人教版高中数学全套教案数列
第三章 数列
第一教时
教材：数列、数列的通项公式
目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给
出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
过程：
一、从实例引入（P110）
1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10
2． 正整数的倒数 5
1,41,31,21,1 3． ，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.012
4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…
5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…
二、提出课题：数列
1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
2． 名称：项，序号，一般公式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a
3． 通项公式：n a 与n 之间的函数关系式
如 数列1： 3+=n a n 数列2：n
a n 1=
数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 4． 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。
5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集
N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6． 用图象表示：— 是一群孤立的点
例一 （P111 例一 略）
三、关于数列的通项公式
1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 n n a )1(-=和
???-=1
1n a *,2*,12N k k n N k k n ∈=∈-= 3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要
例二 （P111 例二）略
四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列
各数：
1．1，0，1， 0 *,2
)1(11
N n a n n ∈-+=+ 2．32-，83，154-，24
5，356- 1)1(1)1(2-++?-=n n a n n 3．7，77，777，7777 )110(9
7-?=n n a 4．-1，7，-13，19，-25，31 )56()1(--=n a n n
5．23，45，169，25617 122
12-+=n n n a 五、小结：
1． 数列的有关概念
2． 观察法求数列的通项公式
六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2
《课课练》中例题推荐2 练习 7、8
第二教时
教材：数列的递推关系
目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，
会根据给出的递推公式写出数列的前n 项。
过程：
一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）
二、例一：若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：???-=-1
1S S S a n n n )1()2(=≥n n 证：显然1=n 时 ，11S a =
当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 21
1211--+++=n n a a a S
∴ n n n a S S =--1 ∴???-=-1
1S S S a n n n )1()2(=≥n n 注意：1? 此法可作为常用公式
2? 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a
例二：已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。
解：1．当1=n 时，111==S a
当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n
经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n
2．当1=n 时，311==S a
当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=
∴ ?
??=n a n 23 )2()1(≥=n n 三、递推公式 （见课本P112-113 略）
以上一教时钢管的例子 3+=n a n
从另一个角度，可以： 14
11+==-n n a a a )
2()1(≥=n n
“递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前 一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。
例三 （P113 例三）略
例四 已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．
解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n
解二：由题设： 41-=-+n n a a
∴
4
44
32211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a )+412-=-a a
)1(41--=-n a a n
∴ )1(42--=n a n
例五 已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．
解一：21=a 22222=?=a 323222=?=a
观察可得： n n a 2=
解二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21
=-n n a a ∴ 11
2322112------=????n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=?=-
四、小结： 由数列和求通项
递推公式 （简单阶差、阶商法）
五、作业：P114 习题3．1 3、4
《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2
课时练习 6、7、8
第三教时
教材：等差数列（一）
目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公
式，并能用来解决有关问题。
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，-3，-6，……
21，102，103，10
4，…… )1(312--=n a n 12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义： （见P115）
注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．
。 1．名称：AP 首项 )(1a 公差 )(d
2．若0=d 则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
d
a d d a d a a d a d d a d a a d
a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立）
注意: 1? 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数
2? 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成AP
证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+=
它是以B A +为首项，A 为公差的AP 。
