材料力学第五版部分重点课后题答案

[习题习题习题习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 330233110,,3/()3/(/)llNfdxFklFkFlFxFxldxFxl=====∫∫1有3 [习题习题习题习题2-3] 石砌桥墩的墩身高ml10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kNF1000=，材料的密度3/35.2mkg=ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： gAlFGFNρ??=+?=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN?=××××+×??= 墩身底面积：)(14.9)114.323(22mA=×+×= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPakPamkNAN34.071.33914.9942.31042?≈?=?==σ [习题习题习题习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： )()(xEAFdxld=? ，∫∫==?llxAdxEFdxxEAFl00)()( lxrrrr=??121，22112112dxlddrxlrrr+?=+??=，
2211222)(udxlddxA?=??????+?=ππ，dxldddudxlddd2)22(12112?==+? duddldx122?=，)()(22)(221212ududdlduuddlxAdx???=??=ππ 因此， )()(2)()(202100ududdEFlxAdxEFdxxEAFllll∫∫∫??===?π lldxlddddEFluddEFl011221021221)(21)(2????????????+??=???????=ππ ?????????????+??=21221)(2111221ddllddddEFlπ ????????=122122)(2ddddEFlπ214dEdFlπ= [习题习题习题习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E，试求C与D两点间的距离改变量CD?。 解：EAFEAFνννεε?=?=?=/' 式中，δδδaaaA4)()(22=??+=，故：δνεEaF4'?= δνεEaFaa4'?==?， δνEFaaa4'?=?=? δνEFaa4'?=，aaaCD12145)()(243232=+=
'12145)'()'(243232''aaaDC=+= δνδνEFEFaaCDDCCD4003.1412145)(12145)('''??=??=?=?=? [习题习题习题习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量GPaE210=，已知ml1=，221100mmAA==，23150mmA=，kNF20=。试求C点的水平位移和铅垂位移。 2-11图 解：（1）求各杆的轴力 以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以 0=∑X，045cos3=oN，03=N 由对称性可知，0=?CH，)(10205.05.021kNFNN=×=== （2）求C点的水平位移与铅垂位移。 A点的铅垂位移：mmmmmmNmmNEAlNl476.0100/21000010001000022111=××==? B点的铅垂位移： mmmmmmNmmNEAlNl476.0100/21000010001000022222=××==? 1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到 C点的水平位移：)(476.045tan1mmloBHAHCH=??=?=?=? C点的铅垂位移：)(476.01mmlC=?=? [习题习题习题习题2-12] 图示实
心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅

垂向下的力kNF35=。已知杆AB和AC的直径分别为mmd121=和mmd152=，钢的弹性模量受力图 变形协调图
GPaE210=。试求A点在铅垂方向的位移。 解：（1）求AB、AC杆的轴力 以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出： 0=∑X：045sin30sin=?oABoACNN ABACNN2=………………………(a) 0=∑Y：03545cos30cos=?+oABoACNN 7023=+ABACNN………………(b) (a) (b)联立解得： kNNNAB117.181==；kNNNAC621.252== （2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移 222211212221EAlNEAlNFA+=? )(122221121EAlNEAlNFA+=? 式中，)(141445sin/10001mmlo==；)(160030sin/8002mmlo== 2211131214.325.0mmA=××=；2221771514.325.0mmA=××= 故：)(366.1)177210000160025621113210000141418117(35000122mmA=××+××=? [习题习题习题习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径mmd1=的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPaE210=， 钢丝的自重不计。试求： （1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C点下降的距离?； （3）荷载F的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力 )(7350035.0210000MPaE=×==εσ （2）求钢丝在C点下降的距离? )(72100002000735mmElEANll=×=?==?σ。其中，AC和BC各mm5.3。 996512207.05.10031000cos==α
o7867339.4)5.10031000arccos(==α )(7.837867339.4tan1000mmo==? （3）求荷载F的值 以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得： 0=∑Y：0sin2=?PaN ασsin2sin2AaNP== )(239.96787.4sin114.325.0735202N=×××××= [习题习题习题习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求： （1） 端点A的水平和铅垂位移。 （2） 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解：（1） 30323311031231111711961222,3/()3/(/)cos450sin4500.450.15060,401,0,60100.153.87210101210401llNNNNNNNfdxFklFkFlFxFxldxFxlFFFFFFFFKNFKNFKNFllEAFllEA?=====?=??+?+=???×+×=?∴=?=?=?××?===××××?==∫∫1有3由胡克定理，796x2y2100.154.762101012104.762320.23AlAll?×=×××?=?=?=?×+?×=↓从而得，，（） （2） y1122y+020.33VFAFlFlAε=×??×?×?=?=↓（） [习题习题习题习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角θ的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆
内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：

