冲激函数取样性质证明

冲激函数

一冲激函数的定义 在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高的奇异函数。对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。 1 单位冲激函数的普通数学定义 定义有多种方式，其中 定义1设有一函数P(t) 当n趋近于∞时，函数P(t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。 定义2 狄拉克（Dirac）定义 上面两个对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定的值，而δ(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。 2 单位冲激函数的广义定义 选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为 式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降的普通函数这类函数的全体构成的检验函数空间称为急降函数

空间，用表示．在上定义的广义函数称为缓增广义函数它的全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好的性质。根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与的作用也赋给相同的值，即若 就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。按照广义函数的理论，冲激函数δ(t)由式 定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数的效果是给它赋值。如将(1)式中的函数看做广义函数，则有： 当n趋近于∞时在（，）区间内有=，取广义函数(t)的极限(广义极限)，得 比较以上两式，得 按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如: δ(t)=高斯钟形函数 δ(t)=取样函数 δ(t)=双边指数函数 等等 而对于离散的δ[n]定义很简单: δ[n]=1,(n=0)

冲激偶函数(可编辑修改word版)

- ? (1/) ?'(t ) -/2 /2 t '(t ) O t 三、单位冲激偶信号 冲激函数(t ) 的导数定义为（单位）冲激偶函数，用'(t ) 或 (1) (t ) 表示。 '(t ) = d (t ) d t （1.3-16） 式（1.3-16）可从极限的角度理解， '(t ) = lim ?'(t ) →0 ，由图 1.3-6， ? (t ) 的导 数?'(t ) 如图 1.3-11(a)所示，用公式表示为 ?'(t ) = 1 (t + - 1 (t - 2 ) 2 ) 当→ 0 时，?'(t ) 由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。 故称它为冲激偶函数，用图 1.3-11(b)表示。 （a ） （b ） 图 1.3-11 冲激偶函数 设 x (t ) 为常规函数，其导数 x '(t ) 在t = t 0 处连续，则积分 ∞ ∞ ?-∞ x (t )'(t - t 0 )d t =?-∞ x (t )d (t - t 0 ) = x (t )(t - t 0 ∞ ∞ -∞ -∞ x '(t )(t - t 0 )d t = -?-∞ x '(t )(t - t 0 )d t ) ∞

∞ ∞ 利用冲激函数的抽样性质，从上式得 ? -∞ x (t )'(t - t 0 )d t = -x '(t 0 ) （1.3-17） 该式称为'(t ) 的抽样性质。 采用对 x (t )(t ) 分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得 x (t )'(t ) = x (0)'(t ) - x '(0)(t ) （1.3-18） 注意 x (t )'(t ) ≠ x (0)'(t ) 。再来考虑'(t ) 的对称性。 '(-t ) = =-t 由于(t ) 为偶对称函数，则有 '(-t ) = d (t ) = -'(t ) - d t （1.3- 19） 可见，'(t ) 为奇对称函数。故 ? -∞ '(t )d t = 0 当然，令式（1.3-17）中的 x (t ) = 1 ，也可得上式结果 。 函数(t ) 的各阶导数统称为高阶冲激。特别指出，在同一时刻出现的单 位冲激函数、高阶冲激函数间的乘积，如 2 (t ) ，(t )'(t ) 等没有意义。 d (τ ) d τ

冲激偶函数

三、单位冲激偶信号 冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。 t t t d ) (d )(δδ= ' （1.3-16） 式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(?lim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(? t δ的导数)(?t δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为 )2(1)2(1)(?τδττδτδ--+='t t t 当0→τ时，)(? t δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。 （a ） （b ） 图1.3-11 冲激偶函数 设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分 () ()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'- -=-=-'????∞ ∞-∞∞-∞∞-∞ ∞-∞ ∞-δδδδδ

