高一数学教案：向量小结与复习(1)

高一数学教案：向量小结与复习（1）
教学目的：
1 了解本章知识网络结构； 2 进一步熟悉差不多概念及运算律；
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
3 明白得重要定理、公式并能熟练应用； 新疆 王新敞 奎屯
4 加强数学应用意识，提高分析咨询题，解决咨询题的能力
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
5 认识事物之间的相互转化； 新疆 王新敞 奎屯
6 培养学生的数学应用意识
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
教学重点：突出本章重、难点内容
教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区不
授课类型：复习课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法:自学辅导法
在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生
对差不多概念、差不多运算律、重要定理、公式的熟悉程度 新疆 王新敞 奎屯
教学过程：
一、引入
前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形咨询题，并把握了一定的分析咨
询题解决咨询题的方法 这一节，我们开始对本章进行小结与复习
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
二本章知识
1 本章知识网络结构 新疆 王新敞 奎屯
2 本章重点及难点 新疆 王新敞 奎屯
(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、
余弦定理及其在解斜三角形中的应用；
(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法那么的明白得和运用，两边和其中一边的对
角解斜三角形等；
(3)关于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用 新疆 王新敞 奎屯
3 向量的概念 新疆 王新敞 奎屯
(1)向量的差不多要素：大小和方向 新疆 王新敞 奎屯
(2)向量的表示：几何表示法
AB
，
a
；坐标表示法
a
xi
yj
(x,
y)
新疆 王新敞
(3)向量的
奎屯
长度：即向量的大小，记作｜
a
｜ 新疆 王新敞
奎屯
(4)专门的向量：零向量 a ＝ 0
｜ a ｜＝0新疆 王新敞
奎屯
a a 单位向量 0 为单位向量
｜
｜＝1
0
新疆 王新敞
奎屯
(5)相等的向量：大小相等，方向相同
( x1 ,
y1 )
(x2 ,
y2 )

x1 y1

x2 y2

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量
新疆 王新敞
记作
a
∥
b
由于向量能
新疆 王新敞
奎屯
奎屯
够进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总能够平移到同一直线上，故平行向量也称为共 线向量
新疆 王新敞
奎屯
4 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示 新疆 王新敞 奎屯
和性质
运算类型 向 量 的 加 法
几何方法
1 平行四边形法那么 新疆 王新敞 奎屯
2 三角形法那么 新疆 王新敞 奎屯
向
量
的
三角形法那么
减
法
坐标方法
ab (x1 x2, y1 y2 )
运算性质
abba (a b) c a (b c)
AB BC AC
a b a (b)
a b (x1 x2, y1 y2 ) AB BA
OB OA AB
(a) ()a
向
量 的
a 1 是一个向量,满足: 新疆 王新敞 奎屯
a a 2 >0 时, 新疆 王新敞
与 同向;
奎屯
a (x,y)
( )a a a
乘
<0 时, a 与 a 异向;
法
a =0 时,
=0 新疆 王新敞
奎屯
(a b) a b
a ∥ b a b
a?b b?a
向
a ? b 是一个数
量
a 0 b 0 1
或
时,
新疆
王新敞
奎屯
的
a ? b =0
a?b
数
a 0 b 0 2
且
时,
新疆
王新敞
奎屯
x1x2 y1 y2
量
a ? b | a || b | cos(a,b)
积
(a) ? b a ? (b) (a ? b) (a b) ? c a ? c b ? c a2 | a |2 | a | x2 y2 | a ? b || a || b |
5 重要定理、公式： 新疆 王新敞 奎屯
(1)平面向量差不多定理
e1, e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于那个平面内任一向量，有且仅有一
对实数
1 ,
2
，使
a
1e1
2e2
(2)两个向量平行的充要条件

a ∥ b
a ＝λ b
x y x y 0 1 2
21
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(3)两个向量垂直的充要条件

a ⊥ b
a · b ＝O
x x y y 0 1 2
12
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(4)线段的定比分点公式
设点 P 分有向线段 P1P2 所成的比为λ，即 P1P ＝λ PP2 ，那么
OP
＝1 1
OP1
＋1 1
OP2
(线段的定比分点的向量公式)
x
x1 x2 1
,

