当前位置：文档库 › 线性代数课件--同济大学word版

线性代数课件--同济大学word版

幻灯片1

线性代数（第五版）

2015.10.14

修改人：XFSU 幻灯片2

第一章行列式

幻灯片3

§1 二阶与三阶行列式

1. 二阶行列式二元线性方程组

幻灯片4 用消元法得

22)2()1(a a ?-?当

时，方程组有唯一解

?=+-=-2222121212221121122211)(b x a x a b a a b x a a a a

21122211≠-a a a a 幻灯片5

记则有

12221122

2112

11a a a a a a a a -=

,21

211211222121212221a a a b b a a b a b b a a b =

-=-于是

111

2222

121

11,1b a b a D x a b a b D x ==

幻灯

片6

二阶行列式，记作

2112

11a a a a D =

其中行标

(1,2) 元素

为

称21122211a a a a -列标

也称为方程组的系数行列式。幻灯片7 对角线法则:

211211a a a

a 主对角线

12221121

12112211222112122211,a a a a a b b a x a a a a b a a b x --=

--=

?=+=+)

2()1(22221211212111b x a x a b x a x a

幻灯片8

例. 解方程组

???=+=-1212232

121x x x x 2211a a =21

12a a -解：

幻灯片9

2. 三阶行列式

类似地，讨论三元线性方程组

副对角线

幻灯片10 称

???

??=++=++=++33332321

3123232221211313212111b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 为三阶行列

式, 记作

231133211231221332

2113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++幻灯片11 对角线法则：

3123

2113

1211a a a a a a a a a 37

2122-=-==D D x

3231232221131211a a a a a a a a

11===∴D D x

2121=-=

D 21

21232-==D 0

7)4(31

23≠=--=-=

211211a a a a

322311a a a -322113a a a +31

2312a a a +

幻灯片12 例：

381141102---33

2112a a a -幻灯片13

§2 全排列与逆序数定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn 个排列。 P3 = 3×2×1 = 6 幻灯片14

例如：1, 2, 3 的全排列

123，231，312，132，213，321

共有3×2×1 = 6种，即

P3 = 3×2×1 = 6

一般地，Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n!

幻灯片15

标准次序：标号由小到大的排列。

定义2：

在n个元素的一个排列中，若某两个元素

排列的次序与标准次序不同，就称这两个

数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的

总和称为这个排列的逆序数。

幻灯片16

一个排列的逆序数的计算方法：

设 p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一个排列，

用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为

t = t1 + t2 + … + tn

幻灯片17

例4：求排列 32514 的逆序数。

解：

(

幻灯片18

逆序数为奇数的排列称为奇排列。

逆序数为偶数的排列称为偶排列。

例如：123 t = 0 为偶排列，

321 t = 3 为奇排列，

312 t = 2 为偶排列。

幻灯片19

§3 n 阶行列式的定义观察二、三阶行列式，得出下面结论：

●每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。

● 2. n 阶行列式是n！项的代数和。

● 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性

●所确定。

幻灯片20

1301054321=∴=====t t t t t t 排列的逆序数,,,, 定义1： n! 项

的和

n np p p t

a a a 2121)1(-31

2213a a a -称

为 n 阶行列式 (n ≥1)，记作

∑-n

np p p t

a a a

21)1(幻灯片21

例1：写出四阶行列式中含有因子的项。

2311a a nn

n n n n a a a a a a a a a

212222111211

幻灯片22

计算四阶行列式例2：

44322311a a a a -42

342311a a a a

D = acfh + bdeg – adeh – bcfg 幻灯片23 重要结论： (1)

上三角形行列式

n n a a a a a a D 00

022211211

幻灯片24

(2)

下三角形行列式

nn a a a 2211=h g

f e d c b a

D 0

0000=

幻灯片25

(3) 对角行列式

a a a 2211=nn

n n a a a a a a D

212221

幻灯片26

(4) 副对角行列式

a a a 2211=nn

a a a D

幻灯片27

行列式的等价定义

1,212

)1()

1(n n n n n a a a ---=

n n n n a a a a a a a a a 21

2222111211

∑-=n

nj j j t

a a a 21211)(幻

灯片28

§5 行列式的性质

∑-=n

i i i t

n a a a 21211)(

设则

称 DT 为 D 的转置行列式。 D 经过“行列互换”变为 DT

幻灯片29

性质1：行列式与它的转置行列式相等。

幻灯片30

n n n n a a a a a a a a a D

212222111211=

证明：设

则

n n n

b b b b b b b b b D

212222111211T

由行列式定义

),,2,1,(n j i =ji

ij a b =

幻灯片31

性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。

互换 s 、t 两行：

a a a n j j j t

n =-=∑ 2121)1(“运算性质”

