2011水木艾迪基础班微积分1
基础班微积分第1章
预备知识 函数概念 数列极限
1.1 预备知识
1.1.1 实数集的性质
实数连续性的描述: 实数比较公理与确界公理
实数比较公理：R x ∈?，在0,0,0<=>x x x 又且仅有一款成立。
确界公理：任何有界实数集合，必有最小上界和最小下界；但不一定有最大数或最小数。 1.1.2 绝对值
x y =是一种函数表达形式，对任意实数有 x ??
?
??>=
00
x x x x x
x y ，或记为 ??
?≥
x x x x
x y 对任意实数与有： x 0≥a a x a a x ≤≤??≤，并且，若0=a ，
则必有。而 0=x a x a x a x ?≤≥?≥或。
1.1.3 基本不等式
（1）绝对值不等式：有 R y x ∈?,x x x x x x 20,≤+≤≤≤?且 2
2
2
)(y x y x +≤+或
y x y x +≤+22
（2）三角不等式： ，有R y x ∈?,y x y x +≤+ 且 y x y x ?≥? 。
（3）平均值不等式： ，有
R y x ∈?,xy y x ≥+)(2
122
若，则有
00≥≥y x ,xy y x ≥+)(2
1
例如，可证明：
R y x ∈?,)(22222y x y x y x +≤+≤+。
)(222222y x xy y x y x +≤
++=
+
)(22222y x y x y x +≤+≤+
（4）对任意实数,
[2
0π
∈x 有 x x x tan sin ≤≤ (5) 其他不等式: 1) 1
11??>?>>a b a b b a ; 2) ()n a n a a n
,111+>+??≥为正整
数；3）对即有
m n >0>k k
n k
m n m ++<
。 对以上不等式在应用中都应广义化，例如
R y x ∈?,，有 )cos()sin()cos()sin(y x y x y x y x ?++≤??+。
因为均为实数，由不等式（4）即有本题不等式。 )-cos()sin(y x y x 与+又如可证明：R y x ∈?,)(22222y x y x y x +≤+≤+。
因为)(222222y x xy y x y x +≤
++=
+，所以得到
)(22222y x y x y x +≤+≤+
1.1.4 邻域与区间
定义1. 1 邻域 数轴上的点的0x δ邻域是指点集}0,{),(00>
0x 去心邻域 数轴上的点的δ去心邻域是指点集0x },{),(0000>δδ
0x 区间:开区间{}R x b x a x b a ∈<<=,),(。闭区间{}
R x b x a x b a ∈≤≤=,],[。 无穷区间常见形式有
{}R x a x x a ∈>=+∞,),(与 {}R x a x x a ∈≥=+∞,),[，
{}R x x ∈=+∞?∞),(，与{}R x b x x b ∈<=?∞,),(，{}R x b x x a ∈≤=+∞,],(,
1．2 函数
函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特定的依赖关系，有时可以看作变量之间的对应关系。
定义1.2 对实数集X 中的任意，按某一确定的规则，若有唯一确定的实数值x y 与之对应，则称y 是的函数，记为。
x )(x f y =这里，重要的是函数关系，而记号（自变量）与)(?f x y （因变量）是人为取定的。实数集X 应视为使函数关系有意义的全体实数构成的集合，称为)(?f )(?f 的定义域；而对一切由确定的全体实数构成的集合Y ，则称之为)(?f )(?f 的值域。函数关系有时也记为 ，或 。
)(?f R X Y X f ?→,:R X R X f ?→,:
在微积分这门课程里，对一个函数的表达，除了用代数表达式及图表以外，还会有许多重要的表达方式，比如，一个函数关系可以由方程（隐函数）、（含参数）极限、微分方程、积分、级数等手段来表达。 1.2.1 函数的初等性质
掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。 (1) 增减性（单调性）
定义1.3 设函数)(x f y =定义域为，若X X x x ∈?21,，当21x x <时有
)()(21x f x f ≤，则称在上为增函数（非严格），而当)(x f y =X 21x x <时有 )()(21x f x f <，则称在上为严格单调增函数。
)(x f y =X 类似可给出单凋减函数的定义。
判断增减性的初等常用方法是减法，当函数在定义域上取得定号（取值不改变正负号）时，也可用除法判断增减性。当然，用导数研究函数的增减性将是一类重要方法。 (2) 奇偶性
