贝叶斯决策的经典例题练习

一、贝叶斯决策(Bayes decision theory)

【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：0.2，0.5和0.3。方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。

企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.9、0.06和0.04；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.05、0.9和0.05；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.04、0.06和0.9。问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查？

解：

1.验前分析：

记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利

E(d1)=0.2*80+0.5*20+0.3*(-5)=24.5(万元)

E(d2)=40*0.2+7*0.5+1*0.3=11.8(万元)

记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=24.5(万元)

因此验前分析后的决策为：批量生产

E1不作市场调查的期望收益

2.预验分析：

（1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示

由全概率公式

P(H1)=0.9*0.2+0.06*0.5+0.04*0.3=0.232

P(H2)=0.05*0.2+0.9*0.5+0.05*0.3=0.475

P(H3)=0.04*0.2+0.06*0.5+0.9*0.3=0.308

（2）由贝叶斯公式有

P(?1|H1)=0.9*0.2/0.232=0.776

P(?2|H1)=0.06*0.5/0.232=0.129

P(?3|H1)=0.04*0.3/0.232=0.052

P(?1|H2)=0.05*0.2/0.475=0.021

P(?2|H2)=0.9*0.5/0.475=0.947

P(?3|H2)=0.05*0.3/0.475=0.032

P(?1|H3)=0.04*0.2/0.308=0.026

P(?2|H3)=0.06*0.5/0.308=0.097

P(?3|H3)=0.9*0.3/0.308=0.877

（3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值

a)当市场调查结果为畅销时

E(d1|H1)=80* P(?1|H1)+20* P(?2|H1)+(-5)* P(?3|H1)

=80*0.776+20*0.129+(-5)*0.052=64.4(万元)

E(d2|H1)=40* P(?1|H1)+7* P(?2|H1)+1* P(?3|H1)

=40*0.776+7*0.129+1*0.052=31.995(万元)

因此，当市场调查畅销时，最优方案是d1，即批量生产

b)当市场调查结果为中等时

E(d1|H2)=80* P(?1|H2)+20* P(?2|H2)+(-5)* P(?3|H2)=20.46(万元)

E(d2|H2)=40* P(?1|H2)+7* P(?2|H2)+1* P(?3|H2)

=40*0.021+7*0.947+1*0.032=7.501(万元)

所以市场调查为中等时，最优方案是：d1，即批量生产

c)当市场调查结果为滞销时

E(d1|H3)=80* P(?1|H3)+20* P(?2|H3)+(-5)* P(?3|H3)

=80*0.026+20*0.097+(-5)*0.877=-0.365（万元）E(d2|H3)=40* P(?1|H3)+7* P(?2|H3)+1* P(?3|H3)

=40*0.026+7*0.097+1*0.877=2.596（万元）

因此市场调查为滞销时，最优方案是：d2，即出售专利

（4）通过调查，该企业可获得的收益期望值为

E2= E(d1|H1)* P(H1)+ E(d1|H2)* P(H2)+ E(d2|H3)* P(H3)