（1）两杆的夹角；
（2）两杆横截面面积的比值。 解：（1）求轴力 取节点B为研究对象，由其平衡条件得： ∑=0Y 0sin=?FNABθ θsinFNAB= ∑=0X 0cos=??BCABNNθ θθθθcotcossincosFFNNABBC=?=?= 2-17 （2）求工作应力 θσsinABABABABAFAN== BCBCBCBCAFANθσcot== （3）求杆系的总重量 )(BCBCABABlAlAVW+=?=γγ 。γ是重力密度（简称重度，单位：3/mkN）。 )cos(lAlABCAB+=θγ )cos1(BCABAAl+?=θγ （4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： ][sinσθσ===ABABABABAFAN，θσsin][FAAB= ][cotσθσ===BCBCBCBCAFAN， ][cotσθFABC= 条件⑵：W的总重量为最小。 )cos1(BCABAAlW+?=θγ)cos1(BCABAAl+?=θγ )][cotcos1sin][(σθθθσγFFl+??=)sincoscossin1(][θθθθσγ+=Fl []????????+=θθθσγcossincos12Fl[]????????+=θθσγ2sincos122Fl
从W的表达式可知，W是θ角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。 []02sin22cos)cos1(2sinsincos2222=?????????+???=θθθθθθσγθFlddW 022cos22cos32sin2=??+??θθθ 02cos2cos32sin22=???θθθ 12cos3?=θ ，3333.02cos?=θ o47.109)3333.0arccos(2=?=θ，'445474.54oo==θ （5）求两杆横截面面积的比值 θσsin][FAAB=，][cotσθFABC= θθθσθθσcos1cotsin1][cotsin][===FFAABCAB 因为： 12cos3?=θ，311cos22?=?θ，31cos2=θ 31cos=θ，3cos1=θ 所以： 3=BCABAA [习题习题习题习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa170][=σ，试选择AC和CD的角钢型号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知， )(220↑==kNRRBA （2）求AC杆和CD杆的轴力 以A节点为研究对象，由其平 衡条件得： 0=∑Y 2-18 0cos=?αACANR
)(667.3665/3220sinkNRNAAC===α 以C节点为研究对象，由其平衡条件得： 0=∑X 0cos=?αACCDNN )(333.2935/45/3220coskNNNACCD=×==α （3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆： 222569.2186.2156/170366667][cmmmmmNNNAACAC===≥σ 选用2∟780×（面积272.2186.102cm=×）。 CD杆： 222255.17488.1725/170293333][cmmmmmNNNACDCD===≥σ 选用2∟675×（面积2594.17797.82cm=×）。 [习题习题习题习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa170][=σ，材料的弹性模量GPaE210=，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A
处的铅垂位移D?、C?、A?。 解：（1）求各杆的轴力 )(24030042.3kNNAB=×= )(6030048.0kNNCD=×= 0=∑FM

