11.2 三角形全等的条件(第1课时)
预习内容:
1、如果要想判断两个三角形全等,需要满足哪些条件?
2、如果每次判断需要6个条件都成立的话,显然会比较麻烦,能否
只取一部分条件就可判断两个三角形全等?
3、只给出一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的
两个三角形一定全等吗?
4、给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况?每种情况下作
出三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做:
(1)三角形的一个内角为30°,一边为3 cm;
(2)三角形的两个内角分别是30°和50°;
(3)三角形的两条边分别是4 cm和6 cm。
5、如果给出三个条件画三角形,你又能得出几种可能情况呢?
[学习目标] 经历探索三角形的全等条件,掌握用“边边边”条件判断三角形全等的方法。
[学习重点] 掌握三角形全等条件“SSS”,并能用它来判定两个三角形是否全等。
一、复习旧知,引入新知。
(1)一个条件
①有一条边对应相等的三角形
②有一个角对应相等的三角形
根据条件画图说明只具备一个条件的三角形不是全等三角形
(2)两个条件
①三角形的一个角 ,一条边对应相等
②三角形的两条边对应相等
③三角形的两个角对应相等
根据学生在同一条件下所画的三角形分别剪下来比较可说明只具备两个条件的三角形不是全等三角形。
(3)三个条件
①三角形的三条边对应相等。
②三角形的三个角对应相等。
③三角形两条边、一个角或者一条边两个角分别对应相等。
二、合作学习,探究新知。
1.做一做:
已知三角形的三条边长分别为5cm,7cm和8cm.你能否用刻度尺和圆规画△ABC,使其三边长分别为5cm,7cm和8cm.
2、验一验:
教师引导学生按照课本95页的画法进行实践操作。在经历画图的过程后,请学生把所画的三角形剪下来与其他同学所画的三角形进行比较。
3、议一议:
①所画的三角形能重合吗?②它们重合满足几个条件?
4、说一说:
全等三角形的判定1:_____________________。(简写成“”
或“ ” ) 5、用一用
如何判断老师在一张纸上画的这两个三角形是否全等?
三、例题点拨,应用新知。
例1 如图11.2-3,△ABC 是一个钢架,AB= AC ,AD 是连接点A 与BC
中点D 支架,
求证:(1)△ABD ≌△ACD .
A
B D
(2)∠ADB=90°
分析:△ABD 和△ACD 全等的条件具备吗?依据是什么?要得出
∠ADB=90°,只要得出什么?自己试着写出推理过程,并注明每步的依据。 证明:(1)
(2)
A
B C
E
F G
例2、依据“SSS”公理用圆规和直尺画一个角等于已知角。
巩固练习如图,已知AB=CD,AD=BC, A D
则≌
≌ B B C
三角形全等的判定AAS
复习旧知
1、我们已经学习了--------、-----------、--------三种判定两三角形全等
的方
法
2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块,现在要到玻璃店去配一块完全相等的玻璃,那么最省事的办法是()
A、带(1)去
B、带(2)去
C、带(3)去
D、带(1)(2)去
预习新知
1、预习课本11页,探究6
你还可以得到利用哪三个条件判定两个三角形全等?用文字语言和符号分别表述出来--------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------
2、预习课本12页探究7,三角对应相等的两个三角形全等吗?请画图说明
学习案:
一、自主探究:
通过预习探究6,你能得出△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?
看已知条件,能否用“角边角”条件证明你的结论,
.你是怎么证明的?
试着将你的证明过程写在下面。
证明:
通过上面的探究,我们可以得到证明两个三角形全等的又一个新的方法:
-------------------------------------------------- -------------------------------------------------- 二、 学以致用 已知:点D 在AB 上,点E 在AC 上,BE 和CD
相交于点O ,AD=AE ,∠B=∠C 。
求证:BD=CE
证明:
11.2.2 三角形全等的判定(边角边)
学习目标:
探索并掌握两个三角形全等的“边角边”的条件
学习关键:探索并掌握两个三角形全等的“边角边”条件,学会运用
“SAS”证明两个三角形全等。
预习内容
1、画一画:画△ABC,使AB=4cm,AC=3cm。,∠A=45°.