=64.4*0.232+20.46*0.475+2.596*0.308=25.46（万元）通过调查，该企业收益期望值能增加

E2-E1=25.46-24.5=0.96（万元）

因此，在调查费用不超过0.96万元的情况下，应进行市场调查

3.验后分析

（1）本题中调查费用1000<9600,所以应该进行市场调查

（2）当市场调查结果为畅销时，选择方案1，即批量生产

（3）当市场调查结果为中等时时，选择方案1，即批量生产

（4）当市场调查结果为滞销时，选择方案2，即出售专利

贝叶斯决策模型与实例分析报告

贝叶斯决策模型及实例分析 一、贝叶斯决策的概念 贝叶斯决策，是先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准则来确定最优方案的决策方法。 风险型决策是根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率（称为先验概率），然后采用期望效用最大等准则来确定最优决策方案。这种决策方法具有较大的风险，因为根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率没有经过试验验证。为了降低决策风险，可通过科学试验（如市场调查、统计分析等）等方法获得更多关于自然状态发生概率的信息，以进一步确定或修正自然状态发生的概率；然后在利用期望效用最大等准则来确定最优决策方案，这种先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准则来确定最优方案的决策方法称为贝叶斯决策方法。 二、贝叶斯决策模型的定义 贝叶斯决策应具有如下容 贝叶斯决策模型中的组成部分： ) ( ,θ θP S A a及 ∈ ∈。概率分布S P∈ θ θ) (表示决策 者在观察试验结果前对自然θ发生可能的估计。这一概率称为先验分布。 一个可能的试验集合E，E e∈，无情报试验e0通常包括在集合E之。 一个试验结果Z取决于试验e的选择以Z0表示的结果只能是无情报试验e0的结果。 概率分布P(Z/e,θ)，Z z∈表示在自然状态θ的条件下，进行e试验后发生z结果

的概率。这一概率分布称为似然分布。 c 以及定义在后果集合C的效用函数u(e,Z,a,θ)。 一个可能的后果集合C，C 每一后果c=c(e,z,a,θ)取决于e,z,a和θ。.故用u(c)形成一个复合函数u{(e,z,a,θ)}，并可写成u(e,z,a,θ)。 三、贝叶斯决策的常用方法 3.1层次分析法(AHP) 在社会、经济和科学管理领域中，人们所面临的常常是由相互关联，相互制约的众多因素组成的复杂问题时，需要把所研究的问题层次化。所谓层次化就是根据所研究问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照各因素之间的相互关联影响和隶属关系将所有因素按若干层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。 3.1.1层次分析模型 最高层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的目标。 中间层：表示为实现目标所涉及的因素，准则和策略等中间层可分为若干子层，如准则层，约束层和策略层等。 最低层：表示事项目标而供选择的各种措施，方案和政策等。 3.1.2层次分析法的基本步骤 (l) 建立层次结构模型 在深入分析研究的问题后，将问题中所包括的因素分为不同层次，如目标层、指标层和措施层等并画出层次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关系。 (2) 构造判断矩阵 判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对重要性的认识。在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层次为因素。 (3) 层次单排序及其一致性检验 判断矩阵的特征向量W经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要性的排序权值。利用判断矩阵的最大特征根，可求CI和CR值，当CR<0.1时，认为层次单排序的结果有满意的一致性；否则，需要调整判断矩阵的各元素的取值。 (4) 层次总排序 计算某一层次各因素相对上一层次所有因素的相对重要性的排序权值称为层次总排序。由于层次总排序过程是从最高层到最低层逐层进行的，而最高层是总目标，所以，层次总排序也是计算某一层次各因素相对最高层（总目标）的相对重要性的排序权值。 设上一层次A包含m个因素A1,A2,…,A m其层次总排序的权值分别为a1,a2,…,a m；下一层次B包含n个因素B1,B2,…,B n，它们对于因素A j(j=1,2,…,m)的层次单排序权值分别为：b1j,b2j,…,b nj（当B k与A j无联系时，b kj=0），则B层次总排序权值可按下表计算。 层次总排序权值计算表

贝叶斯决策分析文献综述

管理决策分析 贝叶斯决策分析文献综述 单位：数信学院管理07 小组成员：0711200209 王双 0711200215 韦海霞 0711200217 覃慧 完成日期：2010年5月31日

