数列专题精讲
数列专题精讲
例1、数列{}n a 满足()212
1
,111≥+=
=-n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式. 聚焦解题策略：可由递推关系式构造新数列，按新数列的定义写出通项公式.
解：)2(2
1
212111-=-?+=
--n n n n a a a a .令121,2-=-=n n n n b b a b 则，
又1211-=-=a b ，所以{}n b 是以1-为首项，2
1
为公比的等比数列.
1
21-?
?
?
??-=∴n n b ，于是1
212--
=n n a .
评析引申：本题解法甚多，一般形式：()
是常数B A B Aa a n n ,1+=-，可用迭代的方法、数
学归纳法、消去常数法项等，如消去常数项法为：
12
1
,121211+=+=
---n n n n a a a a ，两式相减，得()21121----=-n n n n a a a a .
由此递推，得.21 (21212121121)
11
2
1=-??
?
??=-???? ??=?
?
?
???=------a a a a a a n n n n n n n
上述1-n 个等式相加，得1
1
2122
11211211---=?-??????????? ??-=-n n n n a a a .
例2、有固定项的数列{}n a 的前n 项和n n S n +=22，现在从中抽取某一项（不包括首项和末项）后，余下的项的平均值为79. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）求这个数列的项数，并回答抽取的是第几项.
聚焦解题策略：对于待定的整数（这里的是项数）问题，通常有两个不同的思考角度：一是运用方程思想求解；二是运用不等式“双夹”，下面介绍的就是“双夹”的方法求出项数n .
解：（1）由n n S n +=2
2，得到当3111===S a n 时，； 当1,14,21=-=-=≥-n n S S a n n n n 时时也满足，所以14-=n a n . （2）设抽取的是第k 项()n k <<1，由题意得()179-=-n a S k n ，
所以()
()79782179222+-=--+=n n n n n a k ，又14-=n a n ，04>=d ，数列单调递增.
所以4038147978237978222
1<+-???
?<>n n n n n n a a a a n k k ，因为*∈N n ，所以39=n . 由20147939783922
=?-=+?-?=k k a k .
故数列{}n a 有39项，抽取的是第20项.
例3、若数列{}n a 的前n 项和为n S ，()...3,2,124,211=-==+n a S a n n .
（1）求32,a a ；
（2）求证：数列{}12--n n a a 是常数列； （3）求证：
2
11 (11)
1113221n a a a a a a n n <--++--+--+.
思考与探究：本题的解答关键是如何依靠所给条件2421-=+a S n 进行变形，而（3）的证明其核心是“放缩”的技巧. 解：（1）因为()...3,2,1241=-=-n a S n n 所以,62412=-=a S 所以4122=-=a S a ，同理可得83=a .
（2）证明：因为()...3,2,1241=-=+n a S n n ，所以()2241≥-=-n a S n n ，两式相减得：
,4411-+-=n n n a a a 变形得：()()222422111≥-=-=---+n a a a a a a n n n n n n .
()()()()12243332221122...2222222a a a a a a a a a a n n n n n n n n n -==-=-=-=---------.
因为0212=-a a ，所以()02221221=-=---a a a a n n n ，所以数列{}12--n n a a 是常数列. （3）证明：由（2）可知：()221≥=-n a a n n ，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比
数列，所以n
n a 2=，所以
21
2
12122112121111<--?=--=--++n n n n n n a a ， 所以221...212111...111113221n
a a a a a a n n n =+++<--++--+--+
个
.
例4、等差数列{}n a 的公差2
1
=
d ，前100项之和145100=S ，求99531...a a a a ++++的值.
聚焦解题策略：本题是已知等差数列前100项的和，求其部分项的和，可以有多种思考方法.思考一：由于{}n a 是等差数列，它的奇数项99531...,,a a a a 组成以1a 为首项、d 2为公差的等差数列；思考二：由145...100994321=++++++a a a a a a 分为99531...a a a a ++++和
10042...a a a +++两部分，寻求它们之间的练习；思考三：抓住等差数列的重要性质：若
()
*∈+=+N q p n m q p n m ,,,，
则q p n m a a a a +=+.实质是运用整体思想和方程思想.下面只列出思考二的解法，其他两种解法请自行完成.
