四川成都新都一中高二月月考数学试卷理科

2016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学

试卷（理科）

一、选择题（60分）

1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与B（2，﹣1，6）间的距离是（）

A． B．9 C．D．

3．设z=x﹣y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）

A．﹣3 B．C．D．

4．设⊙C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，⊙C2：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0，则它们公切线的条数是（）A．1 B．2 C．3 D．4

5．关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是（）

A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ

B．如果平面α与平面β不垂直也不重合，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线不垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β

6．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）

A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1 C．a=﹣1 D．a=2

7．圆x2+y2﹣2x﹣5=0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）

A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣y+1=0

8．已知直线l1，l2的夹角平分线所在直线方程为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab＞0），那么l2的方程是（）

A．bx+ay+c=0 B．ax﹣by+c=0 C．bx+ay﹣c=0 D．bx﹣ay+c=0

9．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体A﹣PEF中必有（）

A．PM⊥△AEF所在平面B．AM⊥△PEF所在平面

C．PF⊥△AEF所在平面D．AP⊥△PEF所在平面

10．已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．方程

=kx +4有两个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ） A ． B ．[2，+∞） C ． D ．

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A ．6

B ．4

C ．6

D ．4

二、填空题（20分）

13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上底面中心为O ，则异面直线AO 与DC 1所成角的余弦值为

14．已知圆M ：x 2+（y ﹣1）2

=1和点A （1，3），则过点A 与圆M 相切的直线方程是 ． 15．已知直线l ：x ﹣y +6=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |= ．

16．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

（1）有水的部分始终呈棱柱形；

（2）没有水的部分始终呈棱柱形；

（3）水面EFGH 所在四边形的面积为定值；

（4）棱A ′D ′始终与水面所在平面平行；

（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE ?BF 是定值．

其中所有正确命题的序号 ．

三、解答题（70分）

17．（12分）已知两条直线l 1：2x ﹣y=0和l 2：x +y +2=0．

（1）过点P （1，1）的直线l 与l 1垂直，求直线l 的方程；

（2）若圆M 的圆心在直线l 1上，与y 轴相切，且被直线l 2截得的弦长为

，求圆M 的方

程． 18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 点为棱AB 的中点．

（1）求证：AC 1∥平面B 1CD ；

（2）若AB=AC=2，BC=BB 1=2，求二面角B 1﹣CD ﹣B 的余弦值；

（3）若AC 1，BA 1，CB 1两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．

19．（12分）已知关于x 的实系数方程x 2

+2ax +b=0在区间（0，1）和（1，2）内各有一根，求：

（1）a 2+b 2的取值范围；

（2）求|a +b ﹣2|的取值范围．

20．（12分）已知两定点M （0，1），N （1，2），平面内一动点P 到M 的距离与P 到N 的距离之比为，直线y=kx ﹣1与点P 的轨迹交于A ，B 两点．

（1）求点P 的轨迹方程，并指出是什么图形；

（2）求实数k 的取值范围；

（3）是否存在k使得?=11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明

理由．

21．（12分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，直线l：x+y+2=0上有一动点P，PA，PB 是圆M的两条切线，A，B为切点．

（1）求当∠APB最大时，△PAB的面积；

（2）试探究直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

22．（10分）在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MN∥AB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角．

（1）求证：无论MN怎样平行移动（保持MN∥AB），∠APC的大小不变并求出此定值；（2）当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？

2016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（60分）

1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

【考点】直线的倾斜角．

【专题】计算题．

【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．

【解答】解：因为直线x+y﹣1=0的斜率为：﹣，

直线的倾斜角为：α．

所以tanα=﹣，

α=120°

故选C．

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．

2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与B（2，﹣1，6）间的距离是（）

A． B．9 C．D．

【考点】空间两点间的距离公式．

【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用．

【分析】利用空间中两点间的距离公式直接求解．

【解答】解：空间直角坐标中，点A（﹣3，4，0）与B（2，﹣1，6）间的距离：

|AB|=

=．

故选：A．

【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．

3．设z=x﹣y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）

A．﹣3 B．C．D．

【考点】简单线性规划．

【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式．

【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x﹣y的最小值．

【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，

令z=x﹣y，即

显然当平行直线2x﹣y=z过点A （1，3）时

z取得最小值为：﹣；

故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的基本知识，在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．

4．设⊙C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，⊙C2：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0，则它们公切线的条数是（）A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】圆与圆的位置关系及其判定．