02.1605.13003=×?×?×GHN 2-19 )(174)72450(31kNNGH=+= 0=∑Y 030060174=??+EFN
)(186kNNEF= （2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆： 22212.14765.1411/170240000][cmmmmmNNNAABAB===≥σ 选用2∟55690××（面积2424.14212.72cm=×）。 CD杆： 222529.3941.352/17060000][cmmmmmNNNACDCD===≥σ 选用2∟32540××（面积278.389.12cm=×）。 EF杆： 222412.10118.1094/170186000][cmmmmmNNNAEFEF===≥σ 选用2∟54570××（面积2218.11609.52cm=×）。 GH杆： 222353.10529.1023/170174000][cmmmmmNNNAGHGH===≥σ 选用2∟54570××（面积2218.11609.52cm=×）。 （3）求点D、C、A处的铅垂位移D?、C?、A? )(7.2694.24.14422100003400240000mmEAlNlABABABAB≈=××==? )(907.0378210000120060000mmEAlNlCDCDCDCD=××==? )(580.18.11212100002000186000mmEAlNlEFEFEFEF=××==? )(477.18.11212100002000174000mmEAlNlGHGHGHGH=××==? EG杆的变形协调图如图所示。 38.1=???GHEFGHDlll
38.1477.1580.1477.1=???D )(54.1mmD=? )(45.2907.054.1mmlCDDC=+=+?=? )(7.2mmlABA==? [习题习题习题习题2-21] （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为mmd251=和mmd182=，钢的许用应力MPa170][=σ，弹性模量GPaE210=。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形ACl?、BDl?及A、B两点的竖向位移A?、B?。 解：（1）校核钢杆的强度 ① 求轴力 )(667.661005.43kNNAC=×= )(333.331005.45.1kNNBC=×= ② 计算工作应力 222514.325.066667mmNANACACAC××==σ MPa882.135= 221814.325.033333mmNANBDBDBD××==σ 2-21 MPa057.131= ③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即][σσ≤AC；][σσ≤BD，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。 （2）计算ACl?、BDl? )(618.1625.490210000250066667mmEAlNlACACACAC=××==? )(560.134.254210000250033333mmEAlNlBDBDBDBD=××==? （3）计算A、B两点的竖向位移A?、B?
)(618.1mmlACA=?=?，)(560.1mmlBDB=?=? [习题习题习题习题3-2] 实心圆轴的直径mmd100=，长ml1=，其两端所受外力偶矩mkNMe?=14，材料的切变模量GPaG80=。试求： （1）最大切应力及两端面间的相对转角； （2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向； （3）C点处的切应变。 解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 pepWMWT==maxτ。 式中，)(19634910014159.3161161333mmdWp=××==π。 3-2 故：MPammmmNWMpe302.71196349101436max=?×==τ pGIlT?=?，式中，)(981746910014159.3321321444mmdIp=××==π。故
： opradmmNmmNGIlT02.1)(0178254.010*******/108011400041229==××××?=?=?? （2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向 MPaBA302.71max===τττ， 由

横截面上切应力分布规律可知： MPaBC66.35302.715.021=×==ττ， A、B、C三点的切应力方向如图所示。 （3）计算C点处的切应变 34310446.0104575.4108066.35??×≈×=×==MPaMPaGCCτγ [习题习题习题习题3-3] 空心钢轴的外径mmD100=，内径mmd50=。已知间距为ml7.2=的两横截面的相对扭转角o8.1=?，材料的切变模量GPaG80=。试求： （1）轴内的最大切应力； （2）当轴以min/80rn=的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力 )(9203877)5.01(10014159.3321)1(32144444mmDIp=?×××=?=απ。 )(184078)5.01(10014159.3161)1(16134343mmDWp=?×××=?=απ 式中，Dd/=α。
pGIlT?=?， mmmmmmNlGITp27009203877/80000180/14159.38.142×××==? mmN?=45.8563014)(563.8mkN?= MPammmmNWTp518.4618407845.85630143max=?==τ （2）当轴以min/80rn=的速度旋转时，轴所传递的功率 )(563.880549.9549.9mkNNnNMTkke?=×=== )(74.71549.9/80563.8kWNk=×= [习题习题习题习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力MPa40][=τ，试求： （1）AB轴的直径； （2）绞车所能吊起的最大重量。 解：（1）计算AB轴的直径 AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等： )(08.04.02.0mkNMMee?=×==右左 )(16.02mkNMMee?==右主动轮 扭矩图如图所示。 3-5 由AB轴的强度条件得： ][163maxτπτ≤==dMWMepe右右 mmmmNmmNMde7.21/4014159.38000016][16323=×?×=≥τπ右 （2）计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等： 35.02.0从动轮主动轮eeMM=，)(28.016.020.035.0mkNMe?=×=从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得： 从动轮eMP=×25.0，28.025.0=×P)(12.125.0/28.0kNP==
[习题习题习题习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径mmD60=，内径mmd50=，功率kWP355.7=，转速min/180rn=，钻杆入土深度ml40=，钻杆材料的GMPaG80=，许用切应力MPa40][=τ。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m； （2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m )(390.0180355.7549.9549.9mkNnNMke?=×== 设钻杆轴为x轴，则：0=∑xM，eMml=， )/(00975.040390.0mkNlMme=== （2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 ①作钻杆扭矩图 xxmxxT00975.04039.0)(?=?=?=。]40,0[∈x 0)0(=T； )(390.0)40(mkNMTe??== 扭矩图如图所示。 ②强度校核
，peWM=maxτ 式中，)(21958])6050(1[6014159.3161)1(16134343mmDWp=?×××=?=απ MPammmmNWMpe761.17219583900003max=?==τ 因为MPa761.17max=τ，MPa40][=τ，即][maxττ≤，所