解法二：设x a a a a a =+++++9997531...，则d x a a a a 50...100642+=++++，以上两个等式左右两边分别相加，得d x a a a a a 502...10099321+=+++++.即2
1502145?+=x 所以60=x .
例5、设数列{}n a 中的每一项都不为0.
证明：{}n a 为等差数列的充要条件是：对任何*
∈N n ，都有
1
1132211...11++=
+++n n n a a n
a a a a a a .
证明：先证必要性：设数列{}n a 的公差为d ，若0=d ，则所述等式显然成立.
若0≠d ，则
???
? ??-++-+-=++++++11322
3211213221...11...11n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111
132********...11111+++++=-?=???? ??-=?????????? ??-++???? ??-+???? ??-=n n n n n n n a a n
a a a a d a a d a a a a a a d 再证充分性：
证法一：（数学归纳法）设所述的等式对一切*
∈N n 都成立.
首先，在等式3
132212
11a a a a a a =
+， ① 两端同乘321a a a ，即得2312a a a =+，所以321,,a a a 成等差数列. 记公差为d ，则d a a +=12.
假设()d k a a k 11-+=，当1+=k n 时，观察如下二等式 k k k a a k a a a a a a 1132211
1...11-=
+++- ② 1
111322111...11++-=
++++k k k a k a a k
a a a a a a a a k ③ 将②代入③，得
1
11111++=
+-k k k k a a k
a a a a k ，在该式两端同乘以11+k k a a a ，得()kd a a a k k k +=+-++1111
由数学归纳法原理知，对一切*
∈N n ，都有()d n a a n 11-+=，所以{}n a 是公差为d 的等差数列.
证法二：直接证法：依题意有1
1132211...11++=
+++n n n a a n
a a a a a a ， ① 2
12113221111...11+++++=++++n n n n n a a n a a a a a a a a ② ②-①得1
1212111++++-+=n n n n a a n
a a n a a ，在上式两端同乘以211++n n a a a 得
()2111++-+=n n na a n a ，③ 同理可得()111+--=n n a n na a ，④
③-④得()n n n a a n na +=++212，即n n n n a a a a -=-+++112，所以{}n a 是等差数列.
例6、（1）设n 为正整数，在数n
1
和1+n 之间插入n 个正整数，使这2+n 个正数成等比数列，求这n 个正数之积；
（2）在1到n 的n 个自然数中，抽走一个数，余下1-n 个数的平均数是3
40
，求抽走的那个数. 解：（1）设这2+n 个数分别为212,1,,...++n n a a a a ，则
()[]
111
112211,1,1
+++++=???
? ??=+==n n n n n n a a q n a n a
插入的n 个数之积为()()(
)()2
1112
21132......++==n n n n
n q
a q
a q a q a a a a
()[]()()[]2
2211111111n n
n
n n n n
n n n n n n n n ??
? ??+=+??? ??=+??? ??=+?
+.
（2）设抽走的数为a ，则()()()()13
401211340
...21--+=--+++=n n n n n a . 因为n a ≤≤1，解不等式()()n n n n ≤--
+≤13
40
1211，得380375≤≤n ，于是2625==n n 或，由于()13
40
-n 是整数，所以25=n ，被抽走的数
5243
40
262521=?-??=a .
聚焦数学思想：本题是在两个数之间插入一些数或从一列数中抽走一个数的问题，上面提供了一种解法，其实对于插入问题，还有更为简洁的解法：等比数列中，若0>n a ，则首末项的几何平均数即为等比数列的几何平均数，即：()()n
n n a a a a a 1212
11...=，这实质上是等比数列性质的推广，运用这一性质求解本题易如反掌，介绍如下： 由()()n
n n a a a a a 1212
11...=得()2
1132...n n n a a a a a +=. 在等差数列中也有类似的性质：
n
a a a a a n
n +++=+...2211， 若插入n 个正数，使得2+n 个数成等差数列，那么根据上述结论，很容易求得这n 个数之
和为
??
?
??++112n n n .寻求抽走的那个数的关键是先确定数列中原有多少个数，根据抽走的数不大于数列中的最大值，也不小于数列中的最小值，列出不等式解出n ，即可确定抽走的数
是多少，本题给出的这一解法也适用于一般的等差数列.