你可以这样画:
1. 画∠MAN= 45°画在这里:
2. 在射线AN上截取AB= 4cm
3. 在射线AM上截取AC=3cm
4. 连接BC
2、再画一画:画△ABC,使AB=4cm,AC=3cm。,∠B=45°
你可以这样画:
1. 画∠MBN= 45°
2. 在射线BM上截取BA= 4cm
3. 以点A为圆心,以3cm长为半径作弧,交BN于点C.
4. 连接AC
画在这里:
五、学习过程:
忆一忆: 1、两个一般三角形全等,需要几对对应相等的元素?
2、那么会有哪几种可能的情况?这时这两个三角形一定全等吗?
想一想:今天我们主要研究两边一角对应相等的情况,那么两 个三角形有两条边和一个角分别对应相等又有几种情况呢?
你看出了什么?
验一验:1、把你们预习案上所画的第一个三角形剪下来与别 的同学所画的三角形进行比较,它们能互相重合吗?
2
、把你们预习案上所画的第二个三角形剪下来与别的同学所画的三角形进行比较,它们能互相重合吗?
理一理:现在我们已经得到了又一个判定两个三角形全等的方法
如果两个三角形有 分别对应相等,那么这两
个三角形全等。
简写成 或 用符号语言表达为:
在△ABC 与△
A ′
B ′
C ′中,
A
B
C
C ′
B ′
A ′
∴△ABC ≌△ A ′B ′C ′ ( ) 试一试:
1、如图,下列三角形中,哪两个三角形是全等三角形? 为什么?
2、如图,在△ABC 中, AB=AC,AD 平分∠BAC ,求证: △ABD ≌ △ACD.
证明:
B D C
4
5 30。
① 4
6
40。
③
4640。
②
40
。
4 5 ④
的平分线,其实就是证明∠
______和△_______
第一课时三角形的边 一、新课导入 1、三角形是我们早已熟悉的图形,你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗? 2、对于三角形,你了解了哪些方面的知识?你能画一个三角形吗? 二、学习目标 1、三角形的三边关系。 2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。 三、研读课本 认真阅读课本的内容,完成以下练习。 (一)划出你认为重点的语句。 (二)完成下面练习,并体验知识点的形成过程。 研读一、认真阅读课本(P63至P64“探究”前,时间:5分钟) 要求:知道三角形的定义;会用符号表示三角形,了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。 研读二、认真阅读课本( P64“探究”,时间:3分钟) 要求:思考“探究”中的问题,理解三角形两边的和大于第三边; 游戏:用棍子摆三角形。 检测练习二、6、在三角形ABC中, AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC 7、假设一只小虫从点B出发,沿三角形的边爬到点C, 有路线。路线最近,根据是:,于是有: (得出的结论)。 8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形,为什么? (1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本( P64例题,时间:5分钟) 要求:(1)、注意例题的格式和步骤,思考(2)中为什么要分情况讨论。 (2)、对这例题的解法你还有哪些不理解的? (3)、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习三、 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长; ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.(要有完整的过程啊!) 解: (三)在研读的过程中,你认为有哪些不懂的问题? 四、归纳小结 (一)这节课我们学到了什么?(二)你认为应该注意什么问题? 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 (1)等边三角形是等腰三角形 (2)三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (3)三角形的两边之差大于第三边 (4)三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
全等三角形 例1.如图已知:ΔABC和ΔBDE是等边三角形,D在AE延长线上。求证:BD+DC=AD。 例2.如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,按下列要求画图并回答:画∠MAB、∠NBA 的平分线交于E, (1)∠AEB是什么角? (2)过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现? (3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,①AD+BC=AB;②AD+BC=CD谁成立?并说明理由。 例3.如图,AD//BC,AD=BC,AE⊥AD,AF⊥AB,且AE=AD,AF=AB,求证:AC=EF。 例4.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC、CF,求证:CA是∠DCF 的平分线。 D A F C B
例5.已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC. 例6.如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,且CD=AB ,∠BDA=∠BAD ,AE 是△ABD 的中线。求证:AC=2AE 。 课堂练习: 1.如图,在等边△ABC 中,AD =BE =CF,D 、E 、F 不是中点,连结AE 、BF 、CD,构成一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组,那么图中全等的三角形的组数是( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 C ' B ' A ' F E D C B A 2.如图,已知,等腰Rt △OAB 中,∠AOB=90o ,等腰Rt △EOF 中,∠EOF=90o ,连结AE 、BF .求证:(1)AE=BF ;(2)AE ⊥BF . F A E D C B
201 —201 学年期 八年级数学教学案——八年级数学教研组 姓名 班级
教学目录 第11章三角形(8) 11.1 与三角形有关的线段(2) 11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性 信息技术应用画图找规律 11.2 与三角形有关的角(3) 11.2.1 三角形的内角 7.2.2 三角形的外角 阅读与思考为什么要证明 11.3 多边形及其内角和(2) 11.3.1 多边形 11.3.2 多边形的内角和 数学活动 复习小结(1) 第12章全等三角形(11) 12.1 全等三角形(1) 12.2 三角形全等的判定(6) 信息技术应用探究三角形全等的条件教学目录 12.3 角的平分线的性质(2) 数学活动 复习小结(2) 第13章轴对称(14) 13.1 轴对称(3) 13.1.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 13.2 画轴对称图形(2) 信息技术应用用轴对称进行图案设计 13.3 等腰三角形(5) 13.3.1 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系 13.4 课题学习最短路径问题(2) 数学活动 复习小结(2) 第14章整式的乘法与因式分解(14) 14.1整式的乘法(6) 14.1.1 同底数幂的乘法 14.1.2 幂的乘方
14.1.3 积的乘方 14.1.4 整式的乘法 14.2 乘法公式(3) 14.2.1 平方差公式 14.2.2 完全平方公式 阅读与思考杨辉三角 14.3 因式分解(3) 14.3.1 提公因式法 14.3.2 公式法 阅读与思考型式子的分解 数学活动 复习小结(2) 第15章分式(15) 15.1 分式(4) 15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质 15.2 分式的运算(6) 15.2.1 分式的乘除 15.2.2 分式的加减 15.2.3 整数指数幂 阅读与思考容器中的水能倒完吗? 15.3 分式方程(3)数学活动 复习小结(2)