3? 公式中若 0>d 则数列递增，0 4? 图象： 一条直线上的一群孤立点 三、例题： 注意在d n a a n )1(1-+=中n ，n a ，1a ，d 四数中已知三个可以求 出另一个。 例一 （P115例一） 例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例三 （P116例三） 此题可以看成应用题 四、关于等差中项： 如果b A a ,,成AP 则2 b a A += 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+= ∴A d a d a a b a =+=++=+2 22 例四 《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成AP ，求此数列。 解一：∵AP c b a 成7,,,,1- ∴b 是-1与7 的等差中项 ∴ 32 71=+-=b a 又是-1与3的等差中项 ∴12 31=+-=a c 又是1与7的等差中项 ∴5273=+= c 解二：设11-=a 75=a ∴ d )15(17-+-= 2=?d ∴所求的数列为-1，1，3，5，7 五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项 六、作业： P118 习题3．2 1-9 第四教时 教材：等差数列（二） 目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能 够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。 过程： 一、复习：等差数列的定义，通项公式 二、例一 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+ 求证：1? q p n m a a a a +=+ 2? d q p a a q p )(-+= 证明：1? 设首项为1a ， 则d q p a d q a d p a a a d n m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+ ∵ q p n m +=+ ∴ q p n m a a a a +=+ 2? ∵d p a a p )1(1-+= d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+ ∴ d q p a a q p )(-+= 注意：由此可以证明一个定理：设成AP ，则与首末两项距 离相等的两项和等于首末两项的和 ，即： =+=+=+--23121n n n a a a a a a 同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ 例二 在等差数列{}n a 中， 1? 若a a =5 b a =10 求15a 解：155102a a a += 即152a a b += ∴ a b a -=215 2? 若m a a =+83 求 65a a + 解：65a a +=m a a =+83 3? 若 65=a 158=a 求14a 解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d 从而 33396)514(514=?+=-+=d a a 4? 若 30521=+++a a a 801076=+++a a a 求 151211a a a +++ 解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 …… ∴ 11162a a a += 12272a a a += …… 从 而 )(151211a a a +++ +=+++)(521a a a 2)(1076a a a +++ ∴151211a a a +++ =2)(1076a a a +++ -)(521a a a +++ =2×80-30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明 )(1常数d a a n n =-- 例三 《课课练》第3课 例三 已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{} n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解：12311=-==S a 当2≥n 时 56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n 1=n 时 亦满足 ∴ 56-=n a n 首项11=a )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成AP 且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若c a b +=2 则c b a ,,成AP 。 例四 《课课练》第4 课 例一 已知a 1，b 1，c 1成AP ，求证 a c b +，b a c +，c b a +也成AP 。 证明： ∵a 1，b 1，c 1成AP ∴c a b 112+= 化简得：)(2c a b ac += ac c a ac ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b 2 222222)(++=+++=+++=+++ =b c a c a b c a ac c a +?=++=+22 )()()(22 ∴ a c b +，b a c +，c b a +也成AP 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n 的一次函数这一性质。 例五 设数列{}n a 其前n 项和322+-=n n S n ，问这个数列成AP 吗？ 解： 1=n 时 211==S a 2≥n 时 321-=-=-n S S a n n n ∵321-=n a a n 不满足 ∴ ???-=322n a n 21 ≥=n n ∴ 数列{}n a 不成AP 但从第2项起成AP 。 四、小结： 略 五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题 《课课练》 第3、4课中选 第五教时 教材：等差数列前n 项和（一） 目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。 过程： 一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算 1+2+3+…+100的故事 故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和 2．高斯的解法是：前100项和2 )1001(100100+?=S 即2 )(1n n a a n S += 二、提出课题：等差数列的前n 项和 1．证明公式1：2)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ② ①+②： )()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2 )(1n n a a n S += 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。 2．推导公式2 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2 )1(1d n n na S n -+= 此公式要求n S 必须具备三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个 3．例一 （P120 例一）：用公式1求n S 例二 （P120 例一）：用公式2求n 学生练习：P122练习 1、2、3 三、例三 （P121 例三）求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个 数，并求这些元素的和。 解：由1007 2147100= 即：7，14，21，…，98 是为首项71=a AP a 的9814= ∴ 7352 )987(14=+?=n S 答：略 例四 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ 解：由题设： 31010=S 122020=S 得： ???=+=+122019020310451011d a d a ???==?6 41d a ∴ n n n n n S n +=?-+ =2362 )1(4 四、小结：等差数列求和公式 五、作业 （习题3．1） P122-123 第六教时 教材：等差数列前n 项和（二） 目的：使学生会运用等差数列前n 项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析 问题、解决问题的能力。 过程： 一、复习：等差数列前n 项和的公式 二、例一 在等差数列{}n a 中 1? 已知488=S 16812=S 求1a 和d ； 解：???=+=+1686612482881 1d a d a 81-=?a 4=d 2? 已知4053=+a a ，求17S ． 解 ：∵40153171=+=+a a a a ∴3402 40172)(1717117=?=+=a a S 例二 已知{}n a ，{}n b 都成AP ，且 51=a ，151=b ，100100100=+b a 试求数 列{}n n b a +的前100项之和100S ． 解：60002 )100155(1002)(10010010011100=++?=+++?=b a a a S 例三 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比 为32：27，求公差。 解一：设首项为1a ，公差为d 则?????????=??+??++=?