解三角形作业
第一部分
1.已知中，的对边分别为
，则
( )
A.2 B ．4＋
．4—
2.已知△ABC 中，，则 ( ) A ． B. C. D.
3.已知中，， 则 ( )
A. B. C. D.
4.在锐角中，则的值等于 ，的取值范围
为 .
5.在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、，已知，且
求b
6.在中，角所对的边分别为，且满足，． （I ）求的面积； （II ）若，求的值．
7.在中，角所对的边分别为，且满足，． （I ）求的面积； （II ）若，求的值．
8.在中，角的对边分别为，
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 9.设函数f(x)=2在处取最小值.
（1）求.的值;
（2）在ABC 中,分别是角A,B,C 的对边,已知, ABC ?C B A ∠∠∠,,,,a b c a c ==75A ∠=o b =12
cot 5
A =-
cos A =1213513513-1213
-ABC ?12
cot 5
A =-cos A =1213513513-1213
-ABC ?1,2,BC B A ==cos AC
A
AC ABC ?a b c 22
2a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ?,,A B C ,,a b c cos
2A =
3AB AC ?=ABC ?6b c +=a ABC ?,,A B C ,,a b c cos 25A =
3AB AC ?=ABC ?1c =a ABC ?,,A B C ,,,3
a b c B π
=4
cos ,5
A b =
=sin C ABC ?)0(sin sin cos 2
cos sin 2
π???
<<-+x x x π=x ??c b a ,,,2,1=
=b a 2
3)(=
A f
求角C.
10.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，,，求B.
11.在ABC 中，, sinB=
. （I ）求sinA 的值；(II)设
，求ABC 的面积.
12.在△中，所对的边分别为，，．
（1）求； （2
）若
,，．
13.△中，所对的边分别为，.
（1）求；（2）若
求. 14.在中，
（Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求的值。
15.在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I ）求的值；（II ）若，求的值。
16.设的内角、、的对边长分别为、、，，
，求
17. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B
、C
所对的边，且
(Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为
,求a ＋b 的值。
18.在，已知，求角A ，B ，C 的大小.
2
3cos )cos(=
+-B C A ac b =2
?sin()1C A -=13
?ABC ,,A B C ,,a b c 6
A π
=(12c b =C 1CB CA ?=+a b c ABC ,,A B C ,,a b c sin sin tan cos cos A B C A B
+=
+sin()cos B A C -=,A C 3ABC S ?=,a c ABC ?A C AC BC sin 2sin ,3,5===4
2sin(π
-
A ABC ?A
B 、A B
C 、、a b c 、、sin A B =
=
A B +1a b -=a b c 、、ABC ?A B C a b c 3
cos()cos 2
A C
B -+=2b ac =B A c a sin 23=72
33ABC ?2
233AB AC AB AC BC ?=?=
19.在⊿ABC 中，
AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB 的值：(II) 求sin 的值 20.在中，为锐角，角所对应的边分别为，且
（I ）求的值；（II ）若，求
的值。
21.已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c
，设向量， ， .
（1） 若//，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2）
若⊥，边长c = 2，角
ΔABC 的面积 . 第二部分
1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2
+c 2
-b 2
)tan B ,
则角B 的值为
（ ） A.
B.
C.
或
D.
或
2.
如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
， 则
等于
（ ） A
B ．2
C
D 4.在中，，，则 （ ） Ａ．
Ｃ．
Ｄ．5.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）
24A π??
-
??
?
ABC ,A B ,,A B C ,,a b c 3cos 2,sin 5A B ==
A B +1a b +=
,,a b c (,)m a b =(sin ,sin )n B A =(2,2)p b a =--m n m p 6
π3π6π56π3
π23π
18
5
432
38
7
ABC △120c b B ==a ABC △AB =45A =75C =BC =323ABC ?CD AB
A. B. C.
D.
6. 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，
则cosB= ( )
A ．
B ．
C ．
D ． 7.在△ABC 中，∠A =90°，的值是 8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为、b 、c ，若，
则_________.
