线性系统的时域分析与校正习题及答案
第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案
3-1 已知系统脉冲响应t
25.1e
0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。
解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ
3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+?
?
近似描述，其中，1)T (0<τ-<。试求系统的动态性能指标s r d t ,t ,t 。
解 设单位阶跃输入s
s R 1)(= 当初始条件为0时有：
1
Ts 1
s )s (R )s (C ++τ= 1Ts T s 1s 11Ts 1s )s (C +τ--=?++τ=
∴ T
/t e T T 1)t (h )t (c -τ--==
T )0(h τ=，1)(h =∞，20T T )]0(h )(h [05.0τ
-=-∞=?
1) 当 d t t = 时
2T
T e T T 1)]0(h )(h [5.0)0(h )t (h t /t d τ
+=
τ--=-∞+=-
T /t d e 2
1
-= ; 693T .0t d = 2) 求r t （即)t (c 从1.0)(h ∞到9.0)(h ∞所需时间)
当T
/t 2e
T
T 1)0(h )]0(h )(h [9.0)t (h -τ--
=+-∞=; 当T
/t 1e
T
T 1)0(h )]0(h )(h [1.0)t (h -τ--=+-∞=; )T 1(.0T ln
T t 2τ+τ-=， τ
+τ
-=)T 9(.0T ln T t 1
则 2T .29ln T t t t 12r ==-=
3) 求 s t
T
/t s s e
T
T 1)0(h )]0(h )(h [95.0)t (h -τ--
=+-∞= 3T 05.ln0T t s ==∴
3-3 一阶系统结构如图所示。要求系统闭环增益2k =Φ，调节时间4.0t s ≤s ，试确定参数21k ,k 的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数
1k k s
k 1k k s k s
k k 1s k )s (212211211
+=+=+
=Φ
闭环增益2k 1
k 2
==
Φ， 得：5.0k 2= 令调节时间4.0k k 3
T 3t 2
1s ≤==，得：15k 1≥。
3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。
解 （1）对（a ）系统：
1
s 101
1s 10K )s (G a +=
+=
， 时间常数 10T = Θ 632.0)T (h = （a ）系统达到稳态温度值的%需要10个单位时间；
对（b ）系统：1s 10110101100
101
s 10100
)s (b +=+=Φ， 时间常数 10110T =
Θ 632.0)T (h = （b ）系统达到稳态温度值的%需要个单位时间。
（2）对（a ）系统： 1)
s (N )
s (C )s (G n ==
1.0)t (n =时，该扰动影响将一直保持。
对（b ）系统： 101s 101
s 101
s 1010011)
s (N )
s (C )s (n ++=++
==
Φ 1.0)t (n =时，最终扰动影响为001.0101
1
1.0≈?
。 3-5 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0<%5%≤σ，调节时间 s 3t s <，峰值时间s 1t p <，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。 解 依题 %5%≤σ， )45(707.0?≤≥?βξ；
35
.3<=
n
s t ωξ， 17.1>?n ωξ；
(1) 若)t (1)t (r =，0)t (n =两种系统从响应开始达到稳态温度值的％各需 多长时间(2) 当有阶跃扰动1.0)t (n =时，求扰动对两种系统的温度的影响。
n
p t ωξπ
21-=
1<， 14.312>-?n ωξ
综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。
3-6 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。
解 依题，系统传递函数为 2
n n 22n
2s 2s 05
.0K s 05.01s 05.0K
)s (ω+ξω+ω=++=Φ ???
????ω?=ξ=ωn n 205.0105.0K
令 5
.0=ξ可解出 ??
?=ω=2020
K n
将 s 1t =代入二阶系统阶跃响应公式
()
β+ωξ-ξ
--
=ξω-t 1sin 1e 1)t (h n 22
t n
可得 m in 00145.60s 000024.1)1(h 次次==
5.0=ξ时，系统超调量 %3.16%=σ，最大心速为 min 78.69s 163.1163.01t (h p 次次）==+=
3-7 机器人控制系统结构如图所示, 试确定 参数21k ,k 值，使系统阶跃响应的峰值时间
5.0t p =s ，超调量%2%=σ。
解 依题，系统传递函数为
1
2
1222
12121(1)
G()(1)(1)21(1)
n n n K K K s s s K K s s K K s K s s s s ωξωωΦ+===+++++++
+ （1） 若5.0=ξ对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大 （2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起博器，问1s 钟后实际心速
为多少瞬时最大心速多大
由 ??
???=ωξ-π=≤=σξ-πξ-
5.01t 02
.0e n 2
p 1o
o 2 联立求解得 ???=ω=ξ1078.0n
比较)(s Φ分母系数得
??
?
??=-ξω==ω=146.0K 12K 100K 1n 22
n 1 3-8 下图(a)所示系统的单位阶跃响应如图(b)所示。试确定系统参数,k 12k ，a 和闭环传递函数
)s (Φ。
解 由系统阶跃响应曲线有
???
??=-=σ==∞o
o o o
p 3.333)34(1.0t 3)(h
系统闭环传递函数为
2
n
n 2
2n
21221s 2s K K as s K K )s (ω+ξω+ω=++=Φ （1） 由 ?????
==σ=ωξ-π=ξ-ξπ-o o 1o
o n
2
p 3.33e 1.01t 2
联立求解得 ???=ω=ξ28.3333.0n 由式（1）???=ξω==ω=22
2a 1108K n 2
n 1
另外 3K K as s K K lim s 1
)s (s lim )(h 21
2210s 0
s ==++=?
Φ=∞→→ 56
.110796s .21s 68
.3322)s (2++=
Φ
3-9 已知系统的特征方程为D(s)，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。 （1） 0100s 24s 8s )s (D 2
3
=+++= （2） 02s s 5s 10s 3)s (D 2
3
4
=++++=
(3) 010s 11s 4s 2s 2s )s (D 2
345=+++++= (4) 048s 32s 24s 12s 3s )s (D 2
345=+++++= (5) 05s 2s 4s 2s )s (D 2
34=-++-= 解 （1） 0100s 24s 8s )s (D 2
3=+++=
Routh ： s 3
1 24 s
2 8 100 s 1 92 s
0 100 第一列同号，所以系统稳定。
（2） 02s s 5s 10s 3)s (D 2
3
4
=++++=
Routh ： s 4
3 5 2
s 3 10 1
s 2 47 20 s 1 -153 s 0 20
第一列元素变号两次，有2个正实部根。
（3）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 ε
124- 10
S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正实部根。
（4）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： s 5 1 12 32
s 4 3 24 48
s 3
3122434?-= 32348
316?-= 0 s 2
424316
4
12?-?= 48 s 121644812
0?-?= 辅助方程 124802s +=,
s 24 辅助方程求导：024=s
s 0 48
第一列没有变号，系统没有正实部根。
对辅助方程求解，得到系统一对虚根 2j s 2,1±=，系统不稳定。
(5) 05s 2s 4s 2s )s (D 2
34=-++-= Routh ： s 4
1 4 -5
s 3 -2 2
s 2 10 -10
s 1 0 辅助方程 010s 102
=-
s 1
20 辅助方程求导 0s 20= s 0
-10
第一列元素变号3次，有3个正实部根,系统不稳定。. 解辅助方程得:s 1=-1，s 2=+1，由长除法得s 3=+1+j2，s 4=+1-j2
3-10 单位反馈系统的开环传递函数)
5s )(3s (s k
)s (G ++=
，试判断系统稳定性；若要求系统特征根
的实部不大于1-，试确定k 的取值范围。 解 特征方程为：
0k s 15s 8s )s (D 2
3
=+++= Routh ： S 3 1 15 S 2 8 k S 120-k
S 0 k
120k 0<<时系统稳定。 做代换 1s s -'= 有：
0)8k (s 2s 5s k )1s (15)1s (8)1s ()s (D 2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='
Routh ： S 3 1 2 S 2 5 k-8 S 18-k 18k
S 0 k-8 8k >?
系统特征根的实部不大于1-的k 值范围为： 18k 8≤≤
3-11 下图是船舶横摇镇定系统结构图，为增加船只的阻尼引入了内环速度反馈。
(1) 动力矩对船只倾斜角的传递函数
)
s (M )
s (N Θ；
(2) 单位阶跃时倾斜角θ的终值不超过，且系统的阻尼比为，求2k 、1k 和3k 应满足的方程。 解 （1）
)K K 5.01(s )K K 5.02.0(s 5.01
s 2.0s K K 5.01s 2.0s s K K 5.011s 2.0s 5.0)s (M )s (213222
a 12322N ++++=++++++++=Θ（2）由题意知： 1.0K K 5.015
.0)s (M )s (s 1s lim )s (M )s ()s (M s lim )(2
1N 0s N N 0
s ≤+=Θ??=Θ?
=∞θ→→ 得8K K 21≥。 由 )s (M )s (N Θ 有： ??
?
??=ω+=ξ+=ω5.02K K 5.02.0K K 5.01n 3
23
1n ， 可得 2132K K 5.01K K 25.02.0+=+
3-12 温度计的传递函数为
1
1
+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
1
Ts 1
)s (+=
Φ 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o 98)T 4(h =，因此有 min 1T 4=，得出 min 25.0T =。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为
Ts 1
)s (1)s ()s (G =Φ-Φ=
???==1
v T 1K
用静态误差系数法，当t 10)t (r ?= 时，C 5.2T 10K
10
e ss ?===
。 解法二 依题意，系统误差定义为 )t (c )t (r )t (e -=，应有 1
Ts Ts
1Ts 11)s (R )s (C 1)s (R )s (E )s (e +=+-=-==
Φ C 5.2T 10s 10
1Ts Ts s
lim )s (R )s (s lim e 2
s e 0
s ss ?==?+=Φ=→→ 3-13 某单位反馈系统的开环传递函数如下，试求系统的静态误差系数及输入信号分别为
t ),t (1)t (r =和2t 时系统的稳态误差。
)
2s 2s )(4s (s )
1s (7)s (G 2
++++=
解
)2s 2s )(4s (s )
1s (7)s (G 2++++=
??
?==1
v 87K 由静态误差系数法
)t (1)t (r =时， 0e ss =
t )t (r =时， 14.178
K A e ss ===
2t )t (r =时， ∞=ss e
3-14 试确定图示系统中参数0K 和τ的值，使系统对)(t r 而言是II 型系统。
解 )1s (K K )1s T )(1s T ()
1s (K )
1s T )(1s T ()1s (K K 1)1s T )(1s T ()1s (K )s (G 02121021+τ-+++τ=
+++τ-
+++τ= )
K K 1(s )K K T T (s T T )
1s (K 00212
21-+τ-+++τ=
依题意应有：??
?=τ-+=-0
K K T T 0K K 10210 联立求解得 ???+=τ=210T T K
1K
此时系统开环传递函数为 2
2121s
T T K
s )T T (K )s (G ++=
考虑系统的稳定性，系统特征方程为
0K s )T T (K s T T )s (D 21221=+++=
当 1T ，2T ，0K >时，系统稳定。
3-15 设复合控制系统结构如图所示，试确定C K 使系统在t )t (r =作用下无稳态误差。
解 系统误差传递函数
[]421322
323
C 4322
42132
C
432e K K K s K K s )K TK 1(Ts K K )1Ts )(K K s (s )
1Ts (s K K K s K K 1)
1Ts (s K
K )s K K 1()s (R )s (E )s (++++-++=++++-+
==Φ 由劳斯判据，当 T 、1K 、2K 、3K 和4K 均大于零，且41332K TK K )K TK 1(>+时，系统稳定。 令 0K K K K K K K s
1)s (s lim e 421C
4322
e 0
s ss =-=?
Φ=→ 得 4
3
2C K K K K =
3-16 设复合校正控制系统结构如图所示，其中N(s)为可量测扰动。若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置G c1(s)和串联校正装
置G c2(s)。
解 （1）求)s (G 1c 。
[]0
)s (G K K )1Ts (K )1Ts (s )s (G K K s K )
1Ts (s )s (G K K s K 1)s (G )1Ts (s K K s K 11Ts K )s (N )s (C )s (2c 2111c 1122c 2111c 2
112n =++++-+=++
++-
??? ?
?++==Φ得：
1
1
1c K K s )s (G +=
。 （2）求)s (G 2c 。令
)s (G K K )1Ts (K )1Ts (s 1Ts )(K s ()
1Ts (s )s (G K K s K 1s K 1)
s (R )s (E )s (2c 21112
c 2111
e ++++++=
++++
==Φ） 当)t (1)t (r =作用时，令0)
s (G K K K K lim s 1
)s (s lim e 2c 21110s e 0
s ss =+=?
Φ=→→ 明显地，取 s
1
)s (G 2c =
可以达到目的。 3-17 已知控制系统结构如图(a)所示，其单位阶跃响应如图(b)所示，系统的稳态位置误差0=ss e 。试确定v K ,和T 的值。
解 )1Ts (s a
s )s (G v
++=
???=待定
v a K K 为系统型别为开环增益，v k k 由 )t (1)t (r =时，0=ss e ，可以判定：1v ≥
a s )1Ts (s )a s (K )
1Ts (s a s 1)
1Ts (s )
a s (K )s (v v
v ++++=+++++=Φ
a s s Ts )s (D v 1v +++=+
系统单位阶跃响应收敛，系统稳定，因此必有： 2≤v 。 根据单位阶跃响应曲线，有
10K a
s )1Ts (s )
a s (K s 1s lim )s (R )s (s lim )(h v
s 0
s ==++++?