+1732225662256)(6354 2111212111d a d d a d a 5=?d 解二：?????==+2732354奇 偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶 5=?d 例四 已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）*N n ∈ 问多少项之和为最 大？前多少项之和的绝对值最小？ 解：1? ???<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241 n a n a n n 3403340112 lg 10242lg 1024< 2? 0)2lg (2 )1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+ 0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412 lg 2048≈+=n ∵ *N n ∈ ∴6805=n 例五 项数是n 2的等差数列，中央两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的 两根，求证此数列的和是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。 （02>n S ） 解：依题意：p a a n n =++1 ∵ p a a a a n n n =+=++121 ∴ np a a n S n n =+=2)(2212 ∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证） 例六 （机动，作了解）求和 1? n +++++++++++ 321132112111 解：)1 11(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴ 12)111(2)111()3121()211(2+=+-=??????+-++-+-=n n n n n S n 2? )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+- 解：原式 =505050101502 )3199(37195199=?=?+= ++++ 三、作业 《精编》P167-168 6、7、8、9、10 第七教时 教材：等差数列的综合练习 目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有 深刻的理解。 过程： 一、复习：1．等差数列的定义，通项公式—关于n 的一次函数 2．判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3．求等差数列前n 项和的公式 二、处理《教学与测试》P79 第38课 例题1、2、3 三、补充例题《教学与测试》备用题 1．成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数． 解：设四个数为d a d a d a d a 3,,,3++-- 则：? ??=+-=++++-+-40))((26)3()()()3(d a d a d a d a d a d a 由①： 213= a 代入②得： 2 3±=d ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2． 2．在等差数列{}n a 中，若21512841=+---a a a a 求15S ． 解：∵124151a a a a +=+ ∴ 28-=a 而3015815-==a S 3．已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和． 解：由题设 a S n = b S n =2 ∴a b a a a n n n -=+++++221 而 )(2)()(22132|21221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=++++++++++ 从而： )()()(32|212221213n n n n n n n n a a a a a a a a a S +++++++++++=+++ )(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++ 四、补充例题：（供参考，选用） 4．已知11=a ，n n a n S 2= )1(≥n 求n a 及n S ． 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有111-+-= n n a n n a ∵11=a ∴31 2=a 31423?=a 3 142534??=a 3 14253645???=a ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ∴1 22+==n n a n S n n 5．已知*)(2142N n a S n n n ∈- -=- 求n n a a a 和11,+的关系式及通项公式 n a 解： 121 4121111=?--==-a a S a ?? ???--=--=-+++-2)1(112214214n n n n n n a S a S ?②-①：21112121--+++-+-=n n n n n a a a 即：n n n a a 2 1211+=+ 将上式两边同乘以n 2得： 12211+=-+n n n n a a 即：12211=--+n n n n a a 显然：{}n n a 12-是以1为首项，1为公差的AP ∴ n n a n n =?-+=-1)1(121 ∴ 12-=n n n a 6．已知n n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S ． 解：∵1--=n n n S S a ∴ n n n S S 221=-- ∴ 12211=---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列 ∴11-+=n b b n 又：∵2322111=== a S b ∴212+=n S n n ∴12)12(-+=n n n S 当2≥n 时 212)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-22 )32(3n n n a )2()1(≥=n n 12)12(-+=n n n S 7．设)1(433221+++?+?+?=n n a n 求证：2 )1(2)1(2 +<<+n a n n n 证：∵ n n n n =>+2)1( 2 12)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 2 12)1(+< + )1(2)1(2 +<<+n a n n n 五、作业：《教学与测试》第38课 练习题P80 第八教时 教材：等比数列（一） 目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行 有关计算。 过程： 一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列： 63322,,2,2,2,1 (1) 2.数列： ,625,125,25,5 (2) ,8 1,41,21,1-- (3) 观察、归纳其共同特点：1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ) 2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3? q = 1时，{a n }为常数 二、通项公式： *),64(22 12:)1()2 1()21(1)3(555)2(221)1(111 111 11113134212312N n n a q q a a a a a q q a a q a a q a q a a q a q a a q a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n ∈≤?==?=-=-?==?==?=?==???? ???? =====-------且如：数列缩后图象上的孤立点。是经过指数函数纵向伸图象：：：：如数列：或 三、例一：（P127 例一） 实际是等比数列，求 a 5 ∵a 1=120, q =120 ∴a 5=120×1205-1=1205≈2.5×1010 例二、（P127 例二） 强调通项公式的应用 例三、求下列各等比数列的通项公式： 1． a 1=-2, a 3=-8 解：24213±=?=?=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 2． a 1=5, 且2a n +1=-3a n 解：111)2 3(5523-+-?=∴=-==n n n n a a a a q 又： 3． a 1=5, 且1 1+=+n n a a n n 解：n n a a a a a a n n a a n n n n 1,,32,2 11123121-===∴+=-+ 以上各式相乘得：n a n a n 311== 四、关于等比中项： 如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成GP ，则G 是a 、b 的等比中项。 