余数与同余问题[1]

余数同余问题

1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数

这四个数的和为463，那么除数为：

2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：

3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数

是：

4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这

个自然数是：

5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：

6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：

7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：

8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的

和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：

9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：

10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。

11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：

2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：

12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：

13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：

14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：

15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：

16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：

17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：

18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：

19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：

20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：

21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。

22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。

23、已知N是从1到100的自然数，那么

1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除；

2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。

24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（）

25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是：

26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余

数的和，那么这样的三位数最大可能是：

27、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，符合此条件的最小数为：

28、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，符合此条件的最小数为：

29、1000以内有（）个数除以8余3，除以9余4，除以12余7，其中最大的是（）

30、有些自然数，它加1后是3的倍数，它的3倍加1后是5的倍数，它的5倍加1后是7的倍数，那么这样的自然数中，最小的一个是（）

31、三个连续的两位数除以5的余数之和是7，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15，则这三个数除以11的余数之和是：

32、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得三个决的和是758，这个数是：

33、一个自然数除以3、6、9后所得3个余数之和是15，那么这个数除以18的余数是：

34、一个五位数，各位数字互不相同，被2、3、5、11除分别余1、2、3、7，那么这个数最小是：

35、“12345＋67890”的个位数字是（），除以7的余数是（），除以70的余数是（）

36、算式“13579×2468＋246813579”的结果除以9余（），除以11余（），除以

99的余数是（）。

37、一批货物，如果用小车运，每次运8袋余3袋，每次运6袋余1袋，每次运5袋余2袋，如果改用大卡车，每车可以运120袋，则4次运完（每次尽量装满），那么这批货物共有（）袋。

38、一个布袋中装有小球近1000个，如果每次取9个，最后剩7个，如果每次取7个，最后剩5个，每次取5个最后剩3个，每次取3个最后剩1个。那么如果每次取13个，最后剩下（）个。

39、有四个互不相同的两位数，其中任意两数之和都是2的倍数，任意三数之和都是3的倍数，那么这四个数之和最大为（），最小为（）

40、三个连续自然数，其中最小的能被5整除，中间的能被7整除，最大的能被9整除，那么这三个自然数最小为（）

41、N是一个小于3000的四位数，将它除以11所得的余数为5，除以13所得的余数为6，除以17所得的余数为8，那么N的值是（）。

42、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比原两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有（）个。

43、已知“□”代表一个正整数，并且“75+□”和“48+□”都不是120的倍数，但是这两个数的乘积能被120整除，那么“□”所代表的数字最小可能是：（）

44、20102009除以2008的余数为：

45、90029002除以2009的余数是：

46、20112011……2011除以105余（），除以99余（），除以1001余（）

2011个2011

47、一个圆圈上有200多个小孔，小明用一枚棋子像玩跳棋那样从A孔出发沿着顺时针方向跳，希望跳一圈能回到A孔；如果每隔6孔跳一步，结果能跳到C孔，如果每隔4孔跳一步，结果能跳到B孔，如果每隔2孔跳一步，结果能跳向A孔，那么这个圆圈上共有（）个孔。

48、小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果的果脯各若干袋（每种至少一袋），用了340元。葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元、42元。小明的妈妈至少买了（ ）袋果脯，此时苹果果脯是（ ）袋。

49、设A=1+2+3+……+2009+2010，那么A 除以7的余数是（ ），A 除以77的余数是（ ）。

50、从1写到50，组成一个多位数123456……484950，该数除以9、11、99的余数分别是（ ）、（ ）、（ ）。

51、444444的数字之和为A ，A 的数字之和为B ，B 的数字之和C ，那么C 是（ ）

52、20092009

的末两位数字是（ ）（ ） 53、算式“1×3×5×7×……×2009×2011”计算结果的末三位数字依次是（ ）（ ）（ ）。

54、三位数□37、8□4、21□，分别在百位、十位、个位被“□”盖住，现已知：

1）同一个三位数的3个数互不相同；

2）“□”盖住的数字互不相同，且不全是奇数；

3）三个三位数除以12余3个互不相同的质数，那么，这三个三位数的和为：（ ）

55、下图中的7张卡片里有3张上面的数是未知整数，这3个未知整数都是3的倍数，3张的和是180，有3个学生，每人抽2张卡片，各自的2张卡片上的灵敏的和都彼此相同，那么剩下的1张卡片上写的数是（ ）