【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．

【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．

【解答】解：⊙C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，圆心（5，3），半径为3；

⊙C2：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0，圆心（2，1），半径为；

两圆圆心距离：=，所以两个圆相交，

所以两个圆的公切线有2条，

故选：B．

【点评】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．

5．关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是（）

A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ

B．如果平面α与平面β不垂直也不重合，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线不垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．

【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题逐一分析、判定，将由条件可能推出的结论进行逐一列举说明即可．

【解答】解：如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，

因为α⊥γ，则α与γ必相交，设a是α与γ的交线，

又，β⊥γ，则β与γ必相交，设其交线b

a属于γ，b属于γ，则a、b在同一个平面内，

a与b不平行就相交；

假设a∥b，因为直线a和直线b分别属于α和β平面，则α∥β．

这与已知α∩β=l相矛盾，

所以a和b必相交，

同理可以证明三条直线a、b、l相交，

其交点O同属于α、β和γ，

O点必在l上．

因为α⊥γ，β⊥γ，则a⊥l，b⊥l，

所以l⊥γ，故A正确；

平面α⊥平面β，不妨设α∩β=a，作直线b∥a，且b?α，则b∥β，命题B，C正确；

命题如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，此垂线必垂直于β，错误．

如果点取在交线上则没有垂线，故D错误．

故选D．

【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及平面与平面之间的位置关系，是中档题．

6．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）

A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1 C．a=﹣1 D．a=2

【考点】二元二次方程表示圆的条件．

【专题】计算题．

【分析】由二次项额系数相等不等于0，且化为一般式后满足D2+E2﹣4F＞0联立求解a的取值范围．

【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，

则，解得a=﹣1．

故选C．

【点评】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，解答的关键是充分理解圆的一般式方程，是基础题．

7．（2015秋?顺德区校级期中）圆x 2+y 2﹣2x ﹣5=0与圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4=0的交点为A ，B ，

则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）

A ．x +y ﹣1=0

B ．2x ﹣y +1=0

C ．x ﹣2y +1=0

D ．x ﹣y +1=0

【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．

【专题】计算题；函数思想；转化思想；直线与圆．

【分析】求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可．

【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（﹣1，2），那么过两圆圆心的直线为：

，

即：x +y ﹣1=0，与公共弦垂直且平分．

故选：A ．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，两个圆的位置关系的应用，考查计算能力．

8．（2012春?路北区校级期中）已知直线l 1，l 2的夹角平分线所在直线方程为y=x ，如果l 1的方程是ax +by +c=0（ab ＞0），那么l 2的方程是（ ）

A ．bx +ay +c=0

B ．ax ﹣by +c=0

C ．bx +ay ﹣c=0

D ．bx ﹣ay +c=0

【考点】两直线的夹角与到角问题．

【专题】直线与圆．

【分析】因为由题意知，直线l 1和l 2关于直线y=x 对称，故把l 1的方程中的x 和y 交换位置即得直线l 2的方程．

【解答】解：由题意可得直线l 1 与直线l 2 关于直线y=x 对称，由于直线l 1上的任意一点M （x ，y ）关于直线y=x 的对称点为N （y ，x ），

而l 1的方程是ax +by +c=0（ab ＞0），故l 2的方程是ay +bx +c=0，即 bx +ay +c=0，

故选A ．

【点评】本题主要考查求一条直线关于直线y=x 的对称直线方程的方法，当两直线关于直线y=x 对称时，把其中一个方程中的x 和y 交换位置，即得另一条直线的方程，属于中档题．

9．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，M 是EF 的中点，现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体A ﹣PEF 中必有（ ）

A ．PM ⊥△AEF 所在平面

B ．AM ⊥△PEF 所在平面

C ．PF ⊥△AEF 所在平面

D ．AP ⊥△PEF 所在平面

【考点】棱锥的结构特征．

【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．

【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得PA 、PE 、PF 三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AP 与平面PEF 的垂直，从而得出结论．

【解答】解：在折叠过程中，根据折叠前、后AP ⊥EP ，AP ⊥PF 不变，

∴AP ⊥平面EFP ，故D 满足条件；

∵过点A 只有一条直线与平面EFP 垂直，∴B 不正确；

∵PM 不垂直于AM ，AM ?平面AEF ，故PM 不垂直于平面AEF ，故A 不正确； AM ⊥EF ，EF ⊥AP ，∴EF ⊥平面HAG ，∴平面HAG ⊥AEF ，

过H 作直线垂直于平面AEF ，则该垂线一定在平面PAM 内，而PF 不在平面PAM 内， 故C 不正确，

故选：D ．

【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定，一般利用线线?线面?面面，垂直关系的相互转化判断，折叠问题，属于中档题．