y
y1 y2 1
.
(线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1 时，得中点公式：
OP
＝
1 2
〔 OP1
＋ OP2
〕或
x

y

x1 y1
x2 , 2 y2 . 2
(5)平移公式
设 点 P(x, y) 按 向 量 a (h, k) 平 移 后 得 到 点 P(x, y) ， 那 么 OP ＝ OP + a 或
x

y
x h,
，曲线
y k.
y
f (x) 按 向量 a
(h, k) 平 移 后 所 得 的 曲 线 的 函 数 解 析 式 为 ：
y k f (x h)
(6)正、余弦定理
正弦定理： a b c 2R. sin A sin B sin C
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A cos A b2 c 2 a 2 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c 2 a 2 b2 2ca
c2 a2 b2 2ab cosC cosC a 2 b2 c2 2ab
三、讲解范例：
例 1 在四边形 ABCD 中， AB · BC ＝ BC ·CD ＝ CD · DA ＝ DA · AB ，试证明四
边形 ABCD 是矩形新疆 王新敞 奎屯 分析：要证明四边形 ABCD 是矩形，能够先证四边形 ABCD 为平行四边形，再证明其一组

邻边互相垂直 为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行摸索
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
证明：设 AB ＝a， BC ＝b， CD ＝c， DA ＝d，那么
∵a＋b＋c＋d＝O ∴a＋b＝－〔c＋d)
新疆 王新敞
奎屯
两边平方得 ｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2， 又 a·b＝c·d ∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2〔1〕 同理｜a｜＋｜d｜2＝｜b｜2＋｜c｜2〔2〕 由(1)(2)得｜a｜2＝｜c｜2，｜d｜2＝｜b｜2， ∴a＝c，d＝b， 即 AB＝CD，BC＝DA ∴四边形 ABCD 是平行四边形
新疆 王新敞
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因此 AB ＝－ CD ，即 a＝－c，
又 a·b＝b·c，故 a·b＝b·〔－a〕 ∴a·b＝O
∴ AB ⊥ BC
∴四边形 ABCD 为矩形 新疆 王新敞 奎屯
评述：向量具有二重性，一方面具有〝形〞的特点，另一方面又具有一套优良的运算性 质，因此，关于某些几何命题的抽象的证明，自然能够转化为向量的运算咨询题来解决，要 注意体会
新疆 王新敞
奎屯
例 2 设坐标平面上有三点 A、B、C，ｉ，j 分不是坐标平面上 x 轴，y 轴正方向的单位
向量，假设向量 AB ＝ｉ－2j， BC ＝ｉ＋ｍj，那么是否存在实数ｍ，使 A、B、C 三点共
线 新疆 王新敞 奎屯 分析：能够假设满足条件的ｍ存在，由 A、B、C 三点共线 AB ∥ BC 存在实数
λ，使
AB
＝λ
BC
，从而建立方程来探究 新疆 王新敞
奎屯
解法一：假设满足条件的ｍ存在，由 A、B、C 三点共线，即 AB ∥ BC ，
∴存在实数λ，使 AB ＝λ BC ，
ｉ－2j＝λ〔ｉ＋ｍj〕，
1 m 2
∴ｍ＝－2 新疆 王新敞 奎屯
∴当ｍ＝－2 时，A、B、C 三点共线 新疆 王新敞 奎屯
解法二：假设满足条件的ｍ存在，依照题意可知：ｉ＝〔1，O〕，j＝〔O，1〕
∴ AB ＝〔1，O〕－2〔O，1〕＝〔1，－2〕，