以轴的强度足够，不会发生破坏。 （3）计算两端截面的相对扭转角 ∫=400)(pGIdxxT? 式中，)(658752])6050(1[6014159.3321)1(32144444mmDIp=?×××=?=απ 400240041226400]2[10658752/108000975.000975.01|)(|xmmkNxdxGIGIdxxTpp∫∫?×××===? 05.8)(148.0≈=rad
[习题习题习题习题3-8] 直径mmd50=的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶mkNMe?=6，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知mmAAs31==?∩，圆杆材料的弹性模量GPaE210=，试求泊松比ν（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、ν间存在如下关系：)1(2ν+=EG。 解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：mkNMTe?==6。设1,OO两截面之间的相对对转角为?，则2ds?=??，ds??=2?，dsGIlTP?=?=2? 式 中，)(6135925014159.3321321444mmdIp=××==π 3-8 GPaMPammmmmmmmmmNsIdlTGp4874.81372.8148736135922501000106246==××××?×=???= 由)1(2ν+=EG得：289.014874.81221012=?×=?=GEν [习题习题习题习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且8.00=Dd。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（][maxττ=），扭矩T相等时的重量比和刚度比。 解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。 pWT=maxτ 式中，)1(16143απ?=DWp，故： ][1.27)8.01(16343max,τππτ==?=DTDT空 ][1.273τπTD= 3-10 （1）求实心圆轴的最大切应力
pWT=maxτ，式中，3161dWpπ= ，故：][161633max,τππτ===dTdT实 ][163τπTd=，69375.116][][1.27)(3=?=TTdDτπτπ，192.1=dD （3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比 512.0192.136.0)(36.0)8.01()(25.0)(25.022222202=×==?=?????=dDdDldldDWWγπγπ实空 （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 44401845.0)8.01(321DDIpππ=?=空，4403125.0321ddIpππ==实 192.1192.15904.0)(5904.003125.001845.04444=×===dDdDGIGIppππ实空 [习题习题习题习题3-11] 全长为l，两端面直径分别为21,dd的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩eM ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。 解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为： PeGIdxMd=? 式中，4321dIpπ= lxrrrr=??121 22112112dxlddrxlrrr+?=+??= 1122dxlddrd+?== 441124)(udxlddd=+?= dxldddu12?=，duddldx12?= 故：∫∫∫∫∫?=??====lelelelpelpeududdGlMduddluGMddxGMIdxGMGIdxM0412********)(3213232πππ?
leleledxlddddGlMuddGlMududdGlM0311212031204121)(332]31[)(32)
(32????????????????????+???=??=?=∫πππ =????????++=???????????=????????????32312221213231323121313212332)(33211)(332ddddddGlMddddddGlMddddGlMeeeπππ [习题习题习题习题3-12] 已知实心圆轴的转速min/300

