10112108-盛守荣-矩阵函数以及应用-邱玉文

1 绪论

1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史

人们对矩阵（Matrix）的研究历史非常悠久，在很久以前就已经有人研究过了幻方和拉丁方阵。在过去的很长时间内，矩阵都是人们解决线性问题的最主要方法。成书于汉朝前期的《九章算术》，在表示线性方程组的过程中使用了将方程中不同系数分开的方法，这种方法在后来的不断演化下最终得到方程的增广矩阵。在计算的过程中经常使用矩阵的初等变换进行消元，具体说就是通过一些计算技巧将前面给出的增广矩阵化为行最简型。但是当时我们能知道的矩阵知识非常的少，虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上已经非常的类似了，但这两者都是以线性方程为基本标准。事实上子宫基质的控制中心和开始生活意义的地方是矩阵最开始的意义，所以说矩阵有生命的意义。在数学中，开始出现的是对现在数学都有决定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最终的排成的表都是方的，随着研究的深入人们发现行数等于列数的行列式已经无法满足现实生活中的实际需要了。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们来说非常熟悉的矩阵和行列式，它们的概念是非常的不一样的。行列式能按照我们的规则计算出它的结果，而矩阵是将数字按一定顺序排列得到的。在学术研究中恰当地使用矩阵，能用向量空间中的向量表示线性方程组中系数矩阵；因此，一个多元线性方程组的解的情况，以及一系列问题的理论解之间的不同关系，都可以得到彻底解决。矩阵都有自身的行和列，水平的称之为行，竖直的称之为列。这些我们现在能看到的关于矩阵的一切都是由无数数学家的摸索得来的。

矩阵（Matrix）在数学发展历史上有着非常重要的位置，它一直是数学研究的一个主要方面，是数学在研究和应用过程中经常用到的知识。“矩阵”由英国数学家叶（Sylvester）第一次使用，他使用的这个数学术语最后将矩阵的列数和早期的行列式分离开来。在数学发展的历史长河中矩阵理论的创立者被一致认为是英国数学家凯莱（Cayley），是他最先将矩阵作为一个单独的数学上的概念提出来，并且关于矩阵的很多学术论文和著作都是他最早发表的。事实上最早的矩阵是从对大量行列式的研究中分离出来的，因为和行列式对应的方阵本身就可以做许多的研究和运用，随着对行列式研究的深入，矩阵的许多知识点也日渐完善。从逻辑上讲，概念应先于行列式的矩阵的概念和历史上真正的顺序是恰恰相反的。在19世纪50年代，英国数学家凯莱（Cayley）公开展示了自己关于矩阵的最新研究成果--《矩阵论的研究报告》，这项研究成果使我们对矩阵的认识更深入了一步。本文定义了矩阵相等、矩阵的算法、矩阵的转置和基本概念，如矩阵的逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力。除此之外，英国数学家凯莱（Cayley）也给出了方阵的特征根（特征值），还有其他许多结论。矩阵的发展历史，著名的德国数学家弗洛伯纽斯（Frobenius）起着非常重要的作用，他是第一个对矩阵中最小多项式问题作全面介绍的著名数学家。他还介绍了矩阵的秩、不变的因素和主要因素、正交矩阵相似变换等知识，矩阵的其他概念如合同，不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等在他的著作中也有体现。在19

世纪50年代，约丹经过潜心研究首先发表了把一般矩阵化为标准型矩阵的方法。到了19世纪90年代，梅茨勒（Metzler）首先提出了矩阵函数的基本概念，最后找到用幂级数形式将表示矩阵的方法，这些对矩阵的发展意义重大。此外，傅立叶（Fourier）与庞加莱（Poincare）研究的主要是无穷矩阵方面。到这时，矩阵已经相当完善了。

矩阵最大的用途就是在实践中解用常规方法难以求解的方程。另外一个在实际操作中很有意义的作用是代表线性变换，即是像f(x)、4x之类的关于线性函数的推论。矩阵的特征向量可以揭示一个线性变换的深层次特征。随着两个世纪中无数数学家的无私奉献，矩阵论已经成为了一门完善的数学分支。矩阵在很多方面都有重要应用，例如数学领域里，力学、物理学、工程数学、经济管理方面都有矩阵的出现。

1.2 本文所做的主要工作

矩阵理论包含的内容非常非常多，矩阵函数在矩阵理论中占据非常重要的位置，相比于矩阵函数中的其他知识，矩阵多项式比较容易理解，就是这样容易理解的矩阵多项式是我们对矩阵函数进行研究的理论基础。矩阵函数的定义方式有多种，本文主要是从多项式和幂级数两个方面进行研究的。本文主要论述了矩阵函数以及应用。在文章的第一部分，总结了矩阵函数所必须的基础知识，主要包括代数学多项式理论、行列式与矩阵等方面的一些结论以及数学分析中幂级数的若干法则。文章的第二部分，总结了矩阵函数的概念、性质、推论，介绍了若干重要的矩阵函数。文章的第三部分，归纳了矩阵函数的若干计算方法，包括了Hamiltio-Cayley定理、利用相似对角化计算、利用Jordan标准型法进行计算、利用待定系数法求解等四种计算方法。在这部分的最后对这四种方法进行了比较，在比较中加深对矩阵函数求解的认识。可以根据计算过程中遇到的实际情形加以选择，将会给计算带来很大方便。本文的第四部分，通过查阅文献和指导教师交流的方式，在求解线性微分方程过程中有对矩阵函数的应用研究，并介绍了在线性系统的可控性和可观性中矩阵函数的应用。本文的最后部分，通过Matlab编写能计算常用矩阵函数的程序，将使矩阵函数的计算更方便、迅速。

2 矩阵函数

2.1 研究本论文具备的数学基础

为了进一步讨论和便于理解，引入以下研究本论文的相关概念：

1、线性空间在集合上具有一定的结构或符合一定的要求，那么这个集合就是特定的空间。如果V是非空的集合，P是数域。对V里的元素定义代数类运算，叫作加法；就是给出一种规则，使V中任意两个元素x和y，都能在V中找到唯一的一个z和它匹配，其中

