黄冈中学2019-2020年高一期末考试数学试题及答案

湖北黄冈中学

2019-2020学年度高一上学期期末考试

数 学 试 题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 450?的值为（） A ．1-

B ．0

C ．12

D ．1

2．已知向量(3,4)(sin ,cos ),αα==a b ，且a b P ，则tan α等于（ B ） A ．3

4-

B ．34

C ．43-

D ．43

3．在ABC ?中，90A ∠=?，(,1),(2,3)

AB k AC ==u u u r u u u r

，则k 的值为（）

A ．5

B ．5-

C ．3

2

D ．3

2-

4．在下列函数中，图象关于直线

3x π=

对称的是（ C ） A ．sin(2)3y x π=- B ．

sin(2)6y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．sin()

26x y π

=+ 5．若

2

{|,}

x x a a ??≤∈≠R ，则a 的取值范围是（ ）

A ．[0,)+∞

B ．(0,)+∞

C ．(,0]-∞

D ．(,0)-∞

6．设2323log 3,log 2,log (log 2)P Q R ===，则（ A ） A ．R Q P <<

B ．P R Q <<

C ．Q R P <<

D ．R P Q <<

7．若2

()2f x x ax =-+与()1a

g x x =

+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．(1,0)(0,1)-U

B ．(1,0)(0,1]-U

C ．(0,1)

D ．(0,1]

8．求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ） A ．4

()f x x

= B ．()tan 2()2

2f x x x π

π

=+ -<<

C ．()cos 1f x x =-

D ．

()|23|

x f x =-

9．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：

表1 市场供给表

表2

（）

A ．(2.3,2.4)内

B ．(2.4,2.6)内

C ．(2.6,2.8)内

D ．(2.8,2.9)内

10．函数

sin()(0,||)

2y x π

ω?ω?=+><

的图象的一部分

如图所示，则ω、?的值分别为（）

A ．

1，3π B ．1，3π

-

C ．2，3π-

D ．2，3π

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．若

2{|0}

A x x x a =+->，且1A ?，则a 的取值范围为 ．

12．若向量,a b 的夹角为150?，|||4=a b ，则|2|+a b 的值为 ．

13．若()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且

1

()()1f x g x x +=

-，则()f x = ．

14．某商店经销某种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么这种商品原来的利润率为 ．（结果用百分数表示）【注：进货价×利润率＝利润】 15．给出下列四个命题：

①对于向量,,a b c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；

②若角的集合

{|,},{|,}244k A k B k k πππ

ααββπ==

+∈==±∈Z Z ，则A B =；

③函数2x

y =的图象与函数2

y x =的图象有且仅有2个公共点； ④将函数()f x -的图象向右平移2个单位，得到(2)f x -+的图象．

其中真命题的序号是 ．（请写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知α是第二象限角，1

tan(270)5α-?=

． （1）求sin α和cos α的值；

（2）求sin(180)cos(360)tan(270)

sin(180)tan(270)ααααα?-?--+?-?--?的值．

17．（本小题满分12分）

已知()2sin(2)1

3f x x π

=-+． （1）求()f x 的单调增区间；

（2）求()f x 图象的对称轴的方程和对称中心的坐标； （3

()f x [,]

ππ

-

18．（本小题满分12分） 在

ABC

?中

，

1,45AC AB BAC =∠=?

，

(1)(0)

BP BA BC λλλ=-+>u u u r u u u r u u u r

，

AP =

．

（1）求BA AC ?u u u r u u u r 的值；

（2）求实数λ的值；

（3）若1,

4BQ BC =u u u r u u u r

AQ 与BP 交于点M ，AM MQ μ=u u u u r u u u u r ，求实数μ的值．

19．（本小题满分12分）

已知定义域为R 的函数()f x 是以2为周期的周期函数，当[0,2]x ∈时，2()(1)f x x =-．

（1）求(2011)f 的值； （2）求()f x 的解析式；

（3）若()()lg g x f x x =-，求函数()g x 的零点的个数．

20．（本小题满分13分）

已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意的x y ∈R 、，都有()()()f x f y f x y +=+；②当0x <时，有()0f x <．

