文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 2014高考数学 (知识整合+方法技巧+例题分析)数形结合思想在解题中的应用拿分题训练

2014高考数学 (知识整合+方法技巧+例题分析)数形结合思想在解题中的应用拿分题训练

2014高考数学 (知识整合+方法技巧+例题分析)数形结合思想在解题中的应用拿分题训练
2014高考数学 (知识整合+方法技巧+例题分析)数形结合思想在解题中的应用拿分题训练

2014高考数学“拿分题”训练:数形结合思想在解题中的应用

一、知识整合

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422

3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。

4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析

例1.的取值范围。之间,求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322

-=++ 分析:0)(32)(2

=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令

()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0f >,

()()02b

f f k a

-

=-<10(10)k k -<<∈-同时成立,解得,故,

例2. 解不等式x x +>2 解:法一、常规解法:

原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>???

?

?<+≥??

?020

20

20

2 解,得;解,得()()I x II x 0220≤<-≤<

综上可知,原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法: 令,,则不等式的解,就是使的图象y x y x x x y x 121222=

+=+>=

+

在的上方的那段对应的横坐标,y x 2=如下图,不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<

而可由,解得,,,

x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22

例3. 已知,则方程的实根个数为01<<=a a x x a ||

|log |(

)

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 1个或2个或3个

分析:判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数,画y a y x x a ==||

|log | 出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B )。

例4. 如果实数、满足,则

的最大值为x y x y y

x

()()-+=2322

A B C D .

.

.

.12

33

32

3

分析:等式有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,()x y -+=232

2

圆心为,,半径,如图,而

则表示圆上的点,与坐()()()20300

r y x y x x y ==-- 标原点,的连线的斜率。如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点()00A

在以,为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由图()203OA

可见,当∠在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最A OA

大值为°tg 603=

例5. 已知,满足,求的最大值与最小值x y x y y x 22

1625

13+=-

分析:对于二元函数在限定条件下求最值问题,常采用y x x y -+=31625

122

构造直线的截距的方法来求之。 令,则,y x b y x b -==+33

原问题转化为:在椭圆上求一点,使过该点的直线斜率为,x y 22

1625

13+=

且在轴上的截距最大或最小,y

由图形知,当直线与椭圆相切时,有最大截距与最小y x b x y =++=31625

122

截距。

y x b x y x bx b =++

=????

??++-=3162511699616400022

22 由,得±,故的最大值为,最小值为。?==--01331313b y x

例6. 若集合,,集合,M x y x y N x y y x b ===??

?<

?

?==+()cos sin (){()|}330θθθπ

且≠,则的取值范围为

。M N b ?

分析:M x y x y y M =+=<≤{()|}(),,,显然,表示以,为圆心,2

2

90100 以3为半径的圆在x 轴上方的部分,(如图),而N 则表示一条直线,其斜率k=1,纵截

距为,由图形易知,欲使≠,即是使直线与半圆有公共点,b M N y x b ?=+ 显然的最小逼近值为,最大值为,即b b --<≤332332

例7. 点是椭圆上一点,它到其中一个焦点的距离为,为M x y F N 2212516

12+=

MF 1的中点,O 表示原点,则|ON|=( ) A B C D .

(32)

248

分析:①设椭圆另一焦点为F 2,(如图), 则,而||||MF MF a a 1225+== ||||MF MF 1228==,∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、F 1F 2的中点, ∴ON 是△MF 1F 2的中位线, ∴×||||ON MF =

==121

2

842 ②若联想到第二定义,可以确定点M 的坐标,进而求MF 1中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量,方法较之①显得有些复杂。

例8. 已知复数满足,求的模的最大值、最小值的范围。z z i z ||--=

222

分析:由于,有明显的几何意义,它表示复数对应的|||()|z i z i z --=-+2222

点到复数对应的点之间的距离,因此满足的复数对应点2+2i |()|z i z -+=222 Z z z ,在以,为圆心,半径为的圆上,如下图,而表示复数对应的()()||222 点到原点的距离,显然,当点、圆心、点三点共线时,取得最值,Z O Z C O z || ||||min max z z ==232,,