=+。在数域P与集合V中的元素再定义另外一种运算，叫作数z是x与y的和，记为z x y

量乘法；就是如果数域P中任何一数k与V中的任何一个元素x，在V中都能找到一个元素

h 和它匹配，h 是k 和x 的数量乘积，记为h kx =。若加法与数乘都同时符合它们的运算法则，那么V 就叫作数域P 上的线性空间。

2、级数 级数知识是分析科学中一个重要的部分；这个概念经常出现在数学的其他分支。把数列n u 的项1u ，2u ，…，n u ，…逐项相加得到的函数。数项级数简称级数。如：12n u u u ++++，缩写为n u ∑，n u 就是级数的通项，记作n n S u =∑是级数的部分和。如果当n →∞时，数列极限n S 有S ，级数就是收敛的，否则就是发散的。研究函数经常会用到级数，它不管在理论上还是实际中都有很多用途，原因主要有一下两个方面：一、许多经常用到的非初等函数可以用级数表示，级数还可以表示微分方程的解；二、函数可以用来表示级数，也能用级数去探讨函数的性质。幂级数，是级数中非常重要的一种，被当作基础知识应用在实变型函数、复变型函数和其他许多基本领域中，在这些领域发挥巨大的作用。幂级数是指每一项均对应着级数项序号n 的常数倍的()x a -的n 次方（n 是从0递增的自然数，a 是常数）。幂级数与多项式形式非常接近，在许多方面有相似的特征，可以被视为“无限的多项式”。

3、正定矩阵 在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。它的定义有广义和狭义之分。广义定义：设M 是n 阶方阵，如果有任意非零向量z ，都有'0z Mz >，'z 是z 的转置，称为M 正定矩阵。例如：B 为n 阶矩阵，E 为单位矩阵，a 为正实数。aE B +在a 充分大时，aE B +为正定矩阵。（B 必须为对称阵）狭义定义：一个n 阶的实对称矩阵M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z ，都有'0z Mz >。其中'z 表示z 的转置。

4、线性算子 线性算子，有数学运算各领域的线性性质（如线性变换，线性代数理论的微分方程，积分方程理论，微分，积分，积分变换）的抽象概括。它是研究线性泛函的一个重要目标。线性算子的用途很广，不但应用在数学的很多分支当中，同时对于量子物理也是重要的数学基础。

5、对称矩阵和反对称矩阵 对称矩阵的定义是：T A A =（A 的转置），对称的矩阵元素(,)(,)i j j i A A =。反对称矩阵的定义为：T A A =-(A 的转置前加负)它的首行与首列各元素绝对值相等，符号相反。即(,)(,)i j j i A A =-, 因此，在对角线上的元素，(,)(,)i i i i A A =-,有(,)20i i A =， 在非偶数域中，有(,)0i i A =，即反对称矩阵对角线元素为零，此性质只在非偶数域中成立。

6、化零（零化）多项式给定矩阵n n A C ?∈，如果多项式1110()m m m m p a a a a λλλλ--=++

++，满足()0p A =,则称()p λ是A 的化零多项式，（一般取首项系数为1）。

7、矩阵的谱半径 设A 是n n ?矩阵，i λ是其特征值，i = 1，2，……，n 。下面通过数学式子将其表示出来。假如()A ρ表示A 的谱半径，即(){}max A A ρλλ= 是的特征值。也就是说矩阵A 的谱半径是矩阵A 的全部特征值求模的最大值；如果特征值是虚数，谱半径就是实部和虚部的平方和求算术平方根。

8、 n n F ?表示数域F 上n n ?矩阵全体的线性空间；

9、 n n C ?表示n n ?复矩阵集；

10、 (),P F λ数域F 上λ的纯量多项式；

11、矩阵的谱 矩阵A 通过数学运算计算出来的特征值的集合就是一个矩阵的谱，通过数学表达式表示出来也就是：()A σ表示A 的谱，即(){}

A A σλλ=是的特征值； 12、其中次数最低的零化多项式称为矩阵A 的最小多项式，记做()m ψλ；

13、文献[1]给出矩阵级数的定义：

定义1：设{}k A 是m n C ?的矩阵序列，其中()k k m n ij A a C ?=∈，无穷和

123k A A A A ++++称为矩阵级数，记为1k k A ∞=∑.对正整数1k ≥，记1

k k i i S A ==∑称()k S 为矩阵级数1k k A ∞=∑的部分和，如果矩阵序列{}k S 收敛，且有极限S ，即lim k k S S →∞

=，则称矩

阵级数1k k A ∞=∑收敛，并称S 为矩阵级数1k

k A ∞=∑的和，记为1

k k A S ∞==∑。不收敛的矩阵级数称为发散的.

定义2：设n n A C ?∈，形如20120k k k k k c A c I c A c A c A ∞==+++

++∑

的矩阵级数称为矩阵幂级数.

14、相似矩阵 设,A B 是n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 使1B P AP -=,则称矩阵A 与B 相似的，记为A B .相似矩阵代表等价的关系。

15、可对角化矩阵 如果n 阶方阵A 能与一个对角矩阵相似，就说A 可对角化。n 阶方阵A 可对角化的充要条件是它有n 个线性无关的特征向量。对角矩阵(diagonal matrix )是一个矩阵主对角线之外的所有元素都是0。对角线上的元素可以是0或任何其他值。然后引入

线性无关的概念。对向量组

，如果有一组不全为零的数,然后

被称为向量组

线性相关.如果没有这样的,换句话

就是向量等式当且仅当才成立,就称向量组是线性无关的.

16、可逆矩阵 可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个n 阶方阵A ，若存在一n 阶方阵B ，使得n AB BA I ==（或n AB I =、n BA I = 满足任意一个），其中n I 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆矩阵，记作1A -。 2.2 矩阵函数的定义

类比于代数中函数的定义，能知道定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数。矩阵函数的定义方式有很多种，为了便于进一步的研究，本文主要从经常使用的多项式和幂级数来定义矩阵函数。

矩阵函数的多项式表示：

设()ij n n A a ?=是数域F 上的一个n 阶矩阵，简记为n n A F ?∈，()()2012+0n n n f a a a a a λλλλ=+++≠…是数域F 上的一个n 次多项式，简记为()(),f P F λλ∈，将此多项式中i λ换成i A ，其中01λ=换成单位矩阵I ，则矩阵函数()

f A 可以定义为：()2012+n n f A a I a A a A a A =+++…

矩阵函数的幂级数表示：

设n n A C ?∈，如果一元函数()f z 能够展开为z 的幂级数()f z =0k k k c z ∞

=∑，z ||

其中0R >表示该幂级数的收敛半径.当n 阶矩阵A 的谱半径()A R ρ<时，把收敛的矩

阵幂级数0k

k k c A ∞=∑的和称为矩阵函数，记为()f A ，即()f A =0k k k c A ∞

=∑。 2.3 一些矩阵函数的重要性质及推论

性质1：()f A 和A 可交换，即()()f A A Af A =

证 设纯量多项式()2012+n n f a a a a λλλλ=+++…，则矩阵多项式()f A 为

()2012+n n f A a I a A a A a A =+++…，于是

()f A A =()2012+n n a I a A a A a A A +++…=231012+n n a A a A a A a A ++++…

()2012+n n A a I a A a A a A =+++…

()()()()f g A f A g A =

性质2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（或差），即

()()()()f g A f A g A ±=±

性质3：函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即

()()()()f g A f A g A =

性质4：若A B ,则()()f A f B ，即若1B T AT -=，则

()()1f B T f A T -=

证 由于A B ，故存在可逆矩阵n n T C ?∈，使得1B T AT -=，若()f λ是纯量多项式，则()()()11f B f T AT T f A T --==,即()()f A f B

性质5：设n n A C ?∈，n n B C ?∈，且A B B A =,函数()f z 在()A σ上有定义，()g z 在()B σ上有定义，则()()()()f A g B g B f A =

证 设A ，B 的最小多项式的次数分别为k 和l ，则存在次数不超过1k -的多项式()z ?和次数不超过1l -的多项式()z ψ，使得()()()(),f A A g B B ?ψ==

由于AB BA =，因此对任意正整数i ，j ，有i j j i A B B A =，从而A 的多项式与B 的多项式相乘时可交换，即得

()()()()()()()()f A g B A B B A g B f A ?ψψ?===

性质6：设n n A C ?∈，A 的特征值都是正实数，()f z 是系数为非负实数的幂级数0k

k k c A ∞

=∑的和函数，它的收敛半径()r A ρ>，则()0trf A ≥，且()()00trf A f z =?=

证 因为A 的特征值都是正实数，且()f z 是系数为非负实数的幂级数0k k k c A ∞

=∑的和函

数，因此()f A 的特征值为()()001,2,k i k i k f c i n λλ∞

==≥=∑…，，其中()1,2,k i n λ=…,是A 的

特征值，所以()()10i i trf A f λ∞

==≥∑

若()f z 不恒为0，则()()0

01,2,k i k i k f c i n λλ∞

==>=∑…,，从而()0trf A >；

若()f z 恒为0，则()()01,2,,i f i n λ==…，从而()0trf A >。

性质7：设n n A C ?∈，函数()f z 在()A σ上有定义，则()()

T T f A f A =???? 证 由于A 与T A 相似，因此，A 与T A 有相同的谱，也有相同的最小多项式，由()f z 在()A σ上有定义，则()f z 在()T A σ上有定义，且()f z 在A 与T A 的谱上的值相同，因此可取相同的多项式()z ?，使得()()()(),T T f A A f A A ??==.所以

()()()()T T T T f A A A f A ????===???

??? 性质8：设A 是对称矩阵，函数()f z 在()A σ上有定义，则()f A 是对称矩阵

性质9：设A 是实对称矩阵，实函数()f z 在()A σ上有定义，且对A 的任一特征值λ，有()0f λ>，则()f A 是正定矩阵。

证 由()f z 为实函数，A 是实对称矩阵，根据性质8知，()f A 是实对称矩阵，又因为()f A 的特征值为()()01,2,,i f i n λ>=…，其中()1,2,,i i n λ=…是A 的特征值，所以()f A 是正定矩阵。

性质10：设A 是反对称矩阵，函数()f z 在()A σ上有定义，且为奇函数，则()f A 是反对称矩阵。

证 由性质7得()()()=T

T f A f A f A =-????,又由于()f z 为奇函数，()()f z f z -=-，所以()()()()=T

T f A f A f A f A =-=-???? 即()f A 是反对称矩阵。

2.4 常用的矩阵函数

在矩阵理论中，有许多不同种类的矩阵函数。经常使用的矩阵函数有矩阵的指数函数和矩阵的三角函数。以下是矩阵函数的基本性质：

根据上面给出的用幂级数定义的矩阵函数，可以得到0()k k k f A a A ∞

==∑。根据这个定义，

可以得到和数学分析中一些函数相似的矩阵函数，可以通过以前学过的高等数学知识类比现在得到的矩阵函数的性质。如：A e ，sin A ,cos A ,ln()I A +。

矩阵指数函数A e 的基本性质：

(1)若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==;

(2)()1A A e e --=； (3)A trA e e =

证 （1）显然满足矩阵加法的交换律，所以我们只需要证明A B A B e e e +=.根据现有的矩阵指数函数表达式有： 22112!2!A B e e I A A I B B ????=++++++ ???????

…… ()()()22322311332!3!

I A B A AB BA B A A B AB B =+++

++++++++… ()()()23112!3!I A B A B A B =+++++++… A B e +=

(2)在（1）中令B=-A,则得A A e e I -=,所以()1A A e e --=

(3)设A 的特征值为12n λλλ，，…，，则A e 的特征值为12,,n e e e λλλ…，，因此12n 12n +++==A trA e e e e e e λλλλλλ=……

推论 0A A A A e e e e e I --===，1()A A e e --=，()A m mA e e =(m 是整数)。这表明矩阵的指数函数矩阵总存在逆阵。如果把矩阵函数()f A 的变元A 换成At ，其中t 为参数，则相应地

有0()()k k k f At a At ∞

==∑。在实际中，经常需要求含参数的矩阵指数函数。

矩阵三角函数的基本性质：

(1)cos sin iA e A i A =+ (2)()1cos 2iA iA A e e -=-，()1sin 2iA iA A e e i

-=- (3)()()cos cos ,sin sin A A A A A -=-=-

(4)若AB BA =，则()cos cos cos sin sin A B A B A B +=-

()sin sin cos cos sin A B A B A B +=+

证(1)因为0!k

iA k k i e A k ∞

==∑，将k 分为偶数k 2和奇数1k 2+，则有 ()()()221

22k+1000!2!21!k

k

k iA k k k k k i i i e A A A k k k +∞

∞∞=====++∑∑∑

()()()()22100112!21!k k

k k k k A A k k ∞∞+==--=++∑∑ cos sin A i A =+

(2)同(1)证可得cos sin iA e A i A -=- 两式相加得()1cos 2

iA iA A e e -=

- 两式相减得()1sin 2iA iA A e e i -=- (3)因为()()2101sin 21!k k k A A k ∞+=-=+∑

，所以()()()()2101sin 21!k k k A A k ∞+=--=-+∑ ()()2101sin 21!k

k k A A k ∞+=-=-=-+∑，又因为()()201cos 2!

k k k A A k ∞=-=∑，所以 ()()()()()()220011cos cos 2!2!k k k k k k A A A A k k ∞∞==---=-==∑∑ (4)若AB BA =，得

()()()()