10．（2016?衡水模拟）已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．

【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO 1，进而求出底面ABC 上的高SD ，即可计算出三棱锥的体积．

【解答】解：根据题意作出图形：

设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，

延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．

∵CO 1==，

∴OO1=，

∴高SD=2OO1=，

∵△ABC是边长为1的正三角形，

=，

∴S

△ABC

∴V=××=，

故选：A．

【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．

11．方程=kx+4有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．D．

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．

【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．

【分析】方程有两个不等的实根可以转化为函数和函数y=kx+4的图象由两个不同的交点，在求出临界位置的直线的斜率即可．

【解答】解：

方程有两个不等的实根等价于函数和函数y=kx+4的图象由两个不同的交点，

函数的解析式可变形为x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2=1（y≥0），其图象为圆

点在（﹣1，0），半径为1的圆在x轴上方的部分，如图

由图可知，当直线PN 绕点P 顺时针旋转至直线PM （PM 为切线）位置时，直线与半圆有两个交点，

又，当直线与半圆相切时有：，解得：k PM =， ∴k 的取值范围是．

故选：A ．

【点评】本题考查用数形结合的方法判断方程解的个数问题．解题关键是能正确把方程得解的个数问题转化为函数图象的交点个数问题．此题若用代数方法求解要复杂得多．属于中档题．

12．（2016春?石河子校级期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A ．6

B ．4

C ．6

D ．4

【考点】简单空间图形的三视图；多面体和旋转体表面上的最短距离问题．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．

【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到BD 的中点的距离为：4，

∴BC=CD==2

．AC==6，AD=4， 显然AC 最长．长为6．

故选：C ．

【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．

二、填空题（20分）

13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上底面中心为O ，则异面直线AO 与DC 1所成角的余弦值为

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．

【专题】计算题；转化思想；空间角．

【分析】建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角余弦的绝对值，即所求的异面直线AO 与DC 1所成角的余弦值

【解答】解：建立如图的坐标系，以DA 所在直线为横轴，DC 所在直线为纵轴，DD 1所在直线为竖轴．

设正方体棱长为2，

则A （2，0，0），O （1，1，2），C 1（0，2，2），

∴=（﹣1，1，2），=（0，2，2），

则异面直线AO与DC1所成角θ的余弦值为：

故答案为：

【点评】本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，解答本题，关键是掌握住向量法求夹角的公式，向量在几何中的应用是高中数学引入向量的一大亮点，它大大降低了立体几何解题的思维难度，应好好总结此类题做题的规律．

14．已知圆M：x2+（y﹣1）2=1和点A（1，3），则过点A与圆M相切的直线方程是x=1或3x﹣4y+9=0．

【考点】点与圆的位置关系．

【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．

【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，显然直线x=1与圆相切；当与圆相切的直线斜率存在时，设直线的斜率为k，由直线过（1，3），写出直线的方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：由圆x2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（0，1），半径为1，

显然此时直线x=1与圆x2+（y﹣1）2=1相切；

当与圆相切的直线斜率存在时，设斜率为k，

此时直线的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，

∵直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离d==r=1，

整理得：（2﹣k）2=1+k2，解得：k=，

此时直线的方程为3x﹣4y+9=0，

综上，所求直线的方程为：3x﹣4y+9=0或x=1．

故答案为x=1或3x﹣4y+9=0．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．

15．已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x 轴交于C，D两点．则|CD|=4．

【考点】直线与圆相交的性质．

【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．

【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．

【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，

∴|AB|=2=2，

∵直线l：x﹣y+6=0

∴直线l的倾斜角为30°，

∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，

∴|CD|==4．

故答案为：4．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．

16．（2012春?柳河县校级期末）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

（1）有水的部分始终呈棱柱形；

（2）没有水的部分始终呈棱柱形；

（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；

（4）棱A′D′始终与水面所在平面平行；

（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF是定值．

其中所有正确命题的序号（1）（2）（4）（5）．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】（1）由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB ∥平面DHGC，由此分析可得结论正确；

（2）结合（1）即可得到结论；

（3）水面四边形EFGH的面积是改变的．

（4）利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论．

（5）侧棱不变，体积不变，那么底面面积不变，显然结论正确．

【解答】解：（1）由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的一条侧棱，命题（1）正确．

（2）由（1）知，有水的部分始终呈棱柱形，则没有水的部分始终呈棱柱形；故（2）正确；（3）当水是四棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能