互换 s 、t 两列：

s r r ?∑-=n

nj j j t

b b b D 2121T

1)(

t s c c ?1131

020

111

10101321-=-幻灯片

推论：若行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。

211011

101101013213

1--?-r r 幻灯片33

性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中

所有元素，等于用数 k 乘此行列式。用 k 乘第 i 行：

“运算性质” 用 k 乘第 i 列：

幻灯片34

推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。

1101

016

422

21101013211-?-r k

c i ?幻灯

片35

性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。

013

212110101642-=-k

r i ?幻灯片

性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等于如下两个行列式的和。

211013

1)2()(321

101642211=---?----r

n in

i n nn n in i n nn n in in i i n a a c c a a a a b b a a a a c b c b a a 1111111111111111+=++幻灯片37

性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同

一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。

用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上：

用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上：

10101210110101111110101211101-+-=-+++“运算性质”

s kr r +

s kc c +幻灯片38

利用行列式性质计算：（化为三角形行列式）例1：计算

104203

211101013211

2----r r

222116421

4112

111

1-----)

(幻灯片39

351110243152

113

2------)

(

310

3420350021112141312------+r r r r r

64214112111-----=

211013

213211013213

1=--?-r r nn

n n n n a a a a a a a a a D

212222111211

n n n n a a a a a a a a a D

2122212

12111

,21n n n

a a a D

2211a a a =

500310000510

2111

223------r r

500

34200310

2111

42-----?r r 幻灯片40

00035000510211123100035000510

2111

3443--------?r r r r

幻灯片41

3011412335111024315211341------

?------=c c D

幻灯片42

幻灯片43 例2：计算

“行等和”行列式幻灯片44

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

线性代数(同济六版)知识点总结

1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12 a 21 a 22 |= a 11a 22 ?a 12a 21 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n! 2 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列， t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行：r i ? r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ：r i x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j 33 323123222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a =O M M n ...λλλλλλ21n 21=O n 21λλλN n 2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛ+++n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛM M M M ΛΛ ΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a Λ ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛ+++n n n j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a Λ Λ ΛM M M M ΛΛΛ Λ ΛΛ=

线性代数(同济六版)知识点总结

1.二阶行列式--------对角线法则: 2.三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3.全排列：n 个不同的元素排成一列。所有排列的种数用表示，=n ！逆序数：对于排列 … ，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：是1,2,3的一个排列， t( )是排列的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式： 6.行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等.（转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘此行列式。第i 行乘k ：xk 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如第j 列的k 倍加到第i 列上： 7.重要性质：利用行列式的性质或，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶行列式的值。（P11页例7） 8.行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念：余子式：在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去,剩下的(n?1)2个元素按原来的排法构成的n?1阶行列式叫做a ij 的余子式，记为M ij 代数余子式：记A ij =(?1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式。 ②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即 33 323123 2221131211 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 22 11n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a =O M M n ...λλλλλλ21n 2 1 =O n 2 1 λ λλN n 212 1) n(n λλλ1)(ΛΛ--=in in i2i2i1i1A a A a A a D +++=ΛΛnj nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++=ΛΛ或

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2

解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-*****

线性代数同济六版知识点总结

1。二阶行列式——-----—对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用表示， = n! 逆序数:对于排列 … ，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 4. 其中：是1，2,3的一个排列， t( )是排列的逆序数 5。下三角行列式：副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式： 6。行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。（转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论 :两行（列）相同的行列式值为零。互换两行: ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如: 33323123222113 12 11 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a = n ...λλλλλλ21n 21= n 21λλλ n 2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n 1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a a a b a a

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a

=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b)(b -c)(c -a). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y 3-(x +y)3-x 3 =3xy(x +y)-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.

(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2) (n-1个)

线性代数(同济六版)知识点总结归纳

1. 二阶行列式--------对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. … 且比大的元素个数有个，则。排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性4. 其中：数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值 33 323123 222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=31 2213332112322311a a a a a a a a a ---31 2111 a a a n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0 a a a = n ...λλλλλλ21n 21 = n 2 1 λλλ n 212 1) n(n λλλ1) ( --=

为零。互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 第列上：7. （下） 8. 剩下的( 的余子ij 代数余子式：记 A ij = ( ?1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式。 ②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即： in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= nj nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= 或

同济大学线性代数第六版课后答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.

解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.

同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 1 32(1) 81(4) (1) 24816 44 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2 221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3 y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个)