定义1.4 设函数)(x f y =在对称的定义域内满足)()(x f x f =?，则称为偶函数。而当函数在对称的定义域内满足)(x f y =)(x f y =)()(x f x f ?=?时，则称为奇函数。
)(x f y =广义奇偶性（偶对称与奇对称）
若的图形有对称轴)(x f y =a x =，则应有)()(x a f x a f +=?（将x 视为参数）， 令，则有 )()(x a f x g ?=)()()()(x g x a f x a f x g =?=+=?，因此为偶函数。并且有。
)(x g )2()(x a f x f ?=若的图形有对称中心，则应有)(x f y =),(0a )()(x a f x a f +?=?（将x 视为参数）， 令，则有)()(x a f x g ?=)()()()(x g x a f x a f x g ?=??=+=?， 因此为奇函数。并且有)(x g )2()(x a f x f ??=。 以上这种性质称为函数的广义奇偶性或对称性。 )(x f (3) 周期性
定义1.5若存在一个正数T ，使函数)(x f y =在定义域内满足)()(x f T x f =+，则称为周期函数。
这里的正数T 对一个周期函数来说不是唯一的（事实上有无穷多），一般情况下，称其中最小正数称为周期。
)(x f y =(4) 有界性
定义 1.6 设函数在)(x f y =X 上有定义，若存在一个正数使得对任意有
M X x ∈M x f ≤)(，则称函数在)(x f y =X 上有界。
对函数的有界性，后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的。 1.2.2复合函数
函数的常见表达形式包括显函数表达式，隐函数表达式，以及参数表达式。其中核心问题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义1.7 设 ，复合函数关系是指
R U Y X ?,, ，即， ，即Y U f →:)(u f y =U X g →:)(x g u =
这里称为的复合函数。
))((x g f y =x 一般讲，的值域为)(x g u =)(u f y =定义域的一个非空子集，在特定情况下，
的值域恰为的定义域。
)(x g u =)(u f y =例1.1 证明对任意实数),(2
0π∈x ，有x x sin )sin(sin < 。 【证】显然当),(20π∈x 时，有2
10π
<
< 20 1)，dx x I ∫π=20 2 )cos(sin ，则 ( A ). （A）。（B）。（C）211I I <<211I I >>21I I =。（D）. 121>>I I 【解】 当)2 , 0(π ∈x ，，且为增函数，于是 x x 1)sin(sin π 1sin 20 =<∫dx x π 。 又因为x cos 为减函数，则有 dx x I ∫=20 2)cos(sin π 120 1cos I dx x >=>∫π 。因此211I I <<，选(A)。 注：许多考生在考试中的失误，大都属于基础知识的不扎实。 1.2.3 隐函数与反函数 定义1.8 设方程在平面上某邻域0=),(y x F {}δ),,(00y x N 内满足一定的正则条件（参见多元函数的内容），则可以确定函数关系)(x y y =，使得，这时称 为在某邻域0≡))(,(x y x F )(x y y ={}δ),,(00y x N 内由0=),(y x F 确定的的隐函数。 Y X ?平面上点的),(00y x δ邻域{}δ),,(00y x N 系指平面点集： {}{} 022020200> 例如，园的方程在圆周上除去两点012 2 =?+y x 12 2 =+y x ),(01?与之外的 任意点的邻域内均可确定一个单值函数),(01)(x y y =，如在点),( 2 222的某邻域内可以唯一确定函数)(,12 x x y 1，而在点),( 2 222?的某邻域内可以确定函数)(,112 定义1.9 设函数)(x f y =定义域为X ，值域为Y ，若Y y ∈?存在一个函数使得有唯一的点满足，则称)(y g X x ∈)(y g x =)(y g x =为)(x f y =的反函数。 注：（1）在某些场合，常把的反函数记为或， 此时已重新把视为自变量。在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。 )(x f y =)(x f 1 ?)(x g x （2）互为反函数的两个函数曲线关于直线x y =对称。 （3）与其反函数的定义域与值域具有对偶性。即)(x f y =)(x g )(x f y =的定义域必 为的值域，而的值域必为的定义域。 )(x g )(x f y =)(x g （4） 与互为反函数，则有)(x f )(x g x x g f =))((与x x f g =))((。 1.2.4参数表达的函数 定义1.9 若对于参变量的每一个实数值都可由方程 T t ∈T t t y y t x x ∈?? ?==) ()( 唯一确定点与对应，则称该方程为显函数),(y x T t ∈)(x f y =或)(y g x =的参数方程。 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系，只是通过参变量t 在变量y x ,之间建立了某种复合函数关系。即)())((x f x t y y ==，其中)(x t t =是)(t x x =的反函数。 例1．3 建立函数的参数方程。 2 x y =【解】求函数的参数表达式，一般可视变量为参数，此时便有非常简捷的结果 )(x f y =x ，其参数方程可取为 。 X x x f y x x ∈?? ?==)(),(+∞?∞∈???==x x y x x 2 注：对参数方程，如果进一步满足2121t t T t t ≠=∈,),(,,βα时，，则参数方程所确定的曲线不相交，此时称该曲线为简单曲线。显然，简单曲线可以是闭合的，换言之，曲线的起点与终点相重合，简称为闭曲线。 ),(),(2211y x y x ≠例1.4 求函数x e x y 2111?+= )(的定义域。 【解】欲使该函数有意义，自变量必须满足 012>?x e 且，由此得定义域为1?≠x 0 例1.5 设?? ? ??<+?≥+=0)(21 sin 0) (sin )(x x x x x x x f ??，, 求的表 达式。 ? ??≥ 1)(x x x ?)(x f 【解】考虑)(x ?表达式由两段给出，在的表达式中，当时，所含须分为两段，即与，而当时，自然有)(x f 0≥x 10<≤x 1≥x 0 ??? ? ??? ?≤≤?≥+=0 21101 1 1x x x x x x x f sin sin sin )( 例1.6 求函数x x x x y ??+?=10 101010的值域。 【解】直接求该函数的值域不很方便。让我们来考虑其反函数的定义域。 由 1 1011022+?=x x y 可解出 y y x ?+=11102，y y x ?+=1121lg ， 换记号记为 x x y ?+= 1121lg ，求此函数的定义域。应满足011>?+x x ，即 ???>?>+0101x x 或 第二组不等式无解，第一组不等式的解为?? ? 10 1x x 1 用极坐标表达一个函数的常用记号是)0,(), (21≥≤≤=ρ????ρρ 极坐标表达的函数相应曲线上的点与极坐标变量),(y x ρ?,之间的关系为 ，此时又可视为参数方程((21) (sin )()(cos )(??????ρ???ρ≤≤?? ?====y y x x )?为参数) 。 例1.7 建立曲线与)()(2 2 2 >=+?a a y a x 03=x 的极坐标方程。 【解】将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程，经化简可得 )()(02 2 2 >=+?a a y a x )2 2 (,cos 2π ?π ?ρ≤ ≤? =a . 注：事实上，由作图，利用三角函数可立即得到上述结果。 读者可将曲线转化为极坐标方程)0(022 2 >=?+a ay y x )0(,sin 2π??ρ≤≤=a 。 又如的极坐标方程3=x 2 2,cos 3π?π?ρ< 。 例1.8 设为连续函数, )(x f )(x ?为正定偶函数, 则))((x f ?为（ ） 。 (A) 奇函数。(B) 偶函数, 但未必是定号函数。(C) 正定偶函数。 (D) 不定。 【解】答案为(B)。连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数。 例 1.10 考察下列函数的奇偶性 (1) )ln()(12++ =x x x f ;(2) ?? ?????+=21121 )()(x x f x y ,其中为奇函数. )(x f (3) x x x x e e e e x f ???+=)(,(奇) 【解】（1）)()ln()ln()(x f x x x x x f ?=++?=++?=?1122，因此为奇 函数。 )(x f （2）只须考察2 1 121?+= x x g )(的奇偶性。 )()(x g x g x x x x ?=+?=?+=?+=??1 21 212112221121， )(x y 为两个奇函数乘积，必为偶函数。 （3） 显然有)()(x f x f ?=?，因此为奇函数。 )(x f 例1.11设为)(x f ),(∞?∞上的奇函数. 已知),(,)(∞?∞∈?=x a f 1有 )()()(22f x f x f +=+。 (1) 求; )(5f (2) 若为周期函数,且周期)(x f 2=T ,求常数。 a 【解】（1）令 ，3=x )()()(235f f f +=。再令 1?=x ，得到， )()()(211f f f +?= 又因为奇函数，所以)(x f a f f 2122==)()(，a f f f 3213=+=)()()(，于是 .)(a a a f 5235=+= （2）若为周期函数,且周期)(x f 2=T ,则)1()3(f f =，则0, 3==a a a 。 例1.12 若的图形有对称轴)(x f y =a x =和)(,b a b x <=, 证明)(x f y =为周期函数。 【证】由 的图形有对称轴)(x f y =a x =和b x =，则应有 )()(x a f x a f +=?， （将x 视为参数） 令t x a =?，则有 )()(t a f t f ?=2，另外又有 )()(x b f x b f +=?，同理可有 )()(t b f t f ?=2，于是得到)()(t a f t b f ?=?22，由此令u t a =?2可得到 ))(()(a b u f u f ?+=2，或记为))(()(a b x f x f ?+=2，注意到， 02>?)(a b 所以为周期函数，且周期为)(x f y =)(a b T ?=2。 例1.13 设 的定义域为,则函数)(x f ]1,0[)4 1 ()41(?++x f x f 的定义域是( ) (A) 。 (B) ]1,0[]45,41[? 。 (C) ]41,41[?。 (D) ]4 3 ,41[。 【解】 答案 (D )。用变量置换法，分别考察 4 1 ()41(?+x f x f 和的定义域， 求出两个函数的定义域的交集。 例1.14 2 arctan x y +=π 的反函数是( ). (A) )23 ,2( ),tan(2πππ∈?=x x y (B))2,2(,2tan ππ∈=x x y (C) )23,2(,2tan 2ππ∈=x x y (D) )2 ,2(,tan 21 ππ∈=x x y 【解】 答案 (A )。由2 arctan x y +=π解出)tan(2π?=y x , 调换x 和y 的位置, 变成)tan(2π?=x y ，由对偶性，定义域即为2 arctan x y +=π的值域：)23 ,2(ππ。 例1.15 设, 则（ ）。 ?????>+≤=0 ,0 ,)(22x x x x x x f (A) (B) ?????>+?≤?=?0,)(0,)(22x x x x x x f ?????≥?<+?=?0,0 ,)()(2 2x x x x x x f (C) (D) ?????>?≤=?0,0,)(22x x x x x x f ?????≥ ,0 ,)(22x x x x x x f 【解】 答案 D 。 令x u ?=, 当0 0>u x x u u u f x f ?=+==?22)()( 例1.16 设是单调增函数, 且 R R f →:R v u k ∈?>?,,0，满足v u k v f u f ?≤?)()( 证明： 是单调增函数. ()()kx x f x F +=【证】()()()()() ()F x x F x f x x k x x f x kx +Δ?=+Δ++Δ?+ ()()()()()F x f x x f x k x Δ=+Δ?+Δ， ()()()f x x f x F x k x x +Δ?Δ=+ΔΔ; 由x k x f x x f Δ≤?Δ+)()(得到 k x x f x x f ≤Δ?Δ+) ()(， 于是 0) ()()(≥+Δ?Δ+=ΔΔk x x f x x f x x F 所以是单调增函数。 )(x F 1.2.6 初等函数 基本初等函数包括以下六类： （1）常数函数 c y = （2）幂函数 ，幂函数的定义域与时常数α x y =α有关。 （3）指数函数 ，为实常数。 ),(10≠>=a a a y x a 自然指数函数 x e y =（4）对数函数 ),(log 10≠>=a a x y a ，a 为实常数。 