BC ＝〔1，O〕＋ｍ〔O，1〕＝〔1，ｍ〕，
由 A、B、C 三点共线，即 AB ∥ BC ，
故 1·ｍ－1·〔－2〕＝O 解得ｍ＝－2 新疆 王新敞 奎屯
∴当ｍ＝－2 时，A、B、C 三点共线 新疆 王新敞 奎屯
评述： (1)共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中 各有特点，解题时可灵活选择
新疆 王新敞
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(2)此题是存在探干脆咨询题，这类咨询题一样有两种摸索方法，即假设存在法——当 存在时；假设否定法——当不存在时
新疆 王新敞
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四、课堂练习： 1 判定题
新疆 王新敞
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(1) AB ＋ BA ＝O〔√〕 (2)O AB ＝O〔×〕 〔3〕 AB － AC ＝ BC 〔×)
2 选择题 新疆 王新敞 奎屯
a，b 为两个单位向量，以下四个命题中正确的选项是( )
A．a 与 b 相等
B．假如 a 与 b 平行，那么 a 与 b 相等
C a·b＝1 新疆 王新敞 奎屯
D．a2＝b2
答案：D
3 A、B、C 新疆 王新敞
是直线ｌ上的顺次三点，指出向量
AB
、
AC
、 BA
、CB
中，哪些是方向相
奎屯
同的向量 新疆 王新敞 奎屯
答案：
AB
与
AC
方向相同，
BA
与 CB
方向相同 新疆 王新敞
奎屯
4 新疆 王新敞
AC
为
AB
与
AD
的和向量，且
AC
＝a，
BD
＝b，分不用
a、b
表示
AB
，
AD
新疆 王新敞
奎屯
奎屯
解： AB ＝ 1 〔a－b〕， 2
AD 1 a b ＝
〔＋〕 新疆 王新敞
奎屯
2
5 ABCDEF 新疆 王新敞
为正六边形，且
AB
＝a， AE
＝b，用
a，b
表示向量
DE
、 AD
、BC
、EF
、
奎屯
FA
、 CD
、
AC
、 CE
新疆 王新敞
奎屯
解： DE ＝－a， AB ＝a＋b， BC ＝ 1 〔a＋b〕， EF ＝－ 1 〔a＋b〕， FA ＝ 1 〔a
2
2
2
－b〕， CD
＝
1
〔b－a〕，
AC
＝
3
a＋
1
b， CE
＝
1
b－
3
a 新疆 王新敞
奎屯
2
22
22
6 点 A(－3，－4)、B〔5，－12〕 新疆 王新敞 奎屯
(1)求 AB 的坐标及｜ AB ｜；
(2)假设 OC ＝ OA ＋ OB ， OD ＝ OA － OB ，求 OC 及 OD 的坐标；
(3)求 OA · OB 新疆 王新敞 奎屯
解：(1) AB ＝〔8，－8〕，｜ AB ｜＝8 2

(2) OC ＝〔2，－16〕， OD ＝〔－8，8〕
(3)
OA
· OB
＝33 新疆
王新敞
奎屯
五、小结 通过本节学习，要求大伙儿在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉差不多概念及
运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析咨询题、解决咨 询题的能力
新疆 王新敞
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六、课后作业：
七、板书设计〔略〕
八、课后记及备用资料：
1 三点共线的证明 新疆 王新敞 奎屯
关于三点共线的证明，能够利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明
因为，定比分点咨询题中所涉及的三个点必定共线，而三个点共线时，必定构成定比分点
新疆
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王新敞
王新敞
奎屯
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例 1A〔－1，－1〕、B〔1，3〕、C〔2，5〕，求证 A、B、C 三点共线 新疆 王新敞 奎屯
证明：设点 B′〔1，y〕是 AC 的一个分点，且 AB ＝λ，那么 1＝ 1 2
BC
1
解得λ＝2 新疆 王新敞 奎屯
∴y＝ 1 2 5 ＝3 新疆 王新敞 奎屯 1 2
即点 B′与点 B 重合 新疆 王新敞 奎屯
∵点 B′在 AC 上，∴点 B 在 AC 上，
∴A、B、C 三点共线 新疆 王新敞 奎屯
2 利用正、余弦定理判定三角形形状 新疆 王新敞 奎屯
例 2 依照以下条件，判定△ABC 的形状
(1)acosA＝bcosB
(2)sin2Α＋sin2B＝sin2C，且 c＝2acosB 新疆 王新敞 奎屯
解：(1)∵acosA＝bcosB ∴ a cosB ∴ 2R sin A cosB , b cos A 2R sin B cos A
即 sinAcosA＝sinBcosB
∴sin2A＝sin2B
∴2A＝2B 或 2A＝π－2B ∴A＝B 或 A＋B＝ 2
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形 新疆 王新敞 奎屯
(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C
∴ ( a )2 ( b )2 ( c )2 , ∴a2＋b2＝c2 2R 2R 2R
故△ABC 是直角三角形，且 C＝9O°，
∴cosB＝ a ，代入 c＝2acosB 得 cosB＝ 2 ∴B＝45°，A＝45°
c
2
综上，△ABC 是等腰直角三角形 新疆 王新敞 奎屯
评注(1)条件中有边有角，一样须化边为角或化角为边，题(1)也能够化角为边 新疆 王新敞 奎屯

