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2018届高考数学10-6离散型随机变量及其分布列(理)配套作业北师大版 精品

【高考核动力】2018届高考数学 10-6离散型随机变量及其分布

列(理)配套作业 北师大版

1.若随机变量X 的概率分布列为

且p 1=1

2p 2,则p 1等于( )

A.1

2 B.1

3 C.14

D.16

【解析】 由p 1+p 2=1且p 2=2p 1可解得p 1=1

3.

【答案】 B

2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i

2a (i =1,2,3),则P (X =2)等于( )

A.19 .16 C.13

D.14

【解析】 ∵12a +22a +3

2a

=1,∴a =3,

P (X =2)=

22×3=13

. 【答案】 C

3.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X ,则X 的所有可能取值个数为( )

A .25

B .10

C .7

D .6

【解析】 X 的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9.

【答案】 C

4.随机变量X 的分布列如下:

b 其中a ,b ,

c 【解析】 ∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c .又a +b +c =1,∴b =1

3,∴P (|X |=1)

=a +c =2

3

.

【答案】 2

3

5.(2018·安徽高考)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是

A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道

B 类型试题入库,此次调题

工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有n +m 道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量.

(1)求X =n +2的概率; (2)设m =n ,求X 的分布列.

【解】 (1)X =n +2表示两次调题均为A 类型试题,概率为

n m +n

×

n +1

m +n +2

n n +m +n m +n +

.

(2)m =n 时,每次调用的是A 类型试题的概率为P =1

2,随机变量X 可取n ,n +1,n +

2.

P (X =n )=(1-p )2=14

, P (X =n +1)=2p (1-p )=12

P (X =n +2)=p 2=14

,所以X 的分布列为

课时作业

【考点排查表】

1.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)的值为( )

A .1 B.12 C.13

D.15

【解析】 设X 的分布列为:

即“X =0”表示试验失败,“X p ,成功的概率为2p .由p +2p =1,则p =1

3

,因此选C.

【答案】 C

2.若P (X ≤x 2)=1-β,P (X ≥x 1)=1-α,其中x 1<x 2,则P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A .(1-α)(1-β) B .1-(α+β) C .1-α(1-β)

D .1-β(1-α)

【解析】 由分布列性质可有:

P (x 1≤X ≤x 2)=P (X ≤x 2)+P (X ≥x 1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β).

【答案】 B

3.已知离散型随机变量X 的分布列为

则k 的值为( )

A.12 B .1 C .2

D .3

【解析】 由分布列性质有k n +k n +…+k n

=1,得k =1. 【答案】 B

4.今有电子原件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为( )

A.C 3

5

C 350 B.C 15+C 25+C 3

5C 3

50 C .1-C 3

45

C 350

D.C 15C 2

45+C 25C 2

45C 3

50

【解析】 不出现二级品的结果数为C 3

45, 不出现二级品的概率为C 3

45

C 350,

∴出现二级品的概率为1-C 3

45

C 350.

【答案】 C

5.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )

A.C 4

80C 6

10

C 10100 B.C 680C 4

10C 10100 C.C 4

80C 620

C 10100

D.C 6

80C 4

20C 10100

【解析】 超几何分布恰有6个红球则有4个白球,结果数为C 6

80C 4

20, ∴恰有6个红球的概率为C 6

80C 4

20

C 10100.

【答案】 D

6.一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为

止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于n -m A 2m

A 3

n

的是( ) A .P (ξ=3) B .P (ξ≥2) C .P (ξ≤3)

D .P (ξ=2)

【解析】 由超几何分布知P (ξ=2)=n -m A 2m

A 3

n

【答案】 D 二、填空题

7.随机变量X 的分布列P (X =k )=a ? ??

??23k

,k =1,2,3,…,则a 的值为________.

【解析】 由∞

k =1P (X =k )=1,即 a ??????23+? ????232+? ????233+…=1. ∴a 23

1-

23=1,解得a =12.

【答案】 1

2

8.若离散型随机变量X 的分布列为

常数c =______.

【解析】 由离散型随机变量分布列的基本性质知 ?????

9c 2

-c +3-8c =1,0≤9c 2

-c ≤1,0≤3-8c ≤1,解得c =1

3

.

【答案】 13

9.抛掷2颗骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)=________. 【解析】 相应的基本事件空间有36个基本事件,其中X =2对应(1,1);X =3对应(1,2),(2,1);X =4对应(1,3),(2,2),(3,1).

所以P (X ≤4)=P (X =2)+P (X =3)+P (X =4) =136+236+336=16. 【答案】 1

6

三、解答题

10.设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为34,遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进,

ξ表示停车时已经通过的路口数,求:

(1)ξ的分布列;

(2)停车时最多已通过3个路口的概率.

【解】 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示事件“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”,

则P (A k )=3

4(k =1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立.

故P (ξ=0)=P (A 1)=1

4

P (ξ=1)=P (A 1·A 2)=34×14=316

; P (ξ=2)=P (A 1·A 2·A 3)=(34)214=964

; P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(34)314=27

256

P (ξ=4)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(34

)4=

81256

. 从而ξ有分布列:

(2)P (ξ≤3)=1-P (ξ=4)=1-256=256.

即停车时最多已通过3个路口的概率为175

256

.

11.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件,求:

(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列;

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

【解】 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 3

10,从10件产品中任取3件,其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3-k

7,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k 件一等品的概率为P (X =k )=C k 3C 3-k

7

C 310

,k =0,1,2,3.

所以随机变量X 的分布列是

(2)设“取出的3A ,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1,“恰好取出2件一等品”为事件A 2,“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1,A 2,A 3彼此互斥,

且A =A 1∪A 2∪A 3,而

P (A 1)=C 13C 2

3C 310=340,P (A 2)=P (X =2)=7

40

P (A 3)=P (X =3)=

1

120

, ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=340+740+1120=31120

. 12.一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是25;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是7

9

.

(1)若袋中共有10个球; ①求白球的个数;

②从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 分布列;

(2)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于7

10,并指出袋中哪

种颜色的球个数最少.

【解】 (1)①记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件A ,设袋中白球的个数为x ,则

P (A )=1-C 2

10-x C 210=7

9,得到x =5.

故白球有5个.

②随机变量X 的取值为0,1,2,3, P (X =0)=C 35C 10=1

12;

P (X =1)=C 15C 25C 310=5

12;

P (X =2)=C 25C 15C 310=5

12;

P (X =3)=C 35C 310=1

12.

故X 的分布列为:

(2)证明:设袋中有n 由题意得y =2

5

n ,

所以2y <n,2y ≤n -1,故

y

n -1≤12

. 设“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B , 则P (B )=25·n -y n -1+35·y n -1+25·y -1

n -1

=25+35×y n -1≤25+35×12=710

. 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于25n ,红球的个数少于n

5.故袋中红球个数最少.

四、选做题

13.(2018·全国新课标高考)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式.

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

以100(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列; (2)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.

【解】 (1)当n ≥16时,y =16×(10-5)=80. 当n ≤5时,y =5n -5(16-n )=10n -80.

得:y =?

??

??

10n -80,

n ,

80, n

(n ∈N )

(2)①X 可取60,70,80

P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7 X 的分布列为

②购进17y =(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-1×5)×0.16+17×5×0.54

=76.4.

76.4>76得:应购进17枝.

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