专题九 解析几何第二十七讲 双曲线 (1)
专题九 解析几何
第二十七讲 双曲线
一、选择题
1．(2018浙江)双曲线2
213
x y -=的焦点坐标是 A ．(2,0)-，2,0) B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,2)，2）
D ．(0,2)-，(0,2)
2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2
213
-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ．
3
2
B ．3
C ．23
D ．4
3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22
221(0,0)-=>>x y a b a b
3
A ．2=y x
B ．3=y x
C ．2=y x
D ．3
=y 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，O 是
坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||6|PF OP =，则C 的离心率为 A 5
B ．2
C 3
D 2
5．(2018天津)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为
A ．
221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22
193
x y -=
6．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线被圆
22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为
A ．2
B 3
C 2
D ．
3
3
7．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆
22
1123
x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．
221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22
143x y -= 8．（2017天津）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F 2．若经
过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A ．22144x y -=
B ．22188x y -=
C ．22148x y -=
D ．22
184x y -= 9．(2016天津)已知双曲线
2
22=1(0)4x y b b
->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为
A ．22443=1y x -
B ．22344=1y x -
C ．2224=1x y b -
D ．2
224=11x y - 10．(2016年全国I)已知方程22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
A ．(–1,3)
B ．(–1,3)
C ．(0,3)
D ．(0,3)
11．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22
221x y a b
-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与
x 轴垂直，211sin 3
MF F ∠=,则E 的离心率为
A 2
B ．
3
2
C 3
D ．2 12．（2015四川）过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则AB =
A 43
B ．3
C ．6
D ．313．（2015福建）若双曲线22
:1916
x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
14．（2015湖北）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加
(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则
A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 15．（2015安徽）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是
A ．22
14y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．22
14
x y -= 16．（2015新课标1）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是 A ．33( B ．33( C ．2222(,33-
D ．33
(33
- 17．（2015重庆）设双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F
作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点
D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b +，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A ．(1,0)(0,1)-∪
B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪
C ．2,0)2)∪
D ．(,1)2,)-∞-+∞∪
18．（2014新课标1）已知F 是双曲线C ：2
2
3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C
的一条渐近线的距离为
A 3
B ．3
C 3m
D ．3m
19．（2014广东）若实数k 满足09k <<，则曲线
221259x y k -=-与曲线22
1259
x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等
20．（2014天津）已知双曲线2
22
2
1x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：
210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A ．
2
21520x y B ．
2
21205x y
C ．
2233125
100
x y D ．
2
2331100
25
x y
21．（2014重庆）设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，双曲线
上存在一点P 使得,4
9
||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =?=+则该双曲线的离心率为 A ．
34 B ．35 C ．4
9
D ．3 22．（2013新课标1）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>5C
的渐近线方程为
A ．
14y x =± B ．13y x =± C ．1
2y x =± D ．y x =± 23．(2013湖北)已知04
π
θ<<，则双曲线1C ：222
21cos sin x y θθ-=与2C ：2
2sin y θ
2
221sin tan y θθ
-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ． 离心率相等 24．（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为0
60的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A ．3(
2]3 B ．23
[,2)3
C ．23()+∞
D ．23)+∞ 25．（2012福建）已知双曲线22
215
x y a -
=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于 A ．
314
14
B ．
324 C ．3
2
D ．
4
3
26．（2012湖南）已知双曲线C ：22x a -2
2y b
=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，
则C 的方程为
A ．220x -25y =1
B ．25x -220y =1
C ．2
80x -220
y =1 D ．220x -280y =1 27．（2011安徽）双曲线x y 2
2
2-=8的实轴长是
A ．2
B ．22
C ．4
D ．228．（2011山东）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆
22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
A ．22154x y -=
B ．22145x y -=
C ．22136x y -=
D ．22
163x y -= 29．（2011湖南）设双曲线22
21(0)9
x y a a -
=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
30．（2011天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线2
2(0)
y px p =>
的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)
--，则双曲线的焦距为
A．23B．5C．43D．45 31．（2010新课标）已知双曲线E的中心为原点，(3,0)
P是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(12,15)
N--,则E的方程式为
A．
22
1
36
x y
-=B．
22
1
45
x y
-=C．
22
1
63
x y
-=D．
22
1
54
x y
-=
32．（2010新课标）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)
-，则它的离心率为
A6B5C．
6
2
D．
5
2
33．（2010福建）若点O和点F分别为椭圆
22
1
43
x y
+=的中心和左焦点，点P为椭圆上的
任意一点，则OP FP
?的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8 二、填空题
34．(2018上海)双曲线
2
21
4
x
y
-=的渐近线方程为．
35．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的右焦点
(,0)
F c到一条渐近线的距离为
3
2
c，则其离心率的值是．
36．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
2
21
3
x
y
-=的右准线与它的两条渐近
线分别交于点P，Q，其焦点是1F，2F，则四边形12
F PF Q的面积是．
37．（2017新课标Ⅰ）已知双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的右顶点为A，以A为圆
心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．
38．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的右支与焦
点为F 的抛物线2
2(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．
39．（2017北京）若双曲线2
2
1y x m
-=3m =_________．
40．(2016年北京)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC
所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．
41．(2016山东)已知双曲线E ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E
上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 .
42．（2015北京）已知双曲线()2
2210x y a a
-=>30x y +=，则a = ．
43．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12
2
=-y x 右支上的一个动点．若
点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ．
44．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b
-=(0,0)a b >>的渐近线
与抛物线2C ：2
2x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．
45．（2014山东）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线
22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且
||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ．
46．（2014浙江）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近
线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是____．
47．（2014北京）设双曲线C 经过点()2,2，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．
48．（2013陕西）双曲线22
1169
x y -=的离心率为 ．
49．（2014湖南）设F 1，F 2是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点．若在C 上
存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．
50．（2013辽宁）已知F 为双曲线22
:1916
x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的
长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ?的周长为 ．
51．（2012辽宁）已知双曲线12
2
=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，
若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为 ．
52．（2012天津）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b
y a x C 与双曲线1164:
2
22=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为5,0)F ,则a = b = ．
53．（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
214
x y m m -=+5则m 的值为 ．
54．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆
22
1169
x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．
55．(2011北京)已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = ．
三、解答题
56．（2014江西）如图，已知双曲线C ：22
21x y a
-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C
的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）． （1）求双曲线C 的方程；
（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:
020=-y y a
x
x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NF
MF 恒为定值，并求此定值．
57．（2011广东）设圆C 与两圆2222
(5)4,(5)4x y x y ++=+=中的一个内切，另一
个外切．
（1）求C 的圆心轨迹L 的方程； （2）已知点M 3545
(
,5,0)55
F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．