例7、求数列：()0,...2,...,6,4,21253≠?-n x n x x x n 的前n 项和n S . 聚焦解题策略：本题中数列的通项为1
22-?n x
n ，而数列{}n 2为等差数列，{}
12-n x 为等比数
列，符合错位相减法的特征，但对数列{}
12-n x ，还应该注意公比2x q =是否等于1.即对非零常数列的情况，若无特别先至则一定要考虑到. 解：当1=x 时，()12...642+=++++=n n n S n ； 当1-=x 时，()12...642+-=-----=n n n S n ；
当1±≠x 时，12532...642-?++++=n n x n x x x S ， ①②③④⑤
()12127532222...642+-?+-++++=∴n n n x n x n x x x S x ， ②
①—②：(
)
()
122
21
21
2532
211222...2221++-?---=?-++++=-n n n n n x n x
x x x
n x
x x x S x ， (
)()
2
122
2212112x
x
n x x x S n n
n -?---=
∴+
聚焦数学思想：错位相减法使用于{}n n b a 型的数列，其中{}n a 为等差数列，而{}n b 为等比数列，求其n 项和时可把其前n 项和的两边同时乘以等比数列{}n b 的公比后，再错位相减求
出其前n 项和，应当注意的是：当公比q 为之母参数时，一定要对公比q 进行讨论之后再得出完整的解.
例8、数列{}n a ，()22
1
21,29111≥-==
--n a a a n n n ，令n n a a a b ++++=...121. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n a 有无最大值和最小值？若有，则求出第几项最大或最小，并说明理由.
聚焦解题策略：对于（1），由条件112
1
21---=
n n n a a 得22211-=---n n n n a a ，从而可得数列{}
n n a 2为等差数列，由定义求出n a 的表达式；对于（2），可运用错位相减法求出n b 的通
项，再利用单调性进行讨论分析. 解：（1）112
1
21---=
n n n a a ?22211-=---n n n n a a ， ∴{}n n a 2为等差数列.
()()n n a n n 211212922-=--+?=∴，n
n n
a 2211-=∴，
（2）()n
n n n a a a b ???
??-++??? ???+?+=++++=21211...2172191 (12)
21. ①
()13
2
21211...2172192121+??
?
??-++??? ???+??? ???+=n n n b . ② ①—②：()1
322121121...21212521+???
??--???
???????? ??++??? ??+??? ??-=n n n n b ，
()11
212112
11211412521+-??? ???---??????????? ??-?-=∴n n n n b
()n
n n b ??
?
???-+=∴21728.
又()22921,21528111n
b b n b n
n n n n -???
? ??=-??? ??-+=+++
∴当4≤n 时，n n b b >+1，即前5项单调递增. 当5≥n 时，n n b b <+1，即从第6项起单调递减. ∴5b 最大，又()6≥n b n 时单调递减，8lim =n b
∴6≥n 时8>n b ，而2
11
1=b ，∴1b 最小.
综上，5b 最大，1b 最小
评析引申：对于（2）中求n b 的最大项也可以有如下解法：
设n b 为最大项，则???≥≥+-,,11n n n n b b b b 即：()()()()??
?
??????? ???-+≥??? ???-+??
? ???-+≥??? ???-++-,2152821728,
21928217281
1
n n n n n n n n
解得2
1129≤≤n ，又5,=∴∈*
n N n ，即5b 最大.
例9、裂项相消求和： 求下列数列前n 项和：
（1）
()()
,...32121,...,1171,951,731,511+-????n n （2）1
21253311
...11+-+
++=n n n a a a a a a S ，（其中{}n a 是等差数列且0≠n a ）. 聚焦解题策略：裂项相消法：把数列的通项拆为某两项的差以后，在和式中化简求和，实质
是导致大部分项相互抵消，最好求得n S .
解（1）因为()()??
?
??+--=+-=
3211214132121n n n n a n
所以???
??+--++--++-+-+-=321121121321...9151713151141n n n n S n
()()()321235432112131141+++=
??? ??+-+-+=n n n n n n . （2）设等差数列{}n a 的公差为d .
①若0=d ，则21
2121211...11a n
a a a S n =+++=.
②若0≠d ，则1
21121121121253311212533122112111...1111211121...11211121++++-+-=??=???? ??-=
???