自然对数函数 x y ln =（5）三角函数 x x x x x x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin =（6）反三角函数 x x x y arctan ,arccos ,arcsin =对以上六类基本初等函数，应熟练掌握他们的定义域与值域，初等性质与相应的曲线。 由以上六类基本初等函数，经有限次四则运算或复合运算而生成的函数统称为初等函数。这是微积分课程中重要的研究对象，当然，有时也会涉及到某些非初等函数，包括某些分段函数（分段函数未必都是非初等函数，如2x x y = =可以表达为分段函数，但它又 是初等函数）。 1．3 数列的极限概念 1.3.1 定义与概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学好函数极限的基础，而极限概念方法与分析问题的思想，又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础。 定义1.11 对数列，若存在某个常数}{n x A ，使当无限变大时， n 可以任意小，即 0>?ε，0>?N 与常数A ，使当时有 N n >A x n ?ε 。 A x n n =∞ →lim 特别，若在上述的常数，则称是当趋于无穷大时的无穷小量。 0=A }{n x n 而当上述定义中的A 不存在时，称当趋于无穷大时的极限不存在，或发散。 }{n x n 注：（1）极限等式不同与一般等式，首先是极限存在， A x n n =∞ →lim 其次才是等于A 。 （2）当极限存在时，中满足不等式A x n n =∞ →lim }{n x ε 穷多项，不满足n x ε n 足够大时无穷多项的情况，而前端有限项对极限的存在性无关大局。 定义1.12 对数列，若当无限变大时，}{n x n n x 也无限变大，即 0>?G ， 0>?N ，使当时有N n >G x n >，则称是当趋于无穷大时的 }{n x n 无穷大量。记为 ∞=∞ →n n x lim 。 特别，当在某一项之后（）取正值无限变大时，则称是当 n x N x N n >}{n x n 趋于无穷大时的正无穷大量，记为 +∞=∞ →n n x lim 。 此时的描述为，，使当时有。 0>?G 0>?N N n >G x n >而当在某一项之后（）取负值且n x N x N n >n x 无限变大时，则称是当 }{n x n 趋于无穷大时的负无穷大量，记为 ?∞=∞ →n n x lim 。 此时的描述为，，使当时有0>?G 0>?N N n >G x n ?<。 例 1.17 数列211n x n n )(?+=为无穷大量，21n x n +=为正无穷大量，2 1n x n ?=为负 无穷大量。数列2 21π n n x n sin += 不为无穷大量，也不收敛。 定义1.13 对数列，按下标由小到大取出一列数， 并将数列{中相应的项构成一个新的数列}{n x n L L ,,,,k n n n 21}n x },,{L 21=k x k n ，称这一新的数列为的子列。 }{k n x }{n x 定义1.14 对数列，若存在的子列，使得 }{n x }{n x }{k n x ∞=∞ →k n k x lim ，则称当趋于无穷大时无界。此时可描述为：}{n x n 0>?G ，0>?N ，使（某个）满足n x G x N >。 1．3．2 数列极限的性质 （1） 运算性质 （1）若 ，为实常数，则A x n n =∞ →lim c cA cx n n =∞ →lim （存在）。 （2）若 ，A x n n =∞ →lim B y n n =∞ →lim ，则)(lim n n n y x ±∞ →存在，且 B A y x n n n ±=±∞ →)(lim 。 （3）若 ，A x n n =∞ →lim B y n n =∞ →lim ，则AB y x n n n =?∞ →lim （存在）。 （4）若 ，A x n n =∞ →lim 00≠=≠∞ →B y y n n n lim , ，则B A y x n n n =∞ →lim （存在）。 （5）若 ，则 0≠∞=∞ →n n n x x , lim 01 =∞ →n n x lim 。 注：（1）只从极限存在的角度来看，上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条件时，结论不一定不成立。 （2）利用上述运算性质可以计算某些极限，无穷大量作为极限不存在的一种特例，往往不可进行直接运算，遇到无穷大量时，应设法将无穷大量转化为无穷小量，而无穷小量的运算较为方便。 （2）解析性质 数列极限具有一些重要的解析性质，了解这些性质，对处理极限以及后续内容的学习会有很大帮助。 