56、圆周上有N 个点，固定其中一点写上数1，按顺时针方向隔1个点，在下一个点处写上数2，按顺时针方向隔2个点，在下一个点处写上数3， ……以此类推，多次后有些点上会被写有多个数，已知第6个点处写有26，在写有6的点上还写有62，那么N 最大为（ ）。

57、将数字1～9各用一次组成3个三位数，使得三个灵敏被9除分别余1、3、5，那么其中最大的数与最小的数相差最小为（ ）。

58、A 、B 、C 这三个人都常去电影院，A 每隔2天去一次，B 每隔6天去一次，C 每隔10天去一次，今天他们三人都去了电影院，将来会有连续4天恰好每天有一个人去，如果今天算第一天，那么最早出现具有上述性质的连续4天是第（ ）（ ）（ ）（ ）。

59、小明每隔2天上一次英语课，每隔3天上一次数字课，每隔4天上一次写作课，如果小明是在7月1日、2日、3日依次上了这3门课，那么此后他将在（ ）月（ ）日第一次同时上这3门课。

60、在算式“○+119=□，□+143=△”中，已知“□、○、△”依次能被7、9、11整除的自然数，那么△的最小值为（ ）

61、有些三位数除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同，那么这样的三位数最小的三个为（ ）（ ）（ ）

62、一个两位数，用它分别除以3、5、7得到三个余数、这三个余数的和是11，那么这样的两位数是（ ）

63、正整数N 满足：N/2是一个整数的平方，N/3是一个整数的立方，N/5是一个整数的5次方，那么N 的最小值是（ ）可以用次方表示

64、自然数N 满足：5n +N 是9的倍数，9n

+N 是5的倍数，那么这样的N 中最小值是（ ）

五年级奥数.数论. 余数性质及同余定理(B级).学生版

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

余数性质及同余定理(B级) 1

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

余数及同余问题 小学五年级奥数

余数及同余问题 （一） 1、310被一个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。 2、一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是________。 3、某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小是________。 4、378×196×251除以17的余数是________。 5、若871和633两个自然数都被同一个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。 6、有一个整数，用它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。 7、一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。 8、有一个等于1的整数，用它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。 9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。 10、数713,1103,830,947被一个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。 11、一个数除以7余2，如果把被除数扩大9倍，那么余数是几？_________ 12、账本上记着买机器用去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器用去多少元吗？_________。 （二） 1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。 2、有一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。 3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。 4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。 5、有一个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。

余数与同余问题

余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余

公务员考试行测之余数同余问题解题诀窍

公务员考试 行测之余数同余问题解题诀窍 在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例1】（江西2009）学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数），但是在这里需要强调两点： 1、余数是有范围的（0≤余数＜除数），这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。 2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除

数=除数×商＋余数。 【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？ A.12 B.41 C.67 D.71 【解析】余数是11，因此，根据余数的范围（0≤余数＜除数），我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。 【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？ A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。【相关链接】：2013年国家公务员考试备考

余数与同余解析

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

余数同余技巧

在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。针对常见的几类题目给予分析，帮助考生轻松解决余数同余问题。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点： 1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。 2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。 【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少? A.12 B.41 C.67 D.71 【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。 【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是? A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。 三、同余问题

林匹克训练题库余数与同余

余数与同余 216两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？ 217两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被 13除余几？ 218用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？ 2191111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。 220用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数 89… 这个100位数除以9余几？ 221把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？ 222求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。 223求下列各数除以11的余数： 224将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。 225已知大小两数之和是789，大数去掉个位数字后等于小数。求大数。 226分别求满足下列条件的最小自然数： (1)用3除余2，用5除余1，用7除余1； (2)用3除余1，用5除余2，用7除余2； (3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。 227一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。 228A，B，C三人绕校园一周的时间分别为6分、7分、11分。由开始点A出发后，B比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C初次同时通过开始出发的地点是在A出发后多少分钟？