rn=，传递的功率kWp330=，轴材料的许用切应力MPa60][=τ，切变模量GPaG80=。若要求在2m长度的相对扭转角不超过o1，试求该轴的直径。 解：1801π?×≤=?=pePGIlMGIlT 式中，)(504.10300330549.9549.9mkNnNMke?=×==；4321dIpπ=。故： GlMIepπ180≥，GlMdeππ1803214≥? mmmmNmmmmNGlMde292.111/8000014.3200010504.101803218032422642=××?×××=×≥π 取mmd3.111=。 [[[[习题习题习题习题3333----16161616]]]] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。 解：GddxxmdGdxxmGIdxxTdVp42242221632122)(ππε=??== plGIlmGdlmGdlmdxxGdmV6321631616324324320242=?===∫πππε 3-16 [[[[习题习题习题习题3333----18181818]]]] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径mmd10=，材料的许用切应力MPa500][=τ，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求： （1）弹簧的许可切应力；
（2）证明弹簧的伸长))((162221214RRRRGdFn++=?。 解：（1）求弹簧的许可应力 用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上： 剪力FQ=扭矩FRT= 最大扭矩：2maxFRT= ][)41(16164232322max"'maxτπππτττ≤+=+=+=+=RddFRdFRdFWTAQp， NmmmmmmmmNmmRdRdF3.957)1004101(10016/5001014.3)41(16][][233223=×+×××=+=τπ 因为102010/200/>==dD，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时NmmmmNmmRdRdF25.98110016/5001014.3)41(16][][233223=×××=+=τπ （2）证明弹簧的伸长))((162221214RRRRGdFn++=? 外力功：?=FW21 ， pGIdRTdU2)(2α?= ααπααπππdnRRRGIFdRGIFGIdRFRUnpnpnp32012122032202]2[222)()(∫∫∫??+==?= 12414224RRRRGInFp???=π UW=，1241422421RRRRGInFFp???=?π ))((1622122214124142RRRRdGnFRRRRGInFp++=???=?πππ
[[[[习题习题习题习题3333----19191919]]]] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶mkNMe?=3。已知材料的切变模量GPaG80=，试求： （1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向； （2） 横截面短边中点处的切应力； （3） 杆的单位长度扭转角。 解解解解：：：：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向 ， ， ， 由表得， ， 长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 （2）计算横截面短边中点处的切应力 MPa 短边中点处的切应力，在前面由上往上 （3）求单位长度的转角
单位长度的转角 [[[[习题习题习题习题3333----22223333] ] ] ] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1） 最大切应力之比； （2） 相

对扭转角之比。 解：（1）求最大切应力之比
开口：teIMδτ=开口max, 303032231δπδπrrIt=××= 依题意：ar420=π，故： 330303432231δδπδπarrIt==××= 23max,4343δδδδτaMaMIMeete===开口 闭口：δδτ20max,22aMAMee==闭口，δδδττ2324322max,max,aMaaMee=?=闭口开口 （3） 求相对扭转角之比 开口：330303432231δδπδπarrIt==××=，3'43δ?GaMGIMGITetet===开口 闭口：δδδδ?342020'4444GaMGaaMGAsMGATseee=?===闭口 2233''4343δδδ??aMGaGaMee=?=闭口开口 4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a（5）=h（4） 0001100110002222200022132241111223121140,222233RARBSSqFFaqaqFqaaqaaMqaqaqaFMqaaqaaqa????==×==?×==?×××===×?×××= b（5）=f（4）
4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图 a（5）=a（4） b（5）=b（4） f（5）=f（4）
4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题） （e） （f） （h） 4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
4-4 （b） 4-5 （b） 4-5．根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。 4-6．已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。 4-6（a） 4-7（a） 4-7．根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。 4-8用叠加法做梁的弯矩图。
4-8（b） 4-8（c） 4-9．选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。 4-9（b） 4-9（c）
4-10
4-14．长度l=2m的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。 x=0.4615m 4-18
4-19M=30KN 4-21 4-23
4-25 4-28
4-29
4-33
4-36
4-35 5-2

5-3

5-7
5-15
5-22
5-23 选22a工字钢 5-24
6-4 6/((233))AlFlEA?=+
6-12

7-3-55mpa。。。。-55mpa 7-4[习题习题习题习题7-3] 一拉杆由两段沿nm?面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于060~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3，且
这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问α角的值应取多大？ 解：AFx=σ；0=yσ；0=xτ
ατασσσσσα2sin2cos22xyxyx??++= ][22cos12cos22σαασα≤+=+=AFAFAF ][22cos1σα≤+AF，][cos2σα≤AF ασ2cos][AF≤，ασ2max,cos][AFN= ατασστα2cos2sin2xyx+