ab G ab G G b a G ±=?=?=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 例：2与8的等比中项为G ，则G 2=16 G=±4 例四、已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号， 求证：3,3 ,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成GP 。 证：由题设：b 2=a c 得： 22333)3 (333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=?++=?++ ∴3,3 ,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成GP 五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理 六、作业：P129 习题3．4 1—8 要求学生进一步熟悉等比数列的有关 2、处理课本P128练习，重点是第三题。 二、等比数列的有关性质： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a =。 例一：1、在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a 。 解：∵109181a a a a =，∴205 100110918===a a a a 2、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积。 解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b = ∵53627124b b b b b b b ===，∴前七项之积()218733373 2==? 3、在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ， 解：145825454255358-=-?=?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 三、判断一个数列是否成GP 的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法 例二：已知无穷数列 ,10 ,10,10,1051525150-n ， 求证：（1）这个数列成GP （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 证：（1）51 52511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成GP 。 （2）10110101015 4515===-+-+n n n n a a ，即：5101+=n n a a 。 （3）52 51 51 101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p 。 ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，∴??????∈--+51n 52 1010 q p ，（第1-+q p 项）。 例三：设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ， 求证：c b a ,,成GP 且公比为d 。 证一：关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根， ∴()()0442222≥+-+=?b a c a b ，∴()02 2≥--ac b 则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴c b a ,,成GP 设公比为q ，则aq b =，2aq c =代入 ()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵()0122≠+a q ，即0222=+-q qd d ，即0≠=q d 。 证二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a ∴()()02 2=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd = ∵d c b a ,,,非零，∴ d b c a b ==。 四、作业：《课课练》P127-128课时7中 练习4~8。 P128-129课时8中 例一，例二，例三，练习5，6，7，8。 第十教时 教材：等比数列的前n 项和 目的：要求学生掌握求等比数列前n 项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。 过程： 一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。 二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事， 即求636264228421+++++= s ① 用错项相消法推导结果，两边同乘以公比： 64636422168422+++++= S ② ②－①：1221646464-=+-=S 这是一个庞大的数字>1．84×1910， 以小麦千粒重为40g 计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。 三、一般公式推导：设n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ② ①-②：()n n qa a S q -=-11，1≠q 时：()q q a q aq a q qa a S n n n n --=--=--=1111111 1=q 时：1na S n = 注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个， （2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆， （3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。 四、例1、（P131，例一略）——直接应用公式。 例2、（P131，例二略）——应用题，且是公式逆用（求n ），要用对数算。 例3、（P131-132，例三略）——简单的“分项法”。 例4、设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nx x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和。 解：（用错项相消法） 1324321-+++++=n n nx x x x S ① ()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时， ()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++111111111 1 ()()21 111x nx x n S n n n -++-=+ 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 五、小结：（1）等比数列前n 项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动） 法1：设n n a a a a S ++++= 321 ∵{}n a 成GP ，∴q a a a a a a a a n n =====-1 342312 由等比定理：,1321321q a a a a a a a a n n =++++++++- 即：q a S a S n n n =--1 当1≠q 时，() q q a q q a a S n n n --=--=11111 当1=q 时，1na S n = 法2：112111-++++=n n q a q a q a a S ()2121111-+++++=n q a q a q a a q a ()n n n a S q a qS a -+=+=-111 从而：()?-=-q a a S q n n 11当1≠q 时q q a a S n n --= 11（下略） 当1=q 时1na S n = 六、作业：P132-133 练习 ①，②，③ 习题3．5 ①，②，③，④，⑤ 第十一教时 教材：等比数列《教学与测试》第40、41课 目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。 