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切面之立方体

切面之立方体
切面之立方体

切面之立方体(3)

同学们,前面我们已经学习了怎么在立方体里切出三角形和四边形的切面,三角形里锐角三角形、等边三角形、等腰三角形都可以切出来,四边形里正方形、长方形、平行四边形和等腰梯形可以切出来。

我们知道立方体能够切出的形状有三角形、四边形、五边形和六边形。那今天我们就学习一下立方体的五边形和六边形切面。那就要切的过程中遇到五个面和六个面。如下图,可以看出,在立方体中能够切出五边形和六边形。当然,只要选取合适位置也能够切出特殊的正五边形和正六边形。

关于立方体的切面问题就已经全部讲完了,那华图教育的老师带大家一起看一道例题。

【例】一大一小两立方体如图所示叠加在一起,然后从任意面剖开,下面

哪一项不可能是该立体图形的截面?()

我们从选项入手,一起分析一下这道题:A选项上部分是正方形,即平行于一个面切,要想让下部分也是一个正方形,平行于小立方体的前面切即可。B 选项上部分是等腰梯形,可从小立方体上表面的对角线开始切,经过小立方体相应下表面对角线平行的线处,继续切下去大立方体可切出选项B中的大等腰梯形。C选项上部分是一个等腰三角形,三角形要切掉小立方体的一个顶点,此时,继续切下来大立方体的切面只能是等腰梯形或是三角形,不可能是长方形,所以C选项不可能切出来。D选项只要切到除了大立方体上表面的五个面即可得到。

我们来总结一下立方体的切面:(1)三角形需要用到立方体的相邻的三个面。在三角形的切法里,我们能够切出一个无限接近于直角三角形的三角形,

但不是直角三角形。(2)四边形需要用到立方体的四个面。矩形需用到相对的四个面,梯形需用到相邻的四个面。(3)五边形需要用到立方体的五个面。(4)六边形需要用到立方体的六个面。

正方体的截面形状

正方体的截面形状 一:问题背景 在家做饭时,切菜尤其是切豆腐时,发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体,得到的截面会有哪几种不同的形状? 二:研究方法 先进行猜想,再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三:猜想及其他可能的证明: 1.正方形: 因为该立体几何图形是正方体,所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到,或者和侧面平行进行截取,由下列图示证明: 由图示可知,水平方向截取正方体,得到的截面为正方形。 由图示可知,竖直方向截取正方体,得到的截面为正方形。 2矩形: 因为正方形也属于矩形,所以对正方形的证明同适用于矩形。其次,当长宽不等的矩形截面的图示如下: 由上图所示可知,按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如,正方体的六个对角面都是矩形 3.平行四边形: 当平面与正方体的各面都不平行时,所得截面为平行四边形,图示如下:

由上图所示可知,当截面不与正方体的各面平行时,所得截面可能为平行四边形。 4. 三角形: 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面,图示如下 由上图可知,正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形,包括等腰和等边三角形 特别的,当截面刚好经过三个面的对角线时,所得的三角形截面为正三角形,图示如下: 5. 猜想之外的截面形状: (1)菱形: 如下图所示,当 A (2)梯形: 如图所示,当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时,所得截面可能是梯形: ==》 ==》得到: 正三棱锥

(3 )五边形: 如图所示,可以截得五边形截面: 通过实践及资料查询可知,无法得到正五边形。 (4 )六边形: 如图所示,可以截得六边形截面: 拓展探究:1?正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质i.正方体最大面积的截面三角形:

关于正方体截面形状探究

关于正方体截面形状探究 引题: 问题1:什么叫几何体的截面? 答:一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2:截面的边是如何得到的? 答:截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型,它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢?截面图形最多有几条边? 答:因为正方体有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形。 探究1:截面图为三角形时,有几种情况? 1. 是否可以截出等腰三角形: E A A 1 解析: 如上图,一正方体被一平面所截后得到截面GEF 显然,只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以,截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析

