立方和与立方差公式

第一阶梯

[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：

(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2)

提示：

刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。

参考答案：

(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2

(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2

(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4

(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4

说明：

平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：

①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式

②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。

[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）

2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2

(3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2

提示：

在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。参考答案：

(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25

(2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2

(3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2

(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2

说明：

1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。

3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。

4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的错误。

[例3]计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）

(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：

（1）（x+2）(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ;

（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);

（5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)

提示：

先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。

参考答案：

（1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8

（2）(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3

（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3

（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6

说明：

1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。

2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。

第二阶梯

[例1]利用乘法公式计算：

(1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)

(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)

提示：

（1）小题可两次使用平方差公式；

（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；

（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式

（4）小题两次使用立方差公式。

参考答案：

(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81

(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4

(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64

(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9

说明：

遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。

[例2]运用乘法公式计算：

(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)

(3) (x+2y+z)2 (4) (2x-3y-4z)2

提示：

（1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。参考答案：

(1)（a+b+c）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2

(2)

(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2

(3)（x+2y+z）2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2

(4)

(2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2 )=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2

说明：

进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。

[例3]利用乘法公式计算：

（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

提示：

（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。

参考答案：

（1）

解法一：

（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

= (x2-1)[(x2+1)2-x2]

= (x2-1)(x4+2x2+1-x2)

= (x2-1)(x4+x2+1)

= (x2-1)[(x2)2+x2-1+12]

= (x2)3-13= x6-1

解法二：

（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

= [(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)] =（x3+1）(x3-1)

= (x3)2-12

= x6-1

（2）

解法一：

（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = (a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]

= (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)

= (a2-b2)(a4+a2b2+b4)

= (a2)3-(b2)3

= a6-b6

解法二：

（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

= [（a+b）(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]

= (a3+b3)(a3-b3)

= (a3)2-(b3)2

=a6-b6

说明：

进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。

第三阶梯

[例1]

（1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中

（2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0

提示：

用乘法公式进行化简

参考答案：

（1）

（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)

= x3+8+x3-1

= 2x3+7

当时，

（2）（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0 解：

（4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=0

4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0

7x=-2

说明：

在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。

[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。

（1）a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) (a-b)2 (4) a3+b3

提示：

由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入（2），（3），（4），可求出（2），（3），（4）式的值。注意，第（4）小题应逆用立方和公式。

参考答案：

(1) a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2×(-8)=9+16=25

(2) a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33

(3) (a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×(-8)=25+16=41

(4) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=3×[25-(-8)]=3×33=99

说明：

灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。

[例3]若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和？

设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和

参考答案：

解：设这两个连续自然数是x,x+1

根据题意得，

(x+1)2 -x2 =17

x2+2x+1-x2=17

2x+1=17

2x=16

x=8

∴x+1=8+1=9

∴x+(x+1)=8+9=17

答：这两个自然数的和是17。

说明：

解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2 =（x+1+x）(x+1-x)=2x+1

A组

选择题

1．下列各式能用平方差公式进行计算的是（）

A.（a+2）(-a-2)

B.(-x-y)(y-x)

C.

D.(2x+y)(x-2y)

2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（）A.36 B.72 C.-72 D.±72

3．a3-27b3的一个因式是（）

A.a2+3ab+9b2

B.a2+3ab+9b2

C.a2-3ab+b2

D.a2-3ab+b2

4．若x+y=9,xy=16，则 x2+y2=( )

A.81

B.17

C.49

D.145

填空题

1、（3x+2y）=( ) = 9x2-4y2

2、（-1+2a）(-1-2a) =( )

3、（0.3x+y）2=( )

4、x2+x+( )=

5、9x2-( )+49y2=(3x-7y)2

6、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2) =( )

7、( )(m4-m2+1)=m6+1

8、a2+b2=(a+b)2- ( )

9、(a+b)2=(a-b)2+ ( )

10、(p2-q) ( )=p6-q3

B组1、计算：

(1)（x+2）(x-2)(x2+4)

(2)(x-y+1)(x+y-1)

(3)(a+b+c)2

(4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9)

(5)

(6)2022

2、化简求值：

3、解方程：4(x-3)2-(2x+1)2=(3x+1)(1-3x)+9x2

答案：

A组答案：

选择题

1、B

2、D

3、A

4、C

填空题

1、3x-2y

2、1-4a2

3、0.09x2+0.6xy+y2

4、

5、42xy

6、8a3+27b3

7、m2+1

8、2ab

9、4ab

10、p4+p2q+q2

B组答案：

1、(1)x4-16 (2)x2-y2+2y-1 (3) a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc (4)x6-729 (6)40804

