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10112108-盛守荣-矩阵函数以及应用-邱玉文

天津科技大学2014届本科生毕业设计

2 世纪50年代,约丹经过潜心研究首先发表了把一般矩阵化为标准型矩阵的方法。到了19世纪90年代,梅茨勒(Metzler )首先提出了矩阵函数的基本概念,最后找到用幂级数形式将表示矩阵的方法,这些对矩阵的发展意义重大。此外,傅立叶(Fourier )与庞加莱(Poincare )研究的主要是无穷矩阵方面。到这时,矩阵已经相当完善了。 矩阵最大的用途就是在实践中解用常规方法难以求解的方程。另外一个在实际操作中很有意义的作用是代表线性变换,即是像f(x)、4x 之类的关于线性函数的推论。矩阵的特征向量可以揭示一个线性变换的深层次特征。随着两个世纪中无数数学家的无私奉献,矩阵论已经成为了一门完善的数学分支。矩阵在很多方面都有重要应用,例如数学领域里,力学、物理学、工程数学、经济管理方面都有矩阵的出现。

1.2 本文所做的主要工作 矩阵理论包含的内容非常非常多,矩阵函数在矩阵理论中占据非常重要的位置,相比于矩阵函数中的其他知识,矩阵多项式比较容易理解,就是这样容易理解的矩阵多项式是我们对矩阵函数进行研究的理论基础。矩阵函数的定义方式有多种,本文主要是从多项式和幂级数两个方面进行研究的。本文主要论述了矩阵函数以及应用。在文章的第一部分,总结了矩阵函数所必须的基础知识,主要包括代数学多项式理论、行列式与矩阵等方面的一些结论以及数学分析中幂级数的若干法则。文章的第二部分,总结了矩阵函数的概念、性质、推论,介绍了若干重要的矩阵函数。文章的第三部分,归纳了矩阵函数的若干计算方法,包括了Hamiltio-Cayley 定理、利用相似对角化计算、利用Jordan 标准型法进行计算、利用待定系数法求解等四种计算方法。在这部分的最后对这四种方法进行了比较,在比较中加深对矩阵函数求解的认识。可以根据计算过程中遇到的实际情形加以选择,将会给计算带来很大方便。本文的第四部分,通过查阅文献和指导教师交流的方式,在求解线性微分方程过程中有对矩阵函数的应用研究,并介绍了在线性系统的可控性和可观性中矩阵函数的应用。本文的最后部分,通过Matlab 编写能计算常用矩阵函数的程序,将使矩阵函数的计算更方便、迅速。

2 矩阵函数

2.1 研究本论文具备的数学基础

为了进一步讨论和便于理解,引入以下研究本论文的相关概念:

1、线性空间 在集合上具有一定的结构或符合一定的要求,那么这个集合就是特定的空间。如果V 是非空的集合,P 是数域。对V 里的元素定义代数类运算,叫作加法;就是给出一种规则,使V 中任意两个元素x 和y ,都能在V 中找到唯一的一个z 和它匹配,其中z 是x 与y 的和,记为z x y =+。在数域P 与集合V 中的元素再定义另外一种运算,叫作数量乘法;就是如果数域P 中任何一数k 与V 中的任何一个元素x ,在V 中都能找到一个元素

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