八年级数学讲义 第11章 三角形 一、 三角形的概念 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点:①三条线段;②不在同一直线上;③首尾顺次相接. 2.三角形的表示 △ABC 中,边:AB ,BC ,AC 或 c ,a ,b . 顶点:A ,B ,C . 内角:∠A ,∠B ,∠C .. 二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:(证明所有几何不等式的唯一方法) (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca 时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点; ②直角三角形三条高线交于直角顶点; ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 A C B A D
三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1:△ABC中:∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2:在直角三角形中,两个锐角互余.※三角形中至多有1个钝角 注意:①在三角形中,已知两个内角可以求出第三个内角 如:在△ABC中,∠C=180°-(∠A+∠B) ②在三角形中,已知三个内角和的比或它们之间的关系,求各内角. 如:△ABC中,已知∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角:三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角. 2.2性质: ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数: 过三角形的一个顶点有两个外角,这两个角为对顶角(相等), 可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分:①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分:①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 五多边形及其内角 1、多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 (1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3,n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360° ※多边形外角和恒等于360°,与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形); ※多边形的外角中最多有3个钝角,最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件:拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,试判断△ABC的形状。 9、已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判断△ABC的形状。
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1.全等三角形的性质:全等三角形对应边相等、对应角相等。 2.全等三角形的判定:三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等(SAS)、两角和它们的夹边(ASA)、两角和其中一角的对边对应相等(AAS)、斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。 3.角平分线的性质:角平分线平分这个角,角平分线上的点到角两边的距离相等 4.角平分线推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系),②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6.第十二章轴对称 1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.角平分线上的点到角两边距离相等。 4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。 8.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y) 点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y) 9.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”。 10.等腰三角形的判定:等角对等边。 11.等边三角形的三个内角相等,等于60°, 12.等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13.直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作。0的算术平方根为0;从定
八年级数学上册导学案全册有答案
第一章轴对称与轴对称图形 1.1我们身边的轴对称图形 教学目标: 1、观察、感受生活中的轴对称图形,认识轴对称图形。 2、能判断一个图形是否是轴对称图形。 3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。 4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 5、理解并能应用轴对称的有关性质。 教学重点: 1、能判断一个图形是否是轴对称图形。 2、轴对称的有关性质。 难点: 1、判断一个图形是否是轴对称图形。 2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 教学过程: 一、情境导入 教师展示图片:五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。学生欣赏,思考:这些图形有什么特点? 二、探究新知 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢- 190 -
1、生活中有许多奇妙的对称,如从镜子里看到自己的像;把手掌盖 在镜子上,镜子里的手与自己的手完全重合在一起;这些都是对称,你还能举出例子吗? 学生分组思考、讨论、交流,选代表发言。 教师巡回指导、点评。 2、动手做一做:用直尺和圆规在纸上作出一个梯形,并把纸上的梯 形剪下来,沿上底和下底的中点的连线对折,直线两旁的部分能完全重合吗? 学生活动:观察、小结特点。 3、教师给出轴对称图形的定义。 问题: ⑴“完全重合”是什么意思? ⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗? ⑶圆的直径是圆的对称轴吗? 学生分组思考、讨论、交流,选代表发言,教师点评。 ⑴指形状相同,大小相等。 ⑵不能,因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分,则必然经过这个图形的本身。 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢- 190 -
(人教版)八年级数学上册(全册)精品学案打包 11.1与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 1.通过具体实例,认识三角形的概念及其基本要素. 2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3.掌握三角形的三边关系.