∴的取值范围为,||[]z 232

例9. 求函数的值域。y x x =

+-sin cos 2

2

解法一(代数法):则得y x x y x y x =+--=+sin cos cos sin 2

2

22,

sin cos sin()x y x y y x y -=--++=--221222,? ∴,而sin()|sin()|x y y x +=

--++≤??221

12

∴,解不等式得

|

|--+≤--≤≤

-+221

147347

3

2y y y ∴函数的值域为,[

]---+473473

解法二(几何法):y x x y y y x x =

+-=--sin cos 2

22

121

的形式类似于斜率公式 y x x P P x x =

+--sin cos ()(cos sin )2

2

220表示过两点,,,的直线斜率

2

2

1P x y +=由于点在单位圆上,如图, 显然,k y k P A P B 00≤≤ 设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-() 则有

,解得±||221

1473

2k k k ++==

-即,k k P A P B 0047347

3

=

--=

-+ ∴

--≤≤-+473473y ∴函数值域为,[]---+47347

3

例10. 求函数的最值。u t t =

++-246

分析:由于等号右端根号内同为的一次式,故作简单换元,无法t t t m 24+= 转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。 解:设,,则x t y t u x y =

+=-=+246

且,x y x y 2221604022+=≤≤≤≤()

所给函数化为以为参数的直线方程,它与椭圆在u y x u x y =-++=2

2

216 第一象限的部分(包括端点)有公共点,(如图)

u min =22

相切于第一象限时,u 取最大值

y x u x y x ux u =-++=????-+-=2

2

22

216

342160 解,得±,取?=0==u u 2626 ∴u max =26

三、总结提炼

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。

四、强化训练

见优化设计。 【模拟试题】 一、选择题:

1. 方程lg sin x x =的实根的个数为( ) A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点,则实数a 的取值范围是( ) A. ()1,+∞

B. ()-11,

C. (][)-∞-+∞,,11

D. ()()-∞-+∞,,11

3. 设命题甲:03<

D. 不充分也不必要条件

4. 适合||z -=11且arg z =π

4

的复数z 的个数为( )

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 4个

5. 若不等式x a x a +≥>()0的解集为{|}||x m x n m n a ≤≤-=,且,2则a 的值为

( ) A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6. 已知复数z i z z z 121232=-=+,,则||||的最大值为( ) A. 102-

B. 5

C. 210+

D. 222+

7. 若x ∈()12,时,不等式()log x x a -<12

恒成立,则a 的取值范围为( ) A. (0,1)

B. (1,2)

C. (1,2]

D. [1,2]

8. 定义在R 上的函数y f x =-∞()()在,2上为增函数,且函数y f x =+()2的图象的对称轴为x =0,则( ) A. f f ()()-<13

B. f f ()()03>

C. f f ()()-=-13

D. f f ()()23<

二、填空题:

9. 若复数z 满足||z =2,则||z i +-1的最大值为___________。

10. 若f x x bx c ()=++2

对任意实数t ,都有f t f t ()()22+=-,则f f ()()13、-、

f ()4由小到大依次为___________。

11. 若关于x 的方程x x m 2

45-+=||有四个不相等的实根,则实数m 的取值范围为___________。

12. 函数y x x x x =

-++-+2222613的最小值为___________。

13. 若直线y x m =-与曲线y x =-12有两个不同的交点,则实数m 的取值范围是___________。

三、解答题:

14. 若方程lg()lg()[]-+-=-x x m x 23303在,上有唯一解, 求m 的取值范围。

15. 若不等式412x x a x ->-()的解集为A ,且A x x ?<<{|}02,求a 的取值范围。 16. 设a a >01且≠,试求下述方程有解时k 的取值范围。 log ()log ()a a x ak x a -=-22

2

【试题答案】

一、选择题 1. C

提示:画出y x y x ==sin lg ,在同一坐标系中的图象,即可。

2. D

提示:画出y a x y x a ==+||与的图象

情形1:a a a >>???

?>0

11

情形2:a a a <<-???