E A A 1 一正方体被一平面截后得到三角形GEF , 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以,截到等边三角形的情况存在。 3.是否可以截出直角三角形: A A 1 解析:若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角, 那么:GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF 所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际 所以,这截得是普通三角形,不是直角三角形。 结论1:用平面去截正方体能截到三边形: (1)等腰三角形,(2)等边三角形,(3)普通三角形; (不能截得直角三角形) 探究2:如果,截面为四边形,那么,可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形: 分析:过一正方体的一棱有无数个矩形,只要长宽不等,就是长方形。所以,存在这一情况。

正方体的平面展开图及三视图练习

正方体的平面展开图的判断问题 题目特点:选择题,给出正方体相邻的三个面,并且三个面上分别标有不同的图案,要求判断其平面展开图是哪一个。 解题方法:排除法。 先看选择项中标有图案的面是否相对,若相对,排除。 然后注意到带图案的三个面有一个公共点,在原图和展开图上标出这个公共点。 最后,将其中的两个折叠后复原(如前面的面和上边的面),看另一个面是否符合,找出正确 的答案。 4.如图所示的立方体, 将其展开得到的图形是 注意:做题时,可将试卷旋转或颠倒一下判断,也可动手实际操作一下。 1.右面这个几何体的展开图形是( ) ■1 ■■------- 11 C ◎ 1 ■ 1 1 △ 1 1 q 1 D 2.如图几何体的展开图形最有可能是( 石◎ △d□O]|v 1 O B、Q C —D、— A 、 ) 3.如图所示的正方体, 若将它展开,可以是下列图形中的( 中华 愛 沪华 A 、 B 、 中华 中华 C 、 rm A 、 C 、 5.四个图形是如图的展开图的是( rn 6.如左图所示的正方体沿某些棱展开后, B 、 D 、 D 能得到的图形是(

9. 下图右边四个图形中,哪个是左边立体图形的展开图( 10. 如图,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、 剪开成一个平面图形,则展开图可以是( ) 11. 画分成九个全等的小正方形,并分别标上 为( ) ) & 一个三面带有标记的正方体,如果把它展开,应是下列展开图形中的( ribi B 、 C 、 D 、 A 、 D 、 A 、 ■ ■ ■ B 、 C 、 A 、 ■ r ■ > 1 , 卡 1 岸 H" B C 、 1 ■ ?― i .1 . I T D 、 1.下面简单几何体的左视图是 (). A . C . D . 2.如图所示,右面水杯的俯视图是 ( A C I> 正面 正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱 0、>两符号.若下列有一图

正方体的截面形状

正方体的截面问题 根据日常经验及想象,我们小组做出下列猜想: (1)正方形(2)矩形(3)平行四边形(4)三角形 2.猜想及其他可能的证明: 1.正方形: 因为该立体几何图形是正方体,所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到,或者和侧面平行进行截取,由下列图示证明: ====》》》 由图示可知,水平方向截取正方体,得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知,竖直方向截取正方体,得到的截面为正方形。 2.矩形: 因为正方形也属于矩形,所以对正方形的证明同适用于矩形。其次,当长宽不等的矩形截面的图示如下:

由上图所示可知,按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如,正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形: 当平面与正方体的各面都不平行时,所得截面为平行四边形,图示如下: ==》 由上图所示可知,当截面不与正方体的各面平行时,所得截面可能为平行四边形。 4.三角形: 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面,图示如下: ==》》》

由上图可知,正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形,包括等腰和等边三角形 特别的,当截面刚好经过三个面的对角线时,所得的三角形截面为正三角形,图示如下: ==》得到:正三棱锥 5.猜想之外的截面形状: (1)菱形: 如下图所示,当A,B为所在棱的中点时,该截面为菱形: (2)梯形: 如图所示,当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时,所得截面可能是梯形:

==》》》 (3)五边形: 如图所示,可以截得五边形截面: =》 通过实践及资料查询可知,无法得到正五边形。 (4)六边形: 如图所示,可以截得六边形截面: =》 特别的,当平面与正方体各棱的交点为中点时,截面为正六边形,如图所示:

正方体截面问题

正方体截面问题 课题:正方体截面问题 班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状,通过实践和图示来证明其结果,列举特 例,拓展空间观念与全面考虑问题的能力。探究方法:首先通过猜想,列举出预计猜想到的截面,其次进行画图和实践等方 法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询,寻找未猜想到的情况。 大题小做: :什么叫几何板的截面, 问题1 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部),叫做几何体的截面。问题2:截面的边是如何得到的, 答:截面的边是平面和几何体各面的交线。问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型,它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边, 答:因为正方形只有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形。 探究1:截面图为三角形时,有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:

A’ a C c B bA 如上图,一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形, 那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。 所以,截到等腰三角形的情况存在。 (2)做法: 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 (3)证明:因为角bAa等于角cAa, Aa边公用, Ab等于Ac, 所以三角形全等于三角形。所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: (1)解析 A’ a C c bBA 一正方体被一平面截后得到三角形abc,若三角形abc是等边三角形,

细说正方体的截面图形

细说正方体的截面图形 在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状,在中学数学中也学习了几何体的截面图形,截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形,。截面图形更好的将平面几何与立体几何联系起来,探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体,发展正确的空间观念。对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出现不同的情况。现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。一个平面截正方体与各面的交线都是线段,因此正方体的截面图形都是平面图形。正方体有六个面,用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个面,所有出现的截面图形边数至少是三条而最多是六条,则只可能出现三角形、四边形、五边形、六边形。 一、截面图形是三角形 用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形 1.截面图形是锐角三角形 如下图,一个平面截正方体任意三个面得到截面△EFG ,BE=a,BF=b,BG=c.可得EF=22b a +,EG=22c a +,FG=22c b +. (1)如图①,当a ≠b ≠c 时,则EG ≠FG ≠EF,即截面△EFG 是一般三角形。 (2)如图②,当a=b ≠c 时,则EG=FG ≠EF 即截面△EFG 是等腰三角形。 同理可得a=c ≠b 或b=c ≠a 时截面△EFG 是等腰三角形。 (3)如图③,当a=b=c 时EF=FG=EG 即截面△EFG 是等边三角形 2.截面图形不能是直角三角形 如图①,2EF =22b a +,2FG =22c b +,2EG =22c a +, 则222EG FG EF +<,222EG EF FG +<,222EG FG EF +<,所以截面三角形不可能是直角三角形。 3.截面图形不可能是钝角三角形 如图①,cos ∠FEG=EG EF FG EG EF ?-+2222=22222 222222c a b a c b c a b a +?+--+++

正方体截面问题

课题:正方体截面问题 班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状,通过实践和图示来证明其结果,列举特例,拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法:首先通过猜想,列举出预计猜想到的截面,其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询,寻找未猜想到的情况。 大题小做: 问题1:什么叫几何板的截面? 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部),叫做几何体的截面。 问题2:截面的边是如何得到的? 答:截面的边是平面和几何体各面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型, 它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一 个平面去截一个正方体那么会得到什么形状 的截面图呢?截面图最多有几条边? 答:因为正方形只有六个面,所以它与平面 最多有六条交线,即所截到得截面图最都有 六条边。所以截图可能是三角形,四边形, 五边形,六边形。 探究1:截面图为三角形时,有几种情况? 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:

如上图,一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形, 那么只要三角形Aba全等于 三角形Aca就可以截到。 所以,截到等腰三角形的情况存在。 (2)做法: 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 (3)证明:因为角bAa等于角cAa, Aa边公用, Ab等于Ac, 所以三角形全等于三角形。 所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: (1)解析