1cos 2

i A B i A B A B e e +-++=+ ()12

iA iB iA iB e e e e --=+ ()()()()1222iA iA iB iB iA iA iB iB e e e e e e e e ----??++-- ?=+ ??? ()2222iA iA iA iA iB iB iB iB

e e e e e e e e i i

-----++-=- cos cos sin sin A B A B =-

同理可证 ()sin sin cos cos sin A B A B A B +=+

3 矩阵函数的计算

矩阵函数的计算问题是矩阵的实际应用的一个关键问题。物理学中的矩阵函数的计算，统计和模拟电路有许多实际的应用，例如，被要求限定入口，行列式的逆矩阵的迹和高阶矩阵值等。[13]和矩阵函数相关的计算问题将会在本文中进行研究。矩阵函数的计算方法虽然多种多样，但是想通过定义求解矩阵函数的过程很困难。本文主要研究了最有代表性四种方法．四种方法是不同的，这涉及到微分方程的求解、Jordan 标准化形式、特征多项式等一些知识。所以，研究如何方便地计算矩阵函数对于解决实际生活中的实际问题具有非常重要的意义。为此，我们介绍下列几种常用的算法。在前一章中通过利用收敛矩阵幂级数的和定义了矩阵函数()f A ,在具体应用中，需要求出()f A 所代表的具体矩阵，即求出矩阵函数的具体值。本章介绍了几种求矩阵函数的方法，为了简化运算以下式中出现的矩阵函数均假设为收敛的矩阵幂级数。

3.1 利用Hamiltio-Cayley 定理求矩阵函数

定理 (Hamilton-Cayley ) 设A ∈M n (F ), f (λ)=||A I n -λ是A 的特征多项式，则

0||)1()()(12211=-+++++-=-n n n nn n I A A a a a A A f .

为了便于后面的理解，这里作一点简单的证明。

证 设B (λ)是A I n -λ的伴随矩阵，则根据伴随矩阵的定义有：

n n n n I f I A I A I B )(||))((λλλλ=-=-．

因为矩阵B (λ)的元素是||A I n -λ的各个代数余子式，都是λ的多项式，其次数不超过1-n ．因此由矩阵的运算性质，B (λ)可以写成

11201)(---+++=n n n B B B B λλλ．

其中110-n B B B ，，， ∈M n (F )．

再设n n n n a a a f ++++=--λλλλ111)( ，则

n n n n n n n I a I a I I f +++=- 11)(λλλ． (1)

于是

))(())((11201A I B B B A I B n n n n n -+++=----λλλλλ

A B A B B A B B A B B B n n n n n n 1211220110)()()(-------++-+-+=λλλλ (2) 比较(1)和(2)，得

?????????=-=-=-=-=----n

n n n n n n n

n n I a A B I a A B B I a A B B I a A B B I B 1121212101

0 ． (3) 用n n n I A A A ,,,1 -，依次从右边乘(3)的第一式，第二式，…，第n 式，第n +1式，得

?????????=-=-=-=-=---------n

n n n n n n n n n n n n

n I A B A

a A B A B A a A B A B A a A B A B A A B α112212

2112211011

0 ． (4)

把(4)的n +1个式子相加，左边变成零，右边就是f (A )，故f (A )=0．

为了继续研究的需要，在这里对上文中提到的伴随矩阵的概念作简单的介绍。根据线性代数的知识体系，任何一个方阵的伴随矩阵其实是一个和矩阵逆矩阵相似的概念。假如一个矩阵是可逆的，可以得到它的伴随矩阵和它的逆矩阵之间是一种倍数的关系。但是，伴随矩阵对于不可逆的矩阵也有定义，而且不需要用除法。矩阵A 的伴随矩阵可以按下面的方法定义：1.把矩阵的每一个元素都换成与之匹配的代数余子式；（代数余子式的定义：在一个n 阶行列式A 中,把

元所在的第行和第列的全部元素去掉，剩下的所有元素组成的

阶行列式叫做元的余子式，记着;即，就叫做元的代数余子式）注意：前面求得的是一个具体的数而不是一个矩阵。2.将（1）中求得的矩阵转置就是A 的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj （A ）：去除A 的行列式D 中元素对应的第行和第列得到的新行列式1D 代替ij a ，这样就不用转置了）

例 设A 是n 阶可逆矩阵，则)(1A g A =-，其中g (λ)是一个n －1次多项式．

证 设A 的特征多项式为

n n n n n a a a A I ++++=---λλλλ111|| ，

通过Hamilion-Cayley 定理，可以得到

=++++--n n n n n I a A a A a A 111 O ．

因为A 是可逆矩阵，所以0||)1(≠-=A a n n ，于是上式可化为

n n n n n n

I A I a A a A a =+++----)(11211 ，

这表明

)()(112111A g I a A a A a A n n n n n

=+++-=---- ， 其中，)(1)(1211---+++-

=n n n n a a a g λλλ是一个n －1次多项式． 设F 是一个数域，λ是文字，求多项式环[]F λ，一个给定的矩阵若它的元素都是关于λ的一个多项式，即[]F λ的所有元素，这个矩阵就被称作-λ矩阵.因为存在于数域P 中的元素也是][λP 的数，所以在-λ矩阵中也包含了以数为元素组成的矩阵.为了与原有的-λ矩阵区别开来，我们称数域P 中的数为元素组成的矩阵为数字矩阵.在接下来的文章中就用 ),(),(λλB A 等表示-λ矩阵. 上面提到的多项式环中的环其实是一种代数结构。在抽象代数里，代数结构（algebraic structure ）是指至少具备两个的计算（最常用的操作，可以存在无数个计算）的非空集合。一般研究的代数结构有群、环、域、格、模、域代数和向量空间等等。对于非空集合R ，如果定义了两种代数运算+和*（不一定就是代数中加法与乘法的含义），并且满足下面的条件：1）集合R 在运算+下能组成阿贝尔群（Abel ）。2）*具有封闭性，就是对于任意的a ∈R,b ∈R ，总是有a*b ∈R 。3）运算符*下有分配律和结合律，即对于任意的a ∈R ，b ∈R 和c ∈R ，总有：a*（b+c ）=a*b+a*c ，（b+c ）*a=b*a+c*a ，（a*b ）*c=a*（b*c ），我们就把R 称作环（Ring ）。所以满足上述定义的多项式就被称为多项式环。

我们清楚，][λP 中的元素能进行加或者减或者乘三种计算，并且它们的计算和数的运算规律是相同的.矩阵的加法和乘法的定义中使用的元素的加法和乘法，所以它可以类似地定义-λ矩阵的加法和乘法，和数字矩阵运算的算法规则相同。

通过行列式的本质，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，同理也能定义n n ?的-λ矩阵行列式.一般来说，-λ矩阵的行列式也是一个多项式，它和数字矩阵的行列式具有同样的性质。

定义 一个n n ?的-λ矩阵)(λA 称为可逆的，如果有一个n n ?的-λ矩阵)(λB 使 E A B B A ==)()()()(λλλλ, (1)

这里E 是单位矩阵.适用(1)的矩阵)(λB (它是唯一的)被称作)(λA 的逆矩阵，记作)(1λ-A .

例 已知0110A ??= ?-??

,求At e 。 解 A 的特征多项式为21I A λλ-=+,通过Hamiltio-Cayley 定理有：20A I +=,即

2345,,,,,A I A A A I A A =-=-==

即 221(1),(1)(1,2,

),k k k k A I A A k +=-=-= 故 01!