阅读教材P2~4,完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义:由不在____________的三条线段首尾________所组成的图形叫做三角形.2.有关概念 如图,线段AB,BC,CA是三角形的________,点A,B,C是三角形的________,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成的角,叫做三角形的________,简称三角形的角. 3.表示方法:顶点是A,B,C的三角形,记作“________”,读作“____________”.
(1)三角形的表示方法中“△”代表 “三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排,即△ABC ,△ACB ,△BAC ,△BCA ,△CAB ,△CBA 为同一个三角形. (二)三角形的分类 1.等边三角形:三条边都________的三角形. 2.等腰三角形:有两边________的三角形,其中相等的两条边叫做________,另一边叫做________,两腰的夹角叫做________,腰和底边的夹角叫做________. 3.不等边三角形:三条边都________的三角形. 4.三角形按边的相等关系分类 三角形???? ? 三角形 三角形????? 三角形 三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形. (三)三角形的三边关系 1.三角形任意两边之和________第三边. 2.推论:由于a+b>c,根据不等式的性质,得c-b 11.1 与三角形有关线段 11.1.1 三角形边 1.通过具体实例,认识三角形概念及其基本要素. 2.学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3.掌握三角形三边关系. 阅读教材P2~4,完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义:由不在____________三条线段首尾________所组成图形叫做三角形. 2.有关概念 如图,线段AB,BC,CA是三角形________,点A,B,C是三角形________,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成角,叫做三角形________,简称三角形角. 3.表示方法:顶点是A,B,C三角形,记作“________”,读作“____________”. (1)三角形表示方法中“△”代表“三角形”,后边字母为三角形三个顶点,字母顺序可以自由安排,即△ABC,△ACB,△BAC,△BCA,△CAB,△CBA为同一个三角形. (二)三角形分类 1.等边三角形:三条边都________三角形. 2.等腰三角形:有两边________三角形,其中相等两条边叫做________,另一边叫做________,两腰夹角叫做________,腰和底边夹角叫做________. 3.不等边三角形:三条边都________三角形. 4.三角形按边相等关系分类 三角形????? 三角形 三角形????? 三角形 三角形 等边三角形是特殊等腰三角形,即底边和腰相等等腰三 角形 . (三)三角形三边关系 1.三角形任意两边之和________第三边. 2.推论:由于a +b>c ,根据不等式性质,得c -b (人教版)八年级数学上册(全册)精品学案汇总 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 1.通过具体实例,认识三角形的概念及其基本要素. 2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类.3.掌握三角形的三边关系. 阅读教材P2~4,完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义:由不在____________的三条线段首尾________所组成的图形叫做三角形.2.有关概念 如图,线段AB,BC,CA是三角形的________,点A,B,C是三角形的________,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成的角,叫做三角形的________,简称三角形的角. 3.表示方法:顶点是A,B,C的三角形,记作“________”,读作“____________”. (1)三角形的表示方法中“△”代表 “三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排,即△ABC,△ACB ,△BAC ,△BCA ,△CAB ,△CBA 为同一个三角形. (二)三角形的分类 1.等边三角形:三条边都________的三角形. 2.等腰三角形:有两边________的三角形,其中相等的两条边叫做________,另一边叫做________,两腰的夹角叫做________,腰和底边的夹角叫做________. 3.不等边三角形:三条边都________的三角形. 4.三角形按边的相等关系分类 三角形???? ? 三角形 三角形????? 三角形 三角形八年级数学上册全册导学案+分层练习合集(含答案)
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