有关贝叶斯决策方法文献综述 0． 引言 决策分析就是应用管理决策理论，对管理决策问题，抽象出系统模型，提出一套解决方法，指导决策主体作出理想的决策。由于市场环境中存在着许多不确定因素 ,使决策者的决策带有某种程度的风险。而要做出理想的抉择，在决策的过程中不仅要意识到风险的存在，还必须增加决策的可靠性。在风险决策中，给出了很多如何确定信息的价值以及如何提高风险决策可靠性的方法。根据不同的风险情况，要采取不同的风险决策分析的方法。贝叶斯决策分析就是其中的一种。 1．贝叶斯决策分析的思想及步骤 从信息价值的经济效用的角度，讨论贝叶斯公式在风险决策中的应用。首先根据期望值原则，以先验概率为基础，找到最优方案及其期望损益值和风险系数，然后用决策信息修正先验分布，得到状态变量的后验分布，并用后验分布概率计算各方案的期望损益值,找出最满意方案,并计算其风险系数（这里计算的风险系数应比仅有先验条件下计算的风险系数要小)，最后求出掌握了全部决策信息值的期望损益值。用全部决策信息值的期望损益值减去没有考虑决策信息时的期望收益，就得到了决策信息的价值。 步骤如下： （1）已知可供选择的方案，方案的各状态概率，及各方案在各状态下的收益值。 （2）计算方案的期望收益值，按照期望收益值选择方案。 （3）计算方案的期望损益标准差和风险系数。运用方案的风险系数来测度其风险度，即得到每个方案每一单位期望收益的离散程度指标。该指标越大，决策风险就越大。期望损益标准差公式： ∑=-= n 12A )()(i i Ai x P EMA CP δ 风险系数： )() (1i i u E u D V =δ （4）利用贝叶斯公式对各种状态的概率进行修正。先算出各个状态下的后验概率，计算掌握了决策信息后的最满意方案的期望收益值和风险系数，最后算出信息的价值。 2． 贝叶斯决策分析的应用领域 2.1 港口规划等问题 港口吞吐量()i s 与其预测出现的现象()j z 为相互独立的事件。事件,i j s z 发生的概率分别是()i P s 、()j P z 。在事件j z 发生的条件下，事件i s 发生的概率为(/)i j P s z 。运用贝叶斯公式进行事件的原因分析和决策。根据贝叶斯定理可求得

贝叶斯决策例题

例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。问如何进行决策。 解：采用贝叶斯决策方法。 (1)先验分析 根据已有资料做出决策损益表。 根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8 （2）预验分析 完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）

=1.36（万元） 完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元） 即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。 （3）后验分析 ①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x 1(好天气)、x 2(坏天气)将会出现哪一种状态。 从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x 1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x 2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x 1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x 2/θ2）=0.9 ②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。 预报天气好的概率 1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+ =0.31 预报天气坏的概率 2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+ =0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：

第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法汇总

第二章贝叶斯决策理论与统计判别方法 课前思考 1、机器自动识别分类，能不能避免错分类，如汉字识别能不能做到百分之百正确？怎样才能减少错误？ 2、错分类往往难以避免，因此就要考虑减小因错分类造成的危害损失，譬如对病理切片进行分析，有可能将正确切片误判为癌症切片，反过来也可能将癌症病人误判为正常人，这两种错误造成的损失一样吗？看来后一种错误更可怕，那么有没有可能对后一种错误严格控制？ 3、概率论中讲的先验概率，后验概率与概率密度函数等概念还记得吗？什么是贝叶斯公式？ 4、什么叫正态分布？什么叫期望值？什么叫方差？为什么说正态分布是最重要的分布之一？ 学习目标 这一章是模式识别的重要理论基础，它用概率论的概念分析造成错分类和识别错误的根源，并说明与哪些量有关系。在这个基础上指出了什么条件下能使错误率最小。有时不同的错误分类造成的损失会不相同，因此如果错分类不可避免，那么有没有可能对危害大的错分类实行控制。对于这两方面的概念要求理解透彻。

这一章会将分类与计算某种函数联系起来，并在此基础上定义了一些术语，如判别函数、决策面(分界面)，决策域等，要正确掌握其含义。 这一章会涉及设计一个分类器的最基本方法——设计准则函数，并使所设计的分类器达到准则函数的极值，即最优解，要理解这一最基本的做法。这一章会开始涉及一些具体的计算，公式推导、证明等，应通过学习提高这方面的理解能力，并通过习题、思考题提高自己这方面的能力。 本章要点 1、机器自动识别出现错分类的条件，错分类的可能性如何计算，如何实现使错分类出现可能性最小——基于最小错误率的Bayes决策理论 2、如何减小危害大的错分类情况——基于最小错误风险的Bayes决策理论 3、模式识别的基本计算框架——制定准则函数，实现准则函数极值化的分类器设计方法 4、正态分布条件下的分类器设计 5、判别函数、决策面、决策方程等术语的概念 6、Bayes决策理论的理论意义与在实践中所遇到的困难 知识点