?= ][43][2sin2στατα=≤=AF，ασ2sin][5.1AF≤，ασ2sin][5.1max,AFT= α（0） 0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60 NFmax,（A][σ） 1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000 TFmax,（A][σ） 47.754 4.386 2.334 1.732 1.562 1.523 1.523 1.732 最大荷载随角度变化曲线0.0001.0002.0003.0004.0005.0000102030405060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,TFmax,NFmax,T 由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当060=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为： AF][732.1maxσ= 7-6[习题习题习题习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m72.0的截面上，在顶面以下mm40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。
解：（1）求计算点的正应力与切应力 MPammmmmmNbhMyIMyz55.1016080401072.010********=××?×××===σ MPammmmmmNbIQSzz88.0801608012160)4080(10104333*?=×××××××?==τ （2）写出坐标面应力 X（10.55，-0.88） Y（0，0.88） (3) 作应力圆求最大与最小主应力， 并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按 比例尺量得： MPa66.101=σ MPa06.03?=σ 0075.4=α 7-7[习题习题习题习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值； （3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 [习题习题习题习题7-8（（（（a））））] 解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）060=α。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为cm1代表MPa10。按比例尺量得斜面的应力为： MPa250120?=σ， MPa260120=τ；MPa201=σ，MPa403?=σ；000=α。
[习题习题习题习题7-8（（（（b））））] 解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）030=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm1代表MPa10。按比例尺量得斜面的应力为： MPa26060?=σ ，MPa15060=τ；MPa301=σ，MPa303?=σ； 0045?=α。 [习题习题习题习题7-8（（（（c））））] 解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）030=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为： MPa50060?=σ ，0060=τ；MPa502?=σ，MPa503?=σ。 单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图 单元体图 应力圆（
O.Mohr圆） 主单元体图 单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图 2σ 3σ1σ3σ
[习题习题习题习题7-8（（（（d））））] 解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）00=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为： MPa40045

=σ ，10045=τ；MPa411=σ,MPa02=σ，MPa613?=σ；'003539=α。 [习题习题习题习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角α值。 平面应力状态下的两斜面应力 应力圆 解：两斜面上的坐标面应力为： A（38，28），B（114，-48） 由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C 点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（0,x） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程： 2222)480()114()280()38(++?=?+?xx 解以上方程得：86=x。即圆心坐标为C（86，0） 应力圆的半径： 570.55)280()3886(22=?+?=r 单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图
主应力为： MParx57.14157.55861=+=+=σ MParx43.3057.55862=?=?=σ 03=σ （2）主方向角 （上斜面A与中间主应力平面之间的夹角） （上斜面A与最大主应力平面之间的夹角） （3）两截面间夹角： [习题习题习题习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题习题习题习题7-15（（（（a））））] 解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0） 由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 轴得圆心C（50，0） 应力圆半径： 单元体图 应力圆
[习题习题习题习题7-15（（（（b））））] 解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40） 由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0） 应力圆半径： [习题习题习题习题7-15（（（（c））））] 解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50） 单元体图 应力圆
由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得 [习题习题习题习题7-19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 ，如图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 方向的线应变为 。已知材料的弹性常数 ， ，试求扭转力偶矩 。 解： 方向如图 单元体图 应力圆
[[[[习题习题习题习题7777----22220000]]]] 在受集中力偶eM作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿045方向的线应变为045ε。已知
材料的弹性常数ν,E和梁的横截面及长度尺寸ldahb,,,,。试求集中力偶矩eM。 解：支座反力： lMReA= （↑）；lMReB= （↓） K截面的弯矩与剪力： laMaRMeAk==；lMRQeAk== K点的正应力与切应力： 0=σ；AlMAQek235.1=?=τ 故坐标面应力为：X（τ，0），Y（0，-τ） AlMexyxyz