(2)题(1)结论中用〝或〞，题(2)中用〝且〞结论也就不同，切不可混淆 新疆 王新敞 奎屯
例 3 在△ABC 中，假设 a2＝b〔b＋c〕，那么 A 与 B 有何关系? 解：由正弦定理得 sin2A＝sinB〔sinB＋sinC〕
∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC， 〔sinA＋sinB〕〔sinA－sinB〕＝sinBsinC， sin〔A＋B〕sin〔A－B〕＝sinB·sinC ∵sin〔A＋B〕＝sinC， ∴sin〔A－B〕＝sinB， ∴A－B＝B，A＝2B，或 A－B＝π－B(舍去) 故 A 与 B 的关系是 A＝2B
新疆 王新敞
奎屯
3 利用正、余弦定理证明三角恒等式 新疆 王新敞 奎屯
例4
在△ABC 中，求证 a 2 a2
b2 b2
c2 c2
tan B . tan C
证明：由余弦定理，知 a2＋b2－c2＝2abcosC， a2－b2＋c2＝2cacosB，
∴ a 2 b2 c2 2ab cosC b cosC sin B cosC tan B . a 2 b2 c2 2ca cos B c cos B sin C cos B tan C
评注：关于含有 a2、b2、c2 的形式，常用余弦定理化边为角 新疆 王新敞 奎屯
例 5 在△ABC 中，2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ① cos2A＋3cosA＋3cos〔B－C〕＝1 ② 求：a∶b∶c
新疆 王新敞
奎屯
解：由①得 2a2＝3b2＋3c2 ③ ∵cosA＝－cos〔B＋C〕 由②得 3cos〔B－C〕－3cos〔B＋C〕＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C
新疆 王新敞
奎屯
∴cos〔B－C〕－cos〔B＋C〕＝sin2B＋sin2C， 2sinBsinC＝sin2B＋sin2C 即〔sinB－sinC〕2＝O， ∴sinB＝sinC，
∴2RsinB＝2RsinC，∴b＝c 代入③得
3 a＝ b 新疆
王新敞
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∴a∶b∶c＝
3 b∶b∶b＝
3 ∶1∶1 新疆
王新敞
奎屯

高中数学必修五全套教案(非常好的)

（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。

平面向量基本定理教案(区公开课)

仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师：蒋金凤 课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班

授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影 小结： 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同 的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？ 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 （1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？ 看图观察并 思考，说出自己 的判断和依据 学生口述，作图 过程得结果 独立完成，个别 展示 从实际生活 问题入手，贴近 学生的日常生 活，能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理，为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究，刚刚作图 的过程还记忆犹 新，按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

【人教B版】高中数学必修一(全册)同步练习全集 (含本书所有课时)

（人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．下列所给对象不能构成集合的是()． A．平面内的所宥点 B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点 C．清华大学附中高三年级全体学生 D．所宥高大的树 2．下列语句中正确的个数是()． ①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．3 3．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()． A．1 B．－2 C．6 D．2 -.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈?, ④3N ()．

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -, 3 3x 爲元素所构成的集合中最多 含宥( )． A ．2个元素 B ．7个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyz x y z x y z xyz +++ 的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素． 7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和?填空． (1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A , 2________A , (－1)0________A ； (2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ； (4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D . 9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素? 10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11a M a +∈-(a ≠± 1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来．