229有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。问：这类自然数中最小的是几？ 230有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。 231在一个四位数除以19的竖式中，每商一次后的余数都是8。满足条件的四位数有哪些？ 232一个自然数，减去它除以7所得余数的5倍，结果是100，求原来的自然数。 233两数相除商9余4。如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，则被除数、除数、商、余数之和等于2583。求原来的被除数和除数。 234甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。问：最后一张(第54张)牌发给了谁？ 235节日的街上挂起了长长一排彩灯，从第1盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。问：第2000盏灯是什么颜色？ 236右图中，从A点出发沿顺时针方向绕正方形走，到B点拐第1个弯，在哪个点拐第67个弯？ 237某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。问：这班学生至少有多少人？ 238有一个数除以3余2，除以4余1。问：此数除以12余几？ 2392000除以自然数a的不完全商是46，求a。 240678除以一个数的不完全商是13，并且除数与余数的差是8，求除数和余数。 241从6月 25日12时起，过10000分钟后是哪月哪日的几时几分？ 242求1 2＋2 2＋…＋99 2除以4的余数。 243计算下列各式的余数： (1)81547×118÷7；(2)2758×3361÷9； (3)9642×2879×4787÷13；(4)2461×135×6047÷11；

小学奥数之 同余问题(含详细解析)

1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数 同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。 2、重要性质及推论： （1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （） 能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b ) 3、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数． ⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； 知识点拨 教学目标 5-5-3.同余问题

⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）； ⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数 节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数． 例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答 【解析】(法1) 39336 -=，51-3=48，1473144 -=，(36,144)12 =，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912 -=，(12,108)12 -=，14739108 =，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12 【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。 【答案】61 【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答 【解析】由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543345)336 -÷=． 【答案】6

余数性质及同余定理答案

知识框架 一、带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q??…r，也就是a= b X q+ r, 0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： （1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 （2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型：如图 屈 这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数 的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； ⑵余数小于除数. 二、余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的加法定理 a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1

当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23X 19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a n与b n除以m的余数也相同. 一、同余定理 1、定义 整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b 在模m下同 余，即a=b (modm ) 2、同余的重要性质及举例。 〈1 > a=a(modm ) (a为任意自然)； 〈2> 若a=b (modm)，贝U b=a (modm ) 〈3> 若a=b (modm), b=c (modm )贝9 a=cC modm ); 〈4> 若a=b (modm),贝U ac= bc(modm ) 〈5> 若a=b (modm), c=d (modm),贝U ac=bd (modm ); 〈6> 若a=b (modm )贝9 an三bm( modm ) 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性, "性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc (modm )且(c, m) =1则a=b(modm ) 3、整数分类： 〈1>用2来将整数分类,分为两类： 1, 3, 5, 7, 9,……(奇数); 0, 2, 4, 6, 8,……(偶数) 〈2>用3 来将整数分类，分为三类： 0, 3, 6, 9, 12,……(被3除余数是0) 1, 4, 7, 10, 13,……(被3除余数是1) 2，5，8，11 ，14 ，……(被3 除余数是2) 3>在模6 的情况下，可将整数分成六类，分别是：

奥数五六年级知识点总结第五讲 余数与同余

第五讲余数与同余 一、问题引入 上一讲我们已经学习了如何判断一个数能否被另一个数整除（主要总结除数为20以内整数的情况），这一讲中我们将会在此基础上，继续探讨如果一个数不能被另一个数整除，那么余数是多少，这是本讲将要讨论的第一个问题——余数问题。 我们知道，自然数（0和所有正整数），按能否被2整除可以分为偶数和奇数两类，即能被2整除（除以2余0）的数为偶数，不被2整除（除以2余1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以3的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余0、余1、余2；如果我们以除以4的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余0、余1、余2、余3；以除以n为标准，就可以将自然数划分为n类。那么除以n余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n余数不同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主，不必死记。着重掌握除以3、4、8、9、16的余数求法即可。 ①求除以2的余数：奇数余1，偶数余0； ②求除以3的余数：等于该数的各位数字之和除以3的余数； ③求除以4的余数：等于该数末两位组成的数除以4的余数； ④求除以5的余数：等于该数个位数除以5的余数； ⑤求除以6的余数：该数的各个数字之和除以3得余数a，若该余数与原 数同奇同偶，则原数除以6的余数为a，若该余数与 原数一奇一偶，则原数除以6的余数为a+3； ⑥求除以7的余数：等于该数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差

