线性代数练习题及答案
线性代数期中练习 一、单项选择题。 1．
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是( )。
(A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ ）时，有B ＝C 。
(A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵
3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =33
32
31232221
131211
，则=---------33
32
31
232221
13
1211222222222a a a a a a a a a （ ）
。 (A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M
4．齐次线性方程组123123123
00ax x x x ax x x x x ++=??
++=??++=?有非零解，则a 应满足（ ）。
(A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =．
5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b = 的通解是（ ）。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+
+ (B) 11212121
()()2c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121
()()2
c c αββββ+-++ 二．填空题。
6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T = 。
7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | =
。
| ( AB )-1 |=
。
8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ?
??中，已知1
-B 、1-C 存在，而O 是零矩阵，则 =-1A 。
9．设D =
7
345
3
27254321111
-,则=+++44434241A A A A 。
10．设矩阵A=123235471?? ?
- ? ???
，则A 的秩R(A)= 。
三．计算题（要求写清计算过程）
11. 设111111111A ?? ?=- ? ?-??，123124051B ?? ?
=-- ? ???
，求32AB A -。
12．计算行列式 12
12
12123
x n x n D x
n x
=。
13．解齐次线性方程组123412341
234 5 0 2303 8 0
x x x x x x x x x x x x -+-=??
+-+=??-++=?。
14．解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -???? ? ?
=-= ? ? ? ?---????
。
15．a 取何值时，线性方程组12312312
311
x x x a ax x x x x ax ++=??
++=??++=?有解, 并求其解。
四．证明题（每题5分，共10分）
16. 设向量组321,,ααα线性无关，证明以下向量组线性无关： 112βαα=+ ，322ααβ+=，313βαα=+。
17．设n 阶矩阵A 满足224A A I O --=.证明：A 可逆并求1-A 。
线性代数参考答案
一、单项选择题。 1．
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是( C )。
(A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ B ）时，有B ＝C 。
(A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵
3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =33
32
31232221
131211
，则=---------33
32
31
232221
13
1211222222222a a a a a a a a a （ D ）
。 (A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M
4．齐次线性方程组123123123
00ax x x x ax x x x x ++=??
++=??++=?有非零解，则a 应满足（ D ）。
(A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =．
5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b =的通解是（ A ）。
(A) 11212121()()2c c αααββ+-++ (B) 11212121
()()2
c c αααββ+++-
(C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121
()()2
c c αββββ+-++ 二．填空题。
6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T =
28 。
7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | = -3750 。
| ( AB )-1 |=
-1/6
。(答对其中一空给2分)
8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ?
??中，已知1
-B 、1-C 存在，而O 是零矩阵，则 =-1
A 11
B O O
C --??
?
??
。 9．设D =
7
345
3
27254321111
-,则=+++44434241A A A A 0 。
10．设矩阵A=123235471?? ?
- ? ???
，则A 的秩R(A)= 2 。
三．计算题（要求写清计算过程）
11. 设111111111A ?? ?=- ? ?-??，123124051B ?? ?
=-- ? ???，求32AB A -。
解：1111230152433111124015181110516270AB ?????? ??? ?
=---=- ??? ? ??? ?-??????
0152422232015182226270222AB A ???? ? ?
-=--- ? ? ? ?-????
=21322217204292-?? ?-- ? ?-??
。 12．计算行列式 12
12
12123
x n x n D
x
n x
=。
解：1
(1)122
121
(1)21
2
2121
(1)
22123
1
(1)232
x n n n x n x n n x n x n D x
n x n n x n
x
x n n x
++++==+++
+
112
12
1
[(1)]1
22
12
3n x n x n n x
n x
=++ 1
1
2
010
01
[(1)]012
02
1
1
n x x n n x x n
-=++--
=1
[(1)](1)(2)
()2
x n n x x x n ++---。
13．解齐次线性方程组123412341
234 5 0 2303 8 0
x x x x x x x x x x x x -+-=??
+-+=??-++=?
解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换
115111233181A --?? ?=- ? ?-??31012701220000??
? ?
?→- ? ? ? ???
得出原方程组的同解方程组
134234
3 02
7 20
2
x x x x x x ?
++=???
?-+=??
设314212,,,x c x c c c ==为任意常数.得到方程组的全部解为
1234121237
(,,,)(,,1,0)(1,2,0,1),,22
=-+--T T T x x x x c c c c 为任意常数。
14．解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -???? ? ?
=-= ? ? ? ?---????
。
解：由AX B X +=得()I A X B -=。
因为0I A -≠所以1()X I A B -=-。
1
111002/31/3()10112/31/310201/31/3I A ---????
? ?
-=-=- ? ? ? ?-????
因而1
02/31/311()12/31/32001/31/353X I A B --???? ???=-=- ??? ???--????=312011-?? ? ? ?-??
15．a 取何值时，线性方程组12312312311
x x x a
ax x x x x ax ++=??
++=??++=?有解, 并求其解。
解：2111111()11101111110011a a A b a a a a a a a ????
? ?
=→--- ? ? ? ?--????
当1231()(|)3,1,2,1;a r A r A b x x a x ≠===-=+=-时，有唯一解：
当1a =时，
1111(|)00000000A b ??
?
→ ? ???即原方程组与下面方程
1231x x x =--同解,其中23,x x 是自由变量. 23(,)(0,0)T T x x 取得到一个特解为(1,0,0).T
原方程组的导出组与方程123x x x =--同解.
23(,)(1,0),(0,1)T T T x x 分别取得到一个基础解系为: