计算题题型专练(五) 电磁感应规律的综合应用
1.如图所示,两根间距为L =0.5 m 的平行金属导轨,其cd 左侧水平,右侧为竖直的1
4圆
弧,圆弧半径r =0.43 m ,导轨的电阻与摩擦不计,在导轨的顶端接有R 1=1.5 Ω的电阻,整个装置处在竖直向上的匀强磁场中,现有一根电阻R 2=10 Ω的金属杆在水平拉力作用下,从图中位置ef 由静止开始做加速度a =1.5 m/s 2
的匀加速直线运动,金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好,开始运动的水平拉力F =1.5 N ,经2 s 金属杆运动到cd 时撤去拉力,此时理想电压表的示数为1.5 V ,此后金属杆恰好能到达圆弧最高点ab ,g =10 m/s 2
,求:
(1)匀强磁场的磁感应强度大小;
(2)金属杆从cd 运动到ab 过程中电阻R 1上产生的焦耳热。 解析 (1)金属杆运动到cd 时,由欧姆定律可得
I =U
R 1
=0.15 A 由闭合电路的欧姆定律可得E =I (R 1+R 2)=0.3 V 金属杆的速度v =at =3 m/s
由法拉第电磁感应定律可得E =BLv ,解得B =0.2 T (2)金属杆开始运动时由牛顿第二定律可得F =ma ,解得
m =1 kg
金属杆从cd 运动到ab 的过程中,由能量守恒定律可得Q =12
mv 2
-mgr =0.2 J 。
故Q=
R1
R1+R2
Q=0.15 J。
答案(1)0.2 T (2)0.15 J
2.如图所示,两条间距L=0.5 m且足够长的平行光滑金属直导轨,与水平地面成α=30°角固定放置,磁感应强度B=0.4 T的匀强磁场方向垂直导轨所在的斜面向上,质量m ab =0.1 kg、m cd=0.2 kg的金属棒ab、cd垂直导轨放在导轨上,两金属棒的总电阻r=0.2 Ω,导轨电阻不计。ab在沿导轨所在斜面向上的外力F作用下,沿该斜面以v=2 m/s的恒定速度向上运动。某时刻释放cd,cd向下运动,经过一段时间其速度达到最大。已知重力加速度g=10 m/s2,求在cd速度最大时,求:
(1)abcd回路的电流强度I以及F的大小;
(2)abcd回路磁通量的变化率以及cd的速率。
解析(1)以cd为研究对象,当cd速度达到最大值时,有:m cd g sin α=BIL①
代入数据,得:I=5 A
由于两棒均沿斜面方向做匀速运动,可将两棒看作整体,作用在ab上的外力:F=(m ab +m cd)g sin α②
(或对ab:F=m ab g sin α+BIL)
代入数据,得:F=1.5 N
(2)设cd达到最大速度时abcd回路产生的感应电动势为E,根据法拉第电磁感应定律,
有:E =ΔΦ
Δt
③
由闭合电路欧姆定律,有:I =E r
④
联立③④并代入数据,得:
ΔΦ
Δt
=1.0 Wb/s 电路中总电动势E =Bl (v +v m )⑤ 联立④⑤并代入数据,得:v m =3 m/s 。 答案 (1)5 A 1.5 N (2)1.0 Wb/s 3 m/s
3.如图甲所示,弯折成90°角的两根足够长金属导轨平行放置,形成左右两导轨平面,左导轨平面与水平面成53°角,右导轨平面与水平面成37°角,两导轨相距L =0.2 m ,导轨电阻不计。质量均为m =0.1 kg 的金属杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路。其中金属杆ab 的电阻R =0.2 Ω,金属杆cd 的电阻忽略不计,两金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.5,整个装置处于磁感应强度大小B =1.0 T ,方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面上的匀强磁场中。t =0时刻开始,对ab 杆施加一垂直ab 杆且平行右导轨平面向下的力F ,使ab 杆以初速度v 1沿右导轨平面匀速下滑。1 s 后,使ab 做匀加速直线运动,t =2 s 后,又使ab 杆沿导轨平面匀速下滑。整个过程中cd 杆运动的v -t 图象如图乙所示(其中第1 s 、第3 s 内图线为直线)。两杆下滑过程均保持与导轨垂直且接触良好,取g =10 m/s 2
,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)在第1 s 内cd 杆受到的安培力的大小;
(2)ab 杆的初速度v 1及第2 s 末的速度v 2;
(3)若第2 s 内力F 所做的功为9 J ,求第2 s 内ab 杆所产生的焦耳热。 解析 (1)对cd 杆,由v -t 图象得:a 1=Δv Δt =3 m/s 2
,
由牛顿第二定律得mg sin 53°-μ(mg cos 53°+F 安)=ma 1, 解得F 安=0.4 N
(2)对ab 杆,感应电动势E =BLv 1
电流I =E R
,
cd 杆的安培力F 安=BIL ,
解得v 1=2 m/s ,
由题意得第3 s 内cd 的加速度a 2=-3 m/s 2
对cd 杆,由牛顿第二定律得mg sin 53°-μ? ??
