(推荐)高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明
一、 塞瓦定理
1．塞瓦定理及其证明
定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA
??=． 证明：运用面积比可得ADC
ADP BDP BDC
S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有
ADC ADC ADP APC
ADP BDP BDC BDC BDP BPC
S S S S S S S S S S ??????????-===
-，
所以APC
BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC
S BE EC S ??=，BPC
APB S CF FA S ??=． 三式相乘得
1AD BE CF
DB EC FA
??=． A
B
C
D E
F
P
注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
2．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、
F 均不是?ABC 的顶点，若
1AD BE CF
DB EC FA
??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有
/
/
1AD BE CF
D B EC FA
??=． 因为
1AD BE CF DB EC FA
??=，所以有/
/AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．
注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．
A
B
C
D F
P
D /
二、 梅涅劳斯定理
3．梅涅劳斯定理及其证明
定理：一条直线与?ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA
??=．
证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．
因为CG // AB ，所以CG CF
AD FA
= ————（1） 因为CG // AB ，所以CG EC
DB BE
= ————（2） 由（1）÷（2）可得DB BE CF
AD EC FA
=?，即得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG ）使得命题顺利获证．
4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在?ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线
上有一点F ，若
1AD BE CF
DB EC FA
??=， 那么，D 、E 、F 三点共线．
证明：设直线EF 交AB 于点D /
，则据梅涅劳斯定理有
//
1AD BE CF
D B EC FA
??=． 因为
1AD BE CF DB EC FA
??=，所以有/
/AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．
注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律． 三、 托勒密定理
5．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，则有 AB ·CD + BC
A
B
C
D
E
F
D /
·AD = AC ·BD ．
证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点，在线段BD 上找一点，使得∠DAE =∠BAM ．
因为∠ADB =∠ACB ，即∠ADE =∠ACB ，所以?ADE ∽?ACB ，即得
AD DE
AC BC
=，即AD BC AC DE ?=? ————（1） 由于∠DAE =∠BAM ，所以∠DAM =∠BAE ，即∠DAC =∠BAE 。而∠ABD =∠ACD ，即∠ABE =∠ACD ，所以?ABE ∽?ACD ．即得
AB BE
AC CD
=，即AB CD AC BE ?=? ————（2） 由（1）+（2）得
AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ?+?=?+?=?． 所以AB ·CD + BC ·AD = AC ·BD ．
注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．
6．托勒密定理的逆定理及其证明
定理：如果凸四边形ABCD 满足AB ×CD + BC ×AD = AC ×BD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆．
证法1（同一法）：
在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，
EBA DCA ∠=∠，则EAB ?∽DAC ?．
可得AB ×CD = BE ×AC ———（1）
且 AE AB
AD AC = ———（2）
则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ?∽CAB ?．于是有 AD ×BC = DE ×AC ———（3）
由（1）+（3）可得 AB ×CD + BC ×AD = AC ×( BE + DE )． 据条件可得 BD = BE + DE ，则点E 在线段BD 上．则由
EBA DCA ∠=∠，得DBA DCA ∠=∠，这说明A 、B 、C 、D 四点共
圆．
证法2（构造转移法）
延长DA 到A /，延长DB 到B /，使A 、B 、B /、A /四点共圆．延长DC 到C /，使得B 、C 、C /、B /四点共圆．（如果能证明A /、B /、C /共线，则命题获证）
那么，据圆幂定理知A 、C 、C /、A /
四点也共圆．
因此，
///A B A D
AB BD
=，
///B C C D
BC BD =．
可得 //
////
AB A D BC C D A B B C BD
?+?+=.
另一方面，///A C A D AC CD =，即/
//
AC A D A C CD
?=． 欲证//AB A D BC C D BD
?+?=/AC A D
CD ?，即证
///AB CD A D BC CD C D AC BD A D ??+??=??
即 //
()BC CD C D AC BD AB CD A D ??=?-?．