用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法
利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数
方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课
程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。
教学目标
1使学生会求平面的法向量；
2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法；
3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;
4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高
教学重点
求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法
教学难点
求解二面角的平面角的向量法
教学过程
I、复习回顾
一、回顾相关公式：
1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面
角等于法向量夹角的补角
.
3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
：
（1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行 向量运算）
（3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
n 、典例分析与练习
例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA
求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值?
分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴，
建立空间直角坐标系，求出平面
SCD 的法向量 仁,
平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角
cos cos n 1, n 2
结论：
或
——■
cos cos 门1,门2
cos cos n j , n 2
统一为：
n 1 n 2
|n 1 n 2
1
面 ABCD , SA AB BC 1, AD -,
2
求平面SCD与平面SBA的夹角余弦值。
解：如图建立空间直角坐标系A xyz，贝U
1
A（0,0,0）,C（ 1,1,0）, D（0, — ,0）,S（0,0,1）
2
易知面SBA的法向量为n1 AD （0,-,0）, CD
2
1 —1
(1
, ?0),SD (0,? 1)
，取 z 1，得 x 1, y 2， n 2
n 1 n 2 g IE |
又口方向朝面内， 比方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角
即所求二面角的余弦值为 点拨 求二面角的方法有两种： 夹角，从而确定二面角的大小； 法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。
练习1 :正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为
1，点E 、F 分别为CD 、DD 1的中点.求二面角
F AE D 的余弦值。
1 1
? 解：由题意知，F(0,1,—), E(—,1,0)，则 AF
2 2
设平面AEF
的法向量为n
(x, y, z)，则
n AF |n IIAA 1I
平面AA B B 平面ABCD 。
试问：当AA 的长度为多少时, .面角 D A C A 的大小为60 ？
解：如图建立空间坐标系 A xyz ，则 uur
uuir
DA ( 1,0, a) DC (0,1,0)
ir 设面DAC 的法向量为m (x, y,1) 1
吋)
设面SCD 的法向量为
门 2
(x,y,z)，则有 (1 )利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的
(2)根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的
(0,1,2) ,AE
1
(丁,0
)
n AE
2,1, 2)
又平面AED 的法向量为AA
(0,0,1)
cos n , AA 1
n AA-i 观察图形知，二面角 F AE D 为锐角,
所以所求二面角
练习2：如图，三棱柱中，已知
A BCD 是边长为1的正方形，四边形
2
AE D 的余弦值为— 3
AA BB 是矩形，
y
umr ir
口 DA ' n 0 .B ur 则
uur IT 得□ (a,0,1) DC n 0
ur
易得面AAC 的法向量r 2
( 1,1,0)
IT uu
向量口小2的夹角为60o
IT UT
u" w □门乙 a 1 /曰
彳
由 cos n ., r 2 -tr - tU
得 a 1
|r i ||r 21
Ja 2
1 迈
2
当AA =1时，二面角D AC A 的大小为60o ?
设计说明：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法， 互补，就没有其他情况.
练习3:正三棱柱ABC AB 1C 1的所有棱长均为2,P 是侧棱 AA 1上任意一点. 当BC 1 B 1P 时，求二面角C BP G 的平面角的余弦值.
UJUL -
BC 1 (、3,1,2)是面CB 1P 的法向量
川、小结与收获
2、求平面法向量的方法
解：如图建立空间坐标系 O xyz ，设AP a 则 A,C,B 1,P 的坐标分别为(0, 1,0),(0,1,0),( 3,0,2)(0, 1,a)
UUUL - BG ( .3,1,2) 由BC 1
UJUL ULUT B 1P ，得 BGgBP 即 2 2(a 2) 0 a
又BC 1 B 1C BC 1 面 CB 1P
也可借此机会说明为什么这两个角相等或 设面GBf 的法向量为n (1,y, z)，由
uuir B 1P UU ULT B 1C
(1.3,
2.3),
设二面角C B 1P C 1的大小为
，则 cos
uum r BC i gi UUUU ur IBGII n|
1、 面角的平面角的正弦值弦值:
cos cos ni, n 2
n 1 n 2
n 1
n 2
W、课后练习
1、如图，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，ABC BCD 90°,
AB BC PB PC 2CD,侧面PBC 底面ABCD.
求二面角P BD C的大小.
8
2、如图，已知正三棱柱ABC— A1B1C1的各棱长均相等，点D是BC上一点,AD丄C i D. 求二面
角C—AG —D的大小.
B