利用冲激函数的抽样性质，从上式得 )(d )()(00t x t t t t x '-=-'?∞ ∞-δ （1.3-17） 该式称为)(t δ'的抽样性质。 采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得 )()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18） 注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。再来考虑)(t δ'的对称性。 t ττt -==-'τδδd ) (d )( 由于)(t δ为偶对称函数，则有 )(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-' （1.3-19） 可见，)(t δ'为奇对称函数。故 ?∞ ∞-='0d )(t t δ 当然，令式（1.3-17）中的1)(=t x ，也可得上式结果 。

冲击函数

1、单位阶跃函数 单位阶跃函数用符号表示，其定义式如下 （1） 此函数的图形如图l所示。 图1 单位阶跃函数的图 单位阶跃函数的定义式表明：该函数在t<0 时，其值为0；t>0时，其值 1;当t＝0时,发生跳变，其值未定(可取为)；当t由负值(或正值)趋近于0时， 其值则是确定的，即 其中t=0-是t由负值趋近于零的极限，t=0+则是t由正值趋近于零的极限。 函数称为移位的单位阶跃函数。因为若令，则根据式(1)有 图2 移位的单位阶跃函数的图形 此函数的图形表示在图2a中（仅向右平移）。由此可见，函数在时，其值为0；时，其值为 时，发生跳变。

与此类似，移位的单位阶跃函数表示在图2(b)中，此函数在时发生跳变。 对任一函数f(t)与单位阶跃函数的乘积f(t)而言，当t<0时，其值为0；当t>0时，等于f(t)。也就是f(t)只存在于t>0的区间。类似地, f(t)只存在于t＞的区间。 图3 用单位阶跃函数表示电路的输入示例 图3(a)表示的网络在t<0时，A、B两端问的电压为零；在t>0时，接入一个电压为的直流电压源。此电路 用单位阶跃函数等效地表示于图3(b)。 2、单位冲激函数 1、单位冲激函数 单位冲激函数用符号表示，其定义式如下 （2） 图5 单位冲激函数的图形 这表明单位冲激函数只存在于t=0时，其图形与t轴之间所限定的面积等于 1，如图5(a)所示(图中括号内的数值表示函数图形的面积)。

2、移位的单位冲激函数: 令 其图如5（b） 3、冲激函数： ——常数A与的乘积。 单位冲击函数与单位阶跃函数之间的关系： 图6 冲激函数Aδ（t）的图形

冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质 的简单讨论 信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224 有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大. 冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下： 定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ 1 ，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即： ?? ? ?????? ??--??? ??+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1） 冲击信号的波形就如1-1(b)所示. δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值

图 1-2 均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。 也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有 ?? ? ???=∞ →)(lim )(kt Sa k t k πδ （1-2） 对式（1-2）作如下说明： Sa(t)是抽样信号，表达式为 t t t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其 (a)τ逐渐减小的脉冲函数 (b)冲激信号 图1-1

单位脉冲函数

在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数. 下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性. 1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 则 )(t q =? ? ?=≠,0,1, 0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 )(t i = dt t dq )(=0lim →?t t t q t t q ?-?+)()(, 所以, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不连续, 从而在普通导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得 )0(i =0 lim →?t t q t q ?-?+) 0()0(=0lim →?t (t ?-1).∞=, 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进 一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决. 1 单位脉冲函数的定义 定义1 如果函数)(t δ称满足 )i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii ()1=?∞ ∞ -dt t δ，或者()?=I dt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，则称) (t δ为δ一函数. . 更一般的情况下,如果函数满足 )i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii ()1=-?∞ ∞ -dt a t δ，或者()?=-I dt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间， 则称为)(a t -δ函数. 在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数