平面向量基本定理说课稿

一、说教材 1.教材的地位和作用 （1）向量是近代数学中重要和基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着及其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，因此，它有很高的教育价值。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.教学目标 （1）知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义,会利用平面向量基本定理解决简单问题;理解记忆直线的向量参数方程式和线段中点的向量表达式. （2）过程与方法：通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法，培养学生的归纳总结能力；体验用基底表示平面内任一向量的方法. （3）情感态度与价值观：通过本节课的学习培养学生的理性思维能力。 3.重点和难点 根据学生的认知规律及教学内容，我认为本节课的 重点是：对平面向量基本定理的探究。 难点是：对平面向量基本定理的理解及其应用 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习，科学应用。

采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。 三、说学情分析与学法指导 学情分析：前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算等；学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。 学法指导：教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。 四、说教学过程设计 为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我把本节课的教学实施分为以下环节来进行： （1）创设情景，提出问题 复习回顾平行向量基本定理,强调系数惟一确定,说明用一个向量就可以表示平面内任何一 个与其平行的向量.然后在平面内任意画出一个与其不平行的向量，问能不能只用前一个向量来表示?学生会说不能.接下来设问:那该如何表示.提出问题同时点题. （2）自主探究，解决问题 这一环节，是教学的重点，学生在富有启发性的问题下，自主作图，自主探究，不仅得出了定理，而且思维也得到了发展。主要采用问题的形式启发学生思考，有层次、有启发性的五个问题可以进一步使学生的思维走向深入。 1．学生拿出网格,讨论该如何表示. 2．利用投影仪让学生观察,在平面内任意画出一个向量还能否用这两个向量来表示?表示成

高中数学人教版必修4全套教案

第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

(苏教版)高中数学必修1配套练习+章节测试卷汇总

（苏教版）高中数学必修1配套练习+章节 测试卷汇总 第1章集合 1.1 集合的含义及其表示

A级基础巩固1．下列关系正确的是() ①0∈N；②2∈Q；③1 2?R；④－2?Z. A．③④B．①③C．②④D．① 解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N； ②不正确，因为2是无理数，所以2?Q； ③不正确，因为1 2是实数，所以 1 2∈R； ④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z. 答案：D 2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形 解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．答案：D 3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()

A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集 D ．第二、第四象限内的点集 解析：集合M 为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集． 答案：D 4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0 解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0?A . 答案：B 5．方程组?????x ＋y ＝2，x －2y ＝－1 的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1} B ．{1} C ．{(1，1)} D ．(1，1) 解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D. 答案：C 6．下列集合中为空集的是( ) A ．{x ∈N|x 2≤0} B ．{x ∈R|x 2－1＝0} C ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0} D ．{0} 答案：C 7．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a 的值是( ) A ．－3或－1或2 B ．－3或－1 C ．－3或2 D ．－1或2 解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}．当a 2－a ＋2＝4

2.3.1平面向量基本定理教案(人教A必修4)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示 第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任 意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用， 表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实 数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填 共线或不共线). 五、小结（略）

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

高中数学必修一全册同步练习含参考答案

高中数学必修一同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 课后作业· 练习案 【基础过关】 1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是 A.1= B.0 C.1 D.1 2．集合的另一种表示形式是 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有 ①集合，用列举法表示为{1,0,l}； ②实数集可以表示为或; ③方程组的解集为. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为 A. B. C.

D. 5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数； (2)满足方程的所有x的值构成的集合B. 【能力提升】 集合，，，设，则与集合有什么关系？

详细答案 【基础过关】 1．D 【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“?”的关系，故1∈A正确. 2．B 【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}. 3．D 【解析】对于①，由于x∈N，而－1?N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误. 4．C 【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0. 5． 【解析】由于P，Q相等，故，从而. 6．(2，5) 【解析】∵a∈A且a∈B， ∴a是方程组的解， 解方程组，得∴a为(2，5).