贝叶斯决策的经典例题练习

一、贝叶斯决策(Bayes decision theory) 【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：0.2，0.5和0.3。方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。 企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.9、0.06和0.04；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.05、0.9和0.05；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为0.04、0.06和0.9。问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查？ 解： 1.验前分析： 记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利 E(d1)=0.2*80+0.5*20+0.3*(-5)=24.5(万元) E(d2)=40*0.2+7*0.5+1*0.3=11.8(万元) 记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=24.5(万元) 因此验前分析后的决策为：批量生产 E1不作市场调查的期望收益 2.预验分析： （1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示 由全概率公式 P(H1)=0.9*0.2+0.06*0.5+0.04*0.3=0.232 P(H2)=0.05*0.2+0.9*0.5+0.05*0.3=0.475 P(H3)=0.04*0.2+0.06*0.5+0.9*0.3=0.308 （2）由贝叶斯公式有 P(?1|H1)=0.9*0.2/0.232=0.776 P(?2|H1)=0.06*0.5/0.232=0.129 P(?3|H1)=0.04*0.3/0.232=0.052 P(?1|H2)=0.05*0.2/0.475=0.021 P(?2|H2)=0.9*0.5/0.475=0.947 P(?3|H2)=0.05*0.3/0.475=0.032 P(?1|H3)=0.04*0.2/0.308=0.026 P(?2|H3)=0.06*0.5/0.308=0.097 P(?3|H3)=0.9*0.3/0.308=0.877 （3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值 a)当市场调查结果为畅销时 E(d1|H1)=80* P(?1|H1)+20* P(?2|H1)+(-5)* P(?3|H1)

贝叶斯决策理论的Matlab实现

第二章 1、简述基于最小错误率的贝叶斯决策理论；并分析在“大数据时代”，使用贝叶斯决策理论需要解决哪些问 题，贝叶斯决策理论有哪些优缺点，贝叶斯决策理论适用条件和范围是什么？举例说明风险最小贝叶斯决策理论的意义。 答：在大数据时代，我们可以获得很多的样本数据，并且是已经标记好的；要使用贝叶斯决策理论最重要的是确定类条件概率密度函数和相关的参数。 优缺点：贝叶斯决策的优点是思路比较简单，大数据的前提下我们可以得到较准确的先验概率， 因此如果确定了类条件概率密度函数，我们便可以很快的知道如何分类，但是在大数据的前提下，类条件概率密度函数的确定不是这么简单，因为参数可能会增多，有时候计算量也是很大的。 适用条件和范围： (1) 样本(子样)的数量(容量)不充分大，因而大子样统计理论不适宜的场合。 (2) 试验具有继承性，反映在统计学上就是要具有在试验之前已有先验信息的场合。用这种方法进 行分类时要求两点： 第一，要决策分类的参考总体的类别数是一定的。例如两类参考总体(正常状态Dl和异常状态D2)，或L类参考总体D1，D2，…，DL(如良好、满意、可以、不满意、不允许、……)。 第二，各类参考总体的概率分布是已知的，即每一类参考总体出现的先验概率P(Di)以及各类概率 密度函数P(x/Di)是已知的。显然，0≤P(Di)≤1，(i=l，2，…，L)，∑P(Di)=1。 说明风险最小贝叶斯决策理论的意义： 那股票举例，现在有A、B两个股票，根据市场行情结合最小错误率的风险选择A股（假设为0.55），而B股（0.45）；但是选着A股必须承担着等级为7的风险，B股风险等级仅为4；这时因遵循最 小风险的贝叶斯决策，毕竟如果A股投资的失败带来的经济损失可能获得收益还大。 2、教材中例2.1-2.2的Matlab实现. 2.1：结果：

贝叶斯决策例子

贝叶斯决策练习 某石油公司拟在一片估计含油的荒地上钻井。如果钻井，费用为150万，若出油的概率为0.55，收入为800万元；若无油的概率为0.45，此时的收入为0。该公司也可以转让开采权，转让费为160万元，但公司可以不担任何风险。为了避免45％的无油风险，公司考虑通过地震试验来获取更多的信息，地震试验费用需要20万元。已知有油的情况下，地震试验显示油气好的概率为0.8，显示油气不好的概率为0.2；在无油条件下，地震显示油气好的概率为0.15，而显示油气不好的概率为0.85。又当试验表明油气好时，出让开采权的费用将增至400万元，试验表明油气不好时，出让开采权费用降至100万元，问该公司应该如何决策，使其期望收益值为最大。