过程： 一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n 项和的公式 高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 课题：等差数列的前n 项和 教材：人教版数学必修5 一、 教学目标 知识目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 能力目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、创新的学习品质。 二、教学重点、难点 重点：等差数列的前n 项和公式 难点：获得等差数列的前n 项和公式推导的思路 三、教学方法与手段 启发引导、合作学习、多媒体辅助等多种手段相结合 四、教学过程 1、问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2、探索发现 1+2+3 +…+99+100 =(1+100) +(2+99)+ …+(50+51) =101 ×50 = 5050 问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 问题2：求1到n 的正整数之和。123(1)n s n n =+++ +-+即 问题3：{}?n n a n 如何求等差数列的前项和S 3、公式应用 例1、选用公式 例2、变用公式 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？ 变式练习： {}120,54,999,.n n n a a a s n ===在等差数列中，求 例3、知三求二 {}120,37,629,.n n n a n s a a ===在等差数列中，已知d 求及 4、课堂小结 1()12 n n n a a S +=公式 1(1)22 n n n S na d -=+公式 5、作业布置 必做题：课本52页，练习１、２、３； 选做题：在等差数列中， 512156136,; 220,a a a a a +++==21611、已知求s 、已知求s 按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 （第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 数列的概念与简单表示法 【学习目标】 1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题. 2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系. 3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项. 4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】 数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决. 【要点梳理】 要点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项. 要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和 数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 课 题： 3.1 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他 决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不 再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项 是1a ，公差是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12 高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊 到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重 引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课 高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... １ 1.2集合的运算 ................................................ ...... ３ 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ ６ 1.4一元二次不等式的解法.......................................... ９1.5简易逻辑 ................................................ ...... １２ 1.6充要条件 ................................................ ...... １５ 1.7数学巩固练习.............................................. １８.1函数的概念 ................................................ .... ２１.2函数的解析式及定义域 ........................................ ２４.3函数的值域 ................................................ .... ２８.4函数的奇偶 性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. ３７.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误！未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误！未定义书签。.3等差数列、 高中数学数列教学课件 高中数学数列教学课件 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于 发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法，对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对"数学建模"的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情教法分析： 对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导： 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的 等差数列复习 知识归纳 1. 等差数列这单元学习了哪些内容？ 2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n ≥2，a n －a n －1＝d (常数) 3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R ) 4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？ 5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? 2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A ! 6. 你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+): ①a n ＝a m ＋(n －m )d ； ②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 等差数列 d ＜ 0d ＞0 ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； ④每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列. 知识运用 1.下列说法: (1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列 (2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列 (3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列. (4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列. 其中正确的有( (2)(3) ) 2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝3n－2 . 3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 . 4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 . 