（1）利用奇偶性的定义，判断()f x 的奇偶性； （2）利用单调性的定义，判断()f x 的单调性；

B

C

（3）若关于x 的不等式

(3)(392)0x x x

f k f ?+-->在R 上有解，求实数k 的取值范围．

21．（本小题满分14分） 已知函数

2()(,)

f x x ax b a b =++∈R ，

2()2416

g x x x =--，且|()||()|f x g x ≤对x ∈R 恒成立．

（1）求a 、b 的值；

（2）若对2x >，不等式()(2)15f x m x m ≥+--恒成立，求实数m 的取值范围．

（3）记

1()()42h x f x =-

-，那么当1

2k ≥时，是否存在区间[,]m n （m n <），使得函数()h x 在

区间[,]m n 上的值域恰好为[,]km kn ？若存在，请求出区间[,]m n ；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D 解析：∵sin 450sin(36090)sin901?=?+?=?=，∴选“D ”． 2．B 解析：∵a b P ，∴3cos 4sin αα=，∴3

tan 4α=

，∴选“B ”．

3．D 解析：∵

AB AC

⊥u u u r u u u r

，∴230k +=，得

3

2k =-

，∴选“D ”．

4．C 解析：∵图象关于直线

3x π=对称，∴将3x π=

代入，使得y 达到最大值或最小值，故选“C ”． 5．A 解析：∵2

{|,}

x x a a ??≤∈≠R ，∴

2{|,}x x a a ≤∈≠?

R ，即2

x a ≤有解，∴0a ≥，选“A ”．

6．A 解析：∵2323log 31,log 2(0,1),log (log 2)0P Q R =>=∈=<，∴选“A ”．

7．D 解析：()f x 图象的对称轴为x a =．∵()f x 与()g x 在区间[1,2]上都是减函数，∴01a <≤． 故选“D ”．

8．B 解析：∵二分法只适用于求“变号零点”，∴选“B ”．

9．C 解析：通过两张表格寻找“上升趋势”与“下降趋势”的交汇点，知选“C ”．

10．D 解析：∵最小正周期为74()123T πππ=-=，∴2ππ

ω=，得2ω=，∴sin(2)y x ?=+．∵点7(

,1)12π-在图象上，∴7sin(2)1

12π

??+=-，得72,62k k ππ?π+=-∈Z ，得

523k π?π=-．又∵

||2π

?<

，∴令1k =，得

3π

?=

．故选“D ”．

11．【2a ≥】 解析：∵1A ?，∴2

110a +-≤，得2a ≥．

12．【2】 解析：∵222

222|2|(2)444||4||||cos150||4

+=+=++=+?+=g a b a b a a b b a a b b ，

∴|2|2+=a b ．

13．【2

1x x -】 解析：∵1()()1f x g x x +=-，∴1()()1f x g x x -+-=--，即1

()()1f x g x x -+=-

+，两式联立，消去()g x 得

2

()1x

f x x =-．

14．【17%】 解析：设原来的进货价为a 元，原来的利润率为x ，则6.4%93.6%(8%)ax a a x +?=??+，得17%x =．

15．【②④】 解析：对于①，∵当向量b 为零向量时，不能推出a ∥c ，∴①为假命题； 对于②，∵集合A 与B 都是终边落在象限的角平分线上的角的集合，∴A B =，②为真命题；

对于③，∵(2,4)和(4,16)都是函数2x y =的图象与函数2

y x =的图象的交点，且它们的图在

第二象限显然有一个交点，∴函数2x y =的图象与函数2y x =的图象至少有3个交点，∴③

为假命题；

对于④，∵(2)[(2)]f x f x -+=--，∴④为真命题． 综上所述，选择②④．

16．解析：（1）∵1tan(270)5α-?=，∴11tan 5α-=，得tan 5α=-．∴22

2

tan 25sin 261tan ααα==+，

2211

cos 261tan αα=

=

+．∵α

是第二象限角，∴

sin αα==． （2

）原式

cos α=-．

17．解析：（1）由2222

3

2

k x k π

π

π

ππ

-

+≤-

≤

+得()f x 的单调增区间为

5[,]()

1212k k k ππ

ππ-+∈Z ．

（2）由2()32x k k π

π

π-

=+

∈Z 得5()212k x k ππ

=

+∈Z ，即为()f x 图象的对称轴方程．

由2,3x k k ππ-=∈Z 得26k x ππ=+．故()f x 图象的对称中心为(,1)()