解：该公司面临两个阶段的决策：第一阶段为要不要做地震试验，第二阶段为在做地震试验条件下，当油气显示分别为好与不好时，是采取钻井策略还是出让开采权。 若用A 1表示有油，A 2表示无油；用B 1表示地震试验显示油气好，B 2表示地震试验显示油气不好。由题意可知： 1211211222()0.55 ()0.45 (|)0.8 (|)0.2(|)0.15 (|)0.85 P A P A P B A P B A P B A P B A ====== 由贝叶斯公式计算得到： 11111111212()(|)0.440.44(|)0.867()(|)()(|)0.440.06750.5075 P A P B A P A B P A P B A P A P B A = ===++ 同理，有： 2112220.0675(|)0.1330.5075 0.11(|)0.2230.4925 0.3825(|)0.7770.4925P A B P A B P A B = ===== 该问题对应的决策树图 采用逆序的方法，先计算事件点②③④的期望值： 事件点 期望值 ② 800×0.867＋0×0.133＝693.6（万元） ③ 800×0.223＋0×0.777＝178.4（万元） ④ 800×0.55＋0×0.45＝440（万元） 在决策点2，按max[(693.6-150)，400]＝543.6万元，故选择钻井，删除出让开采权策略； 在决策点3，按max[(178.4-150)，100]＝100万元，故选择出让开采权，删除钻井策略； 在决策点4，按max[(440-150)，160]＝290万元，故选择钻井策略。 在事件点①处期望值为：543.6×0.5075＋100×0.4925＝325.13万元 最后在决策点1，按max[(325.13-20)，290]＝305.13万元，故选择进行地震试验方案。 故为了使该公司的期望收入为最大的决策是：先进行地震试验，当试验结果为油气显示好时，选择钻井；而油气显示不好时，选择出让开采权，该策略下期望收入为305.13万元。

贝叶斯决策方法课后习题

1.什么叫贝叶斯决策？如何进行贝叶斯决策？ 风险型决策方法是根据预测各种事件可能发生的先验概率，然后再采用期望值标准或最大可能性标准来选择最佳决策方案。这样的决策具有一定的风险性，因为先验概率是根据历史资料或主观判断所确定的概率，未经试验证实，为了减少这种风险，需要较准确的掌握和估计这些先验概率。这就要通过科学实验，调查，统计分析等方法获得较为准确的情报信息，以修正先验概率，并据以确定各方案的期望损益值，拟订可供选择的决策方案，协助决策者做出正确的决策。一般来说，利用贝叶斯定理要求得后验概率，据以进行决策的方法称为贝叶斯决策方法。贝叶斯决策方法步骤： (1)进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补充资料中可能得到的结果和如何决定最优对策。 (2)收集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑概率，对历史概率要加以检验，辨明其是否适合计算后验概率。 (3)用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计算边际概率，用贝叶斯定理计算后验概率。 (4)用后验概率进行决策分析。 2.如何进行预后验分析和后验分析？ 预后验分析是后验概率决策分析的一种特殊形式的演算，这里的特殊形式是指用一套概率对多种行动策略组合进行多次计算，从中择优。 预后验分析有两种形式，一是扩大型，预后验分析，这实际上是一种反推决策树分析，二是常规型预后验分析，这实际上是一种正向分析，用表格形式进行。扩大型分析要解决的问题是搜集追加信息对决策者有多大的价值，如果试验应采取