At k k k e A t k ∞==∑

2435

12!4!3!5!t t t t I t A ????=-+-+-+- ? ????? (cos )(sin )t I t A =+

cos sin sin cos t t t t ??= ?-??

. 3.2 利用相似对角化求矩阵函数

设n n A C ?∈是对角矩阵，那么必有n 阶的可逆矩阵P ,使

112(,,

,),n P AP diag λλλ-==Λ 则有11

000

112

000112()()()(,,,)((),(),,()),k k k k k k k k k k k k k k k n k k k n f A a A a P P P a P Pdiag a a a P Pdiag f f f P λλλλλλ∞∞∞

--===∞∞∞

-===-==Λ=Λ==∑∑∑∑∑∑

从而，112()((),(),,()).n f At Pdiag f t f t f t P λλλ-= 为了便于理解，这里简单介绍一下文中将会用到的可对角化矩阵、可逆矩阵、可交换矩阵和变换矩阵的相关概念。为了告诉概念清晰的对角化矩阵，首先简要说明相似矩阵的概念。设,A B 都是n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 使1B P AP -=,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A B .矩阵的相似是一种等价关系。如果n 阶方阵A 能与一个对角矩阵相似，称A 可以对角化。n 阶的方阵A 能对角化的充要条件是它具备n 个线性无关的特征向量。可逆矩阵是线性代数中经常用到的一种矩阵，它在线性代数中的定义为给定一个n 阶的方阵A ，如果存在一个n 阶方阵B ，使得n AB BA I ==（或n AB I =、n BA I = 任意满足一个），其中n I 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆阵，记作1A -。如果一个方阵有乘法交换律，那么这个方阵就是可交换矩阵，用数学表达式表示就是：A B B A ?=?。变换矩阵是线性代数中的一个数学概念。在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T 是能将n R 映射到m R 的一个线性变换，并且x 是有n 个元素的列向量 ，那么我们就可以将m ×n 的矩

阵

A ，叫作T 的变换矩阵。任何一种线性变换都能用矩阵表示，并且它更容易计算，就算有很多线性变换只要正确地使用矩阵乘法就能够将它们连接起来。如果线性变换函数的类型是()T x ，只要通过T 对标准基中的任意一个向量作简单变换，最后把结果插到矩阵的列中，所以它是很容易确定的变换矩阵A ，即：

例 已知460350,361A ?? ?=-- ? ?--??

求,cos .At e A 解 2det()(2)(1),I A λλλ-=+-所以A 的特征值为1=-2λ，23==1λλ。对应于1=-2λ的特

征向量1=-,,T α（111）；对应于23==1λλ线性无关的特征向量2=-,,T α（210），3=,,T α（001），

故

-1-20110101P ?? ?= ? ???，

使得 1200010.001P AP --?? ?= ? ???

于是 21000000t At t t e e P e

P e --?? ?= ? ???

222222222020.

22t t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e ------??-- ?=-- ? ?--?

? 1

cos(2)00cos 0cos1000cos1A P P --?? ?= ? ???

2cos1cos 22cos12cos 20cos 2cos12cos 2cos10.

cos 2cos12cos 22cos1cos1--?? ?=-- ? ?--?

? 上面介绍的是一般矩阵，一般矩阵可以通过相似对角化的方法求解矩阵函数，对一般矩阵而言相似对角化的过程必须先求出矩阵的特征向量。当然矩阵中还有些比较特殊的矩阵，因为他们的特殊性可以将计算简化。对角矩阵就是这样的一种特殊矩阵，接着就来介

绍求对角矩阵函数()f A 的方法。（A 为一个对角矩阵或者对角矩阵的块）。

(1)矩阵函数为矩阵幂函数()=m f A A

若A 为对角矩阵，即12n d d A d ???

???=??????

则由矩阵乘法，有()()()()1122=m m m m n n d f d f d d f A A f d d ????????????==??????????????

?

? 若A 为分块对角矩阵，即12n A A A A ???

???=??????，其中()1,2,,i A i s =…为子块。则 ()()()()1122m m m m s s f A A f A A f A A f A A ???????

?????===???????????????

?

(2矩阵函数为矩阵多项式

()2012+n n f A a I a A a A a A =+++…

因为()f A 是几个矩阵指数函数的线性组合，它仍然可以作为（1）中的计算方法。

3.3 利用Jordan 标准形法求矩阵函数

设矩阵n n A C ?∈的Jordan 标准形为J ，即A J ,则必存在可逆矩阵P ，使

1J P AP -= 从而由矩阵函数的性质4可知()()1f J P f A P -=

所以求()f A 可以通过以下3个步骤来计算：

第一步，先求出A 的Jordan 标准形J ，接着求相似的变换矩阵P ，使得1A PJP -=； 第二步，计算()f J

12()()()()k f J f J f J f J ??

? ?= ? ??

?

， 其中(1)(2)()()()

()2!(1)!()()0()()(2)!000()i i n i i i i i n i i i i i i f f f f n f f J f f n f λλλλλλλλ--?''?'??-????'=??-?????????? 第三步，利用()()1f J P f A P -=求出()()1f A P f J P -=

该方法的关键在于如何求Jordan 标准形J ，这里简单描述了怎么用初等因子法求Jordan 标准形J :

文献[ 10 ]中有基本因素不变因子的定理和定义，有如下摘录：

定义3 标准形的主对角线上非零元素()()()()12,,,r d d d A λλλλλ-…称为矩阵的不变因子。

定义4 把矩阵A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A 的初等因子。

求Jordan 标准形的具体方法：

1、首先求给定矩阵A 的特征矩阵I A λ-；

2、再求矩阵A 的初等因子组()()()1212-,,,s m m m

s λλλλλλ--…，其中12,,,s λλλ…可能有相同的，12,,,s m m m …中也可能有相同的，但总有1s s i m n ==∑；

3、每个初等因子()i m i λλ-对应着一个Jordan 块i J ，其阶数为i m ，对角线元素为i λ，即i

i i i i m J λλλ???

???=?????? 4、这些Jordan 块的组合构成一个Jordan 矩阵J ，即12s J J J J ??????=?????

?

例 设????

? ??-----=221111122A ，求At e . 解 令()t e f λλ=.求得A 的Jordan 标准形为：

1

211000100001J J J ???? ?== ? ??? ???. 再求相似的变换矩阵P .

设1123(,,),,,P P AP J AP PJ ηηη-===使则即

()()123123110,,,,010001A ηηηηηη?? ?= ? ???

123,,ηηη应满足112123

3A A A ηηηηηηη=??=+??=?即13,ηη是()0A I x -=两个线性无关的解.解

1211210121x -?? ?--= ? ?--??