9.在△中，三个角的对边边长分别为,则
的值为 .
10.在中，若，，，则 . 11.在中，角所对的边分别为，若，b
则 ．
12.在△ABC 中，AB =1,BC =2,B =60°，则AC ＝ . 13．在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若
14．已知，且．
（I ）求边
的长；（II ）若的面积为，求角的度数． 15.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若，求b ．
2
AC AC AB =?2
BC BA BC =?2
AB AC CD =?2
2
()()
AC AB BA BC CD AB
???=
4143423
2
k k 则),3,2(),1,(==a (
)
C a A c b cos cos 3=-=A cos ABC ,,A B C 3,4,6a b c ===cos cos cos bc A ca B ab C ++ABC △1
tan 3
A =
150C =1BC =AB =ABC △A B C ，，a b c ，，1a =c =B =ABC △1tan 4A =3
tan 5
B =
C ABC △ABC △1sin sin A B C +=AB ABC △1
sin 6
C C 2sin a b A =a =5c =ABC ?
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
解三角形的必备知识和典型例题及习题
解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1
解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.
解三角形典型例题
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 高中数学新教材教学中开展实习作业案例---解三角形 思南县第八中学：卢胜东 单元概述：在这个单元当中，学生将全面研究、学习解三角形。教师用制作的演示文稿为学生介绍正弦定理，余弦定理,并引导学生思考，并让他们将自己的想法记录到数学日记中。学生用数学日记描述现实生活中与三角形相关的问题，并用正余弦定理来描述日常生活中的事件？让学生创建调查计划、收集关于生活中关于三角形的信息,利用实习报告，表达他们的解决方案。 课程标准：给学生思考的空间,营造一个积极思路、探索创新的氛围来介绍数学内容与其他学科、日常生活的联系，利用数学解决一些实际问题，鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法，培养数学的兴趣,发展学生的应用意识和能力,关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成,改善教与学的方式，使学生主动学习,恰当应用现代信息技术提高教学质量 . 单元计划：情感态度价值观目标：1.通过对三角形边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探究精神和创新意识；2.在用正弦定理，余弦定理解决一些简单的实际问题的过程中，逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式去解决问题认识世界；3.通过实习作业，体会解三角形在测量中的应用，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力；4通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值应用价值，进而领会数学的人文价值美学价值不断提高自身的文化素养。 评定成绩:成绩是在过程中评定的，在开始之前，提供各种量规给学生，让他们知道研究的评估标准。在进行中，有很多评估点可以对学生进行评估，以确认所有人都在研究轨道上。比如学生写的数学日记，做的演示文稿，写的实习报告，写的博客等等。当一组学生一起完成时，学生既能得到小组的最后成绩，也能得到个人成绩。 实习背景：前面几节课，学习了解斜三角形的应用举例，具备了一定的解斜三角形的能力，并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用在此基础上我们将为应用解斜三角形知识的实习作业作准备工作实习方法：自主探究，分组讨论式 我把全班学生分成9个学习小组，要求学生以小组为单位，充分发挥每个人的创造性和合作意识，设计出新颖有趣的实验，验证自己的猜想是否正确。学生们在老师的激励和指点下，信心百倍的投入到了科学研究之中。 解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形. 解三角形 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?= ???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用 ABC ?中A B C π ++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++===. 高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形 一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b= 2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ） A ．cosA>sin B 且cosB>sinA B ．cosA 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 2019-2020学年高中数学第一章解三角形 1.3 实习作业教案新 人教A版必修5 一、知识与技能 1.解斜三角形应用; 2.测角仪原理; 3.数学建模. 二、过程与方法 1.进一步熟悉解斜三角形知识; 2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力; 3.加强动手操作的能力; 4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力; 5.增强数学应用意识. 三、情感态度与价值观 1.认识数学在生产实际中的作用; 2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想. 教学重点数学模型的建立. 教学难点解斜三角形知识在实际中的应用. 导入新课 师前面几节课，我们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角 形的能力,并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用. 