单位冲激函数及其响应在信号与系统分析中的应用研究

单位冲激函数及其响应在信号与系统分析中的应用研究 姓名：刘世杰班级：08电子信息工程2 学号：2008374206 【摘要】单位冲激函数及其响应在信号与系统分析中有着广泛的应用，可以令函数的演变来理解单位冲激函数的数学基础。结合我们所学习的知识分析单位冲激函数及其响应在信号与系统分析中的相关应用，将所学习的知识学以致用。 【英文摘要】Units ran full functions and their response on the signal and systems analysis was widely used. the evolution of the unit functions to understand and functions of the mathematical sense. what we study the combination of knowledge and analysis unit functions and their response to stimulate the signal and systematic analysis of the relevant applications, learn in the knowledge. 单位冲激函数的定义方式 狄拉克定义法） (2) >冲激点在、冲激强度为E的冲激信号 定义： 函数有几种不同的定义方式，其中根据广义函数（或称分配函数）来定义的，是严格的数学定义，从某些函数的极限来定义冲激函数。单位冲激函数可视为幅度与脉宽的乘积（矩形面积）为1个单位的矩形脉冲，当趋于零时脉冲幅度趋于无穷大的极限情况。 通过ＲＣ一阶电路夺恒定电流作用下的零状态响应与冲激电流源作用下，ＲＣ一阶电路的响应比较，得出单位冲激响应其实质是零输入响应。 冲激函数常用带箭头的线段来表示。函数只在t=0处有“冲激”，而在t轴上其它各点取值为零。如果矩形面积为1，则在带箭头的线段旁注上(1)，表明冲激强度为单位值。如果在图形上将(E)注于箭头旁，则表示冲激强度为E被单位值的函数。 当激励为单位冲激函数时，电路的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应 单位冲激信号：是指在t!=0的时候，信号量恒为0，在t=0的时候，信号量为无穷大，但是信号在时间上的积分为1. 很明显，单位冲激信号，是一种理想化的模型。引入这个模型，可以使我们在分析某系问题的时候，变得相当的简单。比如说，信号的取样。用f（t）表示取样信号，用u（t）表示单位冲激信号。那么对f（t）*u（t）进行积分，就得到f（t）在0点的信号，对f（t）*u（t-x）（x表示常量）积分，就得到f（t）在x点的信号。 冲激响应的一般求法： （1）简单电路，列出微分方程，直接求冲激响应。注意电感电流和电容电流会产生跳变。 （2）最普遍的一种方法，利用三要素法先求出阶跃响应，再对时间求导的冲激响 应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应 h(t)=ds(t)/d(t) 其中，h(t)为冲激响应，s(t)为阶跃响应。 冲激响应表示的系统特征 （1）级联系统的冲激响应

单位冲激函数的妙用(图

单位冲激函数的妙用（图） 上一回说到，单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁，因此在工程技术尤其是IT领域的信号分析中有十分重要的妙用。 比如有许多不满足绝对可积条件的信号，应用单位冲激函数就可以求出其傅立叶变换，“化验”出信号包含的频率成分。 我们已经知道单位冲激信号的频谱密度函数是常数1，则根据傅里叶变换的对称性，有常数（直流信号）f（t）＝1的傅里叶变换（频谱密度函数）为 （1）可见单位冲激函数δ（t）与常数1构成一个傅里叶变换对： （2）推而广之，再根据傅里叶变换的频移性质，可知指数函数的频谱为频域的冲激函数 （3）再根据欧拉公式，可导出正弦函数的傅里叶变换（频谱）为离散频谱： （4） （5）

一般地，对于周期函数（傅立叶级数展开式的指数形式） （6）利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为 （7）综上所述，周期函数的傅里叶变换（频谱密度函数），是位于周期函数各次谐波频率nω1处的频域冲激函数串，频率间隔是周期函数的基频ω1，冲激强度等于相应的傅立叶系数C n 的2π倍。 可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。通过引入冲激函数的概念，把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数，则周期函数的离散频谱都可以用冲激函数串方便地表示。 例：有脉幅为E、脉宽为τ、周期为T的周期矩形脉冲信号f T（t），如下图所示： 图1 周期矩形脉冲的时域波形 求其离散频谱。我们知道通过傅立叶级数的方法，求出其傅立叶系数为

（8）其中ω1＝2π/T为基频。由式（7）可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为 （9）其离散频谱图如下图所示： 图2 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示 单位冲激函数还有更大的妙用，且听下回分解。 （作者：周法哲2009-7-16于广东）