性质1 极限的保序性（保号性） 若有极限，且，则当足够大时必然有，换言之：一定 }{n x 0>=∞ →A x n n lim n 0>n x 0>?N ，使当时有 。又若N n >0>n x 0<=∞ →A x n n lim ，则当足够大时必然有， 换言之：一定，使当时有 n 0 证：由 ，则0>=∞ →A x n n lim 0>?ε，0>?N ，使当时有 N n >εε+<= A ε，则232A x A n <<，于是有02 >>A x n 。 性质1推论 若有极限，且，使当时有，则。 }{n x 0>?N N n >0>n x 0≥=∞ →A x n n lim 【证】用反证法，假设 0<=∞ →A x n n lim ，则由保序性可知：一定0>?N ，使当时 有 。与题设条件矛盾，于是只能是 N n >0 →A x n n lim 。 由性质1可进一步推论，即有下述应用结果：（这一结论常称之为极限的比较性质。） 若 与都存在，且A x n n =∞ →lim B y n n =∞ →lim B A >，则0>?N ，使当 N n >时必有 。（证明方法：只要令n n y x >n n n y x a ?=，即可完成证明。） 性质2 唯一性 若有极限，则极限唯一，即若 }{n x A x n n =∞ →lim ，又B x n n =∞ →lim ，则只能是B A =。 性质3 有界性 若有极限，则有界（}{n x }{n x ∞→n ）。这种有界性可描述为：若极限 存在，则一定 及 某个，使当时有 A x n n =∞ →lim 0>?M 0>N N n >M x n <。 【证】由 存在，则A x n n =∞ →lim 0>?ε，0>?N ，使当时有 N n > εε+<=ε，则 ，取{}01,1max >+?=A A M ， 11+<M x n <。 注：掌握了序列极限的保序性概念，便不难理解函数极限的保序性概念，与此相关的知识点还有：由一点处导数正负号导致的函数局部性质，积分的保序性概念与比较性质，函数（一元与多元）的局部极值，梯度与散度概念导致的函数局部性质，等等。 1．3.3 数列极限的存在准则 （1） 单调有界准则 定理 3.1 设为单调增序列，若有上界，即存在常数}{n x R M ∈ 及 某个，使当 时有 ，则存在。或：单调减有下界，也必有极限。 0>N N n >M x n →lim 利用单调有界准则，可以证明下列重要极限 e n n n =????? ? ++∞→11lim （2）夹逼准则 定理3.2 若 存在，且n n a ∞ →lim A b n n ==∞ →lim 0>?N ，使当时有 ，则 序列 有极限，且。 N n >n n n b c a ≤≤{}n c A c n n =∞ →lim 做为无穷小量的运算，下述命题常用来处理极限的存在及求解问题 例1.18 设序列{有界，}n x ,lim 0=∞ →n n y 则极限 存在，且。 n n n y x ∞ →lim 0=∞ →n n n y x lim 【证】序列{有界，则存在与, 使当时, }n x 1N ?0>M 1N n >M x n <。 由 则,lim 0=∞ →n n y 0>?ε存在, 使当时, 2N ?2N n >M y n ε <， 取，则当时, {21N N N ,max =}N n >εε=? y x n n ， 即。 0=∞ →n n n y x lim 1.3.4 无穷大量的比阶 定义3.5 设与均为无穷大量n x n y )(∞→n ，),,(L 210=≠n y n ，若满足 μ=∞ →n n n y x lim 则（1）当0≠μ时，称与为同阶无穷大量n x n y )(∞→n ，特别1=μ时，称与为 n x n y 等价无穷大量。 )(∞→n （2）当0=μ时，称是比低阶的无穷大量n x n y )(∞→n ，同时称是比高阶的无 穷大量。 n y n x )(∞→n （3）当∞=μ时，称是比高阶的无穷大量n x n y )(∞→n ，同时称是比低阶的无 穷大量。 n y n x )(∞→n 例 1.19 设 ，21=a 61+=+n n a a ，),2,1(L =n ，证明 存在， 并求出此极限值。 n n a ∞ →lim 【证】 由归纳法，显然{单调增加，再考虑有界性。 }n a 3622<+=a ，假设，则3 所以存在，记3n n a ∞ →lim 61+= +n n a a ， 由极限的唯一性，对61+= +n n a a 取极限得到 6+= A A ，，21?=A 32=A 。 再由极限保序性，得到，因此0≥A 3lim 2==∞ →A a n n 。 