?<-0

11

3. A

4. C

提示:|Z -1|=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,显然点Z 对应的复数满足条

件arg z =

π

4

,另外,点O 对应的复数O ,因其辐角是多值,它也满足arg z =

π

4

,故满足条件

的z 有两个。

5. B

提示:画出y x a y x =

+=的图象,依题意,m a n a =-=,,从而

a a a a +=?=02或。

6. C

提示:由||z 22=可知,z 2对应的点在以(0,0)为圆心,以2为半径的圆上,

而|||()||()|z z z z z i 122123+=--=--+ 表示复数z i 23与-+对应的点的距离, 结合图形,易知,此距离的最大值为: ||PO r +=--+-+=+()()3010210222

7. C

提示:令y x y x a 12

21=-=()log ,,

若a>1,两函数图象如下图所示,显然当x ∈()12,时,

要使y y 12<,只需使log ()a a 22122

≥-≤,即,综上可知 当12<≤a 时,不等式()log x x a -<12

对x ∈()12,恒成立。

若01<

恒不成立。

可见应选C 8. A

提示:f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的,又知f(x+2)的图象关于直线x=0(即y 轴)对称,故可推知,f(x)的图象关于直线x=2对称,由f(x)在(-∞,2)上为增函数,可知,f(x)在()2,+∞上为减函数,依此易比较函数值的大小。

二、填空题:

9. 22+

提示:|Z|=2表示以原点为原心,以2为半径的圆,即满足|Z|=2的复数Z 对应的点在圆O 上运动,(如下图),而|z+1-i|=|z -(-1+i )|表示复数Z 与-1+i 对应的两点的距离。

由图形,易知,该距离的最大值为22+。 10. f f f ()()()143<<-

提示:由f t f t ()()22+=-知,f(x)的图象关于直线x=2对称,又f x x bx c ()=++2

为二次函数,其图象是开口向上的抛物线,由f(x)的图象,易知f f f ()()()134、、-的大小。

11. m ∈()15,

提示:设y x x y m 12

245

=-+=||,

画出两函数图象示意图,要使方程x x m 2

45-+=||有四个不相等实根,只需使15<

12. 最小值为13 提示:对x x x x 2222211110-+=

-+=-+-2()()(),

联想到两点的距离公式,它表示点(x ,1)到(1,0)的距离,x x x 222613313-+=-+-()()表示点(x ,1)

到点(3,3)的距离,于是y x x x x =

-++-+2222613表示动点(x ,1)到两个定点

(1,0)、(3,3)的距离之和,结合图形,易得y min =13。

13. m ∈--(]21,

提示:y=x -m 表示倾角为45°,纵截距为-m 的直线方程,而y x =-12

则表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x 轴上方的部分(包括圆与x 轴的交点),如下图所示,显然,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距-∈m [)12,,即m ∈--(]21,。

三、解答题:

14. 解:原方程等价于-+->->≤≤-+-=-???

??

???-+->≤<-+-=?????x x m x x x x m x

x x m x x x m

222230

30

03333003

43 令y x x y m 12

243=-+-=,,在同一坐标系内,画出它们的图象,

其中注意03≤

注:一般地,研究方程时,需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15. 解:令y x x y a x y x x 12212414=

-=-=-,,其中()表示以(2,0)为圆心,

以2为半径的圆在x 轴的上方的部分(包括圆与x 轴的交点),如下图所示,y a x 21=-()表示过原点的直线系,不等式412

x x a x ->-()的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x 值。

由于不等式解集A x x ?<<{|}02 因此,只需要a a ->>112,∴ ∴a 的取值范围为(2,+∞)。

16. 解:将原方程化为:log ()log a a x ak x a -=-22,

∴x ak x a x ak x a -=

-->->222200,且,

令y x ak 1=-,它表示倾角为45°的直线系,y 10> 令y x a 222=

-,它表示焦点在x 轴上,顶点为(-a ,0)

(a ,0)的等轴双曲线在x 轴上方的部分,y 20> ∵原方程有解,

∴两个函数的图象有交点,由下图,知

->-<-

∴k 的取值范围为()()-∞-,,101

相关文档