2、-39

3、

4、

八年级数学立方和与立方差公式

1 立方和与立方差 7、=+-++)39)(3(4222x x x x x n n n __________； 8、=+-+))((22n n n n n n y y x x y x __________； 9、=+++--+))()()((2222b ab a b ab a b a b a __________； 10、=++-)100309)(310(33(__________)(__________)__________-=； 11、计算下列各式，不能直接用乘法公式的是 （ ） A 、)3)(93(22y x y xy x ++- B 、))((22b ab a b a ++- C 、)1)(1(2323-+-+++x x x x x x D 、23462311(4)(162)24 x y x y x y +-+ 12、 与)1)(1(2++-a a a 的积等于)1(9-a 的多项式是 （ ） A 、13-a B 、16-a C 、136+-a a D 、136++a a 14、222222)42()2()42()2(++--+-+m m m m m m 15、22[(2)2][(2)2](2)(2)a b ab a b ab a b a b +--++- 16、22216)8()164)(4(x x x x x x ---++- 17、222222(1)(1)(1)(1)t t t t t t +-++-+ 18、8)2)(3(12)32()1)(1(422--+<--+-+x x x x x x x 19、)469)(23()469)(23(2222b ab a b a b ab a b a +-+-++-，其中1-=a ，2 3-=b 。 20、22(23)(469)(34)(34)15(2)(1)2(23)a a a a a a a a a -++----+-+-+，其中3a =-。 21、))()()((633663363333n n m m n n m m n m n m +++-+-，其中1m =，1n =-。 22、已知3x y +=，2xy =-，求33y x +的值。 23、 已知1x y -=-，2y z -=，求代数式22(2)[()()()()]x y z x y x y y z y z -+-+--+-的值。 24、已知8,7=-=-c b b a ，求代数式22()[()()()()]a c a b a b b c b c -----+-的值。

立方和与立方差公式

立方和与立方差公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案： (1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25

立方和与立方差公式

[文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a2-ab+b2) ＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 ＝a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3 ＝a3-b3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字

[讲解]立方和与立方差公式

[讲解]立方和与立方差公式 [文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算; 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点:公式的推导. 难点:公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? 2222(公式1:(a+b)(a-b),a-b，公式2:(a?b),a?2ab+b，公式中的字母可以表示数、单 项式，也可以表示多项式语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 2222提问:对于(a+b)(a-ab+b)，(a-b)(a+ab+b)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算

22(a+b)(a-ab+b) 322223,a+ab-ab-ab+ab+b 33,a+b 22(a-b)(a+ab+b) 322223,a-ab+ab-ab+ab-b 33,a-b 根据学生的板演提问: 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个 负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例变式练习 例计算: 2 (1)(3+2y)(9-6y+4y);

立方和与立方差公式

（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明： 1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。 2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。 第二阶梯 [例1]利用乘法公式计算： (1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2) (3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6) 提示： （1）小题可两次使用平方差公式； （2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式； （3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式 （4）小题两次使用立方差公式。 参考答案： (1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81 (2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4 (3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64

专题立方和差公式和差的立方公式

专题立方和差公式和差 的立方公式 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5)()12528 x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算：

专题立方和差公式和差的立方公式

专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5) ()12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算： （1）3639 (1)(1)(1)x x x x -+++； （2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+； （3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；

立方和与立方差练习测试题

精心整理 立方和与立方差习题 一、公式(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3=a 3+b 3． (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3=a 3-b 3． 二、运用乘法公式计算： 1、(l)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (5)(x-3)( )=x 3-27； (6)(2x+3)( )=8x 3+27； (7)(x 2+2)( )=x 6+8； (8)(3a-2)( )=27a 3-8． 三、用立方和与立方差公式把下列各式分解因式 （1）1642721333x a b ---（）（3）()()x y x y x y m m +--+33334（） （5）813 3b a + （6）8 273 3b a - 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。 （1）a 2+b 2 (2)a 2-ab+b 2 (3)(a-b)2 (4)a 3+b 3 1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)； （3） （4） 课堂练习 1填空，使之符号立方和或立方差公式： (1)(x-3)()＝x 3-27；(2)(2x+3)()＝8x 3+27； (3)(x 2+2)()＝x 6+8；(4)(3a-2)()＝27a 3-8 2填空，使之符号立言和或立方差公式： (1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________；(2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)()(4 1-xy+4y 2)＝__________；(4)()(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是[ ] A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3； B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3； C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3； D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3． 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是[ ] A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)； B ．(m-n)(m 2+n 2)； C ．(x+1)(x 2-x+1)； D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5计算： (1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2) (7)(1+4x)(16x 2+1-4x) (8)(x-1)(x 2-x+1)； (9)(a-3)(a 2+3a-9) (10)(a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b 2)(a 2-2ab+4b 2)．