? ??-++-+-=???? ??-++???? ??-+???? ??-=n n n n n n n n a a n a a d nd a a d a a a a a a d a a d a a d a a d S
聚焦数学思想：分类讨论的问题在数列求和中常会遇到，对于等比数列要考虑公比为1与不为1的两种情况，对于等差数列要考虑公差为0与不为0的两种情况. 例10、拆项求和
设正项等比数列{}n a 的首项2
1
1=a ，前n 项和为n S ，且()
01221020103010=++-S S S . （1）求{}n a 的通项； （2）求{}n nS 的前n 项和n T .
聚焦解题策略：（1）注意已知条件和等比性质的灵活运用，（2）把{}n nS 的前n 项和拆成一个等差数列和一个等比数列，然后求和.
解：（1）由()
01221020103010=++-S S S 得()10202030102S S S S -=-. 即()20121130222110......2a a a a a a +++=+++，
()2012112012111010......2a a a a a a q +++=+++?∴
因为0>n a 所以121010=?q ，解得2
1
=q ，
因而,...2,1,2
11
1===-n q a a n n n
（2）因为{}n a 的首项211=a 公比为21=q ，故n n n n n n n nS S 2,21121121121-=-=-?
?
? ??-=，
则数列{}n nS 的前n 项和()??? ??+++-+++=n n n n T 2 (2)
2
21...212.
()()1
1222
112112141221 (2)
1
21...21212+++-?
??
??--+=+??? ??+++-+++=n n n n n n n n n n T
即()22
21211-+++=
-n n n n
n n T . 聚焦数学思想：上述解法把错位相减法和拆项求和法相结合起来，错位相减的目的是构筑出
等比数列，而分拆法的目的的将每项分拆成两项，从而重新构成两个数列，这两个数列可能是等差或者等比数列，以便于转化求和，这类数列分别求和的关键是抓住通项公式n a 的特点将其分析，再将和n S 拆成两个数列分别求和即可|. 例11、与绝对值有关的等差数列求和问题
已知数列{}
n a 的前n 项和,2
205232n n S n +-
=求数列{}n a 的前n 项和n T . 聚焦解题策略：由于n S 是n 的二次函数且常数项为0，故数列{}n a 为等差数列，从而可求
出通项n a ，然后判断哪些项为正，哪些项为负，最好求出n T .
解：,10112
205123211=?+?-
==S a 当2≥n 时，()().1043122051232205232
21+-=??
????-+---??? ??+-=-=-n n n n n S S a n n n
1=n 时也适合上式，()
*∈+-=∴N n n a n 1043
由,01043≥+-=n a n 得7.34≤n ，
即当34≤n 时，n n a a a a a a T n n n 2
20523.....22121+-=+++=+++=. 当35≥n 时，
()()()()
35022
20523220523
342205342322......2............2223421342136353421353421+-=?
?
? ??+--??? ???+?-=-=+++-+++=+++-+++=+++++=n n n n S S a a a a a a a a a a a a a a a a a T n n n n n ()()???????>+-≤+-=∴35,350222052
334,2
2052322n n n n n n T n
聚焦数学思想：与绝对值有关的等差数列求和问题一般应注意两个方面.一是分类讨论思想
的运用，已知n S 求n a 一般都要分2,1≥=n n 两类讨论，并验证1a 与1S 的关系.二是由等差数列通项公式分析值为零的项或符号发生变化的连续两项，其实等差数列的绝对值求和问题可看做两个等差数列的求和问题，分别求和再合成.
高考数学第2讲数列求和及综合问题
第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.