什么行动策略，常规型分析要解决的问题是，如果试验应采取什么行动策略，但是这两种分析方法所得出的结论是一致的。 根据预后验分析，如果认为采集信息和进行调查研究是值得的，那么就应该决定去做这项工作。一旦取得了新的信息，决策者就结合这些新信息进行分析，计算各种方案的期望损益值，选择最佳的行动方案，结合运用这些信息并修正先验概率，称为后验分析，这正是发挥贝叶斯决策理论威力的地方。 3.什么是先验分析？ 先验分析就是决策者要详细列出各种自然状态及其概率，各种备选行动方案与自然状态的损益值，并根据这些信息对备选方案作出抉择的决策过程，当时间，人力和财力不允许搜集更完备的信息时，决策者往往用这类方法进行决策，在贝叶斯决策中，先验分析是进行更深入分析的必要条件。 4.贝叶斯决策有哪些优点？哪些局限？ 贝叶斯决策的优点表现在以下几个方面： (1)如果说在第14章中大多用的是不完善的信息或主观概率的话，那么贝叶斯决策则提供了一个进一步研究的科学方法，也就是说，它能对信息的价值或是否需要采集新的信息作出科学判断。 (2)它能对调查结果的可能性加以数量化的评价，而不是像一般的决策方法那样对调查结果，或者是完全相信，或者是完全不相信。 (3)如果说任何调查结果都不可能是完全准确的，而先验知识或主观概率也不是完全可以相信的，那么贝叶斯决策则巧妙的将这两种信息有机的结合起来了。(4)它可以在决策过程中，根据具体情况不断的使用，使决策逐步完善和更加科学。贝叶斯决策方法也有其局限性，主要表现在以下几个方面：

贝叶斯决策模型及实例分析(doc 12页)

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贝叶斯决策模型及实例分析 一、贝叶斯决策的概念 贝叶斯决策，是先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准则来确定最优方案的决策方法。 风险型决策是根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率（称为先验概率），然后采用期望效用最大等准则来确定最优决策方案。这种决策方法具有较大的风险，因为根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率没有经过试验验证。为了降低决策风险，可通过科学试验（如市场调查、统计分析等）等方法获得更多关于自然状态发生概率的信息，以进一步

确定或修正自然状态发生的概率；然后在利用期望效用最大等准则来确定最优决策方案，这种先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准则来确定最优方案的决策方法称为贝叶斯决策方法。 二、贝叶斯决策模型的定义 贝叶斯决策应具有如下内容 贝叶斯决策模型中的组成部分：)(,θθP S A a 及∈∈。概率分布S P ∈θθ)(表示决策者在观察试验结果前对自然θ发生可能的估计。这一概率称为先验分布。 一个可能的试验集合E ，E e ∈，无情报试验e0通常包括在集合E 之内。 一个试验结果Z 取决于试验e 的选择以Z0表示的结果只能是无情报试验e0的结果。 概率分布P(Z/e,θ)，Z z ∈表示在自然状态θ的条件下，进行e 试验后发生z 结果的概率。这一概率分布称为似然分布。 一个可能的后果集合C ，C c ∈以及定义在后果集合C 的效用函数u(e,Z,a,θ)。 每一后果c=c(e,z,a,θ)取决于e,z,a 和θ。.故用u(c)形成一个复合函数u{(e,z,a,θ)}，并可

作业一：贝叶斯决策

1、问题表述： []T l x x x x ,...,,21=是一个用特征向量表示的位置样本， M ωωω,...,,21是预先已知的M 个类，则形成了M 个条件。概率)(x P i ω(后验概率)，表示i x ω∈的概率。用概率最大来进行分类是一种无意义的选择，必须采用Bayes 规则和实验数据进行后验概率密度函数的计算和分类。 2、全概率公式和贝叶斯准则 ),...2,1(M i A i =是M 个事件，设每个事件发生的概率为)(i A P ，则有∑==M i i A p 1 1)(； 任意事件B 的概率为： ∑== M i i i A P A B P B P 1 )()|()( （1-1） 其中)|(i A B P 是条件i A 在B 的条件概率。据此有定义： ) (),()|(A P A B P A B P = （1-2） 为A 下B 的全条件概率，其中),(A B P 是两个事件A 、B 的联合概率。式（1-1）就是著名的全概率公式。 由全概率公式（1-1）可以得到全条件概率： ) (),()|(B P B A P B A P = （1-3） 因为),(),(A B P B A P =，则由（1-2）、（1-3）式可以导出著名的Bayes 准则： )()|()()|(B P B A P A P A B P = （1-4） 将Bayes 准则扩展到随机变量、随机向量： ) ()|()()|()()|()()|(x p x y p y p y x p x p x A P A P A x p ==随机向量： 随机变量： ∑ == M i i i A P A x p x p 1 )()|()(全概率： 3、贝叶斯决策的原理： 首先假定一个具有两个类21ωω、的情况，贝叶斯分类规则可以描述为：