10平方差公式 立方和与立方差公式

平方差公式完全平方公式立方和与立方差公式 一、学习目标 熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算 二、学习要求 1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。 2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。 3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。 4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。 三、例题分析 第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2 -a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案：

(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算 (1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2

立方和与立方差

利用立方和立方差公式进行因式分解 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式： (1) 3 4 381a b b - (2) 76 a a b - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6 6 a b -， 可看着是32 32 ()()a b -或23 23 ()()a b -．

解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 强化练习 1．因式分解下列各式：(1) 3 1x - (2) 338a b + (3) 66x y - 2．把下列各式分解因式： (1) 3 27a + (2) 38m - (3) 3278x -+ (4) 33 11864 p q - - (5) 3 3 18125x y - (6) 333 1121627 x y c + 2．把下列各式分解因式： (1) 3 4 xy x + (2) 33n n x x y +- (3) 2 3 23 ()a m n a b +- (4) 2 2 3 2 (2)y x x y -+强化练习答案 1． (1) 3 1x -=33 1x -=22(1)(11)x x x -+?+=2(1)(1)x x x -++ (2) 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-?+ (3) 66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +- 2．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216 p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c - +-+-+++-+3．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 立方和与立方差公式 1、(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3 两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和. 2、(a －b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3－b 3 两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.

立方和与立方差公式(一)

立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a 2-b 2，公式2：(a ±b)＝a 2±2ab+b 2，公式中的字母可以表示数、单 项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a 2-ab+b 2)，(a-b)(a 2+ab+b 2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不 能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 ＝a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3 ＝a 3-b 3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例 变式练习 例 计算： (1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5ab 2)；

立方差公式

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 推导过程 1.证明如下： (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2) =(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2) 2.（因式分解思想）证明如下： a3-b3=a3-a2b-b3+a2b =a2(a-b)+b(a2-b2) =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a2+b(a+b)] =(a-b)(a2+ab+b2) 立方和公式及其推广： (1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (2) a n+ b n=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+ b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。 a n表示a的n次方。 字母表达

立方和公式 立方差公式 三项立方和公式 推导过程： 完全立方公式 (a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3 立方和累加 正整数范围中

注：可用数学归纳法证明 2公式证明编辑 迭代法一 我们知道： 0次方和的求和公式 ，即 1次方和的求和公式 ，即 2次方和的求和公式 ，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式 ，迭代即得。 具体如下：

(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1 33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1 43 - 33 = 3×32 + 3×3+ 1 53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1 …… (n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1 n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入(1)式，整理後得13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2 迭代法二 取公式： 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出： …………⑴ …………⑵

立方和与立方差练习题

立方和与立方差习题 一、公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3+b3． (a-b)(a2+ab+b2)=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3=a3-b3． 二、运用乘法公式计算： 1、(l)(3+2y)(9-6y+4y2)； (5)(x-3)( )=x3-27；(6)(2x+3)( )=8x3+27； (7)(x2+2)( )=x6+8； (8)(3a-2)( )=27a3-8． 三、用立方和与立方差公式把下列各式分解因式 （1）1 64 2721 333 x a b --- （）（3）()() x y x y x y m m +--+ 3333 4 （）

（5）8 13 3b a + （6）8 273 3b a - 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。 （1）a 2+b 2 (2) a 2-ab+b 2 (3) (a-b)2 (4) a 3+b 3 1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5 ab 2)； （3 ） （4） 课堂练习 1填空，使之符号立方和或立方差公式： (1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27； (3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2填空，使之符号立言和或立方差公式： (1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)( )(4 1 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是[ ] A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3； B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3 ； C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3； D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3． 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是[ ] A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)； B ．(m-n)(m 2+n 2)； C ．(x+1)(x 2-x+1)； D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5计算： (1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)

立方和与立方差公式

第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案： (1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。

[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算 (1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2 (3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2 (5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2 说明： 1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。 3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。

立方和与立方差公式

立方和与立方差公式 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a2-ab+b2) ＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 ＝a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3

＝a 3-b 3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例 变式练习 例 计算： (1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5ab 2)； (3)(2x+1)(4x 2+2x+1)