234)(212221==+?++=ττσσσσσ 02=σ AlMexyxyz234)(212223?=?=+??+=ττσσσσσ
∞=??=yxxσστα22tan0 0045=α （最大正应力1σ的方向与x正向的夹角），故 )(1311450νσσεε?==E )1(23)]23(23[(1045ννε+=??=EAlMAlMAlMEeee 004545)1(32)1(32εννε+=+=EbhlEAlMe [[[[习题习题习题习题7777----22222222]]]] 已知图示单元体材料的弹性常数GPaE200=，3.0=ν。试求该单元体的形状改变能密度。 解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0） 在XY面内，求出最大与最小应力： 22max4)(212xyxyzτσσσσσ+?++= )(721.94)40(4)3070(212307022maxMPa=?×+?++=σ 22min4)(212xyxyzτσσσσσ+??+= )(279.5)40(4)3070(212307022maxMPa=?×+??+=σ 故，)(721.941MPa=σ，MPa502=σ，)(279.53MPa=σ。 单元体的形状改变能密度： ])()()[(61213232221σσσσσσν?+?+?+=Evd ])721.94279.5()279.550()50721.94[(1020063.012223?+?+?××+=3/99979.1201299979.0mmkNMPa?== [[[[习题习题习题习题7777----22225]5]5]5] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为MPa170][=σ，MPa100][=τ 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强
度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按'a点的位置计算。 解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。 支座反力：)(710)840550550(21kNRRBA=×++== （↑） = 434331004.2)(2040746670800230121840240121mmmIz?×≈=××?××= （1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘 )(87044021355047102maxmkNM?=××?×?×= MPammmNIyMz1791004.210420108704333maxmaxmax=×××?×==??σ 超过 的5.3%，在工程上是允许的。 （2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度 超过 的3.53%，在工程上是允许的。 [习题习题习题习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩eM共同作用，且FdMe101=。今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变5301033.140?×=ε。已知杆直径mmd10=，材料的弹性常数GPaE200=，3.0=ν。试求荷载F和eM。若其许用应力MPa160][=σ，试按第四强度理论校核杆的强度。 解：计算F和eM的大小： eM在k点处产生的切应力为： 2333max5810161616dFFdddMdTWTePππππττ?=??=
?==== F在k点处产生的正应力为：
24dFAFπσ== 即：X（24dFπ，258dFπ?），Y （0，258dFπ） 广义虎克定律： )(1000603030?+=νσσεE ατασσσσσα2sin2cos22xyxyx??++= )(10967.135)3415(60sin5860cos223202022300MPaFdFdFdFdF?×=+=++=ππππσ （F以N为单位，d以mm为单位，下同。） FdFdFdFdF32020226010228.15)345()12

0sin(58)120cos(220??×?=?=?+?+=ππππσ ]10228.13.010967.13[1020011033.143335FF???××?××=× ])228.13.0967.13(102001033.1432×?×=×?F F52107993.61033.14??×=× kNNF108.2570.2107== mNmmNmmNFdMe?=?=××==108.22108102108101101 按第四强度理论校核杆件的强度： )(741.101014.352108858222MPammNdFx?=×××?=?=πτ )(854.261014.3210844222MPammNdFx=××==πσ ()2214212xyxyxτσσσσσ+?++= ())(622.30)741.10(4854.26212854.26221MPa=?×++=σ 02=σ ())(768.3)741.10(4854.26212854.26223MPa?=?×+?=σ ])()()[(21213232221σσσσσσ?+?+?
])622.30768.3()768.30()0622.30[(21222??+++?= MPaMPa160][)(669.32=<=σ 符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。 [习题习题习题习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知ml8.0=，kNF5.21=，kNF0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，zW，yW由14号工字钢，查型钢表得到3102cmWz=，31.16cmWy=。故 MPaPammNmmN1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max=×=×××+×××××=??σ [[[[习题习题习题习题8888----2]2]2]2] 受集度为 q的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPaE10=；梁的尺寸为ml4=，mmh160=，mmb120=；许用应力MPa12][=σ；许用挠度150/][lw=。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos0mkNqqy=×== （正y方向↓） )/(15.0230sin0mkNqqz=×== （负z方向←） )(464.34732.1818122mkNlqMyzmaz?=××== 出现在跨中截面 )(241818122mkNlqMzymaz?=××== 出现在跨中截面 )(5120001601206161322mmbhWz=××== )(3840001201606161322mmhbWy=××== 最大拉应力出现在左下角点上： yyzzWMWMmaxmaxmax+=σ MPammmmNmmmmN974.1138400010251200010464.33636max=?×+?×=σ 因为 MPa974.11max=σ，MPa12][=σ，即：][maxσσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核
= mwm0267.0150/4][0202.0==<=。即符合刚度条件，亦即刚度安全。 [习题习题习题习题8-10] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高m4，已知墙背承受的土压力kNF137=，并且与铅垂线成夹角07.45=α，浆砌石的密度为33/1035.2mkg×，其他尺寸如图所示。试取m1长的墙体作为
计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许用压应力][cσ为MPa5.3，许用拉应力为MPa14.0，试作强度校核。 解：沿墙长方向取m1作为计算单元。分块计算砌 体的重量： kNmkNmP272.55/8.935.2)416.0(331=××××= kNmkNmP696.73/8.935.2)146.121(332=×××××= 竖向力分量为： 0217.45cosFPPFv++= )(651.2247.45cos137696.7327