??mg cos 53°+B 2L 2
v 2R =ma 2, 解得v 2=8 m/s 。
(3)由运动学知识得第2 s 内ab 杆的位移x 2=v 1+v 2
2
t =5m ,
由动能定理得W F +W G +W f +W 安=12mv 22-12mv 2
1,
又W F =9 J ,
W G =mgx 2sin 37°, W f =-μmgx 2cos 37°,
-W 安=Q ab , 解得:Q ab =7 J 。
答案 (1)0.4 N (2)2 m/s 8 m/s (3)7 J
4.如图所示,AD 与A 1D 1为水平放置的无限长平行金属导轨,DC 与D 1C 1倾角为θ=37°的平行金属导轨,两组导轨的间距均为l =1.5 m ,导轨电阻忽略不计。质量为m 1=0.35 kg 、电阻为R 1=1 Ω的导体棒ab 置于倾斜导轨上,质量为m 2=0.4 kg 、电阻为R 2=0.5 Ω的导体棒cd 置于水平导轨上,轻质细绳跨过光滑滑轮一端与cd 的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒ab 、cd 与导轨间的动摩擦因数相同,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度为B =2 T 。初始时刻,棒ab 在倾斜导轨上恰好不下滑。(g 取10 m/s 2
,sin 37°=0.6)
(1)求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ;
(2)在轻质挂钩上挂上物体P ,细绳处于拉伸状态,将物体P 与导体棒cd 同时由静止释放,当P 的质量不超过多大时,ab 始终处于静止状态?(导体棒cd 运动过程中,ab 、cd 一直与DD 1平行,且没有与滑轮相碰。)
(3)若P 的质量取第(2)问中的最大值,由静止释放开始计时,当t =1 s 时cd 已经处于匀速直线运动状态,求在这1 s 内ab 上产生的焦耳热为多少?
解析 (1)对ab 棒,由平衡条件得m 1g sin θ-μm 1g cos θ=0 解得μ=3
4
(或0.75)
(2)当P的质量最大时,P和cd的运动达到稳定时,P和cd一起做匀速直线运动,ab 处于静止状态,但摩擦力达到最大且沿斜面向下。设此时电路中的电流为I,对ab棒,由平衡条件得
沿斜面方向:IlB cos θ-m1g sinθ-μN=0
垂直于斜面方向:N-IlB sin θ-m1g cosθ=0
对cd棒,设绳中的张力为T,由平衡条件得
T-IlB-μm2g=0
对P,由平衡条件得Mg-T=0
联立以上各式得:M=1.5 Kg
故当P的质量不超过1.5 Kg时,ab始终处于静止状态
(3)设P匀速运动的速度为v,由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得
Blv=I(R1+R2)
得v=2 m/s
对P、棒cd,由牛顿第二定律得
Mg-μm2g-B Blv1
R1+R2
l=(M+m2)a
两边同时乘以Δt,并累加求和,可得
Mgt -μm 2gt -B Bls
R 1+R 2
l =(M +m 2)v
解得s =41
30
m
对P 、ab 棒和cd 棒,由能量守恒定律得
Mgs =μm 2gs +Q +12
(M +m 2)v 2
解得Q =12.6 J
在这1 s 内ab 棒上产生的焦耳热为Q 1=R 1
R 1+R 2
Q =8.4 J 。 答案 (1)3
4
(2)1.5 kg (3)8.4 J
5.如图所示,两足够长电阻不计的光滑平行金属导轨MN 、PQ 相距L =1 m ,导轨平面与水平面夹角θ=37°,导轨空间内存在着垂直导轨平面向上的匀强磁场。长为L 的金属棒
ab 垂直于MN 、PQ 放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量m =0.1 kg 、电阻r =8 Ω。两金属导轨的上端连接右端电路,定值电阻R 1=12 Ω,R 2=6 Ω,开关S 未闭合,
已知g =10 m/s 2
,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。试求:
(1)若磁感应强度随时间变化满足B =2t +1(T),金属棒由距导轨顶部1 m 处释放,求至少经过多长时间释放,会获得沿斜面向上的加速度;
(2)若匀强磁场大小为B 2=2 T ,现对金属棒施加一个平行于导轨沿斜面向下的外力F ,使金属棒沿导轨向下做加速度为a =10 m/s 2
的匀加速直线运动,外力F 与时间t 应满足什么样的关系。
(3)若匀强磁场大小为B 1=35
5T ,现将金属棒从顶部由静止释放并闭合开关S ,棒刚好
达到最大速度时,R 2已产生的总热量为QR 2=16
45
J ,则此过程金属棒下滑的距离为多大?
解析 (1)金属棒有沿着斜面向上的加速度, 则BIL >mg sin θ
又I =
E
r +R 1
其中:E =ΔφΔt =ΔB Δt ·L 2=KL 2
=2 V
其中:B =2t +1(T)
解得:t >2.5 s 即至少需要2.5 s 。
(2)对金属棒由牛顿第二定律得:F +mg sin θ-F A =ma
其中F A =B 1I 1L =B 21L 2v
r +R 1
其中:v =at 解得:F =2t +0.4(N)
(3)棒达到最大速度时R 1产生热量Q R 1=R 2R 1·QR 2=8
45
J
并联电阻R =
R 1R 2
R 1+R 2
=4 Ω 棒产生热量Q r =(Q R 1+Q R 2)·r R =16
15
J
得Q =Q r +Q R 1+Q R 2=8
5
J
棒达到最大速度时受力平衡B 2I 2L =mg sin θ
其中:I 2=
B 2Lv m
r +R
解得:v m =4 m/s
由能量守恒得:mgx ·sin θ=Q +12mv 2
m 。
解得:x =4 m 。
答案 (1)2.5 s (2)F =2t +0.4 (N) (3)4 m