贝叶斯决策的例题练习

贝叶斯决策的例题练习公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

一、贝叶斯决策(Bayes decision theory) 【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：，和。方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。 企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和。问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查解： 1.验前分析： 记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利 E(d1)=*80+*20+*(-5)=(万元) E(d2)=40*+7*+1*=(万元) 记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=(万元) 因此验前分析后的决策为：批量生产 E1不作市场调查的期望收益

2.预验分析： （1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示由全概率公式 P(H1)=*+*+*= P(H2)=*+*+*= P(H3)=*+*+*= （2）由贝叶斯公式有 P(?1|H1)=*= P(?2|H1)=*= P(?3|H1)=*= P(?1|H2)=*= P(?2|H2)=*= P(?3|H2)=*= P(?1|H3)=*= P(?2|H3)=*= P(?3|H3)=*= （3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值 a)当市场调查结果为畅销时 E(d1|H1)=80* P(?1|H1)+20* P(?2|H1)+(-5)* P(?3|H1) =80*+20*+(-5)*=(万元) E(d2|H1)=40* P(?1|H1)+7* P(?2|H1)+1* P(?3|H1) =40*+7*+1*=(万元)

决策理论一道习题

决策理论 与方法 P85 12（1）(2) 晨光公司生产的圆珠笔芯成箱批发给商业部门，每500件装成一箱，每箱产品的次品率有三种，即10%，20%，30%，相应的概率分别是0.7,0.2,0.1.出厂前的检验方案有两种，一是整箱产品逐一检验，二是整箱不检验，但必须承担商家更换次品费用，一件次品更换费用平均为0.77元。 (1)该公司应该选择哪一种检验方案？ (2)如果整箱产品逐一检验前，允许从每箱中抽取十件产品进行检验，设X=“其中所含次品个数”。试进行抽样贝叶斯决策分析。 解：(1)先进行验前分析。 先验状态变量的概率矩阵为 P =（0.7,0.2,.01）T 由题设给出的条件，方案a 1在各状态的收益值为 Q （a 1，θj ）=q 1j =－0.1×500－0×θj =－50，j=1,2，3 方案a 2在各状态的收益值为 Q （a 2，θj ）=q 2j =－0.77×500θj =（38.5，77，115.5），j=1,2，3 于是，收益矩阵为 Q =（q ij ）2×3=???? ??－115.5－77－38.5－50－50－50 相应的损失矩阵为 R =（r ij ）2×3=???? ??65.527000 11.5 方案a 1，a 2，的期望损失值 E [R （a 1，θj ）]=∑3 j r 1j P （θj ）=－11.5×0.7＋0×0.2＋0×0.1=8.05 E [R （a 2，）]=∑3 j r 2j P （θj ）=0×0.7＋27×0.2＋65.5×0.1=11.95 因此，验前最满意行动方案a *=a 1，即整箱产品逐一检验。 (2)一箱产品中最多有次品500×30%=150件， 即所抽取的10件产品中所含次品数X =0，1，2，··· ，10 则条件概率P (X =i |θj )=i C 10 i j θ()i j --?101θ

(贝叶斯决策例题)

Equation Chapter 1 Section 1例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。问如何进行决策。 解：采用贝叶斯决策方法。 先验分析 根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8 （2）预验分析 完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元） 完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元） 即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。 （3）后验分析 ①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x1(好天气)、x2(坏天气)将会出现哪一种状态。 从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x2/θ2）=0.9 ②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。 预报天气好的概率 1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31 预报天气坏的概率 2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：

第一章习题和答案

第三章 习题 1. 考虑如下贝叶斯博弈：（1）自然决定支付矩阵（a ）或(b)，概率分别为u 和1u -；（2）参与人1知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（a ）或(b)，但是参与人不知道自然的选择；（3）参与人1和参与2同时行动（参与人1选择T 或B 时不知参与人的选择，参与人2选择L 或R 不知参与人1的选择）。给出这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶斯均衡。 2. 考虑如下扰动的性别战博弈,其中i t 服从[]0,1的均匀分布, 01ε<<，1t 和2t 是独立的, i t 是参与人i 的私人信息。 a.求出以上博弈所有纯战略贝叶斯均衡。 b.证明当0ε→时，以上贝叶斯均衡和完全信息的混合战略纳什均衡相同。