第二讲 整数与数列(下)学而思
(★★★) 计算： 20×20－19×19＋18×18－17×17＋…＋2×2－1×1 (★★★) 计算： 12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102＋112 (★★★★) (22＋42＋62＋...＋1002)－(12＋32＋52＋ (992) ⑴(★★★) 利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列各题，让我们来试试吧。 ⑴98×102 ⑵2×29×3×31
⑵(★★★★)计算： 11×19＋12×18＋13×17＋14×16 (★★★★) 已知：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 求：152＋162＋172＋…＋212 (★★★★) 计算：22＋42＋62＋82＋…＋1002
在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．(★★★)计算：100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1 A ．4950 B ．5050 C ．5051 D ．6050 2．(★★★)计算：22222221234200520062007-+-++-+ A ．2013021 B ．2014024 C ．2015028 D ．2016033 3．(★★★★) 计算：222222(46100)(3599)++???+-++???+ A ．5047 B ．5050 C ．10100 D ．10094 4．(★★★)利用“平方差公式”， 下面计算结果正确的是( ) 6773? A ．4893； B ．4900； C ．4891； D ．4901； 5．(★★★★)计算：1＋4＋9＋16＋…＋1089 A ．12526 B ．12527 C ．12528 D ．12529 6．(★★★★★)计算52＋62＋72＋…＋1002 A ．338280 B ．338320 C ．338350 D ．338380
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．
∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，
（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．
数列求和公开课教案(1)
《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。
数列求和方法和经典例题
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
最全高考复习数列专题及练习答案详解
高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数
列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项 公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1.
2020年高考文科数学二轮复习：专题三 第二讲 数列的综合应用
2020年高考文科数学二轮复习： 专题三 第二讲 数列的综合应用 一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3 ＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2 n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3＝22＝4，故选B. 答案：B 2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23 的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473 >0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝????? 2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1 解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1a n ＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
数列·例题解析
数列·例题解析 【例1】 求出下列各数列的一个通项公式 (1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252 ，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的 通项公式为：．a =2n 12 n n+1- (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+22121()() ． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+()() 112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为124292162252 1，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所 给数列的通项公式为．a =n n 2 2 【例2】 求出下列各数列的一个通项公式．
(1)2，0，2，0，2，… (2)10000，，，，，，，， (131517) (3)7，77，777，7777，77777，… (4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，… 解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1． 所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的 通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ??? (2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然13151711021304150617 67 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2， 02020，，，，，…的每一项的构成为，因此所给数列的通项公式为．1211211211()()-+=-+++n n n a n (3)7777777777777779所给数列，，，，，…可以改写成×，79 7979797979 79797979 79 ×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n (4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写 成×，×，×，×，×，…可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通式公式为．2929292929 2929292929 291110 0.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a =n ()-n
等差数列求和及练习题(整理)
等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）
（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项 及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题）
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
六年级奥数优胜教育第2讲：数列与数表含答案
第二讲数列与数表 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。 例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？ 例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？ A
1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 B 6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? C 11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？ 12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ 15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
(完整版)数列求和经典题型总结
三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =
数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
高中数学《数列求和复习》公开课优秀教案
高中数学《数列求和复习（第一课时）》公开课教案 学习目标：①掌握数列求和的三种方法：公式法、分组求和法及错位相减法； ②能正确运用等差与等比数列求和公式求和； ③能把一般数列转化成特殊数列求和. 教学重点：根据数列通项求数列的前n 项，本节课重点学习分组求和与错位相减法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择和化简 一、复习引入 1、复习公式：等差数列的前n 项和为_______________等比数列的前n 项和为_____________________ 2、练习： （1）求=-++++12531n __________（2）求=++++n 2421 ________ （3）若,0≠a 则=++++n a a a a 32___________________ 二、题型讲解 题型一 公式法 体验高考：2016全国卷Ⅰ文科17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等 差数列，数列}{n b 满足11=b ，3 1 2=b ，n n n n nb b b a =+++11 （1） 求}{n a 的通项公式， （2）求}{n b 的前n 项和 方法小结： 题型二 分组求和 例1 、求和__________)432()434()432(21=?-++?-+?-n n 方法小结： 变式练习：若n n n a 2+=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 题型三 错位相减法 例2 、 若n n n a 2?=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 方法小结： 练习:求和：若n n n a 3)12(?-=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 体验高考（2014全国I 文17）（12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ?? ? ??? 的前n 项和.
第2讲 数列专题
第2讲 数列专题 【知识梳理】 一、等差数列 1.相关概念 按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），…简记为｛a n ｝。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。最后一个数叫末项。 通项公式：数列的第n 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2．等差数列的定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。 3．计算等差数列的相关公式： 通项公式：1 (1)n n d a a =+-（n 为正整数） 前项和公式: 1()2n n a a +（n 为正整数） 4.等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。 一、 求首项、末项 1、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？ （2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？ n
2、（1）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？ （2）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？ 3、如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按 照这个规律，第101层有多少块砖？ 二、求公差 4、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？ （2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？