AC 如图，在平行四边形ABCD中，下 D 列结论中正确的是（） A.AB CD = B.AB AD BD -= C.AD AB AC += D.AD BC +=0 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相 反向量。的相反向量是－、AB BA =-。例：下列 命题：（1）若a b =，则a b=。（2）若, ==，则a c =。 a b b c （6）若//,// a b b c，则//a c。（3）若AB DC =，则ABCD是平 行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB DC =。其中正确的是_______ 题型1、基本概念 1：给出下列命题：

2018全国卷高考复习--平面向量(知识总结+题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】

1. 判断正误（在括号内打或“X”） ⑴零向量与任意向量平行.（） （2）若a// b, b// c,贝U a// c.（） ⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（） （4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（） ⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（） 2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 ③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（） A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017 ? 枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =() A.2 B.3 C. —2 D. —3 4.(2015 ?全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X = 5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示). 1 2 6.（2017 ?嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE = 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ ,入2= _______________ . 考点一平面向量的概念 【例1】下列命题中，不正确的是_________ （填序号）. ①若I a| = |b| ,则a= b； ②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a= b, b= c,贝V a= c. 【训练1】下列命题中，正确的是_________ （填序号）. ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； a, b都是单位向量，则a= b；

平面向量知识归纳和题型总结#精选.

平面向量 章节分析: 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用. 向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等. 对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题. 平面向量的概念、几何运算和基本定理 1.向量的相关概念 2.向量的线性运算

3.向量的共线定理 非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。 延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ??当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ 4.平面向量的基本定理 如果12,e e 是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ,其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+, ①若a b =当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==. （2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC =，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。若OC OB OA =λ+μ，求,λμ的值。 5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+. 练习:设ABC ?的重心为点G ,设,.AB a AC b ==试用,a b 表示AG . 典型例题分析: 知识点一:基本概念 例1. 1.如果12,e e 是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( ) ①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成 12+e e λμ(,λμ∈R )。 ②对于平面α中的任一向量a 使12=+a e e λμ的λ,μ有无数多对; ③若向量1112+e e λμ与2122+e e λμ共线,则有且只有一个k R ∈,21221112()k +=+e e e e λμλμ ④若实数λ,μ使12+=e e λμ0,则0λμ==. A.①② B.②③ C.③④ D.② 练习:1) 判断下列命题的真假 (1)向量AB 与向量CD 为共线向量,则D C B A ,,,四点共线. (2)若=AB CD 则四边形ABCD 为平行四边形. (3)若向量a b ∥,b c 则a c . (4),a b 是两个向量,则||||||a b a b +<+当且仅当,a b 不共线时成立 知识点二:向量的线性运算 例1. 化简: (1);AB BC CA ++ (2)();AB MB BO OM +++ (3);OA OC BO CO +++ (4);AB AC BD CD -+- (5);OA OD AD -+ (6);AB AD DC -- (7).NQ QP MN MP ++- 例 2.如图,四边形ABCD ,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,求证:2AB DC EF +=.

2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练

（ （ 2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 平面向量的基本定理 例 1 给出下列命题： （1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量； （2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ； （3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形； （4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是 ． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小 两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一 定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0 时， a 与 b 可以共线可以不共线 【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D 四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。 【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略： （1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量， 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． （2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等 变形手段在线性运算中同样适用． （3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果． 1

高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒doc

一、多选题 1．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3 π ，a ＝7，则以下判断正确的是（ ） A ．△ABC 的外接圆面积是493 π ； B ．b cos C ＋c cos B ＝7； C ．b ＋c 可能等于16； D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大 值是73 . 2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 3．下列结论正确的是（ ） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形AB C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为3 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===? C ．14,16,45a b A ===? D ．7,5,80a b A ===? 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ） A ．2 AB AB AC B ．2 BC CB AC C ．2AC AB BD D ．2 BD BA BD BC BD

平面向量部分常见考试题型总结

平面向量部分常见的题型练习 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量b a ,41==且满足 2.=，则与的夹角为 2.已知非零向量,（2-⊥=，则与的夹角为 3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-（且，则b a 与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=

2019高考平面向量及考试题型汇总

2019高考平面向量及考试题型汇总 高考数学平面向量部分知识点梳理 一、向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O. 单位向量aO 为单位向量?｜aO ｜＝1. (5) (6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0 (7)平行向量(共线向量) ：方向相同或相反的向量，称为平行向量. 记作a ∥b. 平 行向量也称为共线向量. (8)向量的运算： ?x =x 2 ??1 ?y 1=y 2(ｘ1，ｙ1) ＝（ｘ2，ｙ2） 二、重要的公式、定理： (1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任 一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ?a ＝λb(b≠0) ?x1y2－x2y1＝O. (3)两个 向量垂直的充要条件：a ⊥b ?a ·b ＝O ?x1x2＋y1y2＝O. 1P 2所成的比为λ，即 P 1＝λPP 2(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段P 11 OP ＝1+λOP 1＋1+λOP 2 (线段的定比分点的向量公式) ?x =????y =?? x 1+λx 2 , 1+λy 1+λy 2 . 1+λ (线段定比分点的坐标公式)

当λ＝ 1 x 1+x 2?x =, ??2? 1?y =y 1+y 2. ?2＝2（1＋OP 2）或? (5)平移公式： 设点P(x，y) 按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′）， ?x '=x +h , ? y '=y +k . 则O P ＝+a或? 曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6) a b c ===2R . sin A sin B sin C 正弦定理： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－ 2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为ha ，hb ，hc ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r. ①S △=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S △= P P -a P -b P -c [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb