2018届高三数学：第15练 函数中的易错题 含答案

1．若f (x )，则f (x )的定义域为( )

A.? ??

??

－12，0 B.? ??

??－12，0

C.? ??

??－12，＋∞ D ．(0，＋∞)

2．函数y ＝e

|ln x |

－|x －1|的图象大致是( )

3．(2016·湖北浠水实验高中期中)设f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a

D ．m

4．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将该函数在区间[－T ，T ]上的零点个数记为n ，则n 可能为( ) A ．0

B ．1

C ．3

D ．5

5．(2016·广东汕头澄海凤翔中学段考)已知函数f (x )＝?????

ax 2

＋1，x ≥0，

(a －2)e x

，x <0

是R 上的单

调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(2,3] C ．(－∞，3]

D ．(2,3)

6．(2016·湖南娄底高中名校联考)对于函数f (x )，使f (x )≤n 成立的所有常数n 中，我

们把n 的最小值G 叫做函数f (x )的上确界．则函数f (x )＝12

2,0,1

log (),02x x x x -?≥?

?-

D ．2

7．(2016·青海西宁第四高级中学月考)已知函数f (x )＝?

??

??

－x 2

＋x ，x ≤1，

log 0.5x ，x >1.若对于任意

x ∈R ，不等式f (x )≤t 2

4

－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]∪[2，＋∞)

B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)

C ．[1,3]

D ．(－∞，2]∪[3，＋∞)

8．(2016·湖北重点中学月考)设方程2x

＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )·(x ＋q )＋2，则( ) A ．f (2)＝f (0)

二、填空题

9．已知y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (7

2)的大小

关系是____________．(用“<”连接)

10．若关于x 的不等式ax 2

＋x －2a <0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为________．

11．(2016·四川成都新都一中月考)已知函数f (x )＝?

????

x －2，x >0，

－x 2

＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝

1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点有________个．

12．已知f (x )＝|log a |x －1||(a >0，a ≠1)，若x 1

1 x1＋

1

x2

＋

1

x3

＋

1

x4

＝________.

则

答案精析

1．A [由题意，可知12

log (2x ＋1)>0，

又因为2x ＋1>0，所以可得0<2x ＋1<1，解得－1

2

2．D [原式＝?????

x ＋1x

－1，0

1，x ≥1.

对照图象知选D.]

3．B [因为函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的图象开口向下，且f (a )＝f (b )＝1>0，所以在区间[a ，b ]上，f (x )>0恒成立，所以函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的两个零点在区间[a ，

b ]的两侧，即m

4．D [因为奇函数f (x )在x ＝0处有意义，所以f (0)＝0，即x ＝0为函数f (x )的一个零点；再由周期函数的定义，可知f (T )＝f (－T )＝f (0＋T )＝f (0－T )＝f (0)＝0，所以x ＝T ，

x ＝－T 也是函数f (x )的零点；又f (－T 2

)＝f (－T 2

＋T )＝f (T

2

)，而由奇函数的定义，知f (－

T

2)＝－f (T 2)，所以f (T 2)＝－f (T 2)，即f (T 2)＝0.所以f (－T 2)＝0.所以x ＝T 2，x ＝－T

2也是函数f (x )的零点．故选D.]

5．B [若f (x )在R 上单调递增，则有????

?

a >0，a －2>0，

a －2≤1，解得2

递减，则有????

?

a <0，a －2<0，

a －2≥1，

a 无解．

综上，实数a 的取值范围是(2,3]．故选B.]

6．C [f (x )在(－∞，0)上是单调递增的，f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (x )在R 上的最大值是f (0)＝1， ∴n ≥1，∴G ＝1，故选C.]

7．B [由题意可知f (x )＝???

??

－x 2

＋x ，x ≤1，

log 0.5x ，x >1

的最大值为1

4

，若对于任意x ∈R ，不等式

f (x )≤t 2

4－t ＋1恒成立，则14≤t

2

4－t ＋1，解得t ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．故选B.]

8．A [方程2x

＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0可以看作方程2x

＝－x －2和方程log 2x

－x －2.因为方程2x

＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2的根分别为p 和q ，即函数y ＝2x

与函数y ＝－x －2的交点B 的横坐标为p ；函数y ＝log 2x 与函数y ＝－x －2的交点C 的横坐标为q .因为y ＝2x

与y ＝log 2x 互为反函数且关于y ＝x 对称，所以BC 的中点A 一定在直线y ＝x 上，联立方程得???

??

y ＝x ，y ＝－x －2，

解得A 点坐标为(－1，－1)．根据中点坐标公式得

到

p ＋q

2

＝－1即p ＋q ＝－2，则函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2为开口向上的抛物线，且对

称轴为x ＝－

p ＋q

2

＝1，得到f (0)＝f (2)，且当x >1时，函数为增函数，所以f (3)>f (2)．综

上所述，f (3)>f (2)＝f (0)．故选A.]

9．f (72)

)

解析 因为y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因为f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52，

所以f (72)

2)．

10．[27，3

7

)

解析 设f (x )＝ax 2

＋x －2a ，由题中不等式ax 2

＋x －2a <0的解集中仅有4个整数解，易知抛物线的开口向上，即a >0.又f (0)＝－2a <0，知解集中有0；f (－1)＝－1－a <0，知解集中有－1；而f (1)＝1－a 与f (－2)＝2a －2＝2(a －1)异号，又f (2)＝2>0，则可

推出解集中四个整数为：－3，－2，－1,0，故有?

??

??

f (－3)<0，

f (－4)≥0，即?

??

??

7a －3<0，

14a －4≥0，

解得a ∈[27，3

7)．

11．2

解析 由f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，得c ＝1，b ＝1

2

，g (x )＝f (x )＋x ＝

?

???

?

2x －2，x >0，－x 2＋3

2x ＋1，x ≤0.当x >0时，函数g (x )有一个零点x ＝1；当x ≤0时，函数g (x )

是开口向下的抛物线，且与y 轴交于点(0,1)，故在x 轴的负半轴有且只有一个零点．故函数g (x )有2个零点． 12．2

解析 如图所示，f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，即|log a |x 1－1||＝|log a |x 2－1||＝|log a |x 3－1||＝|log a |x 4－1||，因为x 1<0,01,0<1－x 2<1，所以log a |x 1－1|＋log a |x 2－1|＝0，

即log a (1－x 1)＋log a (1－x 2)＝0，即(1－x 1)(1－x 2)＝1，x 1x 2－(x 1＋x 2)＝0，所以1x 1＋1x 2

＝

1.

同理可得1x 3＋1x 4＝1，所以1x 1＋1x 2＋1x 3＋1

x 4

＝2.