，同解方程组12320x x x +-=，令23,x x 分别取(1,1),(0,1),得特征向量13111,011ηη-???? ? ?== ? ? ? ?????，于是有200,1η?? ?= ? ???则101100111P -?? ?= ? ???，计算出1010121110P -?? ?=-- ? ???.

于是

()()()()111200At f J e f A Pf J P P P f J --??=== ??? 1(1)(1)00(1)000(1)f f P f P f -'?? ?= ? ???

????

? ??--????? ??????? ??-=01112101000000111001101t t t t e e te e ????? ??+-----+=t t t t t t t t t e t 122121. 一个重要的结论：以独立的矩阵函数和Jordan 块的排列顺序没有任何关系，没有选定具体的变换矩阵P ，矩阵函数总能转为计算矩阵多项式。

3.4 利用待定系数法求矩阵函数（化零多项式法）

从上面的介绍可以知道求矩阵函数通过求矩阵Jordan 标准形式的方法是非常复杂的，它要求Jordan 标准形式及变换矩阵，这个过程很繁琐。下面我们介绍根据化零多项式求解

矩阵函数的一种方法，希望能达到降低计算量的目的。要达到目的这里需要介绍一个非常有用的定理。

定理 n 阶方阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第n 个（也就是最后一个）不变因子()n d λ。初等因子，不变因子的概念见引用文献[10]中的定义3，定义4，这里不再介绍。

设n 阶方阵A 的不变因子反向依次为11(),(),,()n n d d d λλλ-，由他们给出的初等因子分

别为121121(),(),,(),(),,(),s r r m m m m m r r s λλλ

λλλλλλλ++-----其中1s i i m n ==∑。因为1()()(1,2,,1)i i d d i n λλ+=-，所以

1,,r s λλ+必定出现在1,,r λλ中；

如果()i j j r i λλ=≤≤，则i j m m ≤。

因此，矩阵A 的最小多项式是12

12()()()()s m m m s m λλλλλλλ=---，它的最小多项式就是它的零化多项式，也就是1212()()()()0.s m m m s m A A I A I A I λλλ=---=

按照矩阵函数的定义，只要求出多项式()g λ，有

()()()()10,1,2,,11,2,3,,l l

i i i s i i f g l d i s

d m

λλ== =- = =∑……

令()210121m m g a a a a λλλλ--=++++…其中m 是A 的一个极小多项式的次数，从上述条件

可以得到方程组求出01,,,m a a a -…，从而得到()g λ，最终得到

()()210121m m f A g A a I a A a A a A --==++++…

这是待定系数法的使用（多项式法）求解矩阵函数的相关理论知识，这里有具体的例子说明了如何使用这种方法。

例 设矩阵010001230A ????=??????

,求At e

解 由于特征多项式()()()2

21I A ψλλλλ=-=-+，易算出()()21λλ-+不是A 的零化多项式，故A 的最小多项式()m ψλ为()()()()2

21m ψλψλλλ==-+，于是设()g λ为2次多项

式，即()2012g a a a λλλ=++，由于()At f e λ=，且12λ=是单根，21λ=-是二重根，故有

()()()()()()112222f g f g f g λλλλλλ=??=??'='?

即

201201212242t t t e a a a e a a a te a a --?=++?=-+??=-? 解得 ()

()()202122186912239139t t t t t t t t t a e e te a e e te a e e te ------?=++???=-+???=--??

从而得

()()

()()()()()()()()()2

01222222222286223131264532239446838453At t t

t t t t t t

t t t t t t t t t t e f A g A a I a A a A e t e e t e e t e ae t e e t e e t e e t e e t e e t e ---------== =++??++---+?? =-++---????+++-+-??

3.5 四种方法的比较 为了将问题说明清楚，这里将几个基本概念回顾一下。首先了解初等变换的概念。初等变换（elementary transformation ）是高代中的数学名词，同时也代表着一种运算。初等变换主要包括三种情况：线性方程组里的初等变换、行列式中的初等变换和矩阵的初等变换。三个方面的初等变换大同小异。由于本文是矩阵函数及其应用的研究，因此本文主要对矩阵的初等变换进行阐述，对另外两种初等变换不作详细介绍。矩阵的初等变换包含有矩阵的初等行变换与它的初等列变换。下面给出的三种初等变换都称作矩阵初等行变换：1、将两行对调；2、某一行的所有元素乘上一个非零实数；3、将某一行所有的元素乘以非零常数k 加到另一行分别与之对应的元素上去。如果把前面定义中的“行”换成“列”，得到的就是矩阵的初等列变换的定义。如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么矩阵A 与B 是等效的。另外：分块矩阵也能定义初等变换。四种方法中的第二种计算方法难度最大，在求()f A 的Jordan 表示式时，要求矩阵A 的Jordan 标准形式，在求Jordan 标准型的过程中还要涉及λ矩阵的初等变换，计算很麻烦，最后还要算交换矩阵P ，计算量非

常大，矩阵A的阶数变大也会增加很多计算量；同时也是最实用的，因为这种方法的优点是计算步骤非常清晰，容易理解。第一，第三和第四种方法中使用的数学原理和方法比较多，明显地比第二种方法计算量少，它们的计算过程相对简单，但要明白为什么要这么做，还需要清楚地理解里面运用的一些定理和方法。

4 矩阵函数的应用

矩阵函数理论对于矩阵理论意义重大。因为矩阵函数，人们对矩阵的研究由以前的计算进入到现在的分析领域。同时也可以解决不仅数学领域而且工程技术等其它许多领域的众多计算难题。本文在这里简单介绍矩阵函数的一些实际应用，主要以在现代控制理论中的应用为例进行阐述。

现代科学技术有许多不同的领域，其中包括的自动控制技术在各个方面的作用越来越明显。随着科学技术越来越成熟，自动控制理论进入了一个新的过渡阶段，从过去传统的控制理论到现在的控制理论。优化控制系统主要讨论了变参数的多变量的高性能，多变量系统的精度高，主要工具就是矩阵理论。因此，现代控制理论中的矩阵理论和矩阵函数的知识具有重要作用。同样地，为了更好地研究本问题，对本问题中涉及到的控制学中概念做一些简单介绍。首先简单介绍一下线性系统和线性系统的发展历史。上个世纪50年代左右，最开始出现的线性系统理论经过一段时间的应用和改善，已经发展成了一套完整的理论，在许多工程技术领域中都有线性系统理的使用。通过矩阵函数定义的解决线性控制中的问题是使用镶嵌技术获得期望矩阵的传递函数。[14]最开始出现的线性系统理论是以拉普拉斯变换作为最基本的数学知识，它的最根本的数学模型就是前面提到的传递函数，最基本的研究和综合方式是通过频率响应的方法。这种方法对单输入输出类型的线性定常系统的剖析效果很好。然而，这种理论也具备非常突出的不足之处，最明显的不足之处是不能很好地处理多输入和多输出的系统，而且很难表示出一个系统的真正的内部特征。

