【高考核动力】2018届高考数学 10-6离散型随机变量及其分布
列(理)配套作业 北师大版
1.若随机变量X 的概率分布列为
且p 1=1
2p 2,则p 1等于( )
A.1
2 B.1
3 C.14
D.16
【解析】 由p 1+p 2=1且p 2=2p 1可解得p 1=1
3.
【答案】 B
2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i
2a (i =1,2,3),则P (X =2)等于( )
A.19 .16 C.13
D.14
【解析】 ∵12a +22a +3
2a
=1,∴a =3,
P (X =2)=
22×3=13
. 【答案】 C
3.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X ,则X 的所有可能取值个数为( )
A .25
B .10
C .7
D .6
【解析】 X 的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9.
【答案】 C
4.随机变量X 的分布列如下:
b 其中a ,b ,
c 【解析】 ∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c .又a +b +c =1,∴b =1
3,∴P (|X |=1)
=a +c =2
3
.
【答案】 2
3
5.(2018·安徽高考)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是
A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道
B 类型试题入库,此次调题
工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有n +m 道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量.
(1)求X =n +2的概率; (2)设m =n ,求X 的分布列.
【解】 (1)X =n +2表示两次调题均为A 类型试题,概率为
n m +n
×
n +1
m +n +2
=
n n +m +n m +n +
.
(2)m =n 时,每次调用的是A 类型试题的概率为P =1
2,随机变量X 可取n ,n +1,n +
2.
P (X =n )=(1-p )2=14
, P (X =n +1)=2p (1-p )=12
,
P (X =n +2)=p 2=14
,所以X 的分布列为
课时作业
【考点排查表】
1.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)的值为( )
A .1 B.12 C.13
D.15
【解析】 设X 的分布列为:
即“X =0”表示试验失败,“X p ,成功的概率为2p .由p +2p =1,则p =1
3
,因此选C.
【答案】 C
2.若P (X ≤x 2)=1-β,P (X ≥x 1)=1-α,其中x 1<x 2,则P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A .(1-α)(1-β) B .1-(α+β) C .1-α(1-β)
D .1-β(1-α)
【解析】 由分布列性质可有:
P (x 1≤X ≤x 2)=P (X ≤x 2)+P (X ≥x 1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β).
【答案】 B
3.已知离散型随机变量X 的分布列为
则k 的值为( )
A.12 B .1 C .2
D .3
【解析】 由分布列性质有k n +k n +…+k n
=1,得k =1. 【答案】 B
4.今有电子原件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为( )
A.C 3
5
C 350 B.C 15+C 25+C 3
5C 3
50 C .1-C 3
45
C 350
D.C 15C 2
45+C 25C 2
45C 3
50
【解析】 不出现二级品的结果数为C 3
45, 不出现二级品的概率为C 3
45
C 350,
∴出现二级品的概率为1-C 3
45
C 350.
【答案】 C
5.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )
A.C 4
80C 6
10
C 10100 B.C 680C 4
10C 10100 C.C 4
80C 620
C 10100
D.C 6
80C 4
20C 10100
【解析】 超几何分布恰有6个红球则有4个白球,结果数为C 6
80C 4
20, ∴恰有6个红球的概率为C 6
80C 4
20
C 10100.
【答案】 D
6.一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为
止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于n -m A 2m
A 3
n
的是( ) A .P (ξ=3) B .P (ξ≥2) C .P (ξ≤3)
D .P (ξ=2)
【解析】 由超几何分布知P (ξ=2)=n -m A 2m
A 3
n
【答案】 D 二、填空题
7.随机变量X 的分布列P (X =k )=a ? ??
??23k
,k =1,2,3,…,则a 的值为________.
【解析】 由∞
k =1P (X =k )=1,即 a ??????23+? ????232+? ????233+…=1. ∴a 23
1-
23=1,解得a =12.
【答案】 1
2
8.若离散型随机变量X 的分布列为
常数c =______.
【解析】 由离散型随机变量分布列的基本性质知 ?????
9c 2
-c +3-8c =1,0≤9c 2
-c ≤1,0≤3-8c ≤1,解得c =1
3
.
【答案】 13
9.抛掷2颗骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)=________. 【解析】 相应的基本事件空间有36个基本事件,其中X =2对应(1,1);X =3对应(1,2),(2,1);X =4对应(1,3),(2,2),(3,1).
所以P (X ≤4)=P (X =2)+P (X =3)+P (X =4) =136+236+336=16. 【答案】 1
6
三、解答题
10.设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为34,遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进,
ξ表示停车时已经通过的路口数,求:
(1)ξ的分布列;
(2)停车时最多已通过3个路口的概率.
【解】 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示事件“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”,
则P (A k )=3
4(k =1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立.
故P (ξ=0)=P (A 1)=1
4
;
P (ξ=1)=P (A 1·A 2)=34×14=316
; P (ξ=2)=P (A 1·A 2·A 3)=(34)214=964
; P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(34)314=27
256
;
P (ξ=4)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(34
)4=
81256
. 从而ξ有分布列:
(2)P (ξ≤3)=1-P (ξ=4)=1-256=256.
即停车时最多已通过3个路口的概率为175
256
.
11.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件,求:
(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
【解】 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 3
10,从10件产品中任取3件,其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3-k
7,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k 件一等品的概率为P (X =k )=C k 3C 3-k
7
C 310
,k =0,1,2,3.
所以随机变量X 的分布列是
(2)设“取出的3A ,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1,“恰好取出2件一等品”为事件A 2,“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1,A 2,A 3彼此互斥,
且A =A 1∪A 2∪A 3,而
P (A 1)=C 13C 2
3C 310=340,P (A 2)=P (X =2)=7
40
,
P (A 3)=P (X =3)=
1
120
, ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=340+740+1120=31120
. 12.一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是25;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是7
9
.
(1)若袋中共有10个球; ①求白球的个数;
②从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 分布列;
(2)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于7
10,并指出袋中哪
种颜色的球个数最少.
【解】 (1)①记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件A ,设袋中白球的个数为x ,则
P (A )=1-C 2
10-x C 210=7
9,得到x =5.
故白球有5个.
②随机变量X 的取值为0,1,2,3, P (X =0)=C 35C 10=1
12;
P (X =1)=C 15C 25C 310=5
12;
P (X =2)=C 25C 15C 310=5
12;
P (X =3)=C 35C 310=1
12.
故X 的分布列为:
(2)证明:设袋中有n 由题意得y =2
5
n ,
所以2y <n,2y ≤n -1,故
y
n -1≤12
. 设“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B , 则P (B )=25·n -y n -1+35·y n -1+25·y -1
n -1
=25+35×y n -1≤25+35×12=710
. 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于25n ,红球的个数少于n
5.故袋中红球个数最少.
四、选做题
13.(2018·全国新课标高考)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
以100(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列; (2)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
【解】 (1)当n ≥16时,y =16×(10-5)=80. 当n ≤5时,y =5n -5(16-n )=10n -80.
得:y =?
??
??
10n -80,
n ,
80, n
(n ∈N )
(2)①X 可取60,70,80
P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7 X 的分布列为
②购进17y =(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-1×5)×0.16+17×5×0.54
=76.4.
76.4>76得:应购进17枝.