高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

[推荐]2020年苏教版高中数学必修一(全册)配套练习汇总

[推荐]2020年苏教版高中数学必修一(全册) 配套练习汇总 课后训练 千里之行 始于足下 1．下列对象能构成集合的序号是________． ①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R ；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵． 2．给出下列6个关系： 1 2 ∈R , Q ,0∈{0}, tan45°∈Z , 0∈N *, π∈Q , 其中, 正确 的个数为________． 3．（1）“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________． （2）设集合6 {}3A x x =∈∈-N N , 用列举法表示为____________． 4．已知集合A ＝{1,2,3}, B ＝{3, x 2,2}, 若A ＝B , 则x 的值是________． 5．下列结论中, 正确的个数是________． ①cos30°∈Q ；②若a -∈N , 则a ∈N ；③方程x 2＋4＝4x 的解集中含有2个元素；④若a ∈N *, b ∈N , 则a ＋b 的最小值为2；⑤|－3|∈N *. 6．下列结论中, 正确的序号是________． ①若以集合S ＝{a , b , c }中三个元素为边可构成一个三角形, 则该三角形一定不是等腰 三角形；②满足1＋x ＞x 的实数x 组成一个集合；20y +=的解集为{2, －2}；④方程（x －1）2（x ＋5）（x －3）＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集． 7．已知二元素集A ＝{a －3,2a －1}, 若－3∈A , 求实数a 的值． 8．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0, a ∈R }． （1）若A 中只有一个元素, 求a 的值； （2）若A 中最多有一个元素, 求a 的取值范围； （3）若A 中至少有一个元素, 求a 的取值范围．

平面向量基本定理教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

§2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：

人教版高中数学必修二教案全套

第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

高中数学必修平面向量知识点总结

高中数学必修4知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母 表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长 度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝ 0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚 是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都 可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由 于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向 相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r

(湘教版)高中数学必修1(全册)配套练习汇总

（湘教版）高中数学必修1（全册）配套练习汇总 1．下列集合中有限集的个数是()． ①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的个数是()． ①集合N中最小的数是1； ②－a不属于N＋，则a∈N＋； ③所有小的正数构成一个集合； ④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列选项正确的是()． A．x－5∈N＋B．π?R C．1?Q D．5∈Z 4．已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形 5．由a2,2－a,4组成一个集合M，M中含有3个元素，则实数a的取值可以是()．

A．1 B．－2 C．6 D．2 6．若集合M中只有2个元素，它们是1和a2－3，则a的取值范围是__________．7．关于集合有下列说法： ①大于6的所有整数构成一个集合； ②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合； ③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合； ④若a∈N，则－a?N； ⑤若x＝2，则x?Q. 其中正确说法的序号是__________． 8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素． 9．若所有形如3a(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-+ 是不 是集合A中的元素． 10．数集M满足条件：若a∈M，则1 1 a a + - ∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由 此确定的M的元素求出来．

平面向量的基本定理及坐标表示-说课稿

平面向量的基本定理及坐标表示说课稿 第一课时 各位评委、各位老师，大家好。我是....今天，我说课的内容是：人教A版必修四第二章第三节《平面向量的基本定理及坐标表示》第一课时，下面， 我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程以及设计说明五个方面来阐述一下我对本节课的设计。 一、教材分析： 1、教材的地位和作用： 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位. 2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 （1）知识与技能 了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （2）过程与方法

通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数 学思想，从而实现向量的“量化”表示。 （3）情感、态度与价值观 引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。 3、教学重点和难点：根据教材特点及教学目标的要求，我将教学重点确定为———平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示 教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用 二、教法分析： 针对本节课的教学目标和学生的实际情况，根据“先学后教，以学定教”原则，本节课采用由“自学—探究—点拨—建构—拓展”五个环节构成的诱导式学案导学方法。 三、学法指导 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。由于学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，并且对向量的物理背景有初步的了解，我引导学生采用问题探究式学法。让学生借助学案，在教师创设的情境下，根据已有的知识和经验，主动探索，积极交流，从而建立新的认知结构。 四、重点说明本节课的教学过程：本节课共设计了五个环节：发放学案，依案自学；分组探究，信息反馈；精讲点拨，解难释疑；归纳总结，建构网络；当堂达标，迁移拓展。 1、发放学案，依案自学 学习并非学生对教师授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构。根据这一理念，我在课前下发“导学学案”，让学生以学案为依据，以学习目标、学习重点难点为主攻方向，主动查阅教材、工具