变大，也可能变小，故（3）错误；

（4）因为A ′D ′∥AD ∥CB ，所以A ′D ′∥水面EFGH 正确，故（4）正确；

（5）当容器倾斜如图（3）所示时，三棱柱BEF ﹣CHG 的体积不变，高BC 是定值，则底面积BEF 为定值，即为定值，则BE ?EF 为定值，故（5）正确． 故答案为：（1）（2）（4）（5）

【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，综合性较强，要求熟练掌握空间几何体的体积和表面积公式．

三、解答题（70分）

17．（12分）已知两条直线l 1：2x ﹣y=0和l 2：x +y +2=0．

（1）过点P （1，1）的直线l 与l 1垂直，求直线l 的方程；

（2）若圆M 的圆心在直线l 1上，与y 轴相切，且被直线l 2截得的弦长为，求圆M 的方程．

【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程．

【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．

【分析】（1）求出直线l 的斜率，即可求直线l 的方程；

（2）设圆M 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2（r ＞0），利用圆M 的圆心在直线l 1上，与y 轴相切，且被直线l 2截得的弦长为，建立方程，即可求圆M 的方程．

【解答】解：（1）∵直线l 1的斜率k 1=2，且l ⊥l 1…（2分）

∴直线l 的斜率

…（2分） ∴直线l 的方程为 ，即x +2y ﹣3=0…（2分）

（2）设圆M 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2（r ＞0），则， 解得 或…（4分）

∴圆M 的方程为或（x +1）2+（y +2）2=1．…（2分）

【点评】本题考查直线与圆的方程，考查待定系数法的运用，属于中档题．

18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 点为棱AB 的中点．

（1）求证：AC 1∥平面B 1CD ；

（2）若AB=AC=2，BC=BB 1=2，求二面角B 1﹣CD ﹣B 的余弦值；

（3）若AC 1，BA 1，CB 1两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．

【考点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．

【分析】（1）连接BC1交B1C于E，连接DE，则DE是△BC1A的中位线，所以AC1∥DE，即可证明AC1∥平面B1CD；

（2）过B作BF⊥CD于F，连接B1F，则CD⊥BB1，CD⊥平面BB1F，可得∠B1FB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角；

（3）作A1M⊥B1C1，AN⊥BC，垂足分别为M，N，连接BM，C1N，证明△ABC是等边三角形，又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，即可证明结论．

【解答】（1）证明：连接BC1交B1C于E，连接DE，则DE是△BC1A的中位线，所以AC1∥DE

又AC1?平面B1CD，DE?平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD．…（4分）

（2）解：过B作BF⊥CD于F，连接B1F，则CD⊥BB1∴CD⊥平面BB1F，

∴∠B1FB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角，设∠B1FB=θ

由已知可得AB⊥AC，∴△ACD∽△FBD

∴，，∴，

即二面角B1﹣CD﹣B的余弦值为．…（4分）

（3）证明：作A1M⊥B1C1，AN⊥BC，垂足分别为M，N，连接BM，C1N．

由已知可得A1M⊥平面B1C1CB，∴A1M⊥B1C

又A1B⊥B1C，且A1M，A1B是平面A1BM内的两条相交直线，

∴B1C⊥平面A1BM，∴B1C⊥BM

同理B1C⊥C1N

又直线B1C，C1N，BM都在平面B1C1CB内，∴C1N∥BM，

又C1M∥BN，∴四边形C1NBM是平行四边形，∴C1M=BN，C1N=BM

又△A1C1M≌△ANC∴C1M=CN，∴CN=BN，∴AC=BC

同理AC=AB，

∴△ABC是等边三角形，又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为正

三棱柱．…（4分）

【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查二面角B 1﹣CD ﹣B 的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

19．（12分）已知关于x 的实系数方程x 2+2ax +b=0在区间（0，1）和（1，2）内各有一根，求：

（1）a 2+b 2的取值范围；

（2）求|a +b ﹣2|的取值范围．

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．

【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；不等式．

【分析】（1）根据一元二次方程根的分布与系数的关系求出点（a ，b ）表示的区域，a 2+b

2表示点（a ，b ）到原点的距离的平方，求得它的范围．

（2）根据表示点（a ，b ）到直线a +b ﹣2=0的距离，求得可行域内的点到直线

a +

b ﹣2=0的距离的最大、最小值，可得

， 从而求得|a +b ﹣2|的取值范围．

【解答】解：设f （x ）=x 2+2ax +b ，则有

， 点（a ，b ）表示的区域为如图阴影部分，点A 的坐标为（﹣，2）．

（1）a 2+b 2表示点（a ，b ）到原点的距离的平方，

∵

，∴． （2）表示点（a ，b ）到直线a +b ﹣2=0的距离，

点A 到直线a +b ﹣2=0的距离最小为=，

点（﹣1，0）到直线a +b ﹣2=0的距离最大为

=，

故有 ，∴．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，简单的线性规划问题，属于中档题．

20．（12分）已知两定点M （0，1），N （1，2），平面内一动点P 到M 的距离与P 到N 的距离之比为，直线y=kx ﹣1与点P 的轨迹交于A ，B 两点．