在20世纪60年代左右，关于线性系统的理论经历了从最开始的古典阶段到现代阶段的重要时期，其中最具代表性的事是卡尔曼第一次完整地在系统和控制的理论中引进了状态空间的方法。状态的空间方法的一个最主要的特征是：通过描述状态的内部空间的方法代替以前的使用传递函数的方法描述外部的输入和输出系统，并且通过在时间区域内对整个系统进行探讨和整合。状态的空间方法既能在输入输出类的系统中使用，也能在线性的系统等几种系统中运用。基于状态的空间方法，卡尔曼将系统的可控制性与可观测性这两个最能揭示系统结构特征的重要的概念又向前推进了一部，在实践应用中已经可以充分说明它们两个是线性系统的理论中的最常用到的概念。在前面介绍的可控制性和可观测性，对于线性系统的进一步研究和整合在根本的指导规则方面都产生了重大影响。这种影响集中体现在用“内在研究”替代了传统的“外在研究”，并将探讨和整合的过程需要的基础理论变的更加严格起来。从60年代中期到现在，不仅在研究内容和研究方法，对于线性系统，有很多新的突破。产生了新的探讨线性的系统的特征和它的结构的方法，这种方法主要是

矩阵函数和函数矩阵

矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ?????????==????????????∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt +=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt =+； 特殊情形 （a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt =； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt =+； （3） () 111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt ==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。如果,A B 可交换，则许多三角不等 式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)A b A +等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。

教材第六章 矩阵函数

第六章 矩阵函数 矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用．本章讨论矩阵函数——以方阵为“变量”、其“值”仍为方阵的函数．矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，因为最终是通过它来定义和计算一般矩阵函数的．当然可以用收敛的矩阵幂级数来定义和计算某些矩阵函数． 矩阵函数在线性微分方程组及矩阵方程的求解中都有重要的应用，而这些问题的求解是系统与控制理论中经常面临并且必须解决的实际问题． §6.1 矩阵级数 定义1 设(){}k A 是m n C ?的矩阵序列，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，无穷和 (1)(2)(3)()k A A A A +++++ 称为矩阵级数，记为() 1 k k A ∞ =∑．对正整数1k ≥，记() ()1 k k i i S A ==∑，称()k S 为矩阵 级数()1 k k A ∞ =∑的部分和，如果矩阵序列(){}k S 收敛，且有极限S ，即()lim k k S S →∞ =， 则称矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑收敛，并称S 为矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑的和，记为()1 k k A S ∞ ==∑．不 收敛的矩阵级数称为发散的． 由此定义可知，矩阵级数()1k k A ∞ =∑收敛的充分必要条件是mn 个数项级数 () 1 (1,2,;1,2,,)k ij k a i m j n ∞ ===∑ 都收敛． 由矩阵级数的收敛性定义易知

(1)若矩阵级数()1 k k A ∞ =∑收敛，则()lim 0;k k A →∞ = (2)若矩阵级数() 11 k k A s ∞ ==∑，()21 k k B s ∞ ==∑ ，,a b C ∈，则 () ()121 ()k k k aA bB as bs ∞ =+=+∑； (3)设m m P C ?∈，n n Q C ?∈，若矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑收敛，则()1 k k PA Q ∞ =∑收敛且 () ()1 1 ()k k k k PA Q P A Q ∞ ∞ ===∑∑． 定义2 设()1 k k A ∞ =∑是矩阵级数，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，如果mn 个数项 级数() 1 k ij k a ∞ =∑(1,2,;1,2,,)i m j n == 都绝对收敛，则称矩阵级数()1 k k A ∞ =∑绝对收 敛． 显然，若()1k k A ∞ =∑绝对收敛，则它必是收敛的，但反之未必． 定理1 矩阵级数()1 k k A ∞ =∑(其中()()()k k m n ij A a C ?=∈)绝对收敛的充分必要条 件是对任何一种矩阵范数.，数项级数()1 k k A ∞ =∑都收敛． 证 由各种矩阵范数的等价性，只须就某一种矩阵范数证明之，如考虑 ,max ij i j A a =． 必要性 () 1 k k A ∞ =∑绝对收敛，则()1 k ij k a ∞ =∑绝对收敛，该数项级数各项绝对值之

矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用

§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用 1.矩阵函数的性质： 设n n C B A ?∈. 1． A e Ae e dt d At At At ?== proof : 由 ()∑∑ ?==∞ =m m m m At A t m At m e !1! 1 对任何t 收敛。因而可以逐项求导。 ()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()???? ??-?=∑∞=-11!11m m At m A ()??? ? ???=∑k At k A !1At e A ?= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ?=???? ? ??-=?-=∑∑∞ =∞=---0111 1!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =? ②．B A A B B A e e e e e +=?=? ③．()()A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=?+=+-=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =?= 而∑∑∞ =∞==?? ? ??=00!1!1m m m m m m At B A t m B t A m B e ()∑∑∞ =∞ =?==00!1!1m m m m m At m B BA t m At e B ?= ②令()Bt At B A e e e t C --+??=)( 由于 ()0=t C dt d )(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-?===000)0()1()( 当1=t 时，E e e e B A B A =??--+ …………………. （@）

矩阵函数以与应用毕业设计_说明

矩阵函数以及应用毕业设计 1 绪论 1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史 人们对矩阵（Matrix）的研究历史非常悠久，在很久以前就已经有人研究过了幻方和拉丁方阵。在过去的很长时间内，矩阵都是人们解决线性问题的最主要方法。成书于汉朝前期的《九章算术》，在表示线性方程组的过程中使用了将方程中不同系数分开的方法，这种方法在后来的不断演化下最终得到方程的增广矩阵。在计算的过程中经常使用矩阵的初等变换进行消元，具体说就是通过一些计算技巧将前面给出的增广矩阵化为行最简型。但是当时我们能知道的矩阵知识非常的少，虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上已经非常的类似了，但这两者都是以线性方程为基本标准。事实上子宫基质的控制中心和开始生活意义的地方是矩阵最开始的意义，所以说矩阵有生命的意义。在数学中，开始出现的是对现在数学都有决定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最终的排成的表都是方的，随着研究的深入人们发现行数等于列数的行列式已经无法满足现实生活中的实际需要了。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们来说非常熟悉的矩阵和行列式，它们的概念是非常的不一样的。行列式能按照我们的规则计算出它的结果，而矩阵是将数字按一定顺序排列得到的。在学术研究中恰当地使用矩阵，能用向量空间中的向量表示线性方程组中系数矩阵；因此，一个多元线性方程组的解的情况，以及一系列问题的理论解之间的不同关系，都可以得到彻底解决。矩阵都有自身的行和列，水平的称之为行，竖直的称之为列。这些我们现在能看到的关于矩阵的一切都是由无数数学家的摸索得来的。 矩阵（Matrix）在数学发展历史上有着非常重要的位置，它一直是数学研究的一个主要方面，是数学在研究和应用过程中经常用到的知识。“矩阵”由英国数学家叶（Sylvester）第一次使用，他使用的这个数学术语最后将矩阵的列数和早期的行列式分离开来。在数学