正方体截面形状

陕西省丹凤中学研究性学习 资料 学科类别:数学 指导老师:赵严明 所在班级:201 届班 201 年月日

丹凤中学班级研究性学习一览表2012 届 A4 班 20 10 年9 月 1 日序 号 课题名称组长小组成员指导教师等级 1 空间向量在力学中 的应用 王成龙 李亦菲 郑婷婷李霞陈茜王斌 龚云龙 2 统计在实际生活中 的应用 李航 屈媛 张立立曹磊磊查光睿 叶英鹏 3 怎样灵活解决抛物 线问题张海红 石苏惠 刘莉石梦田云刘青青 白云鹏 4 数学知识在生活中 有哪些应用姜鑫 邢虎 黄蓉蓉申青徐州王丹 朱余清 5 做线段的N等分点 钟欣 朱正国 林波周文婷邱鹏飞 6 问题是关键 陈浩 刘小飞 张龙叶川川白帆李思昊 7 三角函数在实际中 的应用 陈梦妍 周兴 李奇巩坚明学廷 8 中国体彩中蕴含的 数学知识 彭鑫 李怡锡 王益郑鹏郭斌周闯 9 正方体截面的形状 巩茜 张亚婷 李超余丹平杨鹏淡增增 10 运用正弦线定理解 决实际问题 张琛 周水杰 周娇何思琪薛超 11 12 备注:各班学习委员负责组织学生填写并将电子表格发送到dfzhxjych@https://www.wendangku.net/doc/243250219.html, 以备学校教研处存档。

附件1:丹凤中学研究性学习开题报告表 2102 届 A4 班时间:2011 4 年 25月日 课题名称正方体截面的形状导师 赵严明开题时间2011年4月20日拟结题时间2011年4月15 日 课题团队负责人巩茜成员张亚亭。李超。余丹平。杨鹏。淡增增主导课程:综合实践活动相关课程: 研究背景 提出问题,阐述研究该课题的原因。 正方体截面的形状都有哪些? 原因:①可以拓宽同学们的视野,对正方体进行彻底了解。 ②可以使同学们的思维更加敏捷,思维更加活跃。 研究意义通过该课题研究将解决什么问题(或得到什么结论),而这一问题的解决(或结论的得出)有什么意义。 可以使同学们知道几何多变的形状,依据不同的原则(例如:按截面图形的边数分类)进行分类,按不同的原则分类得到不同的截面。 研究 内容 研究正方体截面有哪几种?可以归为哪几类? 方法和 措施 ①用土豆、橡皮泥等物品做切割材料。 ②按不同方法切割得到的正方体进行分类 研究所需 条件 查阅书籍、访问有经验的人、查阅报纸、上网查询。计划访问校内访问专业老师

1.1 简单几何体 正方形的截面形状

《正方体截面的形状》教学设计 一、教学目标 1)知识与技能: A用平面去截一个几何体,截面的情况可以帮助学生更好地认识几何体。 B探索正方体可能的截面形状,通过实践证明其结果,列举特例,拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 2)过程与方法: A首先通过猜想,列举出预计猜想到的截面,其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。 B学生截萝卜块以培养学生探索问题的能力,知识迁移能力,发散思维和类比思维能力。 3)情感态度与价值观: A激发学生主动参与活动的热情,培养人人参与学习和自觉把数学知识应用实际生活的意识。 B培养学生学生探索创新能力。 二、学生分析 根据学生情况将学生分为ABC三大组,A组为待优生,A组分为第一组和第二组,B组为临界生,B组分为第三组和第四组,C组为优等生,记为第五组和第六组。 根据学生的不同学情,安排不同难度的问题。 三、教学内容分析 本节内容位于《必修2》P51页第一章立体几何初步的课题学习,属于探究性课题。本节课以正方体的截面图为核心,让学生借助萝卜块进行实际操作和

探索学习,由学生自我探究,进行知识迁移,通过类比,自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结并在学生出现困难时进行指导,由此培养学生思维的独立性和发散性,使学生真正成为学习的主体。 重点:正方体的截面图的作法 难点:正方体的截面图形的交点的作法 四、教法:教师提出问题,然后逐层展开,分步进行研究(需学生进行探索和分析),然后学生进行分组讨论和实际操作,通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的 意义建构。 五、教学过程 提问复习: 【教师提问】什么叫几何体的截面? 【学生回答】一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做几何体的截面。 【教师提问】截面的边是如何得到的? 【学生回答】截面的边是平面和几何体各面的交线。 揭示课题: 【教师提问】正方体是立体几何中一个重要的模型,它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢?截面图最多有几条边? 【学生回答】【七嘴八舌】三角形,四边形,五边形,六边形,七边行。 导入新课:

正方体截面的探究

正方体截面的探究 教学设计 无为县襄安中学李向林背景介绍 为了使课改工作开展的更有成效,很重要的方面,就是要重构课堂,在现代课堂的教学中,我们应该清楚地认识到:1. 课堂不是教师表演的舞台,而是师生之间交流、互动的舞台。2. 课堂不是对学生进行训练的场所,而是引导学生发展的场所。3. 课堂不只是传授知识的场所,而更应该是探究知识的基地。4. 课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂,而是教师教育智慧充分展现的竞技场。 在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线” 这部分内容的教学时,为了提高学生学 习立体几何的兴趣,帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理,我适时补充了“ 正方体的截 面” 这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线” 从而学会“过已知点求作正方体 的截面” 对学生而言是有一定难度的。 因此,能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美,激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲 望,初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识,就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难 点,落实新课标的精神,我运用"学生为主体,教师为引导,问题为核心,体验为红线" 的探究性 学习方式,逐步培养学生的创造性思维;在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能 的形状以及有否特殊的形状。 教材分析 《正方体截面的探究》是人民教育岀版社《普通高中课程标准实验教科书?数学?必修2》关于 正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上,为了更深刻地理解平面图形与立体图形之 间的关系及求作平面与平面的交线,帮助学生初步建立空间观念,发展几何直觉,而安 排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣,生活经验和认知水平岀发,倡导体验、实践、参 与、交流的学习方式和任务型的教学途径,发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此,本节课设计如下: 教学目标 (一)知识与技能: 1. 了解正方体的截面的形状,能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。 2. 经历切截几何体的活动过程,体会几何体在切截过程中的变化,在面与体的转换中积累数学活动经验。 (二)过程与方法:在对实物模型“截”活动过程中,学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程,发展学生的 动 手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。 (三)情感、态度与价值观:通过学生亲身经历动手实践操作过程,鼓励学生自主探索与合作交流,发展学生的空间观念,使学 生在合作学 习中体验到数学活动充满探索和创造,获得成功的体验,增强自信心,提高学习数学的兴趣。 教学重点、难点: 重点:正方体截面的结构特点。难点:正方体截面结构的多重性。 教学用具: 大块橡皮泥、小刀、一张CT 片,透明正方体盒子(可用鱼缸)、水,正方体模型等。 教学方法: 1. 采取直观教具与多媒体相结合,通过师生互动进行教学。 2. 采取小组合作交流,动手操作实验的学习方法。教学过程: 活动一:情境导入,引发思考 师:(拿岀西瓜)大家都知道西瓜是我们常吃的一种水果,那么他像我们已经学过的那种几何体?(生:球体)师:按习惯我们是不吃西瓜皮,只吃西瓜瓤的。现在有一个外皮已经洗净的西瓜,设想一下,你一般是如何吃到里面的瓤呢?第一步怎么办?(生:用刀切)

正方体十一种平面展开图

正方体的十一种平面展开图可记忆成下面口诀: 一三二,一四一,一在同层可任意,两个三,日状连,三个二,成阶梯,相邻必有日,整体没有田。相对的两个面之间总隔着一个面 正方体:中间四个面,上下各一面(6种摆法-141) 中间三个面,一二隔河见(3种摆法-132/231) 中间二个面,楼梯天天见(1种摆法-222) 中间没有面,三三连一线(1种摆法-33)