这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题. 推进新课 （1）提出问题：问题（一）：测量学校锅炉房的烟囱的高度. 问题（二）：如图(1)，怎样测量一水塘两侧A 、B 两点间的距离? 问题（三）：如图(2)，若要测量小河两岸A 、B 两点间的距离，应怎样测量？ (1) (2) （2）分析问题： 师 问题（一）中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决？ 生 根据实际情况，应该采取下列措施： 1.根据地形选取测量点; 2.测量所需要数据; 3.多次重复测量,但改变测量点; 4.填写实习报告; 5.总结改进方案. 实习报告（1） 年 月 日 题目 测量底部不能到达的烟囱AB 的高度 测量目标 测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 EF 长(m) ED 长(m) α1 α2 计算 ∵α3=α2-α1， 3 sin 1 sin αα?= ED AD ， 高中文科数学解三角形部分整理 一 正弦定理 （一）知识与工具: 正弦定理：在△ＡBC 中， R C c B b A a 2sin sin sin ===。 变形:::sin :sin :sin a b c A B C =. 在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中,注意三角形中其他条件的应用: (1)三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (2）三角函数的恒等变形 s ｉn(A+B)=ｓｉｎC,ｃos （A ＋Ｂ)＝－ｃosC ，s ｉn 2B A +＝cos 2C ，cos 2 B A +=si ｎ 2 C (３）面积公式：S= 21absin Ｃ＝R abc 4＝2R ２ s ｉnA ｓinBsinC （二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 例一、在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于( ) A ．1 B.1- C ．32 Ｄ.32- 【解析】C ． 00tan 30,tan 302b b a c b c b a =====-= 题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化。 例二、在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于（ ) A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 【解析】D ． 01 2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302 b a B B A B A A ====或0150 题型３ 三角形解的个数的讨论 方法一:画图看 知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ； （2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则 一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C ① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理： ___________________________________ 7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB 必修五不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<； ②,a b b c a c >>?>； ③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >． 小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式：2 0,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题： 1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径； 4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥． ()20,02a b ab a b +??≤>> ???； 2a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。 解三角形的实际应用作业解答 1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，那么灯塔A 位于灯塔B 的( ) A. 北偏东10° B. 北偏西10° C. 南偏东10° D. 南偏西10° 解析：由已知，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝80°， ∴∠ABC ＝1 2 (180°－80°)＝50°， ∵α＋∠ABC ＝60°， ∴α＝10°， 即A 位于B 的北偏西10°. 2．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 两岛之间的距离为( ) A ．10 3 n mile B.106 3 n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile 解析：在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，∴C ＝45°. 由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，∴BC ＝ AB ·sin A sin C ＝10× 322 2 ＝56(n mile)． 3．已知A ，B 两地的距离为10 m ，B ，C 两地的距离为20 m ，观测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( ) A ．10 m B ．10 3 m C ．10 5 m D ．107 m 解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝700.∴AC ＝107( m)． 4．(山东烟台市高二期中)一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里 B ．103海里 C ．203海里 D ．