常用矩阵函数

请特别注意红色字体的命令 eye 单位矩阵 zeros 全零矩阵 ones 全1矩阵 rand 均匀分布随机阵genmarkov 生成随机Markov矩阵linspace 线性等分向量 logspace 对数等分向量 logm 矩阵对数运算 cumprod 矩阵元素累计乘cumsum 矩阵元素累计和 toeplitz Toeplitz矩阵 disp 显示矩阵和文字内容 length 确定向量的长度 size 确定矩阵的维数 diag 创建对角矩阵或抽取对角向量find 找出非零元素1的下标matrix 矩阵变维 rot90 矩阵逆时针旋转90度 sub2ind 全下标转换为单下标 tril 抽取下三角阵 triu 抽取上三角阵 conj 共轭矩阵 companion 伴随矩阵 det 行列式的值 norm 矩阵或向量范数 nnz 矩阵中非零元素的个数 null 清空向量或矩阵中的某个元素orth 正交基 rank 矩阵秩 trace 矩阵迹 cond 矩阵条件数 inv 矩阵的逆 rref 求矩阵的行阶梯形 rcond 逆矩阵条件数 lu LU分解或高斯消元法 pinv 伪逆 qr QR分解 givens Givens变换 linsolve 求解线性方程 lyap Lyapunov方程 hess Hessenberg矩阵 poly 特征多项式 schur Schur分解

expm 矩阵指数 expm1 矩阵指数的Pade逼近 expm2 用泰勒级数求矩阵指数 expm3 通过特征值和特征向量求矩阵指数 funm 计算一般矩阵函数 logm 矩阵对数 sqrtm 矩阵平方根 spec 矩阵特征值 gspec 矩阵束特征值 bdiag 块矩阵，广义特征向量 eigenmar- 正则化Markov特征 kov 向量 pbig 特征空间投影 svd 奇异值分解 sva 奇异值分解近似 cumprod 元素累计积 cumsum 元素累计和 hist 统计频数直方图 max 最大值 min 最小值 mean 平均值 median 中值 prod 元素积 sort 由大到小排序 std 标准差 sum 元素和 trapz 梯形数值积分 corr 求相关系数或方差 sparse 稀疏矩阵 adj2sp 邻接矩阵转换为稀疏矩阵 full 稀疏矩阵转换为全矩阵 mtlb_sparse 将scilab稀疏矩阵转换为matlab稀疏矩阵格式sp2adj 将稀疏矩阵转换为邻接矩阵 speye 稀疏矩阵方式单位矩阵 sprand 稀疏矩阵方式随机矩阵 spzeros 稀疏矩阵方式全零阵 lufact 稀疏矩阵LU分解 lusolve 稀疏矩阵方程求解 spchol 稀疏矩阵Cholesky分解

Matlab中矩阵函数

矩阵转置用符号“`”来表示和实现。 例如：A=[1 2 3；4 5 6 ；7 8 9 ]； B=A`↙ B=1 4 7 2 5 8 3 6 9 如故Z是复数矩阵，则Z`为它们的复数共轭转置矩阵，非共轭转置矩阵使用Z.`或conj(Z`)。 size(a) [d1,d2,d3,..]=size(a) 求矩阵的大小，对m*n二维矩阵，第一个为行数m,第二个为列数n； 对多维矩阵，第N个为矩阵第N维的长度。 cat(k,a,b) 矩阵合并,运行a = magic(3) b = pascal(3) c = cat(4,a,b) 改4为3或2或1，自己体会合并后的效果。 k=1,合并后形如[a;b],行添加矩阵（要求a,b的列数相等才能合并）；k=2,合并后形如[a,b],列添加矩阵（要求a,b的行数相等才能合并）,以此类推,n维的矩阵合并，要求n-1维维数相等才可以）。 fliplr(a) 矩阵左右翻转 flipud(a) 矩阵上下翻转

rot90(a) rot90(a,k) 矩阵逆时针旋转90度（把你的头顺时针旋转90看原数就可以知道结果了,^-^） k参数定义为逆时针旋转90*k度。 flipdim(a,k) 矩阵对应维数数值翻转,如k=1时，行(上下)翻转，k=2时，列(左右)翻转。 tril(a) tril(a,k) 矩阵的下三角部分（包括对角线元素），对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行划分下三角元素。 triu(a) tril(a,k) 矩阵的上三角部分（包括对角线元素），对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行划分上三角元素。 diag(a) diag(a,k) 生成对角矩阵或取出对角元素，对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行取对角元素或生成对角矩阵。 repmat(a,m,n) 矩阵复制,把矩阵a作为一个单位计算，复制成m*n 的矩阵，其每一元素都含一个矩阵a,实际结果为一个size(a,1)*m

矩阵函数的性质及其应用

§7 矩阵函数的性质及其应用 一、矩阵函数的性质： 设n n C B A ?∈. 1． A e Ae e dt d At At At ?== proof : 由 ()∑∑ ?==∞ =m m m m At A t m At m e !1! 1 对任何t 收敛。因而可以逐项求导。 ()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()???? ??-?=∑∞=-11!11m m At m A ()???? ???=∑k At k A !1 At e A ?=()()()A e A At m A A t m At m m m m m ?=???? ? ??-=?-=∑∑∞ =∞=---01111!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =? ②．B A A B B A e e e e e +=?=? ③．()()A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=?+=+-=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =?= 而∑∑∞ =∞==?? ? ??=00!1!1m m m m m m At B A t m B t A m B e ()∑∑∞ =∞ =?==00!1!1m m m m m At m B BA t m At e B ?=

②令()()A B t At Bt C t e e e +--=?? 由于 ()0=t C dt d )(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-?===000)0()1()( 当1=t 时，E e e e B A B A =??--+ …………………. （@） 特别地 A B -= 有E e e e A A =??-0 ∴ 有 () A A e e --=1 ∴ 同理有() B B e e --=1 代入（@）式 因而有B A B A e e e ?=+ 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①A i A e iA sin cos += () () iA iA iA iA e e i A e e A ---= += ?21sin 2 1cos ②()()A A A A sin sin cos cos -=-=- 4.E A A =+22cos sin ()()A E A A E A cos 2cos sin 2sin ππ+=+ A E i A e e =+π2 二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解 AX dt dX = 其中()T n n n x x x X C A ,,,21 =∈? 则有()K e t X At ?=，其中() T n k k k K ,,,21 =