5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝20 . 6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 . 7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为( A ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 8.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B) A. na1＜S n＜na n B. na n＜S n＜na1 C. na n＜na1＜S n D. S n＜na n＜na1 能力提高 1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110. 2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0,S1、S2、…S12哪一个最大？ 课后作业《习案》作业十九. 第一章空间几何体 第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 知识结构： 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球； 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形，其余各面 底面是正多边 形，且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台 第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数； 澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明： 《等差数列》说课稿 各位领导、各位专家，你们好！ 我说课的课题是《等差数列》。我将从以下五个方面来分析本课题： 一、教材分析 1.教材的地位和作用： 《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。另一方面,等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着广泛的实际应用。 2.教学目标： a.在知识上，要求学生理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能简单运用。 b.在能力上，注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列上来，培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。 c.在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 3.教学重、难点： 重点：①等差数列的概念。 ②等差数列通项公式的推导过程及应用。 难点：①等差数列的通项公式的推导。 ②用数学思想解决实际问题。 二、学情分析 对于高二的学生，知识经验已经比较丰富，他们的智力发展已经到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。 三、教法、学法分析 教法：本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析并解决问题。 学法：在引导学生分析问题时，留出学生思考的余地，让学生去联想、探索，鼓励学生大胆质疑，围绕等差数列这个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。 四、教学过程 我把本节课的教学过程分为六个环节： （一）创设情境，提出问题 问题情境（通过多媒体给出现实生活中的四个特殊的数列） 1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0， 5 ， 10 ， 15 ， 20 ，……① 2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）： 48 ，53 ，58 ， 63 ② 3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5，最低降至5.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 4.按照我国现行储蓄制度（单利），某人按活期存入10000元钱，5年内各年末的本利和（单位：元）组成了数列： 10072，10144，10216，10288，10360 ④[教师活动]引导学生观察以上数列，提出问题： 问题1.请说出这四个数列的后面一项是多少？ 问题2.说出这四个数列有什么共同特点？ （二）新课探究 [学生活动]对于问题1，学生容易给出答案。而问题2对学生来说较为抽象，不易回答准确。 [教师活动]为引导学生得出等差数列的概念，我对学生的表述进行归类，引导学生得出关键词“从第2项起”、“每一项与前一项的差”、“同一个常数”告诉他们把满足这些条件的数列叫做等差数列，之后由他们集体给出等差数列的概念以及其数学表达式。 同时为了配合概念的理解，用多媒体给出三个数列，由学生进行判断： 判断下面的数列是否为等差数列，是等差数列的找出公差 1. 1 ，2，3，4，5，6，……；（√，d = 1 ） 2. 0.9，0.7，0.5，0.3，0.1……；（√，d = -0.2) 高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 体重. （分析思路→教师演示→学生整理） 第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机 =++，其中残差变量e中包含体重变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时） §2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3） 第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培 天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5第48-52页 2.4等比数列 理学院数学0801 刘瑞平 等比数列教案 一、 课题：等比数列 二、 课型：新授课 三、 教材分析 等比数列的学习在本章中占很大的比重。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要用有关等比数列的知识来解决。本节内容可以类比等差数列进行教学。 四、 学情分析 学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具有了必要的与数列相关的知识。因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。这样，学生既学习了知识又培养了能力。 五、 教学目标： 1) 知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个 数列是否为等比数列；利用通向公式求项。 2) 能力目标：让学生感知数学与生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法， 掌握迭乘的思想，调动学生积极观察思考。 3) 情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高 学生数学思维的情趣。 4) 教学重点与教学难点 教学重点：等比数列的概念 教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。 六、 教学方法：讲授法，讨论法 七、 教学过程： 1、导入，设问激疑 设问激疑 引出课题 巩固定义 严谨思维 类比等差 推导通项 证明等比 揭示内涵 设问思考 积极探索 反思小结 培养能力 师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm ），将它对折50次会有多厚？如果拿它做云梯能到哪？ （师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 …… 可以猜想得出 ，折叠50次之后，报纸厚度为 0.1?250 。lg 250 ≈15.05 ，也就是说250 是一个15位整数，2 50 ?0.1mm=1000 10001 .0250??km ，这个数字我们不 知道他确切的值是多少，但可以知道它是一个八位数。而地球到月球的距离仅有 385400km （六位数）。（让学生感受事实与想象之间的差距） 2、新课引入 回过头来，再次分析报纸的折叠问题。将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 ……高中数学选修4-4全套教案
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