26k k ππ+∈Z ．

（3

()2sin(2)1

3f x x π

=-+

故()f x 在区间[,]

22-

18．解析：（1

）||||cos1351

BA AC BA AC ?=???=u u u r u u u r u u u r u u u r

．

（2）∵

(1)BP BA BC

λλ=-+u u u r u u u r u u u r ，∴

()

BP BA BC BA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即AP AC λ=u u u r u u u r ，

又∵0λ>，∴

||12||AP AC λ==u u u r

u u u

r ． （3）设,AB AC ==u u u r u u u r b c ．∵AM MQ μ=u u u u r u u u u r ，∴(1)AQ MQ μ=+u u u r u u u u r ，∴11(11MQ AQ AB μμ==+

++u u u u r u u u r u u u r 111131

)()[()]14144(1)4(1)BQ AB BC AB AC AB μμμμ=+=+-=+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b c

．∵BM BQ QM =+=u u u u r u u u r u u u u r 1444(1)4(1)BC MQ μμμμ+-=-+++u u u r u u u u r b c ，1122BP BA AP AB AC =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b c ，且BM u u u u r ∥BP u u u r ，∴41(1)

4(1)24(1)

μμ

μμ+-

?=?-++，得4μ=．

19．解析：（1）(2011)(1)0f f ==．

（2）对于任意的x ∈R ，必存在一个k ∈Z ，使得(2,22]x k k ∈+，则2(0,2]x k -∈，

2

()(2)(21)f x f x k x k =-=--．故()f x 的解析式为2

()(21),(2,22]()f x x k x k k k =--∈+∈Z ．

（3）由()0g x =得()lg f x x =．作出()y f x =与lg y x =的图象，知它们的图象在(0,10]上有10个交点，∴方程()0g x =有10个解，∴函数()g x 的零点的个数为10．

20．解析：（1）令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f +=，得(0)0f =．将“y ”用“x -”代替，得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．

（2）设1x 、2x ∈R ，且12x x <，则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-．

∵12x x <，∴120x x -<，∴12()0f x x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在R 上是增函数．

B

C

P

Q

M

（3）方法1 由(3)(392)x x x

f k f ?>-++得3392x

x

x

k ?>-++，即

2

313x x k >+

-对x ∈R 有解．∵

30x >，∴由对勾函数2y t t =+

在(0,)+∞上的图象知

当3x ，

即log x =时，

min 2

(31)1

3x x +-=

，故1,)k ∈+∞．

方法 2 由(3)(392)x x x f k f ?>-++得3392x x x k ?>-++，即

23(1)320x x k -++<对x ∈R 有解．令3(0)x t t =>，则2

(1)20t k t -++<对0t >有解．

记2()(1)2g t t k t =-++，则10,2(0)20,k g +?

≥?

?

?

?=+-?>?，

解得1k >．

21．解析：（1）由()0g x =得4x =或2x =-．于是，当4x =或2x =-时，得

|164|0,|42|0,

a b a b ++≤??

-+≤?

∴

1640,420,

a b a b ++=??

-+=?∴2,8.a b =-??=-?此时，22|()||()||28|2|28|f x g x x x x x ≤?--≤--，对x ∈R 恒成

立，满足条件．故2,8a b =-=-．

（2）∵()(2)15f x m x m ≥+--对2x >恒成立，∴247

1x x m x -+≤

-对2x >恒成立．

记2247[(1)1]4(1)34()(1)2

111x x x x x x x x x ?-+-+--+===-+----．∵2x >，∴11x ->，∴由对

勾函数

4

y t t =+

在(1,)+∞上的图象知当2t =，即3x =时，min ()2x ?=，∴2m ≤． （3）∵2111()(1)222h x x =--+≤，∴1[,](,]2km kn ?-∞，∴12kn ≤，又∵1

2k ≥

，∴112n k ≤≤，

∴[,](,1]m n ?-∞，∴()h x 在[,]m n 上是单调增函数，∴(),

(),h m km h n kn =??

=?即2

21,21,2m m km n n kn ?-+=????-+=??即0,22,0,22.m m k n n k ==-??==-?或或∵m n <，且12k ≥，故：当1

12k ≤<时，[,][0,22]m n k =-；当1k >时，

[,][22,0]m n k =-；当1k =时，[,]m n 不存在．