例1.20 设，求极限0>a ( ) n n n n a a a 12lim ++∞ →。 【解】 需对参数分情况讨论。 a 当时，10≤ )() n n n n n a a a a a 112131?≤++<=， 运用夹逼准则得到 ( ) 1lim 12=++∞ →n n n n a a a 。 当时，1>a ()()() n n n n n n n a a a a a a 1212122 3?<++<=， 由夹逼准则即得( ) 212lim a a a a n n n n =++∞ →。 注：前面用到了下列已知极限（可用极限定义证明）1=∞ →n n a lim 。 其中a 为任意正的常数。另外还可证明极限1=∞ →n n n lim 。 例1.21 (1) )0(,1lim >=∞ →a a n n , (2) 1lim =∞ →n n n . 【解】(1) 用定义证明 )0(,1lim >=∞ →a a n n : 先设 , 10<?n n a a 11, 0, ()εε?≥? ?≥1ln ln 1 1a n a n () ε?≥ ?1ln ln a n . 因此， ()11ln ln ,0+? ? ? ????=?>?εεa N , ε≤?≤≥?n a N n 10,. 当时, 1≥a εε≤?=?>?11, 0n n a a , ()εε+≤? +≤1ln ln 1 1a n a n () ε+≥ ?1ln ln a n . 因此， ()11ln ln ,0+? ? ????+=?>?εεa N , ε≤?≤≥?10,n a N n . （2） 用夹逼准则证明极限 1lim =∞ →n n n 。 设 10?= n n x ()n n n n x n x n +=?+=?11 ()()2 22 1211n n n x n n x n n x n n ?>+?+ +=?L 120?< lim ≥≥?∞ →∞→n n n x n 1lim 0lim =?=?∞→∞→n n n n n x . 例1.22 若,)(lim 0=?∞ →n n n y x 且存在 使当时有,N N n >n n n y a x <<， 则（ ）。 n n a ∞ →lim (A) 存在且等于零. (B) 存在但不一定等于零. (C)一定存在. (D)不一定存在. 【解】0)(lim =?∞ →n n n y x 的条件不足以保证与的存在，应选（D）。 n n x ∞ →lim n n y ∞ →lim [注] 事实上，夹逼准则要求除了与的存在的条件以外，还有。 n n x ∞ →lim n n y ∞ →lim n n x ∞ →lim n n y ∞ →=lim 例1.23 求极限∑=∞ →+n k n k n k 12lim 。 【解】记n n n n n k n k a n k n ++++++=+= ∑=2 21 222211L ，显然有 n n n n n a n n n n n 212112112 2+=+?<<+?+)()( 两边取极限，由夹逼准则得到 21 lim 12=+∑=∞→n k n k n k 。 例1.24 设常数0>λ且常数，证明极限 1>a 0=∞→n n a n λ lim 。 【证】这一极限证明方法较多，以下采用单调有界准则证明该极限存在。 然后用极限的唯一性求此极限。记 n n a n x λ=，则 n n n x n n a a n x ???????+?=+=++λ λ1111 1)(，因此 111<=+∞ →a x x n n n lim ，由极限的保序性则存 0>?N ，使当时有 N n >11<+n n x x ， 或，即当时，n n x x <+1N n >{}n x 为单调减序列，另外，显然有，故有下界。 0>n x 因此序列{有极限，记}n x A a n x n n n n ==∞→∞→λ lim lim ，再由极限的唯一性可得到 A a A n n a a n A n n n ?=????? ? ?+?=+=∞→+∞→11111λ λlim )(lim ，或01 1=?A a (，由， 1>a 01 1≠?a ，于是得到 0==∞→n n a n A λlim 。 例1.25 设，证明0>a 0!lim =∞→n a n n 。 【证】记 !n a x n n =，则 n n x n a x ?+=+1 1。 （1）设，则当时必有1>a a n >+1n n x x <+1， 即序列{从第项开始单调减少，且，即有下界， }n x ][a 0>n x 于是极限存在，对A x n n =∞ →lim n n x n a x ?+= +1 1, 令∞→n ， 则得到，因此。