立方和与立方差公式

立方和与立方差公式(二) 教学目标 1．使学生能灵活运用乘法公式进行计算； 2．注意培养学生分析、解决问题的能力，以及综合运用知识的能力． 教学重点和难点 综合利用乘法公式进行计算． 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 1．(a+b)乘以什么式子得到a3+b3？ (a-b)乘以什么式子得到a3-b3？ 通过上述提问，板书立方和与立方差公式． 2．下列各式，哪些能用立方和或立方差公式计算？哪些不能用？能用的要算出结果(1)(m-5)(m2+5m+25)；(2)(x+3)(x2+3x+9)； (3)(2x2+7)(4x2-14x+49)；(4)(3a+5)(9a2-15a+5) 二、讲授新课 例计算： (1)(x3-1)(x6+x3+1)(x9+1)； (2)(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)； (3)(x+2y)2(x2-2xy+4y2)2．

先由学生观察、讨论解题方法，然后由教师根据学生的回答板书，并要求说出运算中每一步的依据． 解：(1)原式=(x9-1)(x9+1) =x18-1． (2)原式=(x+1)(x-1)[(x2+1)+x][(x2+1)-x] =(x2-1)［(x2+1)2-x2］ =(x2-1)(x4+x2+1) =x6-1； 或原式=［(x+l)(x2-x+1)］[(x-1)(x2+x+1)] =(x3+1)(x3-1) =x6-1； (3)原式=[(x+2y)(x2-2xy+4y2)]2 =(x3+8y3)2 =x6+16x3y3+64y6． 三、课堂练习 1．运用乘法公式计算： (1)(a+b)(a2-ab+b2)(a6-a3b3+b6)； (2)(a+2)(a-2)(a2-2a+4)(a2+2a+4)． 2．先化简，再求值． (x-y)2(x2+xy+y2)2-(x3+y3)(-x3+y3)，其中x=1，y=-1． 四、小结 1．大家在遇到多项式乘法问题时，应努力观察，发现机会，大胆使用乘法公式，这样可以简便运算．

初高中数学衔接立方和与立方差公式

第二讲 立方和立方差公式 【知识讲解】 练习1 计算: 22()()a b a ab b +-+ 于是，我们得到： 【立方和公式】3322))((b a b ab a b a +=+-+ 两个数的和．乘以它们的平方和与它们积的差．，等于这两个数的立方和．．． ． 【例1】计算 (1) 2(2)(24)x x x +-+ （2）)416)(4(2m m m +-+ (3) 22(25)(41025)a b a ab b +-+ 练习2 计算：))((22b ab a b a ++- 我们得到： 【立方差公式】3322))((b a b ab a b a -=++- 两个数的差．乘以它们的平方和与它们积的和．，等于这两个数的立方差．．． ． 【例2】计算：(1) 2(21)(421)x x x -++

(2) 22 ()()32964 a b a ab b -++ (2) 22 ()()32964 a b a ab b -++ =22()[()()]323322 a b a a b b -+?+ =33()()32 a b - =33 278 -a b 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． 【课堂小结】 【立方和公式】 2233()()+-+=+a b a ab b a b 【立方差公式】 2 233()()a b a ab b a b -++=- 这就是说，两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)． 【例3】计算：)164)(2)(2(2 4++-+a a a a 解： 原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a . 【强化训练】 1．填空，使之符合立方和或立方差公式： (1)(x －3)( )＝x 3－27；

立方和与立方差公式

第一阶梯 ［例1］我们来计算(a+b) (a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1) (2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写岀一个“框架“,如( 1) (2x+3y) (2x-3y) = ( ) 2- ( ) 2，第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在"框架" 中填数计算。 参考答案： (1) ( 2x+3y) (2x-3y)= ( 2x) 2-(3y)2=4x2-9y2 (2) (1+2a)(1-2a) =12-(2a) 2=1-4a2 (3) (2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4) (-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b 2)2=a4-b4 说明： 平方差公式( a+b) (a-b)=a2-b2的特征是： 1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

(2) 右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式 时还应注意: ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变 化为符合公式标准的形式，如第( 4)小题。 ［例2］计算(a+b)2和(a-b)2,可知(a+b) 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2，即(a± b)2=a2± 2ab+b2，这就是说，两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算 (4)(；战抡尸 (1) (x+5)2(2)(2-y)2(3)(3a+2b)2- - (5) (-a+2b)2 提示: 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是 a,哪个数或式是b 参考答案： (1) (x+5)2=x2+2 ? x ? 5+52=X2+10X+25 (2) (2-y) 2=22-2 ? 2 ? y+y2=4-4y+y2 (3) (3a+2b) 2=(3a)2+2 ? 3a ? 2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2