2.550kN=++= 各力对AB截面形心之矩为： AB之中点离A点为：m1.1，1P的偏心距为)(8.03.01.11me=?= 2P的偏心距为)(0333.01.1)36.16.0(2me=?+= yF的偏心距为)(729.01.1)2.68cos12.2(03me=?×?= xF的力臂为)(15.05.14me=?= 432211ePePePePMxy+??= 17.45sin137729.07.45cos1370333.0696.738.0272.5500×+×?×?×= )(061.70mkN?= 砌体墙为压弯构件
MPakPammkNmkNWMAFzvA189.0966.1882.2161061.7012.2651.224322?=?=××??×?=??=σ MPakPammkNmkNWMAFzvB0153.0262.152.2161061.7012.2651.224322?=?=××?+×?=+?=σ 因为 ][||cAσσ<，][||cBσσ<，所以砌体强度足够。 [习题习题习题习题8-11] 试确定图示各截面的截面核心边界。 [习题习题习题习题8-11（（（（a））））] 解：惯性矩与惯性半径的计算 )(10996152.254014.364180080012141043mmIIzy×=××?××== )(41109454014.34180080022mmA=××?×= )(102882406.741109410996152.2241022mmAIiiyzy×=×=== 截面核心边界点坐标的计算 中性轴编号 ① ② ③ ④ 中性轴的截距 400 ∞ -400 ∞ ∞ -400 ∞ 400 对应的核心边界上的点 1 2 3 4 核心边界上点 yzyai2?=ρ 72882 -182 0 182 0 截面核心边界点坐标的计算(习题8-13) yaza2zi2yi
的坐标值（m) zyzai2?=ρ 72882 0 182 0 -182 [习题习题习题习题8-11（（（（b））））] 解：计算惯性矩与惯性半径 )(1025.6100501212001001214733mmIy×=××?××= )(105625.1501001211002001214733mmIz×=××?××= )(15000100502001002mmA=×?×= )(4167150001025.6272mmAIiyy=×== )(104215000105625.1272mmAIizz=×== 截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 ① ② ③ ④ 中性轴的截距 50 ∞ -50 ∞ ∞ -100 ∞ 100 对应的核心边界上的点 1 2 3 4 核心边界上点 yzyai2?=ρ 1042 -21 0 21 0 的坐标值（m) zyzai2?=ρ 4167 0 42 0 -42 yaza2zi2yi
[习题习题习题习题8-11（（（（c））））] 解：（1）计算惯性矩与惯性半径 半圆的形心在Z轴上， )(8514.33200434mmRzc=××==π 半圆的面积： )(6280020014.35.05.0222mmRA=××==π 半圆形截面对其底边的惯性矩是812844Rd?=ππ，用平行轴定理得截面对形心轴 cy 的惯性矩：πππππ9882)34(844224RRRRRICy?=??= )(175********.392008820014.3444mm=××?×= )(1028.6820014.384844mmRICz×=×==π )(27886280017506298722mmAIiCyy=== )(10000628001028.6282mmAIiCzz=×== （2）列表计算
截面核心边缘坐标 截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 ① ② ③ ④ 中性轴的截距 100 ∞ -100 ∞ ∞ -85 ∞ 115 对应的核心边界上的点 1 1 2 3 核心边界上点 yzyai2?=ρ 10000 -100 0 100 0 的坐标值（m) zyzai2?=ρ 2788 0 33 0 -24 2zi2yiyaza