除以7的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来， 就重复此过程； ⑦求除以8的余数：等于该数的末三位除以8的余数； ⑧求除以9的余数：等于该数的各位数字之和除以9的余数； ⑨求除以10的余数：等于该数的个位数； ⑩求除以11的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和与偶数的数字 之和的差除以11的余数 （b）等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的 数之差除以11的余数，如果数字仍然太大不能直接 观察出来，就重复此过程； ?求除以13的余数：等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之 差除以13的余数，如果数字仍然太大不能直接观察 出来，就重复此过程； ?求除以16的余数：等于该数的后四位除以16的余数; ?求除以17的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减 去个位数的5倍，所得到的数字除以17的余数， 如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过 程； ?求除以18的余数：该数的各个数字之和除以9得余数a，若该余数与原 数同奇同偶，则原数除以18的余数为a，若该余数 与原数一奇一偶，则原数除以18的余数为a+3； ?求除以19的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加 上个位数的2倍，所得数字除以19的余数。如果 数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程； 2、同余与同余的性质： 两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。一般记为a≡b（mod m）。 同余有以下常用的性质：

整除问题及余数与同余问题

整除问题及余数与同余问题 姓名得分 一、整除问题基础训练题 1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？ 2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？ 3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？ 4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？ 5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？ 6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？

7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？ 8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？ 9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？ 10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？ 11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？ 12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？

13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？ 14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？ 15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？ 16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。 17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？ 18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？

小学奥数精讲：余数与同余问题

小学奥数精讲：余数与同余问题 一、问题引入 我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被 2 整除（除以 2 余 1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以 3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以 3、4、8、9、16 的余数求法即可。 ①求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0； ②求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数； ③求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数； ④求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数； ⑤求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以6 的余数为a，若该余数不 原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3； ⑥求除以 7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程； ⑦求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数；

六年级带余数除法和同余问题杨阳

教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：课时数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 授课 T (余数的性质和同余性质) C （求余问题典型例题）T （拓展提高） 类型 授课日 期时段 教学内容 一、同步知识梳理 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 知识点1：带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 知识点2：三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

一、专题精讲 例1. 求1992×59除以7的余数。 答案解析：5 注：应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计 算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除 以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是。 例2.已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？ 答案解析：星期五 注：一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数 被7除的余数就行了。如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366 ×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 例3.甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的 11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成 员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷 还可拍几张照片？ 答案解析：23张 注： 分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以3余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。 因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以3的余数。 （11×25）÷36=7……23， 即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。 例4. 有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。

余数问题

数论模块 数论题的特点就就是简洁明了,信息量瞧起来往往比较少,所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手,因此,做数论题时很重要的一点就就是寻找突破口,走对方向。另外,数论模块的另一个特点就就是:知识点非常多。但相比组合而言,数论至少显得更“有法可依”,考场上一定要敢去思考数论题,“战略上藐视,战术上重视”,战略上要相信,考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴, 而考前我们能做的,就就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。 我就不详细讲每一个知识点(确实非常之多,关键在于平常积累),在这里,我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。 还就是那个我在课堂上讲过很多遍的例子:任意找一个数,我们都可以 从三个角度去分析它, 例如154: (1)我们可以说它就是一百五十四,在这里,1就是百位上的数字,它代表1个100,5代表5个10,4代表4个1,这可以说就是位值原理的角度; (2)154＝2×7×11,分解质因数; (3)154除以5余4,除以9余1,我们可以研究它除以任意一个数所得的商与余数; 以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容,同时也就是我们分析数论问题的三种方式,三个突破口。下面我来详细讲讲每一个角度。 一、位值原理与整除。 其实所有数字的整除特性都就是利用位值原理推导出来的,从这个也反 映出了学习数论的一个策略:找到知识点的源头,知道它们就是怎么来的,这样就不用背那么多知识点了。 言归正传,什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显,就不用多说了,举个最简单的例子:55□39能被11整除,请问□就是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。考得比较多的,比如这样的题目:“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍就是数A,这个三位数A就是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的,可以考虑用位值原理。利用位值原理对题目进行“翻译”——也就就是把文字翻译成数学语言(数学式子),再结合其她的知识点去“加工”,一步步地解答它。 这就就是我常常对学生说的:不要对着题目干想,一定要动笔,尝试“翻译”题目。借用薛威阳老师的理念,就就是“把思路放在纸上”。 二、分解质因数。 这也就是约数、倍数、质数、合数、平方数的核心。所以涉及到约倍质合及平方数的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究,题目中如果有具体数字,不妨对其进行质因数分解,从它的因子中寻找解题思路。如果题目中没有给定具体数字,而就是让您求这个数,那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及其个数。这部分内容的知识点最多,同学们务必熟练掌握,否则一切都就是空谈。 三、余数。 常考的余数问题基本可以分成四类:带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”,解题时关键要分清楚它到底就是想考您什么,这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题: 1、带余除法。