（1）求点P 的轨迹方程，并指出是什么图形；

（2）求实数k 的取值范围；

（3）是否存在k 使得?=11（O 为坐标原点），若存在求出k 的值，若不存在，请说明理由．

【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．

【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．

【分析】（1）利用直接法，可得点P 的轨迹方程，并指出是什么图形；

（2）利用圆心到此直线的距离小于半径，求实数k 的取值范围； （3）由

消去y ：（1+k 2）x 2﹣4（2k +1）x +16=0，利用韦达定理及向量数量积运算可得结论．

【解答】解：（1）设动点P 的坐标为P （x ，y ）

由已知可得

，即 整理 x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，其图形是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆．…（4分）

（2）直线y=kx ﹣1，即kx ﹣y ﹣1=0，圆心到此直线的距离小于半径解得

…（4分）

（3）设A （x 1，kx 1﹣1），B （x 2，kx 2﹣1），由

可得x 1x 2+（kx 1﹣1）（kx 2﹣1）

=11，即（k 2+1）x 1x 2﹣k （x 1+x 2）﹣10=0…①

又由消去y ：（1+k 2）x 2﹣4（2k +1）x +16=0 由（2）知∴，…②

将②代入①可得，解得k=1，或k=﹣3（不满足）舍去， ∴当k=1时，成立．…（4分）

【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．

21．（12分）已知圆M ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2

=2，直线l ：x +y +2=0上有一动点P ，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点．

（1）求当∠APB 最大时，△PAB 的面积；

（2）试探究直线AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．

【分析】（1）当|PM |最小时sinAPM 最大，即∠APM 最大，亦即∠APB 最大，此时MP ⊥l ．

（2）在直线l ：x +y +2=0上任取一点P （t ，﹣t ﹣2），以MP 为直径的圆的方程为（x ﹣1）（x

﹣t ）+（y ﹣1）（y +t +2）=0，即x 2+y 2﹣（t +1）x +（t +1）y ﹣2=0，求出过两圆x 2+y 2﹣（t +1）

x +（t +1）y ﹣2=0和x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0交点的直线AB 的方程，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图，在直角三角形MPA 中，

，∠APM 是锐角，由，当|PM |最小时sinAPM 最大，即∠APM 最大，亦即∠APB 最大，

此时MP ⊥l ．

当MP ⊥l 时，直线MP 的方程为 y=x ，

由得 x=y=﹣1，所以点P 的坐标为P （﹣1，﹣1），直线AB 通过以PM 为直径的圆与圆M 的交点

以PM 为直径的圆的方程为 （x ﹣1）（x +1）+（y ﹣1）（y +1）=0，即x 2+y 2=2，

过圆x 2+y 2=2与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2交点的直线AB 的方程为：x +y ﹣1=0

点M 到直线AB 的距离为

，，点P 到AB 的距离为，所以，△PAB 的面

积为 ．…（6分） （2）在直线l ：x +y +2=0上任取一点P （t ，﹣t ﹣2），以MP 为直径的圆的方程为（x ﹣1）（x

﹣t ）+（y ﹣1）（y +t +2）=0，即x 2+y 2﹣（t +1）x +（t +1）y ﹣2=0

过两圆x 2+y 2﹣（t +1）x +（t +1）y ﹣2=0和x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0交点的直线AB 的方程为（1﹣t ）x +（t +3）y ﹣2=0，即（y ﹣x ）t +x +3y ﹣2=0，由得，所以，直线AB 通过定点．…（6分）

【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

22．（10分）（2014秋?南湖区校级期中）在边长为a 的正方形ABCD 中，M ，N 分别为DA 、BC 上的点，且MN ∥AB ，连结AC 交MN 于点P ，现沿MN 将正方形ABCD 折成直二面角．

（1）求证：无论MN 怎样平行移动（保持MN ∥AB ），∠APC 的大小不变并求出此定值；

（2）当MN 在怎样的位置时，M 点到面ACD 的距离最大？