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性 质的简单讨论 信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224 有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大. 冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下： 定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ 1 ，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即： ?? ? ?????? ??--??? ??+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1） 冲击信号的波形就如1-1(b)所示. δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击

图 1-2 强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。 也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有 ?? ? ???=∞ →)(lim )(kt Sa k t k πδ （1-2） 对式（1-2）作如下说明： Sa(t)是抽样信号，表达式为 t t t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其 零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。0→t 时，1)(S →t a ，并且有： (a)τ逐渐减小的脉冲函数 (b)冲激信号 图1-1

冲激函数

一冲激函数の定义 在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高の奇异函数。对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。 1 单位冲激函数の普通数学定义 定义有多种方式，其中 定义1设有一函数P(t) 当n趋近于∞时，函数P(t)の宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。 定义2 狄拉克（Dirac）定义 上面两个对单位冲激函数の定义是不符合普通函数の定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定の值，而δ(t)在唯一不等于零の点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数の范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格の定义。 2 单位冲激函数の广义定义 选择一类性能良好の函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值Nの映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为 式中检验函数是连续の，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降の普通函数这类函数の全体构成の检验函数空间称为急降函数

空间，用表示．在上定义の广义函数称为缓增广义函数它の全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好の性质。根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与の作用也赋给相同の值，即若 就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。按照广义函数の理论，冲激函数δ(t)由式 定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数の效果是给它赋值。如将(1)式中の函数看做广义函数，则有： 当n趋近于∞时在（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）区间内有 =，取广义函数错误！未找到引用源。(t)の极限(广义极限)，得 比较以上两式，得 按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如: δ(t)=错误！未找到引用源。高斯钟形函数 δ(t)=错误！未找到引用源。取样函数 δ(t)=错误！未找到引用源。双边指数函数 等等 而对于离散のδ[n]定义很简单: δ[n]=1,(n=0) δ[n]=0,(n错误！未找到引用源。0) 二冲激函数の性质

单位冲激函数(图)

单位冲激函数（图） 上一回说到，单个矩形脉冲的时域波形如下图： 图1 单个矩形脉冲信号 根据傅里叶变换可求出其频谱函数 （1）频谱函数的图像（频域分布曲线）如下图：

图2 单个矩形脉冲的频谱函数 一、特殊的单个矩形脉冲信号 如果我们令单个矩形脉冲信号的脉幅在数值上取 （2）则无论脉宽τ怎样变化，函数图象下面的面积恒等于1，即 （3）如下图所示： 图3 特殊的单个矩形脉冲 这个特殊的单个矩形脉冲信号的数学表达式为 （4）

因而其傅立叶变换由式（1）得 （5）这是一种最大幅值为1的抽样函数，其频域曲线如下图 图4 特殊的单个矩形脉冲的频谱 二、单位冲激函数的定义 对图3和式（4）表示的特殊的单个矩形脉冲，如果我们令脉宽τ趋于0，取极限，则单个矩形脉冲变成在t＝0处持续时间无限小、幅度无限大、面积仍为1的特殊信号（或广义函数）。科学界把这个广义函数叫做单位冲激函数或狄拉克（Dirac）函数。记为 （6）单位冲激函数的图象如下图所示

图5 单位冲激函数的图象 单位冲激函数是一种广义函数，它的幅值为无穷大，图象只能用带箭头的射线表示。但通常不标出其幅值∞，而是只用括号标出其冲激强度（S），即面积。由式（3）和（6）可知其面积（冲激强度）为1，所以称之为“单位”冲激函数。此外，单位冲激函数的自变量不仅仅限于时间t，可以是任何物理量x。 实际上还常用延迟的单位冲激函数，数学表达式如下： （7）其图象为

图6 延迟的单位冲激函数的图象 三、单位冲激函数的性质 根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质： 1、广义积分归一性： （8） 2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。 （9） 3、抽样性质： （10） 更一般地，有 （11） 即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。 4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。