?=?Φ=∞→→ 10a
s s Ts aKs
Ks lim a s )1Ts (s )a s (sK lim )s (s lim )0(k )0(h v 1v 2s v s s =++++=++++=Φ=='+∞→∞→∞→
当0T ≠时，有
10Ts Ks
lim
)0(k 1
v 2
s ==+∞→ 可得 ??
?
??===1T 1v 10K
当0T =时，有
10s
Ks lim )0(k v 2
s ==∞→ 可得 ??
?
??===0T 2v 10
K
3-18 复合控制系统结构如图所示，图中1K ，2K ，1T ，2T 均为大于零的常数。 （1） 确定当闭环系统稳定时，参数1K ，2K ，1T ，2T 应满足的条件； （2） 当输入t V )t (r 0=时，选择校正装置)s (G C ，使得系统无稳态误差。
解 （1）系统误差传递函数
21211c 221212
1c 22
e K K )1s T )(1s T (s )1s T )(s (G K )1s T )(1s T (s )
1s T )(1s T (s K K 1)
s (G )1s T (s K 1)s (R )
s (E )s (++++-++=
+++
+-
==Φ 212
213
21K K s s )T T (s T T )s (D ++++= 列劳斯表
2
10
212
1212112
12
12
213K K s 0
T T K K T T T T s K K T T s 1T T s +-++
因 1K 、2K 、1T 、2T 均大于零，所以只要 212121K K T T T T >+ 即可满足稳定条件。 （2）令 21211c 2212
00
s e 0
s ss K K )1s T )(1s T (s )
1s T )(s (G K )1s T )(1s T (s s
V s lim )s (R )s (s lim e ++++-++??
=?Φ=→→ 0s )s (G K 1K K V lim
c 2210
s =?????
?-=→ 可得2c K s )s (G = 3-19 设复合控制系统结构如图所示。图中)s (G n 为前馈补偿装置的传递函数，s K )s (G t c '=为测速发电机及分压电位器的传递函数，)s (G 1和)s (G 2为前向通路环节的传递函数，)s (N 为可量测扰动。 如果2211s 1)s (G ,
K )s (G ==，试确
定)s (G n 、)s (G c 和Ｋ1，使系统输出量完 全不受扰动的影响，且单位阶跃响应的超调 量%25%=σ，峰值时间s 2t p =。
解 （1）确定)(1s G c 。由梅逊公式
0K )s (G K s )
s (G )s (G K s G G G G G 1G G )G G G 1()s (N )s (C )s (1
c 12c c 12
21c 212c c 21n 212212=++++=++++==Φ
解得 [
]
)()()(112
21t c c K K s s s G K s s G '+-=+-=
（2）确定t K '。由梅逊公式 2
1c 2121G G G G G 1G G )s (R )
s (C )s (2++=
=
Φ 2
n
n 2
2n
1t 121s 2s K s K K s K ω+ξω+ω=+'+= 比较有 ???ξω='ω=n t 12n
12K K K 由题目要求 ??
???=ξ-ωπ===σξ-ξπ-21t 25.0e 2n p 1o o 2
可解得 ???=ω=ξ72.1403.0n ??
?
??=ξω='=ω=47.0K 2K 946.2K 1n t 2
n 1 有 s 47.0s K )s (G t c 2='=
)386.1s (s )K K s (s )s (G t 1c 1+-='+-=
3-20 设无零点的单位反馈二阶系统的单位阶跃响应h(t)曲线如图所示，
（1）试求出该系统的开环传递函数及参数；
（2）确定串联校正装置的传递函数，使系统对阶跃输入的稳态误差为零。
解
1、由题意知，；，，05.0e 95.0)(c 1)t (r ss =∴=∞= 系统为零型系统
超调量95.03
.
095.095.025.1%=
-=
σ，所以阻尼比344.0=ξ 由05.0k 11e ss =+=，得k=19，1
bs as 19
)s (G 2
++= 再根据s 1t p =求出346.3n =ω，所以1
s 1.4s 786.119
)s (G 2++=
2、为使稳态误差为零，系统必须稳定，且至少为?型系统，所以串联校正 装置设为s
k )s (G c
c =，由劳斯判据求得：12.0k 0c <<