3. 考虑如下标准式博弈的均衡，存在的唯一纳什均衡就是每个参与人i 都以1/2的概率选择H 。利用海萨应纯化定理，构造一个扰动的不完全信息博弈，其纯战略贝叶斯纳什均衡收敛于以下完全信息的混合战略均衡（Gibbons 书中习题3.5）。 4. 在一个5人参加的私人价值的一级价格拍卖中0.82i i b v =+是贝叶斯纳什均衡， i b 是参与i 的叫价，i v 是参与人i 的价值信息，独立的服从于[]6,7的均衡分布。利用显示原理构造一个直接机制，均衡结果与以上贝叶斯纳什均衡完全相同。 5. 一个垄断企业的成本函数为().c q q k θ=+,其中q 是产量，θ为边际成本，k 是固定成本。假定θ是私人信息，固定成本k 和市场需求()q q p =是共同信息。考虑如下直接机制{(),(),},p T θθθ其中p 为政府规定的价格，T 是政府对企业的补偿，θ是企业自己报告的成本。 a.证明如果(),(),p T k θθθ==则企业会谎报边际成本。 b.在()p θθ=时，如何规定()T θ才能诱使企业说实话。 6. 两个企业同时决定是否进入一个市场。企业i 的进入成本[0,)i θ∈∞是私人信息， i θ是服从分布函数()i F θ的随机变量以及分布密度()i f θ严格大于零， 并且1θ和2θ两者独立。如果只有一个企业进入，进入企业i 的利润函数m i πθ-；如果两 个企业都进入，则企业i 的利润函数为d i πθ-；如果没有企业进入，利润为零。假定m π和d π是共同知识，且0m d ππ>>，计算贝叶斯均衡并证明对称均衡是唯一的。

决策分析习题集

决策理论与方法习题集 1.什么是决策分析？决策分析的的基本要素有哪些？ 2. 决策分析应遵循哪些基本原则？ 3. 决策分析有哪些基本的分类？ 4.试述决策分析的步骤？ 5.试述决策分析的定性方法与定量方法的区别与联系？ 6.某企业连续8年每年年末支付一笔款项，第一年2万元，以后每年递增3000元，若年利 率为10% ，问全部支付款项的现值是多少？ 7．某厂生产和销售一种产品，单价为15元，单位变动成本l0元，全月固定成本100 000 元，每月销售40 000件。由于某种原因其产品单价将降至13.50元；同时每月还将增加广告 费20 000元。 试计算：（l）该产品此时的盈亏平衡点。 （2）增加销售多少件产品能使利润比原来增加 5 % ? 8．购买某台设备需8万元，用该设备每年可获净收益1.26万元，该设备报废后无残值。 （l）若设备使用8年后报废，这项投资的内部收益率是多少？ （2）若贴现率为10 %，问该设备至少可使用多少年才值得购买？ 9.设投资方案A、B 现金流量如表2一14 所示，计算两方案的投资回收期 表2一14现金流量单位：元年份0 1 2 3 4 5 A B -100 000 -100 000 25 000 50 000 30 000 50 000 35 000 5 000 40 000 45 000 10．建一个生产某零配件的工厂，需要总投资200万元，使用年限10年，估计年可获利润40万元，如果目标收益率为15 %，试用内部收益率法分析该方案的可行性。 11．某公司获得一笔8万元的贷款，偿还期是4年，按年利率10％计复利，有四种还款方式： （l）每年年末偿还2万元本金和利息； （2）每年年末只偿还所欠利息，第四年末一次性偿还本金； （3）在四年中每年年末等额偿还； （4）第四年年末一次偿还本息。试计算各种还款方式所付出的总金额和求出哪种方式最划算？ 12．某厂生产某种产品，为提高自动化程度，需购置一种新设备。新设备一旦投人使用，单位可变成本会降低，同时产量也会增加，但它会使固定成本增加。表2-15是新老方案数据，试对两方案进行决策分析。