例1 在图13中(每个小四边形皆为全等的正方形),可以是一个正方体表面展开图的是( ). 例2图14是一个正方体包装盒的表面展开图,若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填上适当的数,使得这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则填在A、B、C内的三个数依次是( ). A.0,-2,1 B.0,1,-2 C.1,0,-2 D.-2,0,1 例3图15所示的是一个正方体包装盒的表面展开图,各个面上标注的数字分别为1,2,3,4,5,6。现将表面展开图复原为正方体包装盒,则标注数字1和3的两个面是互相平行的,请你写出另一组相互平行的面上所对应的数字: _______。 注:例1、例2、例3的答案分别为:C。A。2与5或4与6。是不是有点多此一举? 例4 一个无盖的正方体纸盒,将它展开成平面图形,可能情况总共有()。A.12种 B.11种 C.9种 D.8种 千万注意,你可不要选B呦!选D才对。我又在炫耀了,不过你能很快画出这8个平面展开图吗? 下面是示意图,黑方块表示展开图,白方块表示空缺。 (一) □■□ ■■■ □■□ (二) ■■■■ ■□□□ (三) ■■■■ □■□□ (四) ■■■■ □□■□ (五) ■■■■ □□□■ (六) □■□ ■■■ □□■ (七) □□■

正方体的截面形状

正方体的截面形状

正方体的截面形状 一:问题背景 在家做饭时,切菜尤其是切豆腐时,发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体,得到的截面会有哪几种不同的形状? 二:研究方法 先进行猜想,再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三:猜想及其他可能的证明: 1.正方形: 因为该立体几何图形是正方体,所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到,或者和侧面平行进行截取,由下列图示证明: 》》》 由图示可知,水平方向截取正方体,得到的截面为正方形。 由图示可知,竖直方向截取正方体,得到的截面为正方形。 2.矩形: 因为正方形也属于矩形,所以对正方形的证明同适用于矩形。其次,当长宽不等的矩形截面的图示如下:

由上图所示可知,按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如,正方体的六个对角面都是矩形 3. 平行四边形: 当平面与正方体的各面都不平行时,所得截面为平行四边形,图示如下: 由上图所示可知,当截面不与正方体的各面平行时,所得截面可能为平行四边形。 4. 三角形: 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面,图示如下 ==》

由上图可知,正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形,包括等腰和等边三角形 特别的,当截面刚好经过三个面的对角线时,所得的三角形截面为正三角形,图示如下: ==》得到: 正三棱锥 5.猜想之外的截面形状: (i)菱形: 如下图所示,当A,B为所在棱的中点时,该截面为菱形: (2)梯形: 如图所示,当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时,所得截面可能是梯

形: (3 )五边形: 如图所示,可以截得五边形截面: 通过实践及资料查询可知,无法得到正五边形。 (4 )六边形: 如图所示,可以截得六边形截面: 特别的,当平面与正方体各棱的交点为中点时,截面为正六边形,如图所示:

(完整版)正方体11种平面展开图

正方体的11种平面展开图 正方体的平面展开图共有11种(那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算),具体来讲分以下4类。 第一类:“1—4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形,两侧又各有1个正方形,共有6种。 第二类:“1—3—2”型,其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形,另一侧有2个正方形(其中只有1个与中间那一排相连),共有3种。 第三类:“2—2—2”型,其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形,只有1种。 第四类:“3—3”型,其特点是有3个连成一排的正方形,其一侧还有3个连成一排的正方形,只有1种。 注: ①将长方体、正方体展开:无论怎么剪,都要剪7条棱。 ②“隔”的原理:相对的面如果在同一行或同一排,中间一定只隔一个面; 相对的面如果不在同一行或同一排,中间可以隔着一些面。 ③长方体、正方体中各面的关系:相对、相邻。 每个面都有1个相对的面,4个相邻的面。 注:立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理,而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。 ④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面,且这三个面都是相邻的面。 ⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”,还是从“展开图”到“立体图”: 正方体、长方体展开图 ⑥长方体(不包含正方体)最多有1组相对的面是正方形;当有2组相对的面是正方形时,长方体就变成了正方体(特殊的长方体)。 长方体(不包含正方体)的6个面中,最多有4个面的面积相等;12条棱中,最多有8条棱长度相等。(即2个相对的面是正方形,其余四个面变为完全相同的长方形。) ⑦正方体的棱长扩大a倍:棱长和扩大a倍,表面积扩大a2倍,体积扩大a3倍。 (给出其中一个,要能将其余的都求出来) ⑧常见的平方、立方(需熟记在心) 12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 …… 13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 …… 互逆

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