202海里 A B C 解斜三角形应用举例三 实习作业 一、实际问题： （一）测量底部不能到达的某物体的高度 问题1：试设计一种方案，测量一山顶上的电视塔的顶部与地面的距离。 问题2：测量如图所示小河两岸,A B 两点之间的距离。 （二）测量都不能到达的两点之间的距离 问题3：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N 但不能到达，试设计一种方案，测量M ， N 之间的的距离。 （1）提示小题：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达。在河岸边选取相距 40米的,P Q 两点，并测得75MPN ∠= ，45NPQ ∠= ，30MQP ∠= ，45MQN ∠= ， 试求两个目标物,M N 之间的距离。 A B ? ? M N ? ? 地面 M P Q M N （2）一般地：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达，在河岸边选取相距40 米的,P Q 两点，并测得,,,MPN NPQ MQP MQN βαγδ∠=∠=∠=∠=，试求两个目标物,M N 之间的距离。 （三）测量河宽 问题4：如图，在河的一岸边选定A 和B 两点，望对岸的标记物C 测得：45CAB ∠= ， 75CBA ∠= ，120AB =米，求河宽。 二、作业： 1．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角5440α'= ，在塔底C 处测得点A 的俯角501β'= ，已知铁塔BC 部分高27.3米，求山高CD （精确到1米）。 2．飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250米，速度为180 千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为1830' ，经过960秒后又看到山顶的俯角为81 ，求 山顶的海拔高度。 A B C 45 75 中小学1对1课外辅导专家 文成教育学科辅导教案讲义 授课对象 授课教师 徐老师 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课 使用教具 人教版教材 教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形 教学重点和难 点 灵活解斜三角形 参考教材 人教版必修5第一章 教学流程及授课详案 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； 解三角形练习 题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3 C. 3 D. 3 2 题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝ 2c b，则C ＝(). A．30°B．45° C．45°或135°D．60° 题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________． 题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小. 题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________． 题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列. 题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港 口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． 题八：如图，在△ABC中，已知B＝π 3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的 周长的最大值为________． 题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5 13，cos∠ADC＝ 3 5. (1)求sin∠ABD的值； (2)求BD的长． 题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是(). A．锐角三角形B．直角三角形 《三角形的认识》案例分析 《三角形的认识》是人教版四年级下册的内容，学生在此之前已经认识了线段、角，初步认识了三角形及会画平行四边形的高。本节课通过学生动手操作、观察、理解三角形及三角形高、底的含义，引导学生自主探索，培养学生观察实践能力。利用已有知识经验让学生动手画一个三角形，从而发现三角形的特征，理解三角形的含义并会画三角形的高。对于教材的编排思路，我稍感困惑，有以下三方面的疑虑： （1）怎样理解三角形的含义，突出“围成”。 根据学生的经验很容易画一个三角形，然后“由三条线段围成的图形叫三角形”这个概念并不容易描述，围成这个词不好理解，对于三角形的特征学生易发现，既然如此，能否将三角形的特征与三角形的定义建立联系，三角形的三条边也就是三条线段，再引出三条线段是怎样连接在一起的。 （2）如何使学生真正建立三角形的表象。 学生在一年级就认识了三角形，这节课是进一步认识三角形，怎样才能使三角形这一概念得到真正意义上的有效建构，为了使学生真正建立三角形的表象，培养学生空间观念，可以让学生在空间中寻找三角形。 （3）怎样画三角形的高。 三角形的高是纯数学知识，数学源于生活，能否在生活中找到它的原形，三角形的高是从哪开始画，学生在阅读三角形高的定义后所 形成的认识还只是表象初步建立的阶段，因此在画出锐角三角形的高之后有必要引入直角三角形和钝角三角形的高，将它们展示出来，让学生了解画法及图像，从而对三角形的高的知识有完整的认识。 带着这些思考，我尝试着对本节课的教学做了一些探索性的改变。 1、理解三角形的含义。 师：根据你的经验在练习本上画一个三角形吧，想一想它有几条边、几个角、几个顶点？ 学生在练习本上画三角形。 师：老师也在黑板上画一个三角形，谁来指一指它的边、角和顶点？ 学生上来指出它们。 师：同学们都找到了三角形的共同特征，板书：三条边、三个角、三个顶点。那什么样的图形叫三角形呢？ 生：由三条边、三个角、三个顶点组成的图形叫三角形。 师：能不能只从边的角度简捷的说说什么样的图形叫三角形？这三条边也就是三条线段，这三条线段是怎样连接在一起的呢？ 生：有三条线段组成的图形叫三角形。 师：是这样的吗？ 生：要封闭。 师：是这样的吗？ 生：线段的端点和端点要连在一起。【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳
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